等价关系与序关系
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R z就为真
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5
等于关系
• 一个符号集合S • 定义S上的关系R：如果S中的两个符号x,y
代表同一个事物的话，那么x R y就为真 • 容易证明，R是等价关系。
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6
整除关系
• 设S是正整数的集合，定义x R y为x | y。于 是，3 R 6、7 R 35为真，但8 R 4,6 R 9为 假。R是S上的一个关系。
• R有自反性，传递性，但没有对称性
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7
其他例子
• 设S是一些集合组成的集合族，定义A R B 为A∩B≠空集。
• 显然，R有自反性和对称性，但没传递性 • 定义R为：只要两个人x和y的姓相同，x R
y就为真。 • 这是一个等价关系
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8
等价类
• 如果R是S上的等价关系，x∈S,则S中与x 相关联的元素的集合称为包含x的等价类， 记为[x]。所以[x]={y∈S:y R x}
•
find := f[u];
• end;
• End;
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15
合并两个等价类
• Procedure Union(u , v : longint); • Var • fu , fv : longint; • Begin • fu := find(u); fv := find(v); • if (fu <> fv) then f[fu] := fv; • End;
m) • 传递性：x≡y(mod m)且y≡z(mod m)，那么
x≡z(mod m)
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19
例题2:朋友敌人
• N个人分成了两大阵营，同一阵营的两人为 朋友，不同阵营的两人为敌人．开始时什 么都不知道，不断告诉你两个人之间的关 系，判断是否有矛盾．
精选课件
20
分析
• 设两大阵营分别为Ｘ和Ｙ，我们把n个人看 做n个0或1
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16
例题1:等式矛盾
• 给定一系列等式,判断最早在第几个等式处出现矛 盾.
• 等式形如:x=y，其中x和y可以是任意整数或一个 符号.
• 例: • x=y • y=1 • x=z • z=0//矛盾 • 0=1
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17
分析
• 这是一个等于关系. • 两个不同的常数不能在同一个等价类中,一
等价关系与序关系
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1
笛卡尔积
• 集合A与集合B的笛卡儿积为一个集合,记为 A×B
• A×B={(x,y) | x∈A 且 y∈B} • (x,y)是有序对
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2
关系
• 集合A到集合B的关系是笛卡儿积A×B的一 个子集
• 如果R是集合A到集合B的一个关系,且(x,y) 是R的一个元素,那么称x关于R与y关联(有 关系),一般记作x R y
• 集合S到其自身的关系称为集合S上的关系
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3
例
• S={草,树,猪,牛,LYC} • T={植物,动物,人} • 定义R为S到T的一个关系 • 草 R 植物为真,草 R 动物为假 • 猪 R 动物为真,猪 R 人为假 • LYC R 人为真,LYC R 植物假
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4
等价关系
• 若集合S上的关系R具备以下三个性质： • 1、自反性：对S的任意元素x,x R x为真 • 2、对称性：只要x R y为真，y R x就为真 • 3、传递性：只要x R y为真，y R z为真，x
• 在并查集中的每个点记录它与它父亲的关 系，即a-b(mod 2)的最小剩余为0还是1
• 对于在同一个等价类中的集合,可以通过它 们和代表的关系计算它们之间的关系
• 0表示该人处于阵营X,1表示该人处于阵营Y • 设两个人A和B的对应数字为a和b • 那么他们是朋友当且仅当a-b≡0(mod 2) • 他们是敌人当且仅当a-b≡1(mod 2)
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21
人之间的关系
• 我们定义人与人之间的关系Ｒ：A R B当且仅当ab≡r(mod 2)(0≤r<2)已知，即我们可以确定ab(mod 2)的最小剩余
旦两个相同的常数在同一个等价类中就出 现矛盾. • 维护并查集时,如果某个等价类有常数,就让 这个常数做代表,这是不难办到的
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18
同余关系
• 对于给定的m,整数数集上的同余关系(mod m)是等价关系．
