对面积的曲面积分教案设计

对面积的曲面积分教案设计课

题

对面积的曲面积分

课

时

1课时

教学目的和要求教学目的：

使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。

教学要求：

1.了解对面积的曲面积分的概念；

2.理解对面积的曲面积分的性质；

3.掌握对面积的曲面积分的计算方法；

重

点

难

点

对面积的曲面积分的计算

教

学

方

法

讲授（板书）

教学内容一、概念的引入

前面介绍了第一类曲线积分()

,

L

x y ds

ρ

⎰，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做例1 若曲面∑是光滑的，它的面密度为连续函数()

,,

x y z

ρ，求它的质量。

解：“分割”：用网格线分割曲面∑为12

,,,

n

S S S

∆∆∆,

“近似”：(),,i i i i S

ρξηζ∈∆;

“求和”：(),

1

,

n

i i i i

i

S

ρξηζ

=

∆

∑;

在光滑曲面∑上连续。

对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质

可分为分片光滑的曲面

解：

=≥≥

:0,0,

x y z

110

3x

dx xy -=⎰⎰

例3 求

2z dS ⎰⎰

解：把曲面∑分为1∑和在xOy 平面的投影2dS z dS =

=⎰⎰2xy

D a x =--⎰⎰222a a x =-⎰⎰