高等数学知识在物理学中的应用举例word
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《高等数学》知识在物理学中的应用举例
一 导数与微分的应用
分析利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。
例1如图，曲柄 以均匀角速度 饶定点 转动.此曲柄借连杆 使滑块 沿直线 运动.求连杆上 点的轨道方程及速度.设
解:由题设及加速度的微分形式 ,有
对等式两边同时积分
得:
其中 为常数.
由初始条件: 得 于是
又因为 得
对等式两边同时积分,可得:
例3宽度为 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为 一小船以相对速度 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。
解以一岸边为 轴，垂直岸的方向为 轴，如图建立坐标系。
取以轴线为圆心的半径为 的同心圆环为积分环路，由安培环路定理 ，有
, (1)
(2)
由(1)=(2)，所以有
在剖面上取面积微元 ，有
所以单位长 的导线内通过剖面的磁通量为
例12在半径为 的金属球之外包有一层均匀介质层，外半径为 设电介质的相对电容率为 金属球的电荷量为 求：
1)介质层内、外的场强分布；
(3)
由(1)-(3)得
例7一个塑料圆盘，半径为 电荷 均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为 ，求圆盘中心处的磁感应强度。
解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半径的圆形电流。圆盘每秒转动次数为
，圆盘表面上所带的电荷面密度为 ，在圆盘上取一半径为 ，宽度为 的细圆环，它所带的电量为 ，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为
解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为：
上升： 。 。
下降：
上升时 下降时
对上升的阶段： ，即
于是 . 两边积分 ，
得质点到达的高度
. (1)
对下降的阶段： 即得 ,得
. (2)
由(1)=(2) 得
二 积分的应用
分析利用积分的概念与运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。
，
它在轴线上距盘心 处的 点所产生的磁感应强度为
故 点处的总磁感应强度为
变换积分
所以
，
的方向与 方向相同( )或( .
于是在圆盘中心 处，磁感应强度
例8雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。
解：设雨滴的本体为 由物理学知
(1)
1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为 则雨滴质量 是与半径 的三次方成正比，密度看成是不变的，于是
例5一半径为 的非均质圆球，在距中心 处的密度为：
式中 和 都是常数。试求此圆球饶直径转动时的回转半径。
解：设 表示距球心为 的一薄球壳的质量，则
，
所以此球对球心的转动惯量为
(1)
在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为
，(2)
又因球的质量为
(3)
又饶直径的回转半径
(4)
由(1)-(4)，得
例6试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为 ，式中 为对角线的长度。
解1)如图，点 的坐标为：
，(1)
(2) 由三角形的正弦定理，有B
故得
(3)
由(1)得
(4)
由 得
化简整理,得 点的轨道方程为:
2)要求 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得
其中
又因为 对该式两边分别求导,得
所以 点的速度
例2若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为 式中 及 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始 秒后升降机的速度及其所走过的路程.
所以水流速度为
由河流中心处水流速度为 ，故 ，所以 .
当 时， ，即
(1)
得 .
两边积分，有
, (2)
由(1)-(2)，得
. (3)
同理，当 时， ，即
，
，(4)
其中 为一常数。由(3)知，当 时， ，代入(4)，得 ，于是 .
所以船的轨迹为
船在对岸的靠拢地点，即 时有
例4将质量为 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即 如上掷时的速度为 ，试证此质点又落至投掷点时的速度为
例9设力 其中
验证 为保守力，并求出其势能。
解：为验证 是否为保守力，将题设中力 的表达式代入 ，得
于是 是保守力。故其势能为
例10一个半径为 的球体内，分布着电荷体密度 式中 是径向距离， 是常量。求空间的场强分布，并求 与 的关系。
解：(1)由于在球体内电荷是球对称分布的，故产生的电场也是球对称分布的，因此可用高斯定理求解。取与球面同心的球面作为高斯面。
解：建立坐标系，设 为立方体的中心，轴 分别与立方体的边平行。由对称性知， 轴即立方体中心惯量的主轴。设立方体的边长为
由以上所设，平行于 轴的一小方条的体积为 ，于是立方体饶 的转动惯量为
根据对称性得：
易知立方体的对角线与 轴的夹角都为 且 故立方体饶对角线的转动惯量为
(1)
又由于
, (2)
饶其对角线转动时的回转半径为
1) 当 时， , 而
， (1)
(2)
由(1)=(2)，得 方向为径向方向。
2) 当 时，由高斯定理 , 有
, (3)
(4)
由(3)=(4)，得 方向沿径向方向。
例11一根很长的铜导线，载有电流10 ，在导线内部通过中心线作一平面 试计算通过导线 长的 平面内的磁感应通量。
解：由电流分布具有轴对称性可知，其产生的磁场也具有轴对称性，以下用安培环路定理求解。
， (2)
其中 为常数。
2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即
(3)
其中 为常数。由(2)，得
(4)
由(3)=(4)，得
(5)
对(5)两边积分：百度文库得
(6)
将(6)代入(2)，得
(7)
3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式
(8)
（ 为常数）
当 时， ，故
三 曲线、曲面积分的应用
分析曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用非常广泛，灵活应用曲线、曲面积分，往往能使问题得到简化。在求磁感应强度、磁通量这类问题时，高斯公式往往是有效的。
一 导数与微分的应用
分析利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。
例1如图，曲柄 以均匀角速度 饶定点 转动.此曲柄借连杆 使滑块 沿直线 运动.求连杆上 点的轨道方程及速度.设
解:由题设及加速度的微分形式 ,有
对等式两边同时积分
得:
其中 为常数.
