高一必修4平面向量的概念及线性运算复习进程

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第五章 §5.1 平面向量的概念及线性运算-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§5.1平面向量的概念及线性运算课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．3．在△ABC 中，点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .(×)(2)单位向量都相等．(×)(3)任一非零向量都可以平行移动．(√)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)2．下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bC ．向量AB →与BA →是平行向量D ．平行向量不一定是共线向量答案C解析A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；B 项，|a |＝|b |说明a ，b 的长度相等，不能判断它们的方向，故B 错误；C 项，向量AB →与BA →方向相反，是平行向量，故C 正确；D 项，平行向量就是共线向量，故D 错误．3．(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是()A.AB →＋AC →＝BC→B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC →答案BC4．(必修第二册P16T3改编)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，即2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝kλ，3＝6k ，解得λ＝－4.题型一平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法正确的是()A ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cB ．若四边形ABCD 满足AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形C ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．与非零向量a 共线的单位向量为±a |a |答案ABD解析对于A ，由相等向量的定义知，A 正确；对于B ，因为AB →＝DC →，所以AB ∥DC 且AB ＝DC ，则四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；对于C ，若b ＝0，则由a ∥b ，b ∥c ，无法得到a ∥c ，故C 错误；对于D ，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a 共线的单位向量为±a|a |，故D 正确．(2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是()A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF→答案D解析方法一(排除法)AD →，BC →不共线，AC →，BD →不共线，故A ，B 错误；PE →，PF →方向相反，C 错误；故选D.方法二在等腰梯形ABCD 中，AD →，BC →不平行，AC →，BD →不平行，故A ，B 错误；∵AB ∥CD ，∴PD PB ＝CD AB ＝PC PA，∴PB PD ＝PAPC ，则PB ＋PD PD ＝PA ＋PC PC ，即BD PD ＝AC PC ，即PD BD ＝PC AC ，∵EF ∥AB ，∴PE AB ＝PD BD ＝PC AC ＝PF AB，∴PE ＝PF ，即P 为EF 的中点，∴EP →＝PF →，故C 错误，D 正确．思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与非零向量a 同方向的单位向量．跟踪训练1(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是()A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一条直线上C ．对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ，使a ＝λb 答案AC解析对于A ，若|a |＝0，则a ＝0，故A 正确；对于B ，若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故B 错误；对于C ，若a ，b 方向相同，则|a ＋b |＝|a |＋|b |，若a ，b 方向相反，则|a ＋b |<|a |＋|b |，若a ，b 不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a ＋b |<|a |＋|b |.综上可知对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |，故C 正确；对于D ，若a ≠0，b ＝0，则a ∥b ，此时不存在实数λ，使a ＝λb ，故D 错误．(2)(多选)如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是()A ．|AB →|＝|EF →|B.AB →与FH →共线C.BD →与EH →共线D.CD →＝FG →答案ABD解析由四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，知|AB →|＝|EF →|，即A 正确；由图形可知AB →与FH →的方向相反，CD →与FG →的方向相同且长度相等，即AB →与FH →共线，CD →＝FG →，故B ，D 正确；而∠BDE 与∠DEH 不一定相等，BD →与EH →不一定共线，故C 错误．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2若|AB →|＝7，|AC →|＝4，则|BC →|的取值范围是()A ．[3,7]B ．(3,7)C ．[3,11]D ．(3,11)答案C解析由题意知|AB →|＝7，|AC →|＝4，且|BC →|＝|AC →－AB →|，当AC →，AB →同向时，|BC →|取得最小值，|BC →|＝|AC →－AB →|＝||AC →|－|AB →||＝|4－7|＝3；当AC →，AB →反向时，|BC →|取得最大值，|BC →|＝|AC →－AB →|＝||AC →|＋|AB →||＝|4＋7|＝11；当AC →，AB →不共线时，3＝||AC →|－|AB →||<|BC →|<||AC →|＋|AB →||＝11，故|BC →|的取值范围是[3,11]．命题点2向量的线性运算例3(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA .记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →等于()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析因为BD ＝2DA ，所以AB →＝3AD →，所以CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋3AD →＝CA →＋3(CD →－CA →)＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .命题点3根据向量线性运算求参数例4(2024·安阳模拟)已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于()A ．－12B.79C.3－222D.1＋22答案A 解析如图，在矩形ABCD 中，DO →＝12(DA →＋DC →)，在△DAO 中，DE →＝12(DA →＋DO →)，∴DE →＋12DA →＋12DC ＝34DA →＋14DC →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34，∴λ2－μ2＝116－916＝－12.思维升华平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值．跟踪训练2(1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F .若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →等于()A.14a ＋b B.13a ＋b C.14a ＋13b D.13a ＋13b 答案B解析在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线交CD于点F ，则△DEF ∽△BEA ，所以DF BA ＝DE BE ＝13，则DF BA ＝DF DC ＝13，所以DF →＝13DC →＝13AB →，则AF →＝AD →＋DF →＝13AB →＋AD →＝13a ＋b .(2)(2023·聊城模拟)M 是△ABC 内的一点，若BM →＝13BA →＋λBC →，AM →＝12AB →＋μAC →，则λ＋μ等于()A.76B ．1 C.56D.13答案D解析由AM →－BM →＝AB →，得AB →＝12AB →＋μAC →－13BA →－λBC →，所以16AB →＝μAC →－λBC →，即AB →＝6μAC →－6λBC →＝6μAC →＋6λCB →，又AB →＝AC →＋CB →，故μ＝λ＝16，故λ＋μ＝13.题型三共线定理及其应用例5(1)(2023·徐州模拟)已知向量a ，b 不共线，向量8a －k b 与－k a ＋b 共线，则k ＝________.答案±22解析因为向量a ，b 不共线，向量8a －k b 与－k a ＋b 共线，所以8a －k b ＝t (－k a ＋b )＝－kt a ＋t b ，t ∈R ，＝－kt ，k ＝t ，解得k ＝±2 2.(2)已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案3解析如图，延长AG 交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线，∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3.思维升华利用向量共线定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.跟踪训练3(1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量a ，b 不共线，AB →＝4a ＋6b ，BC →＝－a ＋3b ，CD →＝a ＋3b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案D解析对于A ，BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋3b ＋(a ＋3b )＝6b ，则AB →，BD →不共线，故A 不正确；对于B ，AB →与BC →不共线，故B 不正确；对于C ，BC →与CD →不共线，故C 不正确；对于D ，AC →＝AB →＋BC →＝4a ＋6b ＋(－a ＋3b )＝3a ＋9b ＝3CD →，即AC →∥CD →，又AC →与CD →有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，故D 正确．