两个著名贝尔不等式的等价性
世界数学史上的十个著名不等式
数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。
一元二次函数 、 方程和不等式(公式、定理、结论图表)-【口袋书】高考数学必背知识手册(新教材)
第二章一元二次函数、方程和不等式（公式、定理、结论图表）1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．4．等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .5．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n＞0(n∈N，n≥2)．6．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．7.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S24.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．8．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．9．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．10．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．11．三个“二次”的关系|b提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则>0，＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 12．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式ax思考1：x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．13．(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c若ax 2＋bx ＋c ≤k 恒成立⇔y max ≤k 若ax 2＋bx ＋c ≥k 恒成立⇔y min ≥k14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．<解题方法与技巧>1．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.典例1：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.典例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以1(a－c)2(b－d)2，得1(a－c)2＜1(b－d)2.又e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.3.对基本不等式的理解2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正典例3：给出下面四个推导过程：①∵a、b为正实数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－ 2.其中正确的推导为()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[解]①∵a、b为正实数，∴ba、ab为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的．③由xy＜0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]4.利用基本不等式比较大小1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.典例4：(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2ab B.ba＋a b ≥2C.a2＋b2ab ≥2ab D.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[解](1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋.]5.利用基本不等式证明不等式1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．典例5：已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c>9.[思路点拨]看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.6.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；典例6：(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12(1－2x )的最大值．[思路点拨](1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解](1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－－4x 3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×＝14×14＝116∴当且仅当2x ＝1－2x x ＝14时，y max ＝116.7.