两个著名贝尔不等式的等价性

ຫໍສະໝຸດ Baidu34
SCIENTIST
2016年第15期
图1
下面想要说明的是他们在无信号超光速传递（Nosignaling）的条件下是等价的。 无信号传递是指在贝尔 游戏中一端的输入不应该直接影响到另一端的输出 ， 反 之， 相隔很远的 Alice 和 Bob 则可以通过自己输出的不 同直接判断对方的输出是什么 ， 从而达到超光速传递信 息的功效 ， 而我们生活的世界便满足这一条件 ， 即无法 超光速传递信息 ， 量子力学所描述的问题也都在这一范 畴内。 首先把 CHSH 拆成分项 ： ∑ a，b，x，y(−1)a ⊕ b+xyp(a，b|x，y) = p(o， o|α1，β1) − p(e， o|α1，β1) − p(o， e|α1，β1) + p(e，e|α1，β1) +p(o， o|α2，β1) − p(e， o|α2，β1) − p(o， e|α2，β1) + p(e，e|α2，β1) +p(o， o|α1，β2) − p(e， o|α1，β2) − p(o， e|α1，β2) + p(e，e|α1，β2) −p(o， o|α2， β2) + p(e， o|α2， β2) + p(o， e|α2，β2) − p(e，e|α2，β2) ≤ 2 因为有 ： p(o，o|α，β) + p(e，o|α，β) + p(o，e|α， β) + p(e，e|α，β) = 1 所以 ： p(e， e|α， β) = 1 − p(o， o|α， β) − p(e， o|α，β) − p(o，e|α，β) 用 1 − p(o， o|α， β) − p(e， o|α，β) − p(o， e|α， β) 替换分项式中所有的 p(e， e|α， β) 项化简得 ：∑ a，b，x，y(−1)a ⊕ b+xyp(a，b|x，y) = 1 − 2p(e， o|α1， β1) − 2p(o， e|α1，β1) +1 − 2p(e， o|α2， β1) − 2p(o， e|α2， β1) +1 − 2p(e， o|α1， β2) − 2p(o， e|α1， β2) −1 + 2p(e， o|α2，β2) + 2p(o，e|α2，β2) 2 + 2[−p(e，o|α1，β1) − p(o，e|α1，β1) − p(e， o|α2， β1) −p(o， e|α2，β1) − p(e， o|α1， β2) − p(o，e|α1，β2) +p(e，o|α2，β2) + p(o，e|α2，β2)] ≤ 2 所以有 ： p(e， o|α1， β1) + p(o， e|α1， β1) + p(e， o|α2，β1) + p(o， e|α2，β1) +p(e， o|α1，β2) + p(o，e|α1，β2) − p(e，o|α2，β2) − p(o，e|α2， β2) ≥ 0--由于 CH 中输出项全部为 o， 则尽可能能消去 CHSH 中输出有 e 的项 ， 又因为 ： pA(o|α) = p(o， o|α， β) + p(o， e|α， β)
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两个著名贝尔不等式的等价性
孙浩瑜 西安高新第一中学 ， 陕西西安 710000
摘 要 量子力学因其反直觉的特点从诞生起就争议不断 ， 其中有爱因斯坦和波尔的著名争论。贝尔不等式的实 验证明了爱因斯坦局域隐变量假设的错误 ， 从而验证了量子纠缠这一非局域性的存在。而 CHSH 不等式和 CH 不等式 是其中两个非常著名的贝尔不等式 ， 本文将分析它们在无信号传递条件下的等价性特点。 关键词 量子力学 ； 贝尔不等式 ； 无信号传递 中图分类号 O4 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2016）15-0034-02