(2)如图，在△ABC 中，AN →＝12NC →，P 是BN 的中点，若AP →＝mAB →＋14AC →，则实数m 的值是________．答案14解析因为AN →＝12NC →，所以AC →＝3AN →，因为AP →＝mAB →＋14AC →＝mAB →＋34AN →，且B ，P ，N 三点共线，所以m ＋34＝1，所以m ＝14.课时精练一、单项选择题1．(2023·广州模拟)如图，在正六边形ABCDEF 中，AF →－ED →＋EF →＋2AB →等于()A ．0 B.AB →C.AD → D.CF→答案A解析因为六边形ABCDEF 为正六边形，所以AF →－ED →＋EF →＋2AB →＝CD →＋DE →＋EF →＋2AB →＝CF →＋2AB →＝0．2.如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ＋b ＋c 可表示为()A ．2e 1－3e 2B ．3e 1－2e 2C ．2e 1＋3e 2D ．3e 1＋2e 2答案D解析由题意得a ＝e 1＋2e 2，b ＝e 1－2e 2，c ＝e 1＋2e 2，所以a ＋b ＋c ＝e 1＋2e 2＋e 1－2e 2＋e 1＋2e 2＝3e 1＋2e 2.3．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析依题意，“a |a |＝b|b |”表示与a ，b 同向的单位向量是相等向量，能推出“a ，b 共线”，所以充分性成立；“a ，b 共线”可能同向共线、也可能反向共线，所以“a ，b 共线”不能推出“a |a |＝b|b |”，所以必要性不成立．4．(2024·银川模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝x a ＋b ，d ＝a ＋(2x －1)b ，若c 与d 方向相反，则实数x 的值为()A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12答案B 解析因为c 与d 方向相反，所以存在k ∈R ，使得d ＝k c ，且k <0，即a ＋(2x －1)b ＝kx a ＋k b ，因为向量a ，b ＝1，＝2x －1，整理可得x (2x －1)＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12或x ＝1.又k <0，所以x <0，故x ＝－12.5．已知O ，A ，B 三点不共线，点P 为该平面内一点，且OP →＝OA →＋AB →|AB →|，则()A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上答案D 解析由OP →＝OA →＋AB →|AB →|，得OP →－OA →＝AB →|AB →|，所以AP →＝1|AB →|·AB →，所以点P 在射线AB 上．6.如图所示，△ABC 内有一点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0，过点G 作一直线分别交AB ，AC 于点D ，E .若AD →＝xAB →，AE →＝yAC →(xy ≠0)，则1x ＋1y等于()A ．4B ．3C ．2D ．1答案B 解析因为GA →＋GB →＋GC →＝0，所以G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝tAD →＋(1－t )AE →＝txAB →＋(1－t )yAC →，所以tx ＝13，(1－t )y ＝13，所以1x ＋1y＝3t ＋3(1－t )＝3.二、多项选择题7．下列各式中能化简为AD →的是()A ．－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)B ．－BM →－DA →＋MB→C ．(AB →－DC →)－CB→D.AD →－(CD →＋DC →)答案ACD 解析对于A ，－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)＝－(CB →＋MC →＋DA →＋BM →)＝－(CB →＋BM →＋MC →＋DA →)＝－DA →＝AD →，故A 正确；对于B ，－BM →－DA →＋MB →＝MB →－DA →＋MB →＝AD →＋2MB →，故B 错误；对于C ，(AB →－DC →)－CB →＝AB →－DC →－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AD →，故C 正确；对于D ，AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0＝AD →，故D 正确．8.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，且BC→＝3EC →，F 为AE 的中点，则()A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－23AB →＋13AD →D.CF →＝16AB →－23AD →答案ABC 解析∵AB ∥CD ，AB ＝2DC ，∴BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，故A 正确；∵BC →＝3EC →，∴BE →＝23BC →＝－13AB →＋23AD →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →－13AB →＋23AD ＝23AB →＋23AD →，又F 为AE 的中点，∴AF →＝12AE →＝13AB →＋13AD →，故B 正确；∴BF →＝BA →＋AF →＝－AB →＋13AB →＋13AD →＝－23AB →＋13AD →，故C 正确；∴CF →＝CB →＋BF →＝BF →－BC →＝－23AB →＋13AD →－12AB →＋＝－16AB →－23AD →，故D 错误．三、填空题9．已知在四边形ABCD 中，AB →＝12DC →，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．答案等腰梯形解析由AB →＝12DC →，可得AB ∥CD 且AB ＝12DC ，所以四边形ABCD 是梯形，又因为|AD →|＝|BC →|，所以梯形ABCD 的两个腰相等，所以四边形ABCD 是等腰梯形．10．(2023·徐州模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2024，则|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最大值是________，最小值是________．答案20240解析当单位向量e 1，e 2，…，e 2024方向相同时，|e 1＋e 2＋…＋e 2024|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2024|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2024|＝2024；当单位向量e 1，e 2，…，e 2024首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2024＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最小值为0.11．(2023·佛山模拟)等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 上一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则△ABC 的面积为________．答案252解析如图，过点P 作AB ，AC 的垂线交AB ，AC 分别于点E ，F ，由于AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以AE →＝4AB →|AB →|，AF →＝AC →|AC →|，则|AE →|＝4，|AF →|＝1，所以在等腰直角△ABC 中，PE ＝1，BE ＝1，所以AB ＝5，故△ABC 的面积S ＝12×5×5＝252.12.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE →＝EC →，CD →＝2CF →，则|AE →＋AF →|＝________.答案3解析因为BE →＝EC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，又因为CD →＝2CF →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋AD →，所以|AE →＋AF →|＝32|AB →＋AD →|＝32|AC →|，又因为∠BAD ＝120°，所以∠ADC ＝60°，所以△ADC 为等边三角形，所以AC ＝AD ＝2，所以|AE →＋AF →|＝32|AC →|＝32×2＝3.四、解答题13．(2023·青岛模拟)如图，在矩形ABCD 中，DE →＝2EC →，BF →＝2FC →，AC 与EF 交于点N.(1)若CN →＝λAB →＋μAD →，求λ＋μ的值；(2)设AE →＝a ，AF →＝b ，试用a ，b 表示AC →.解(1)依题意，设EN →＝tEF →，CN →＝CE →＋EN →＝CE →＋tEF →＝CE →＋t (CF →－CE →)＝(1－t )CE →＋tCF →＝－(1－t )3AB →－t 3AD →，又CN →＝λAB →＋μAD →，＝－1－t 3，＝－t 3，解得λ＋μ＝－13.(2)因为AC →＝AB →＋AD →，AE →＝23AB →＋AD →，AF →＝AB →＋23AD →，所以AE →＋AF →＝53(AB →＋AD →)＝53AC →，所以AC →＝35a ＋35b .14.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b.(1)用a ，b 表示AE →，BE →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →＋12AC →＝12a ＋12b ，故AE →＝23AD →＝13a ＋13b ，BE →＝AE →－AB →＝13a ＋13b －a ＝13b －23a .(2)证明因为BE →＝13b －23a ＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )，所以BE →＝23BF →，所以BE →∥BF →，又BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．15．(2023·扬州模拟)设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△BOC的面积为()A ．1B.34C.12D.14答案C 解析如图，∵OA →＋3OB →＋4OC →＝0，∴－17OA →＝37OB →＋47OC →，设－17OA →＝OD →，则OD →＝37OB →＋47OC →，即B ，C ，D 三点共线，∴|OD →||AD →|＝S △BOC S △ABC ＝18，∴S △BOC ＝4×18＝12.16.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，CO 与AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析因为CO 与AB 交于点D ，所以O ，C ，D 三点共线，所以OC →与OD →共线，设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．。

