几何证明题及常见的添加辅助线方法

学科教师辅导讲义

2）已知：如图，在△ ABC 中，CD 是△ABC 的角平分线， BC=AC+AD 。求证：∠ A=2∠B.

年 级：

辅导科目：数学

学科教师：

例2、已知：如图3-41 ，AB=AD，CB=CD．求证：(1)AC 平分∠ BAD和∠ BCD；(2)AC ⊥ BD．

针对训练：

1、已知，如图，AB、CD 相交于点O，△ ACO ≌△ BDO，CE

∥DF

。求证：CE=DF 。

例3、如图3-42 ，已知：AB=AC，BE与CF相交于点O，BO=CO．求证：OE=OF．

针对训练：

1、如图所示，己知AB ∥DE，AB=DE ，AF=DC ，请问图中有哪几对全等三角形，并选其中一对给出证明。

D

4、如图， AB=AD ，BC=CD ，AC 、BD 交于 E ，由这些条件可以得出若干结论。请你写出其中三个正确的结论（不

要添加字母和辅助线）。

C

随堂演练： 1、如图， 已知 MB=ND （A ） ∠M=∠N （B ） AB=CD （C

） AM=CN

（D ）

AM ∥ CN

，∠ MBA= ∠ NDC ，下列条件不能判定△ ABM ≌△ CDN 的是（ ） D 在 AB 上，E 在 AC 上，且∠ B=∠C ， ） 2、如图，

△ABE ≌△ ACD 的是（ （A ） （B ） （C ） （D ）

AD=AE

∠AEB= ∠ ADC BE=CD AB=AC

ABC 中， AB=AC ，过 A 作 GB ∥BC ，角平分线 BD 、CF 交于点 H ，它们的延长线分别交 3、如图，△

试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证

明。

GE 于 E 、 G ， N

D

5、己知，△ ABC 中， AB=AC 求证：① ② PE+PF=CD. PE – P F=CD.

6、已知，如图 5，△ ABC 中， ∠ ADB= ∠CDF 。 ，CD ⊥AB ，垂足为 D ，P 是BC 上任一点， PE ⊥ AB ， PF ⊥ AC 垂足分别为 E 、F ， A

P AB=AC ，∠ BAC=90 0

，D 是 AC 的中点， AF ⊥BD 于 E ，交BC 于F ， 连结 DF 。求证：

常用的添加辅助线的方法】

1、构造全等三角形

例1、已知? ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，是AE=BD，联结CE，DE 求证：CE=DE 【提示】：延长CD 到F，是CF=AE ，联结EF

2、“倍长中线”法

其实质是把三角形绕中点旋转180o，使两个三角形组成一个三角形，再证所得三角形为等腰三角形）

例2、已知在?ABC中，AD是中线，BE 交AD于点F，AE=EF。求证：AC=BF

方法1：延长AD 到点G ，使DG=AD ，联结BG。

方法2：过点C作CH//BE 交AD 延长线于点H

3、“截长补短”法

补短：延长两条线段中的一条，使其等于两条线段之和）

截长：在线段上截取一段等于另两条线段中的一条，再证余下的部分等于另一条线段

例3、已知? ABC中，AD是∠ BAC的角平分线，∠ B=2∠ C，

求证：AB＋BD=AC

方法1：补短法：延长AB 至E，使AE=AC ，联结DE

方法2：截长法：在AC 上截取AF=AB 联结DF

4、“分割图形”法如果题目所给的是多边形，也将多边形分割成三角形来研究，如图

针对练习：

1、如图，已知AD∥BC，AE平分∠ DAB，EB平分∠ ABC，点E 在CD上，求证：AB=AD＋BC

【提示】：截长法：在AB 上截取AF=AD ，联结EF

补短法：延长AD 到点M ，使AM=AB

2、已知D 为EC的中点，EF∥ AB ，且EF=AC ，求证：AD 平分∠ BAC. 【提示】：倍长中线法：延长FD至G，使FD=DG ，联结CG

3、已知

:如图,点D 在边BC 上,BD=CD, ∠1=∠2. 求证: AB=AC.

4、已知如图，正方形ABCD中，对角线中点是O，AD中点是

H，要求分割图形找答案。

AOH 的面积是正方形的几分之几，

课后练习】

1、已知，如图，M、N 在AB 上，AC=MP ，AM=BN ，BC=PN 。求证：AC ∥MP

A

HO

2、已知，如图，AB=CD ，DF⊥AC 于F，BE⊥AC 于E，DF=BE 。求证：AF=CE 。

B

D

B

6、如图， EG ∥ AF ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 ①

AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF

3、已知，如图， AB ⊥ AC ， AB ＝AC ， AD ⊥AE ， AD ＝AE 。求证： BE ＝CD 。

4、已知，如图，四边形 ABCD 是正方形，△ ECF 是等腰直角三角形，其中

△ BCF ≌△ DCE

CE=CF ，G 是CD 与 EF 的交点，求证：

5、

如图， DE ⊥AB ，DF ⊥ AC ， 推出一个正确的命

题。

① AB=AC ② BD=CD

垂足分别为 E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论， ③ BE=CF

D E

E