1900 年 ，普朗克提出量子概念 [1]，标志量子力学 正式提出。然而 ， 这个理论的创立与完善并非像牛顿经 典力学、麦克斯韦电磁理论以及爱因斯坦的相对论那么 顺风顺水 ， 自此理论建立至今 ， 质疑与反对者层出不穷 ， 他们的质疑与批判曾给量子力学的建立者们带来极大的 困难 ， 但也正是这些质疑与批判 ， 使量子力学在不断地 克服困难中得到完善修正 ， 从而使其变得比其他理论更 加强大和使人信服。 爱因斯坦坚信“上帝不掷骰子”[2]， 爱因斯坦同波 多尔斯基（Boris Podolsky）和罗森（Nathan Rosen） 共同在《物理评论》 （Physics Review）上发表了一篇 题为《量子力学对物理实在的描述可能是完备的吗》[3] 的论文 ， 从而提出著名的 EPR 佯谬。显然 ， 在爱因斯坦 看来 ， 量子力学对物理问题的描述实在是不完备的。为 了解决这一问题 ， 德布罗意、玻姆等人提出了一个叫做 局域隐变量的假说。这个假说是指在一个局域有限空间 内， 应当存在一个能描述一切但又尚未被人所发现的完 备理论 ， 能够解释量子理论对 EPR 佯谬的不完备描述。 简单地说 ， 就是对于我们观察者来说 ， 两个粒子的行为 看似随机 ， 实则受控于一个隐藏力量 ， 它在暗中作用于 粒子 ， 使其按早已确定好的行为发展 ， 再以看似随机的 样子出现在观察者面前。就好比赌博 ， 赌徒们看似觉得 赌局是公平随机的 ， 实则赌局早已被庄家操纵好 ， 只是 赌徒们不知道而已 ， 其中的庄家就是这里所说的局域隐 变量。 贝尔本是爱因斯坦确定论的忠实追随者 ， 其创造 贝尔不等式的目的本是出于拥护爱因斯坦的目的 ， 但令 他始料未及的是 ，1982 年巴黎奥赛光学研究所得到的 结果与量子论完全符合 ， 爱因斯坦的定域实在性以及确 定论错了 ， 此次实验和以后的大量实验都证明了现实的 非定域性并且否定了局域隐变量的假说 [4-5]。 贝尔不等式所说的并不是一个不等式 ， 而是一组。 这一组贝尔不等式形式不一 ， 但其在大体上的表意都差 不多 ， 尽管各自有微小的差别 ， 比如说在成立条件的差 别， 对于只有两个系统 ， 每个系统只有两个输入 ， 两个 输出的最一般形式的贝尔不等式为 ：
作者简介：孙浩瑜，西安高新第一中学，研究方向为物理学。
J = ∑ a，b，x，yCa，b，x，yp(a，b|x，y)， 其中 Ca，b，x，y 是一个关于输入 x，y 和输出 a，b 的 函数 ， 函数的不同会有不同的贝尔不等式。 最简单的两系统的贝尔不等式协议可以描述如下 ： 两位游戏者 Alice 和 Bob 各有一个黑盒子分开在两地 ， 他们分别随机地对黑盒子进行输入 x，y， 黑盒子因此各 产生了一个比特的输出 ， 分别为 a，b， 游戏中禁止通讯。 根据 J 的表达式计算出实验中的结果。有趣的是即使有 人提前控制了 Alice 和 Bob 手中的盒子 ， 提前预设好了 各种结果 ，即通过局域隐变量的方法 ，贝尔不等式的 值始终无法超过经典的界限 JC，J ≤ JC。而当 Alice 和 Bob 使用量子的方法进行测量 ， 比如 Alice 和 Bob 共享 了一对纠缠对 ， 根据自己的随机输入对自己部分的系统 进行不同基的测量 ， 测量结果决定了输出 ， 这时是可以 产生超过经典界限的值 ， 也就是贝尔不等式会产生违背 J ＞ JC[6]。 在这一组贝尔不等式中 ， 有两个不等时较为著名 ， 分别是 CHSH 不等式和 CH 不等式。它们的表述形式如下 ： CHSH ： S = ∑ a，b，x，y(−1)a ⊕ b+xyp(a，b|x，y) − 2 CH ： S = pA(o|α1) + pB(o|β1) − p(o， o|α1， β1) − p(o，o|α2，β1) − p(o，o|α1，β2) + p(o， o|α2，β2) 正如我们刚才所说 ， 这两个不等式形式有所差别。 在 CHSH 中 ： a，b 分别指 Alice 和 Bob 的输出值 ，x，y 分别指 Alice 和 Bob 的输入值 ； a ⊕ b 指 (a+b)/2 的余数 ； p(a，b|x，y) 指在输入 x，y 的情况下输出 a，b 的条 件概率。 在 CH 中 ： p(o，o|α1，β1) 即 为 p(o，o|x，y)， 只看某种特定输出时的概率 ； pA(o|α1) 为 Alice 单方 输入 α1 的情况下 ， 单方面输出 o 的条件概率 ， 它包 含两种情况 ， 因此 pA(o|α) = p(o，o|α，β) + p(o，e|α，β)。 Bob 同理 ， 因此有 pB(o|β) = p(o， o|α， β) + p(e， o|α，β)。 这样便得到了如下简图 ：