高中数学全套讲义必修4平面向量的线性运算基础学生版

目录向量的线性运算 (2)模块一：向量基本概念 (2)考点2 ：向量概念辨析 (2)模块二：向量的加减运算 (3)考点2 :向量的加减法 (4)模块三：三角形的三心 (6)考点3：三角形的三心 (6)课后作业： (7)向量的线性运算模块一：向量基本概念一、向量的概念与表示1.向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量.2.向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向虽:的长度.②字母表示法：AP，注意起点在前，终点在后：也可以用：，&来表示.③线段初的长度也叫做有向线段人鸟的长度，记作I丽I.3.零向量：长度等于零的向量，叫做零向量.记作：6：零向量的方向是任意的.单位向疑：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.4.相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量.5.向量共线或平行：方向相同或相反的向量叫做平行向量.向呈：7平行于向Mfr,记作7〃h •任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向疑.规泄：零向量与任意向量平行.考点］：向量概念辨析例1. （1）（2019春•城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若& , b都是单位向疑，贝\\a=b:③向呈：AP与丽相等，则所有正确命题的序号是（）A. ®B. @C. ®®D. ®®（2）（2019春•北陪区期末）下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若ci , b满足I d 1>1 b I且万与5同向,则④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合：⑤若allb t b//c f则alfc.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个模块二：向量的加减运算二、向虽的运算1.向量的加法:⑴ 三角形法则：= a , BC^h , a和厶的和（或和向量）a = AB + BC = AC .⑵平行四边形法则：AB = a , AD = b , a9 h不共线，以AB , 为邻边作平行四边形ABCD,贝\\a^b = AC .⑶多边形法则：已知“个向量，依次把这"个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第“个向量的终点为终点的向量叫做这"个向量的和向量.⑷向量的运算性质:向量加法的交换律：a^b^b + ai 向量加法的结合律:(a + b) + c = a + (b + c). 关于 6 : a + (j = (i + d = a ・2. 向量的减法：(1)相反向量：与向量&方向相反且等长的向量叫做&的相反向量，记作-&. -6 = 6.⑵差向量:如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点, 被减向量的终点为终点的向量.AB = OB -。