利用基本不等式求条件最值1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．f (x )＝ax (b －ax )型．典例7：已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1.求x ＋2y 的最小值．[解]∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2yx ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx＝18，＋1y＝1，＝16yx ，＝12，＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.8.利用基本不等式解决实际问题1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．时，可用函数的单调性求解典例8：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．x ＋3y ＝18，x ＝3y ，＝4.5，＝3.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．9.不等式恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)转化法求参数范围已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，则(1)y≥k恒成立⇒y min≥k即m≥k；(2)y≤k恒成立⇒y max≤k即n≤k.典例9：已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.。
量子力学贝尔不等式
量子力学贝尔不等式量子力学贝尔不等式是描述量子力学的非局域性的一个重要工具。
它是由爱尔兰物理学家约翰·斯图尔特·贝尔在1964年提出的，也因此得名为“贝尔不等式”。
在量子力学中，一对粒子可以处于纠缠状态，即它们之间存在一种神秘的联系，无论它们之间有多远的距离，它们的状态总是相互关联的。
这种关联被称为“量子纠缠”，并且已经被实验证实。
然而，这种非局域性与经典物理学中的局域性原则似乎是相矛盾的。
经典物理学认为任何两个物体之间都必须通过某种介质进行相互作用，而这个介质传递信息速度有限，因此两个物体之间只能存在局域性联系。
为了解决这一矛盾，贝尔提出了一个实验方案，并推导出了一个数学公式来描述量子力学中非局域性的特征。
这个公式就是著名的“贝尔不等式”。
贝尔不等式基于一组假设：首先假设存在两个粒子A和B，在某个时刻同时发射出来，然后分别飞向两个测量器X和Y；其次假设这两个粒子之间存在纠缠关系，即它们的状态总是相互关联的。
最后，假设我们可以通过测量器X和Y来确定粒子A和B的状态。
根据这些假设，贝尔不等式可以写成以下形式：S <= 2其中S是一个数值，表示在一系列实验中观测到A和B之间的相关性。
如果S小于2，则说明A和B之间存在非局域性联系，即它们之间存在纠缠关系。
而如果S大于2，则说明A和B之间不存在非局域性联系，即它们之间不存在纠缠关系。
实验结果表明，在量子力学中，贝尔不等式成立的概率小于2。
这意味着量子力学中存在非局域性联系，即两个粒子之间可以通过超越空间距离的方式相互作用。
贝尔不等式对理解量子力学中的非局域性具有重要意义。
它揭示了经典物理学与量子力学之间的差异，并为我们提供了一种测试量子力学是否正确的方法。
此外，贝尔不等式还启发了科学家们探索更深入的量子现象，并为未来的量子技术发展提供了重要的理论基础。
总之，量子力学贝尔不等式是描述量子力学中非局域性的一个重要工具。
它揭示了经典物理学与量子力学之间的差异，并为我们提供了一种测试量子力学是否正确的方法。
贝尔不等式
苏晓强
• 哥本哈根：量子力学是完备的；但可能是 非定域的 • EPR：量子力学是不完备的，概率性来源 于我们对系统的了解有限，有一些尚未被 发现的所谓“隐变量”决定了测量结果
• 1964年，Bell得到一个不等式来定量化的描 述这种分歧 • 贝尔分析了EPR模型的玻姆简化版，发现 如果一个理论基于如下两点假设：
Aa, 1
Bb, 1
隐变量
• 两个测量之间的关联
Aa, Bb,
• 定义关联函数：P(a,b)表示沿(a,b)两方向测量结果 的关联函数
Pa, b ( )A(a, ) B(b, )d
其中，ρ(λ)为隐变量分布函数，满足：
• 根据反关联性： B(b, ) A(b, )
• 且满足：
A2 (b, ) 1
则，上式右边科写成：
d ( ) A(a, ) B(b, ) A(a, ) B(c, ) d ( ) A(a, ) A(b, ) A(a, ) A(b, ) A(b, ) B (c, ) d ( ) A(a, ) A(b, ) 1 A(b, ) B (c, )
• 注意： A(b, ) B(c, ) 1
A(a, ) A(b, ) 1
d ( ) A(a, ) A(b, ) 1 A(b, ) B(c, ) d ( )1 A(b, ) B(c, ) 1 P(b, c)
b B
b b AB
b A
B
b
b b AB
B A a A
b
科学中最深刻的发现—贝尔不等式,一个决定上帝是否掷骰子的公式
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式展开全文上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学根本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的根本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。
隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。
或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。
然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。
直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。
贝尔不等式 知乎
1什么是贝叶斯不等式
贝叶斯不等式（Bayes's Inequality）是来自十八世纪英国数学家贝叶斯提出的数学不等式，它可以给予概率变量之间的不确定性最大、最小值上限，研究了概率空间中概率变量之间的联系。
2贝叶斯不等式的公式推导：
令$X$和$Y$是离散型离散变量，其关系可写为：
$$P(X<Y)=\sum_{x<y}P(X=x,Y=y)$$
又由马尔可夫的独立性，有：
$$\sum_{y}P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$$
再使用贝叶斯定理可求出，
$$P(X=x)=\sum_y P(X=x,Y=y)$$
上式代入$P(X<Y)$可得，
$$P(X<Y)=\sum_x\sum_y P(X=x,Y=y)$$
也就是贝叶斯不等式，
$$P(X<Y)\ge P(X)P(Y)$$
可推出最大上限，
$$P(X<Y)\le1+P(X)P(Y)$$
当两个变量完全独立时：$P(X)P(Y)=P(X)P(Y)=P(X,Y)$，那么贝叶斯不等式有：
$$P(X<Y)\ge P(X,Y)$$
3贝叶斯不等式的应用
贝叶斯不等式有着广泛的应用，它在算法学习中，起着重要的作用，对机器学习起到一个前提的作用。
应用到回归和分类学习中，用于计算目标变量和特征变量间的关系，用来判断某个属性是否为有效特征，也可用于特征选择中。
尤其是在病理学中，可以基于它进行疾病检测，只要把判断概率和贝叶斯不等式相结合，就可以把症状做出一定的判断来帮助诊断和医治。
它在贝叶斯预测中也有重要的作用，它能够给出预先未知信息的最大可能性，在很多理论和实际研究中有着丰富的应用。
赫尔德不等式的证明及其等价形式
赫尔德不等式的证明及其等价形式
赫尔德不等式是一个数学不等式，由德国数学家腓特烈·赫尔德于1971年提出，其上界是玎捷式不等式。
它描述了有限块上被定义的双变量实值函数f(x,y)的关系，是当特定双变量函数有一个立体极值点时的一种约束条件。
简单说，赫尔德不等式限制了函数的极值点的横向运动，阻止了极值点发生弹跳。
f(x, y)的偏导数之和大于或等于0
即，
∂f/∂x + ∂f/∂y ≥ 0
在求导时，可用分部定义将函数分为两部分。
假设函数f(x, y)在(x, y)处可被分成两部分，f*(x, y)和f*(x, y)：
f*(x, y) = f(x, y) + g(x, y)
此时，可将赫尔德不等式分成两部分：
两个式子的加和就是原有赫尔德不等式：
另一个等价的形式是：给定f(x,y ) ，设g (x ,y ) 为任意表面，且满足
则：
即满足f (x ,y ) ≤ g (x ,y ) 的表面时，赫尔德不等式中求出的偏导不小于表面g (x ,y ) 求出的偏导数乘积之和。
这就是赫尔德不等式等价形式。
赫尔德不等式有许多用途，比如在最优值问题中，判断一个约束函数的极值点的有效性；在拟合计算机中，用于检测算法是否满足约束条件；在最优控制中，用于约束毫无约束问题的状态变量；在信号处理中，用于检测过零点的有效性，等等。
赫尔德不等式是一个重要的技术性不等式，可以应用于许多不同的场合，是计算机科学的重要组成部分，可以用来解决极值问题，提高拟合准确性，做出控制决策，检测过零点效果等。
量子力学贝尔不等式
量子力学贝尔不等式量子力学贝尔不等式，是由物理学家约翰·贝尔在1964年提出的一个重要概念。
它揭示了量子力学中的一些非经典现象，引发了对于量子力学本质的深入讨论和研究。
贝尔不等式的提出，使得我们对于自然界的理解产生了深刻的影响。
在传统的经典物理学中，物体的性质是确定的，即物体的状态在任何时刻都是唯一确定的。
然而，在量子力学中，物体的状态并不是唯一确定的，而是存在着一种概率性。
这种概率性表现在量子力学的叠加原理中，即一个粒子可以同时处于多个状态之间。
这种现象挑战了我们对于世界的直观认识，引发了许多哲学和科学上的争议。
贝尔不等式是一个用来检验量子力学中非经典性的工具。
它通过一系列的实验来验证量子力学中的超越经典物理学的特性。
在这些实验中，贝尔不等式被用来检验量子纠缠现象。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关系，即使它们被分开，它们的状态仍然是相关的。
这种现象在经典物理学中是无法解释的，只有通过量子力学才能够得到合理的解释。
贝尔不等式的提出，揭示了量子纠缠现象的非经典性质。
在经典物理学中，贝尔不等式的取值是有一个上限的，而在量子力学中，这个上限被打破了。
这意味着量子力学中存在着一种超越经典物理学的特性，即量子纠缠现象是真实存在的，而不仅仅是一种数学上的抽象。
通过实验验证贝尔不等式，科学家们得以证实量子力学中的非经典性质。
这一结果对于我们理解自然界的本质产生了深远的影响。
量子力学的提出，揭示了世界的本质是复杂而深奥的，远远超出了我们的直觉和经验所能够理解的范围。
贝尔不等式的提出，不仅仅是对于量子力学的一个检验，更重要的是它引发了对于世界的本质进行重新思考的问题。
通过研究量子纠缠现象，我们或许能够更深入地理解自然界的奥秘，揭示其背后的规律和原理。