• 自反性：x≡x(mod m) • 对称性：x≡y(mod m) ，那么显然y≡x(mod
• 划分就一系列不相交集合，而划分与等价 类是互相对应的。
• 因此并查集一般都是用来处理等价类。
• 所以，用并查集处理一些问题的关键是洞 察问题中所蕴藏的等价关系
• 并查集可以动态维护等价关系,但只能加强 关系,不能削弱关系
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13
并wk.baidu.com集存储结构
f:array[1..8] of longint; f = {2,5,5,5,0,2,4,3}
2
5 等价类代表 34
168
7
精选课件
14
查找代表
• Function find(u : longint) : longint; //寻找u所在等 价类代表
• Begin
• if (f[u] = 0) then find := u
• else begin
•
f[u] := find(f[u]); //路径压缩
• R是一个等价关系． • 自反性：a-a≡0(mod 2) • 对称性：a-b≡r(mod 2)，那么b-a≡2-r(mod 2) • 传递性：a-b≡r(mod 2) , b-c≡s(mod 2),那么a-
c≡t(mod 2),其中t为r+s(mod 2)的最小剩余
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22
并查集
• 该等价关系体现了两个人之间的关系，可 以使用并查集来处理这个关系
• 自反性保证了x∈[x]
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9
等价类的性质
• 1、如果x和y是集合S的元素，那么x与y相 关联，当且仅当[x]=[y]
• 2、关系R的两个等价类要么相等，要么互 不相交
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10
集合的划分
• 集合S的划分是一个子集族，它满足三个性 质：
• 1、没有一个子集是空的 • 2、集合S的任何一个元素必然属于某个子
集 • 3、两个不同的子集互不相交
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11
等价类与划分
• 1、一个等价关系R产生了一个划分P，其中 P的成员就是R的等价类
• 2、一个划分P导出一个等价关系R。其中， 只要两个元素属于P的同一个成员，它们就 关于R相关联。此外，这个关系的等价类就 是P的成员
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12
等价关系与并查集
• 并查集在英文中称为Disjoint Set（不相交 集合）
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5
等于关系
• 一个符号集合S • 定义S上的关系R：如果S中的两个符号x,y
代表同一个事物的话，那么x R y就为真 • 容易证明，R是等价关系。
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6
整除关系
• 设S是正整数的集合，定义x R y为x | y。于 是，3 R 6、7 R 35为真，但8 R 4,6 R 9为 假。R是S上的一个关系。
• R有自反性，传递性，但没有对称性
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7
其他例子
• 设S是一些集合组成的集合族，定义A R B 为A∩B≠空集。
• 显然，R有自反性和对称性，但没传递性 • 定义R为：只要两个人x和y的姓相同，x R
y就为真。 • 这是一个等价关系
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8
等价类
• 如果R是S上的等价关系，x∈S,则S中与x 相关联的元素的集合称为包含x的等价类， 记为[x]。所以[x]={y∈S:y R x}
•
find := f[u];
• end;
• End;
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合并两个等价类
• Procedure Union(u , v : longint); • Var • fu , fv : longint; • Begin • fu := find(u); fv := find(v); • if (fu <> fv) then f[fu] := fv; • End;
m) • 传递性：x≡y(mod m)且y≡z(mod m)，那么
x≡z(mod m)
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例题2:朋友敌人
• N个人分成了两大阵营，同一阵营的两人为 朋友，不同阵营的两人为敌人．开始时什 么都不知道，不断告诉你两个人之间的关 系，判断是否有矛盾．
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分析
• 设两大阵营分别为Ｘ和Ｙ，我们把n个人看 做n个0或1
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16
例题1:等式矛盾
• 给定一系列等式,判断最早在第几个等式处出现矛 盾.
• 等式形如:x=y，其中x和y可以是任意整数或一个 符号.