第1节平面向量的概念及线性运算--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第一节平面向量的概念及线性运算课标解读考向预测1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.必备知识——强基础1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有大小又有方向的量用a ，b ，c ，…或AB →，BC →，…表示向量的模向量a 的大小，也就是表示向量a 的有向线段AB →的长度(或称模)|a |或|AB →|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e 表示，|e |＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a ∥b 相等向量长度相等且方向相同的向量a ＝b相反向量长度相等，方向相反的向量向量a 的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝01b ＋a ；结合律：(a ＋b)＋c ＝02a＋(b ＋c )减法a －b ＝03a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向04相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向05相反；当λ＝0时，λa ＝060λ(μa )＝07(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝08λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝09λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .提醒：当a ≠0时，定理中的实数λ才唯一．1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．()(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .()(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是()A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|答案D解析AE →＝12AC →，故D 错误．故选D.(2)(人教B 必修第二册6.2.1例3改编)设向量a ，b 不共线，向量λa ＋b 与a ＋2b 共线，则实数λ＝________．答案12解析∵λa ＋b 与a ＋2b 共线，∴存在实数μ使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )＝μ，＝2μ，＝12，＝12.(3)(人教A 必修第二册6.2例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)答案b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .(4)(人教A 必修第二册习题6.2T10改编)若a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为________，最小值为________．答案82解析|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8，当且仅当a ，b 同向时取等号，所以|a ＋b |max ＝8.又|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|3－5|＝2，当且仅当a ，b 反向时取等号，所以|a ＋b |min ＝2.考点探究——提素养考点一平面向量的有关概念例1(多选)下列命题中的真命题是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 答案BC解析A 是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B 是真命题，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →；C 是真命题，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；D 是假命题，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.【通性通法】平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四a|a |是与a 同方向的单位向量【巩固迁移】1．(多选)下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 反向共线时才成立，故C 正确；若b ＝0，则不共线的a ，c 也有a ∥0，c ∥0，故D 错误．考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1平面向量加、减运算的几何意义例2设P 为▱ABCD 对角线的交点，O 为平面ABCD 内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝()A ．OP →B ．2OP →C ．3OP →D ．4OP→答案D解析由题意知，P 为AC ，BD 的中点，所以在△OAC 中，OP →＝12(OA →＋OC →)，即OA →＋OC →＝2OP →，在△OBD 中，OP →＝12(OB →＋OD →)，即OB →＋OD →＝2OP →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OP →.故选D.【通性通法】1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．【巩固迁移】2．(2024·山东青岛二中月考)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.考向2平面向量的线性运算例3(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.【通性通法】平面向量的线性运算的求解策略【巩固迁移】3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD 中，BE →＝12BC →，AF →＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A ．12B ．34C ．56D ．43答案D解析由题意可得AB →＝AE →＋EB →＝AE →＋12DA →＝AE →＋12(DF →＋FA →)＝AE→＋12(DF →－13AE →)＝12DF →＋56AE →，所以m ＝12，n ＝56，所以m ＋n ＝43.故选D.考点三向量共线定理的应用(多考向探究)考向1判定向量共线、三点共线例4设两个非零向量a 与b 不共线．若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．【通性通法】共线向量定理的三个应用【巩固迁移】4．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在()A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案B解析由CB →＝λPA →＋PB →，得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →，则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在AC 边所在直线上．故选B.考向2利用向量共线定理求参数例5若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k ＝()A ．－1B ．1C ．32D ．2答案B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.【通性通法】一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．【巩固迁移】5．如图，在△ABC 中，AD →＝λDC →，E 是BD 上一点，若AE →＝1116→＋14AC →，则实数λ的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案B解析由AD →＝λDC →，得AC →＝λ＋1λAD →，因为AE →＝1116AB →＋14AC →，所以AE →＝1116AB →＋14·λ＋1λAD →，因为E ，B ，D 三点共线，所以1116＋λ＋14λ＝1，解得λ＝4.故选B.课时作业一、单项选择题1．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．故选B.2．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；因为a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；因为|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．故选B.3．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－3a ＋6b ，CD →＝4a －b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案A解析由题意得BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，又BD →，AB →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.4．(2024·安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD 中，M 是CD 边上的中点，则2AM →＝()A ．AC →－2AB →B ．AC →＋2AB →C ．2AC →－AB →D ．2AC →＋AB→答案C解析因为M 是平行四边形ABCD 的CD 边上的中点，所以CM →＝－12AB →，所以AM →＝AC →＋CM→＝AC →－12AB →，所以2AM →＝2AC →－AB →.故选C.5．已知向量a 和b 不共线，向量AB →＝a ＋m b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，若A ，B ，D 三点共线，则m ＝()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案A解析因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得BD →＝λAB →，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ，所以2a ＋6b ＝λa ＋mλb ，＝λ，＝mλ，解得m ＝3.故选A.6．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A ．58B ．14C ．1D ．516答案A解析DE →＝AE →－AD →＝14AC →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34.∴λ2＋μ2＝116＋916＝58.故选A.7．正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF →＝()A ．13AB →＋23AD→B ．34AB →＋14AD→C ．14AB →＋34AD→D ．13AD →＋AB→答案C解析如图，∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，∴DE ＝13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，可得EF AF ＝13，可得AF ＝34AE ，∴AF →＝34AE →＝34(AD→＋DE →)＋13AB ＝14AB →＋34AD →.故选C.8．(2023·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为()A ．3B ．23C ．33D ．43答案B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.故选B.二、多项选择题9．下列式子中，结果为零向量的是()A ．AB →＋BC →＋CA →B ．AB →＋MB →＋BO →＋OM →C ．OA →＋OB →＋BO →＋CO →D ．AB →－AC →＋BD →－CD →答案AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．故选AD.10．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，所以|CB →|－|(PB→－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD.11．(2023·安徽合肥期末)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下列结论中正确的是()A ．AB →－BC →＝CA →B ．AG →＝13(AB →＋AC →)C ．AF →＋BD →＋CE →＝0D ．GA →＋GB →＋GC →＝0答案BCD解析如图，对于A ，AB →－BC →＝AB →＋CB →＝2EB →≠CA →，故A 错误；对于B ，点G 为△ABC 的重心，则AG →＝23→＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，故B 正确；对于C ，AF →＋BD →＋CE →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0，故C 正确；对于D ，GA →＝－2GD →＝－2×12(GB →＋GC →)，故GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，＝μ，＝2μ，解得λ＝μ＝12.13．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________．答案②③④解析BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12AB →＋12AC →＝12(AC →＋CB →)＋12AC →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错误；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD→＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．14．(2024·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4＋23解析由题意知，点D 满足AD →＝13AC →，故AQ →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋3yAD →，由Q ，B ，D 三点共线，可得x ＋3y ＝1，x >0，y >0，则1x ＋1y＝x ＋3y )＝4＋3y x ＋x y ≥4＋23，当且仅当3yx ＝x y ，即x ＝3－12，y ＝3－36时等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为4＋2 3.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝2AE →，AF →＝FD →，点G 为CE 与BF 的交点，则AG →＝()A ．25AB →＋15AC→B ．15AB →＋25AC→C ．15AB →＋415AC→D ．310AB →＋25AC→答案A解析由AB →＝2AE →，AF →＝FD →，知E ，F 分别为AB ，AD 的中点．如图，设AC 与BF 的交点为P ，易得△APF ∽△CPB ，所以AP CP ＝AF CB ＝AF AD ＝12，所以AP →＝13AC →.因为E 是AB 的中点，所以AE →＝12AB →.由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG →＝mAP →＋(1－m )AB →＝13mAC →＋(1－m )AB →.由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG →＝nAE →＋(1－n )AC →＝12nAB →＋(1－n )AC →，所以13mAC →＋(1－m )AB →＝12nAB →＋(1－n )AC →.又因为AC →，AB →为不共线的非零向量，所以m ＝12n ，＝1－n ，＝35，＝45，所以AG →＝25AB →＋15AC →.16．(多选)(2024·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是其外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列结论中正确的是()A ．GH →＝2OG →B ．OD ∥AHC ．AH →＝3OD →D ．OA →＝OB →＝OC→答案AB解析由题意作图，如图所示，易知BC 的中点D 与A ，G 共线．对于A ，由题意，得AG →＝2GD →，OD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以OD ∥AH ，所以GH →＝2OG →，所以A ，B 正确；对于C ，由题意，知AG ＝2GD ，又GH ＝2OG ，∠AGH ＝∠DGO ，所以△AGH ∽△DGO ，所以AH →＝2OD →，所以C 错误；对于D ，向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，所以D 错误．故选AB.17.如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CNCE＝r ，则B ，M ，N 三点共线时，r 的值为________．答案33解析连接AD ，交EC 于点G ，设正六边形的边长为a ，由正六边形的性质知，AD ⊥CE ，AD ∥CB ，G 为EC 的中点，且AG ＝32a ，则CA →＝CG →＋GA →＝12CE →＋32CB →，又AM AC ＝CNCE ＝r (r >0)，则CA →＝CM →1－r ，CE →＝CN →r ，故CM →1－r ＝CN →2r ＋32CB →，即CM →＝1－r 2r CN →＋3（1－r ）2CB →，若B ，M ，N三点共线，则1－r 2r ＋3（1－r ）2＝1，解得r ＝33或r ＝－33(舍去)．18．经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m >0，n >0，则m ＋n 的最小值为________．答案43解析设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝＋13λb ，m ＝＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.于是m ＋nm ＋n )＋n m ＋≥13×(2＋2)＝43，当且仅当m ＝n ＝23时，m ＋n 取得最小值，为43.。