由初始条件: 得 于是
又因为 得
对等式两边同时积分,可得:
例3宽度为 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为 一小船以相对速度 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。
解以一岸边为 轴，垂直岸的方向为 轴，如图建立坐标系。
取以轴线为圆心的半径为 的同心圆环为积分环路，由安培环路定理 ，有
, (1)
(2)
由(1)=(2)，所以有
在剖面上取面积微元 ，有
所以单位长 的导线内通过剖面的磁通量为
例12在半径为 的金属球之外包有一层均匀介质层，外半径为 设电介质的相对电容率为 金属球的电荷量为 求：
1)介质层内、外的场强分布；
(3)
由(1)-(3)得
例7一个塑料圆盘，半径为 电荷 均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为 ，求圆盘中心处的磁感应强度。
解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半径的圆形电流。圆盘每秒转动次数为
，圆盘表面上所带的电荷面密度为 ，在圆盘上取一半径为 ，宽度为 的细圆环，它所带的电量为 ，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为
解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为：
上升： 。 。
下降：
上升时 下降时
对上升的阶段： ，即
于是 . 两边积分 ，
得质点到达的高度
. (1)
对下降的阶段： 即得 ,得
. (2)
由(1)=(2) 得
二 积分的应用
分析利用积分的概念与运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。
，
它在轴线上距盘心 处的 点所产生的磁感应强度为
故 点处的总磁感应强度为
变换积分
所以
，
的方向与 方向相同( )或( .
于是在圆盘中心 处，磁感应强度
例8雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。
解：设雨滴的本体为 由物理学知
(1)
1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为 则雨滴质量 是与半径 的三次方成正比，密度看成是不变的，于是
例5一半径为 的非均质圆球，在距中心 处的密度为：
式中 和 都是常数。试求此圆球饶直径转动时的回转半径。
解：设 表示距球心为 的一薄球壳的质量，则
，
所以此球对球心的转动惯量为
(1)
在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为
，(2)
又因球的质量为
(3)
又饶直径的回转半径
(4)
由(1)-(4)，得
例6试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为 ，式中 为对角线的长度。
解1)如图，点 的坐标为：
，(1)
(2) 由三角形的正弦定理，有B
故得
(3)
由(1)得
(4)
由 得
化简整理,得 点的轨道方程为:
2)要求 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得
其中
又因为 对该式两边分别求导,得
所以 点的速度
例2若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为 式中 及 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始 秒后升降机的速度及其所走过的路程.
所以水流速度为
由河流中心处水流速度为 ，故 ，所以 .
当 时， ，即
(1)
得 .
两边积分，有
, (2)
由(1)-(2)，得
. (3)
同理，当 时， ，即
，
，(4)
其中 为一常数。由(3)知，当 时， ，代入(4)，得 ，于是 .
所以船的轨迹为
船在对岸的靠拢地点，即 时有
例4将质量为 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即 如上掷时的速度为 ，试证此质点又落至投掷点时的速度为
例9设力 其中
验证 为保守力，并求出其势能。
解：为验证 是否为保守力，将题设中力 的表达式代入 ，得
于是 是保守力。故其势能为
例10一个半径为 的球体内，分布着电荷体密度 式中 是径向距离， 是常量。求空间的场强分布，并求 与 的关系。
解：(1)由于在球体内电荷是球对称分布的，故产生的电场也是球对称分布的，因此可用高斯定理求解。取与球面同心的球面作为高斯面。
解：建立坐标系，设 为立方体的中心，轴 分别与立方体的边平行。由对称性知， 轴即立方体中心惯量的主轴。设立方体的边长为
由以上所设，平行于 轴的一小方条的体积为 ，于是立方体饶 的转动惯量为
根据对称性得：
易知立方体的对角线与 轴的夹角都为 且 故立方体饶对角线的转动惯量为
(1)
又由于
, (2)
饶其对角线转动时的回转半径为
1) 当 时， , 而
， (1)
(2)
由(1)=(2)，得 方向为径向方向。
2) 当 时，由高斯定理 , 有
, (3)
(4)
由(3)=(4)，得 方向沿径向方向。
例11一根很长的铜导线，载有电流10 ，在导线内部通过中心线作一平面 试计算通过导线 长的 平面内的磁感应通量。
解：由电流分布具有轴对称性可知，其产生的磁场也具有轴对称性，以下用安培环路定理求解。
， (2)
其中 为常数。
2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即
(3)
其中 为常数。由(2)，得
(4)
由(3)=(4)，得
(5)
对(5)两边积分：百度文库得
(6)
将(6)代入(2)，得
(7)
3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式
(8)
（ 为常数）
当 时， ，故
三 曲线、曲面积分的应用
分析曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用非常广泛，灵活应用曲线、曲面积分，往往能使问题得到简化。在求磁感应强度、磁通量这类问题时，高斯公式往往是有效的。