• 例: • x=y • y=1 • x=z • z=0//矛盾 • 0=1
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分析
• 这是一个等于关系. • 两个不同的常数不能在同一个等价类中,一
等价关系与序关系
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1
笛卡尔积
• 集合A与集合B的笛卡儿积为一个集合,记为 A×B
• A×B={(x,y) | x∈A 且 y∈B} • (x,y)是有序对
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2
关系
• 集合A到集合B的关系是笛卡儿积A×B的一 个子集
• 如果R是集合A到集合B的一个关系,且(x,y) 是R的一个元素,那么称x关于R与y关联(有 关系),一般记作x R y
• 集合S到其自身的关系称为集合S上的关系
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3
例
• S={草,树,猪,牛,LYC} • T={植物,动物,人} • 定义R为S到T的一个关系 • 草 R 植物为真,草 R 动物为假 • 猪 R 动物为真,猪 R 人为假 • LYC R 人为真,LYC R 植物假
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4
等价关系
• 若集合S上的关系R具备以下三个性质： • 1、自反性：对S的任意元素x,x R x为真 • 2、对称性：只要x R y为真，y R x就为真 • 3、传递性：只要x R y为真，y R z为真，x
• 在并查集中的每个点记录它与它父亲的关 系，即a-b(mod 2)的最小剩余为0还是1
• 对于在同一个等价类中的集合,可以通过它 们和代表的关系计算它们之间的关系
• 0表示该人处于阵营X,1表示该人处于阵营Y • 设两个人A和B的对应数字为a和b • 那么他们是朋友当且仅当a-b≡0(mod 2) • 他们是敌人当且仅当a-b≡1(mod 2)
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21
人之间的关系
• 我们定义人与人之间的关系Ｒ：A R B当且仅当ab≡r(mod 2)(0≤r<2)已知，即我们可以确定ab(mod 2)的最小剩余
旦两个相同的常数在同一个等价类中就出 现矛盾. • 维护并查集时,如果某个等价类有常数,就让 这个常数做代表,这是不难办到的
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18
同余关系
• 对于给定的m,整数数集上的同余关系(mod m)是等价关系．
• 自反性：x≡x(mod m) • 对称性：x≡y(mod m) ，那么显然y≡x(mod
• 划分就一系列不相交集合，而划分与等价 类是互相对应的。
• 因此并查集一般都是用来处理等价类。
• 所以，用并查集处理一些问题的关键是洞 察问题中所蕴藏的等价关系
• 并查集可以动态维护等价关系,但只能加强 关系,不能削弱关系
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并wk.baidu.com集存储结构
f:array[1..8] of longint; f = {2,5,5,5,0,2,4,3}
2
5 等价类代表 34
168
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查找代表
• Function find(u : longint) : longint; //寻找u所在等 价类代表
• Begin
• if (f[u] = 0) then find := u
• else begin
•
f[u] := find(f[u]); //路径压缩
• R是一个等价关系． • 自反性：a-a≡0(mod 2) • 对称性：a-b≡r(mod 2)，那么b-a≡2-r(mod 2) • 传递性：a-b≡r(mod 2) , b-c≡s(mod 2),那么a-
c≡t(mod 2),其中t为r+s(mod 2)的最小剩余
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22
并查集
• 该等价关系体现了两个人之间的关系，可 以使用并查集来处理这个关系
• 自反性保证了x∈[x]
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9
等价类的性质
• 1、如果x和y是集合S的元素，那么x与y相 关联，当且仅当[x]=[y]
• 2、关系R的两个等价类要么相等，要么互 不相交
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集合的划分
• 集合S的划分是一个子集族，它满足三个性 质：
• 1、没有一个子集是空的 • 2、集合S的任何一个元素必然属于某个子
集 • 3、两个不同的子集互不相交
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11
等价类与划分
• 1、一个等价关系R产生了一个划分P，其中 P的成员就是R的等价类
• 2、一个划分P导出一个等价关系R。其中， 只要两个元素属于P的同一个成员，它们就 关于R相关联。此外，这个关系的等价类就 是P的成员
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12
等价关系与并查集
• 并查集在英文中称为Disjoint Set（不相交 集合）