高中数学2.2 平面向量的线性运算教案1人教版必修4

第01讲平面向量及其线性运算高考《考试大纲》的要求：① 了解向量的实际背景。

② 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

③ 理解向量的几何表示。

④ 掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义。

⑤掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义;⑥了解向量线性运算的性质及其几何意义； ⑦了解平面向量的基本定理及其意义; （一）基础知识回顾：1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____.2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向.3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______.4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线. 其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________;5.向量的运算: 加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率，及其几何意义.6.向量共线定理:向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得___________.7.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数21,λλ,使=_____________________.8.三点共线定理:平面上三点A,B,C 共线的充要条件是:存在实数α,β,使_____________________,其中α+β=____, O 为平面内任意一点. 9.①中点公式：若M 是线段AB 的中点, O 为平面内任意一点,则 =__________________ ②在△ABC 中, 若G 为重心,则++ =_________,++ =____________. （二）例题分析：例1.下列命题中，正确的是（）A ．若c b b a //,//，则c a //B ．对于任意向量b a ,+≥ C=b a =或b a -= D ．对于任意向量b a ,-≥+例2．（2007北京理)已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =例3．(2008广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若=, =,则=（） A ．1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D. 1233a b +（三）基础训练：1.(2006上海理)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）（A ）→--AB ＝→--DC ；（B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ；（C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ；（D ）→--AD ＋→--CB ＝→0．2．（2007湖南文）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（） A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D. EF OF OE =--3．（2003辽宁）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=（）ABCDA ．)1,0(),(∈+λλB ．)22,0(),(∈+λλ C ．)1,0(),(∈-λλ D ．)22,0(),(∈-λλ4.(2008辽宁理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=,则OC =（）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+5．（2003江苏；天津文、理）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的( )（A ）外心（B ）内心（C）重心（D ）垂心6．（2005全国卷Ⅱ理、文）已知点(A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于( ) （A ）２（B ）12 （C ）－３（D ）－137．设b a ,是两个不共线的非零向量，若向量b a k 2+与b k a +8的方向相反，则k=__________.8.（2007江西理）．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m ，＝n ，则m ＋n 的值为．9．（2005全国卷Ⅰ理）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =10.（2007陕西文、理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30＝1＝22.若＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .（四）拓展与探究：11、（2006全国Ⅰ卷理）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。

高一数学必修四第二章平面向量章末总结

高一数学必修四第二章平面向量章末总结平面向量是高中数学必修四中的一章内容，主要介绍了平面向量的定义、平面向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积等基本运算，以及平面向量的共线、垂直、平行、四边形法则、平面向量的投影等相关概念和定理。

在学习这一章节的过程中，我深刻体会到平面向量的重要性和应用，对于解决实际问题有着很大的帮助。

下面我将对这一章内容进行总结。

第一节平面向量的定义平面向量是一个有大小和方向的量。

平面向量的表示可以用有向线段表示，其中线段代表向量的大小，箭头代表了向量的方向。

平面向量的起点和终点分别叫做向量的始点和终点。

平面向量常用大写字母表示，例如：AB、AC。

平面向量也可以用坐标表示，例如：向量AB的坐标为(3,4)，表示向量的起点在原点，终点在坐标点(3,4)处。

平面向量的大小叫做向量的模，用|AB|表示。

第二节平面向量的加法平面向量的加法满足三个定律：1. 交换律：AB + BC = BC + AB.2. 结合律：(AB + BC) + CD = AB + (BC + CD).3. 加法逆元：对于任意的向量AB, 存在向量BA, 使得AB +BA = 0, BA + AB = 0.第三节平面向量的数乘平面向量的数乘即将向量与一个实数进行乘法运算。

加法和数乘的运算统称为线性运算。

数乘满足两个定律：1. 结合律：a(bAB) = (ab)AB.2. 分配律：(a+b)AB = aAB + bAB.第四节平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法和数乘的运算：AB - AC = AB + (-1)AC第五节平面向量的数量积数量积又称为点积，记为AB·CD, 定义为AB·CD = |AB| |CD| cosθ, 其中θ为两个向量的夹角。

第六节平面向量的向量积向量积的结果是一个向量，记为AB×CD，用它来表示与它们夹角θ所在平面的法向量，其大小等于两个向量的模的乘积与夹角θ的正弦值，方向遵循右手螺旋法则。

高中数学必修4平面向量知识点

高中数学必修4平面向量知识点平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，是同学们学习数学的一个重点，下面是店铺给大家带来的高中数学必修4平面向量知识点，希望对你有帮助。

1.平面向量基本概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB;向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|;零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。

(注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆);相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;平行向量(共线向量)：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a;单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e 表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。

相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

2.平面向量运算加法与减法的代数运算：(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律： + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。

(1)| |=| |·| |;(2) 当 a>0时，与a的方向相同;当a<0时，与a的方向相反;当a=0时，a=0.两个向量共线的充要条件：(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .(2) 若 =( ),b=( )则‖b .3.平面向量基本定理若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得 = e1+ e2.4.平面向量有关推论三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。

高考一轮复习平面向量的概念与线性运算教案理教案

某某省东北师X大学附属中学2015届高考一轮复习平面向量的概念与线性运算教案理知识梳理：[阅读必修四第二章]1.向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有的量叫向量;通常记为 ;长度为的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量加法与减法(1).向量加法按法则或法则;向量加运算律:交换律:;结合律:(2).向量减法作法:(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下：长度：方向：(2)．运算律4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、题型探究探究一：平面向量的基本概念例1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a=b；=是四边形ABCD为平行四边形的②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB DC充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c；其中正确的序号是。

=。

因此，AB DC③正确；∵a=b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。

④不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是②③。

点评：本例主要复习向量的基本概念。

向量的基本概念较多，因而容易遗忘。

为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。

例2：设0a为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·0a;(2) 若a与a0平行，则a=|a|·0a；（3）若a与0a平行且|a|=1，则a=0a。

上述命题中，假命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|0a模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与0a平行，则a与0a方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=－|a|0a，故（2）、（3）也是假命题。

高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算

知识回顾
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量与零向量
相等向量与平行向量相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如，作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)

数学必修四第二章平面向量知识点

数学必修四第二章平面向量知识点第二章平面向量1. 平面向量的概念：平面上具有大小和方向的箭头。

2. 向量的表示：向量通常用小写字母加上一个箭头表示，如a→。

3. 平行向量：具有相同或相反的方向的向量。

4. 向量的加法：向量a→与向量b→相加得到向量c→，其坐标分别相加，即c→ = a→ + b→。

5. 向量的减法：向量a→与向量b→相减得到向量c→，其坐标分别相减，即c→ = a→ - b→。

6. 向量的数量积：向量a→与向量b→的数量积，用a·b表示，满足a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a→和向量b→的模，θ为两个向量夹角的大小。

7. 向量的数量积的性质：具有交换律、结合律和分配律。

8. 向量的夹角：向量a→与向量b→的夹角可以通过向量的数量积来计算夹角的余弦值。

9. 向量的夹角的性质：两个向量夹角为0°，当且仅当它们是同一向量或其中一个向量是另一个向量的相反向量。

10. 向量的共线与垂直：两个向量共线，当且仅当它们的夹角为0°或180°；两个向量垂直，当且仅当它们的数量积为0。

11. 平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示，即向量a→可以表示为(a,b)。

12. 平面向量的数量积的坐标表示：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积为a1b1 + a2b2。

13. 向量的数量积与坐标表示的关系：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积等于它们的坐标相乘的和。

14. 平移向量：平面上的一点A沿着一条向量a→移动到另一点B，其位置关系可以用带箭头的线段→AB表示，这条线段就是向量a→。

15. 平面向量的模运算：给定向量a→(a1, a2)，有|a→| = √(a1^2 + a2^2)。

这些是数学必修四第二章平面向量的核心知识点。

高中数学人教版必修四第二章平面向量的线性运算

A、AD 1 AB 4 AC 33
C、AD 4 AB 1 AC 33
B、AD
1 3
AB
Байду номын сангаас
4 3
AC
D、AD 4 AB 1 AC 33
M A
B
C
D
N
AD AM AN 1 AB 4 AC 33
变式1：设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，则 OA OB OC OD 等于（）
自我检测：
4、在平行四边形 ABCD中，AB AD AB AD ，则必有（ C ）
A. AD 0 B. 四边形 ABCD是菱形 C. 四边形 ABCD是矩形 D. 四边形 ABCD是正方形
1、平面向量的线性运算及基本定理的应用
例1 （2015全国）设 D 为 ABC 所在平面内一点，
BC 3CD，则（）
BM _____53____ AB
MB 3
自我检测：
3、设 e1、e2 是两个不共线的向量，则下列各组
向量中，不能作为该平面内所有向量的一组基底的是___(_2_)__(4_)____.
(1)3e1,2e2
(2)0,e1 e2
(3)e1 e2 ,e1 e2 (4)e1 2e2,2e1 4e2
问题1：我们已经学习过向量的哪些运算？它们的运算结果是什么？
加法、减法、数乘三种运算线性运算的结果都是向量. 共线向量定理：
向量a(a 0) 与 b 共线，当且仅当存在唯
一实数，使__b_____a__.
平面向量基本定理：
设 e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于该平面内的任意向量 a ，有且只有

人教A版必修4第二章平面向量的概念以及线性运算(辅导教案 )

1个性化教学辅导教案课题必修4第二章平面向量的概念以及线性运算教学目标（1）平面向量的概念（2）平面向量的线性运算（3）共线定理的应用1、本章网络结构 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0(1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理 1．向量的数乘 (1)长度：|λa |＝|λ||a |.(2)方向当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0，其方向是任意的． 2．向量的数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μ a )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 4．若a 为非零向量，a 0为其单位向量，则有a ＝|a |·a 0或a 0＝a|a |.[必会结论]1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3．若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心．题型分类题型一平面向量的概念【例1】有下列几个命题：○1互为相反向量的两个向量模相等； ○2 若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 ○3 a ⃑∥b ⃑⃑，b ⃑⃑∥c ⃑ 则 a ⃑ ∥ c ⃑ ○4 a ⃑ = b ⃑⃑，b ⃑⃑ = c ⃑ 则 a ⃑ = c ⃑ ○5模相等的两个平行向量是相等向量 ○6若向量与是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；○7若||=||，则=或=﹣；○8共线向量一定在同一条直线上； ○9若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A ○10若a 与b 平行，则||||a b a b ⋅=⋅ ○11零向量没有方向,单位向量都相等其中正确结论个数是（）【变1-1】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；①若a与a0平行，则a＝|a|a0；①若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故①①也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.题型二平面向量的线性运算【例2】化简以下各式：【变2-1】化简【例3】【变3-1】若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则△ABC 的形状为题型三共线定理的应用知识点：三点共线常见的表现形式主要有两种：形式1：对于同一平面内不同三点 A ，B ，C ，如果AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟺ A ，B ，C 三点共线，其中 λ ϵ R ；形式2：已知 O ，A ，B ，C 为平面内不同的四点，且OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ （ x ，y ∈R ）且 x +y =1，⟺ A ，B ，C 三点共线【例4】设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ①AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ①BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ①AB →、BD →共线，又①它们有公共点B ， ①A 、B 、D 三点共线．(2)解 ①k a ＋b 和a ＋k b 共线，①存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .①(k －λ)a ＝(λk －1)b . ①a 、b 是两个不共线的非零向量， ①k －λ＝λk －1＝0，①k 2－1＝0.①k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．【变 4-1】已知两个不共线向量e 1⃑⃑⃑⃑，e 2⃑⃑⃑⃑，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=e 1⃑⃑⃑⃑+λe 2⃑⃑⃑⃑ , BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3e 1⃑⃑⃑⃑+4e 2⃑⃑⃑⃑ , CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 2e 1⃑⃑⃑⃑−4e 2⃑⃑⃑⃑，若A,B,D 三点共线，求 λ的值为 .【变4-2】设两个不共线向量e 1⃑⃑⃑⃑，e 2⃑⃑⃑⃑，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2e 1⃑⃑⃑⃑−8e 2⃑⃑⃑⃑ , CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=e 1⃑⃑⃑⃑+3e 2⃑⃑⃑⃑ , CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 2e 1⃑⃑⃑⃑−e 2⃑⃑⃑⃑(1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3e 1⃑⃑⃑⃑−ke 2⃑⃑⃑⃑ ，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．【例5】已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.【变5-1】（1）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则 λ = ___________ （2）在△ABC 中，已知M 是AB 边上一点，若OP⃑⃑⃑⃑⃑⃑//OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑,且OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑(x ≠0)，则 y x= . 【变5-2】已知：2121212CD ,B C),(3e e e e e e AB +=-=+=，则下列关系一定成立的是（） A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线【变5-3】在△ABC 中，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = a ⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = b ⃑⃑,.若点D 满足BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = __________(用a ⃑，b⃑⃑表示)【变5-4】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.专题三：向量在平面图形中的应用知识点：一、用基底表示向量(向量的分解)： 1、三角形法(多边形)法：比如：ABCD 为梯形，BC=2AD ，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，试用 a ⃑，b ⃑⃑ 表示 MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑， MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=14a ⃑− b⃑⃑2、比例法：主要是利用相似条件找到目标向量和与之共线的向量的模长比例关系；比如：已知平行四边形ABCD 中E 为AD 中点,CE,BD 相交于点F,设BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，试用 a ⃑，b⃑⃑ 表示 BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，因为无法直接得到BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的关系，所以我们寻找与BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线向量BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑。

高考数学复习第4章平面向量第1讲平面向量及其线性运算

向量－b 的和的减法
运算叫做 a 与 b
的差
三角形法则
运算律 a－b＝a＋(－b)
(续表) 向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝___|λ_|_|a_|__； (2)当λ>0 时,λa 的
数乘求实数λ与向量 a 的积的运算
方向与 a 的方向相同；当λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相
量的个数为( B )
A.1
B.2
C. B.
4.如图 4-1-1，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝ (D )
图 4-1-1
A.0
B.B→E
C.A→D
D.C→F
考点 1 平面向量的基本概念
例 1：(1)(多选)下列命题正确的有( ) A.若|a|＝|b|，则 a＝b B.若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件 C.若 a＝b，b＝c，则 a＝c D.若 a∥b，b∥c，则 a∥c
选 A.
答案：A
【规律方法】(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时, 不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量 a 与|aa|的关系： |aa|是与 a 同方向的单位向量.
λ(μa)＝___λ_μ_a___； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
反；当λ＝0 时,λa
＝____0____
3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ, 使得 b＝λa.

人教版高中数学高一-教案必修4第2章(第3课时)平面向量的线性运算(2)

课题：2.2.2向量的减法及其几何意义教学目的：⑴了解相反向量的概念；⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.教学难点：对向量减法定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）2．向量加法的交换律：a+b=b+a3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)二、讲解新课：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：1︒“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作-a2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量a+ (-a) =0如果a、b互为相反向量，则a= -b, b= -a, a+ b= 03︒向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a-b= a+ (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．用加法的逆运算定义向量的减法：若b+ x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b 3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量∵(a-b) + b= a+ (-b) + b= a+0= a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作OA= a, OB= b, 则BA= a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：1︒AB表示a-b强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a-b= a+ (-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一三、讲解范例：例1已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d解：在平面上取一点O，作OA= a, OB= b, OC= c, OD=d, 作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2平行四边形ABCD中，AB a=，AD b=，用a，b表示向量AC、DB 解：由平行四边形法则得：AC= a+ b,DB= AB AD-= a-b变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a, b互相垂直）变式三：a+b与a-b 可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）,3,,,ABCD AB a DA b OC cb c a OA===+-=如图平行四边形证明：例b c DA OC OC CB OBb c a OB AB OB BA OA+=+=+=∴+-=-=+=证明：四、课堂练习：五、小结向量减法的定义、作图法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

人教版高中数学必修4第二章平面向量《2.2平面向量的线性运算：2.2.1 向量加法运算及其几何意义》教学PPT

以 OA、OB 为邻边做 OACB ， a
连结OC，则 OC OA OB a b.Oa来自Aabb
平行四边形法则 B
C
四、例题
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）角求来船表实示际）航。行的速度的大小D 与方向（C 用与江水速度的夹
练习:化简
(1)AB BC AC
(2)AB BC CD AD
(3)AB BC CD DE AE
(4)AB BC CD DA 0 注: 1.首尾相接 2.以第一个向量的起点作为起点,
最后一个向量的终点作为终点
三、新课讲解 (二)向量加法的平行四边形法则
a ab ？
b
A
C
首尾相接
B
已知非零向量 a、b ,在平面内任取一点A，作AB = a,BC = b,
则向量AC叫做a与b的和，记作a + b,即
a + b = AB + BC = AC 这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。
反之,任何一个向量都可以拆成若干个首尾相接的向量的和
三、新课讲解 (一)向量加法的三角形法则
(2)解 :由图可知AB DC
C
D
y
AB // CD AB CD ABCD为平行四边形. AD BC 200米.
50
B Ao x
练习
2.把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l
上点P处，这些向量的终点构成的几何图形为直 ___线__l

人教版高中数学高一A版必修4 2.2平面向量的线性运算(第3课时)

预习导航1．向量的数乘提示：向量数乘与原向量是共线向量．思考2 向量数乘λa 的几何意义是什么？提示：(1)当|λ|>1时，有|λa |>|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长了|λ|倍．(2)当0<|λ|<1时，有|λa |<|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短了|λ|倍．思考3向量||a a 的大小与方向如何？提示：向量||a a 的大小为1，方向与a 的方向相同，所以该向量是向量a 方向上的单位向量．2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝(λμ)a ；(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.特别提醒向量的数乘运算、加减运算类似于多项式的运算，运算过程类似于多项式的“合并同类项”．3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.思考4共线向量定理中为何要限制a≠0?提示：共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立．并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在．特别提醒(1)如果非零向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0.(2)共线向量定理可以分为两个定理：判定定理：如果存在一个实数λ满足b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.4．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.。

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直线上或两直线平行 . 该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题 .
经典例题透析
类型一：向量的基本概念
例 1．判断下列各命题是否正确：
(1) 若，则；
(2) 若 A、 B、 C、 D是不共线的四点，则
是四边形为平行四边形的充要条件；
(3) 若
，则
(4) 两向量相等的充要条件是且 .
解.
举一反三：
【变式 1】如图，△ 中，点是的中点，点在边上，且
，与相交于点
，求
的值 .
【答案】解： ( 如图 ) 设
，则
和分别共线， ∴存在
使
故
，而
∴由基本定理得
，即
类型三：共线向量与三点共线问题
例 3．设两非零向量和不共线，
(1) 如果
求证三点共线 .
(2) 试确定实数，使和共线 .
3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平
行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系 .
知识点二：向量的加 ( 减 ) 法运算
1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则
2．运算律：①交换律：
；②结合律：
要点诠释：
1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注
实数运算区别开来 .
举一反三：
【变式 1】下列说法正确的个数是 ( )
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3
个
①向量
，则直线直线
②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；
③向量既是有向线段；
④在平行四边形
中，一定有
.
【答案】 C
类型二：向量的线性运算
例 2．如图所示，
的两条对角线相交于点，且
行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、
减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加
法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角
形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求
与向量共线的充要条件是
_______________.
7. 一条渔船距对岸 4km，以 2km/h 速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航
程为 8km，求河水的流速 . 8. 如图， D、 E 是△ ABC中 AB、 AC的中点， M、 N 分别是 DE、BC的中点，已知
，试
用分别表示
，则
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A. ｜2 ｜＞｜ -2 ｜
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B. ｜2 ｜＜｜ -2 ｜ C. ｜2 ｜＞｜ 2 - ｜ D. ｜ 2 ｜＜｜
2- ｜
综合探究答案与解析：
1.C 【思路分析】①②对 ③④错 .
2.A 【思路分析】在△ ABC中，已知 D 是 AB边上一点，若 =2 ，
共线存在使 ( 正用与逆
用)
举一反三：
【变式 1】设和是两个不共线的非零向量，若向量
，试证
明： A、C、D 三点共线 .
证明：
∴
又
∴
∴ 与共线，∴ A、
C、D 三点共线 .
类型四：综合应用
例 4．在中，分别为三边
上的动点，且在时，分别从 A， B， C出发，各以
一定的速度沿各边向 B，C，A 移动，当 t=1 时，分别到达 B，C，A，求证：在
. 则一定共线的三点是 ( )
A.A、B、D
B.A、 B、 C
C.B 、C、D
D.A、 C、 D
2. 已知
则
是 A、B、C 三点构成三角形的 ( )
A. 充分不必要条件条件 3. 已知向量
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D 既不充分也不必要
若与共线，则 ( )
A. 4. 若
B. 则
C.
D. 或
( 用表示 )
5. 已知在△ ABC中， D、E、 F 分别是 BC、 CA、AB的中点，求证： (1)
； (2)
；
(3)
.
6. 已知△ OAB中，点 C 是以 A 为中心的 B 的对称点， D是将分成 2：1 的一个内分点， DC
与 OA交于 E，设
.
(1) 用与表示
；(2) 若
，求实数的值 .
的长度相等且方向相同；又
的长度相等且方向相同，的长度相
等且方向相同 . 故 .
(4) 不正确，当但方向相反时，即使，也不能得到，故不是的充要条件 . 总结升华：我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向
相同，向量相等是可传递的 . 复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与
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3．共线向量基本定理：非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非
零实数，使 .
要点诠释：
是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量
关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一 .
三、规律方法指导
1. 向量的线性运算
(1) 在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和
B.k=1
C.k=2
D.k=
4. 已知正方形 ABCD边长为 1，
，则的模等于 ( )
A.0
B.3
C.
D.
5. 两个非零向量相等是两个向量相等的 ___________条件 .
6. 如图所示，已知一点 O到平行四边形 ABCD的三个顶点 A、 B、 C的向量为 =________. 7. 若非零向量、满足｜ - ｜ =｜｜，则 ( )
(3) 向量的有关概念
向量的模 : 向量的大小叫向量的模 ( 就是用来表示向量的有向线段的长度 ).
零向量 : 长度为零的向量叫零向量 .
单位向量 : 长度等于 1 个单位的向量 .
相等向量 : 长度相等且方向相同的向量 .
相反向量 : 长度相等且方向相反的向量 .
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思路点拨：相等向量即为长度相等且方向相同的向量 .
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解析： (1) 不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由
推不出 .
(2) 正确，
且 . 又 A、 B、 C、D是不共线的四点，四边形
是平行四边
形，则
且与方向相同 . 因此
.
(3) 正确，
举一反三：
【变式 1】如图，已知点
求证：
.
分别是三边
的中点，
【答案】
证明：连结
. 因为分别是三边的中点，所以四边形
为
平行四边形 .
由向量加法的平行四边形法则，得
(1) ，
同理在平行四边形中，
(2) ，在平行四边形
(3) 将 (1)(2)(3) 相加，得
在中，
.
基础达标： 1. 下面的几个命题：
用表示
思路点拨：利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向
量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成
.
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解析：在
中
总结升华：用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减
法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平
不共线，必有
故
7. 解：
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【思路分析】如图，设
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表示船垂直于对岸的速度，
表示水流的
速度，
则由
，就是渔船实际航行的速度，航行的时间为
在中，
，
8. 【思路分析】向量的加、减法法则
解：由三角形中位线定理知： DE//BC 且 DE=BC
故能力提升： 1. 已知向量，且
.
基础达标答案与解析： 1.B 【思路分析】向量的概念 .
2.B 【思路分析】
，故选 B.
3.D 【思路分析】∵
，由三角形中位线定理
，故选 D.
4.B 【思路分析】向量的加、减法法则 .
5.
【思路分析】设
， M、 N为 DC、 BC中点，，，
在△ ABN中△ ADM中
①
② 解①②：
.
6. 【思路分析】由
意向量的起点与终点 .
2．
. 探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题 .
知识点三：数乘向量
1 ．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
(1)
；
(2) ①当时，的方向与的方向相同；②当时. 的方向与的方向相反；
③当时， .
2．运算律：设为实数
结合律：
；分配律：
，
能力提升答案与解析：
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1.A 【思路分析】 2.B 3.D【思路分析】非零向量
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A、B、D三点共线 .
与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数
= ；与任一向量共线 .
4. 【思路分析】
，整理得
.
5.(1) (3)
(2) 两式相加得：
略同理，
，使
6. 解(1) ∵A 是 BC中点， ∴2
形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；