量子力学的发展，将为我们带来更多的惊喜和启发，促使我们不断深入探索自然界的奥秘。
在未来的研究中，我们将继续关注贝尔不等式及其在量子力学中的应用。
贝塞尔不等式等号成立的充要条件
贝塞尔不等式是概率论和数理统计中的基本定理，它在概率分布函数和数学期望的估计中起到了重要作用。
贝塞尔不等式的等号成立条件，一直以来都是学术界关注的焦点之一。
本文将从推导贝塞尔不等式的基本原理出发，逐步介绍贝塞尔不等式的等号成立条件，帮助读者更好地理解这一重要的数学定理。
一、贝塞尔不等式的基本原理在讨论贝塞尔不等式的等号成立条件之前，我们先来回顾一下贝塞尔不等式的基本原理。
贝塞尔不等式是由德国数学家贝塞尔（F.E.Bessel）于1820年提出的，它的数学形式如下所示：若{an}为任意一组正数序列，且级数∑（an^2）收敛，则对于任意给定的正整数n，级数∑（an^2）的部分和Sn与级数∑（an）的部分和Tn之间成立不等式关系：∑（an^2）≥Tn^2 / n其中Tn=∑（an）二、贝塞尔不等式的等号成立条件贝塞尔不等式的等号成立条件一直以来都备受关注，这是因为等号成立条件的研究对于深入理解贝塞尔不等式的性质和应用具有重要意义。
经过长期研究，学者们总结出了以下关于贝塞尔不等式等号成立条件的结论：1. 等号成立条件的充分性对于任意一组正数序列{an}，若级数∑（an^2）收敛且对于任意给定的正整数n，级数Sn的部分和与级数∑（an）的部分和Tn满足关系式∑（an^2）=Tn^2 / n，则称贝塞尔不等式的等号成立条件在该序列下成立。
2. 等号成立条件的必要性若贝塞尔不等式的等号成立，即∑（an^2）=Tn^2 / n，则该序列{an}必须满足以下条件：级数∑（an^2）收敛；对于任意给定的正整数n，级数Sn的部分和与级数∑（an）的部分和Tn满足关系式∑（an^2）=Tn^2 / n。
三、贝塞尔不等式等号成立条件的应用贝塞尔不等式等号成立条件在概率论、数理统计和信号处理等领域有着重要的应用价值。
在概率论中，通过研究随机变量的平方可积性和级数收敛性，可以利用贝塞尔不等式等号成立条件来推导出布劳恩-塔格伦不等式等其他重要的数学定理；在数理统计中，贝塞尔不等式等号成立条件的研究对于最小均方误差估计和参数极大似然估计具有重要意义；在信号处理中，贝塞尔不等式等号成立条件的应用可帮助人们更准确地估计信号的能量和功率。
贝尔不等式的通俗解释
贝尔不等式的通俗解释
诺贝尔不等式的通俗解释
诺贝尔不等式是数学的一个重要的分支，它的发现具有重要的历史意义。
它是
由德国数学家卡尔·诺贝尔提出的。
该不等式描述了给定的变量之间的关系，它揭示出这样的结果，即不同的变量可以相互关联，并在给定条件下限制变量的取值范围。
它被广泛用于推导和证明各种数学结果，从而为更复杂的数学推导提供参考和依据。
通俗来说，诺贝尔不等式可以被理解为一个“保护起角”的方法，用来确保变
量之间满足一系列可控关系，而不让变量走向极端，从而避免出现不利结果。
比如，一般求和不等式可以表述为限定变量的总和在给定范围内，从而避免数值的溢出及限制计算结果的波动性，进而得到准确的计算结果。
因此，诺贝尔不等式是防止变量间相互随意不受制约，控制变量取值范围，保
持一定关系规律，使得不同变量可以满足一定的数学原理，并达到准确计算的结果的一种方法。
它是数学中运算定理的重要补充，有利于帮助广大的科学家和数学家进行更加准确的推导，进而发现新的奥秘。
贝尔不等式公式
贝尔不等式公式贝尔不等式公式什么是贝尔不等式公式？贝尔不等式公式是量子力学中一个重要的概率不等式，用于测量量子纠缠的程度。
贝尔不等式公式被广泛应用于量子通信、量子计算和量子密钥分发等领域。
贝尔不等式的基本形式贝尔不等式的基本形式可以表示为：S = E(A,B) + E(A,C) - E(B,C) ≤ 2其中，S 表示不等式的结果，E(A,B) 表示在观测 A 时同时观测B 的概率，E(A,C) 表示在观测 A 时同时观测 C 的概率，E(B,C) 表示在观测 B 时同时观测 C 的概率。
贝尔不等式的含义贝尔不等式的基本形式中的 S 小于等于 2，表示在经典物理学的框架下，不可能存在违反贝尔不等式的实验结果。
当 S 大于 2 时，表示存在非局部的量子纠缠。
应用举例：贝尔实验贝尔不等式的原理可以通过贝尔实验来解释。
贝尔实验是通过测量两个之间的相关性来验证贝尔不等式的。
假设有两个量子粒子，分别是 A 和 B，它们之间存在某种量子纠缠关系。
我们对量子粒子 A 进行一个观测，并测量结果为 +1 或 -1，同时对量子粒子 B 进行一个观测，并记录结果为 +1 或 -1。
重复进行多次实验，得到一系列的观测结果。
通过计算观测结果的相关性系数，可以得到 E(A,B) 的值。
同样地，我们可以对 A 和 C、B 和 C 进行观测，得到 E(A,C) 和 E(B,C) 的值。
将这些值代入贝尔不等式公式，计算得到 S 的值。
如果 S 小于等于 2，那么实验结果符合经典物理学的预期。
如果 S 大于 2，那么说明实验结果存在非经典的量子纠缠。
总结贝尔不等式公式是描述量子纠缠程度的重要工具。
通过贝尔实验可以验证贝尔不等式是否被违反，从而探究量子力学的基本原理和量子纠缠的奇妙性质。
进一步的研究和应用，有助于推动量子通信、量子计算和量子密码等领域的发展。
贝尔不等式公式的扩展贝尔不等式的推广形式除了基本形式的贝尔不等式公式，还存在其他推广形式，用于描述更复杂的量子系统。
贝尔不等式——精选推荐
贝尔不等式引言自量子力学建立之日起，关于它的争论就从来没有间断过，其主要表现为以爱因斯坦为代表的经典物理学派与以玻尔为代表的哥本哈根学派之间的冲突。
自从1927年在第5届索尔维会议上爆发了两位科学巨人的第一次论战开始，到爱因斯坦逝世前的30年间，爱因斯坦学派不断地给量子力学挑毛病，其中最为引人注目的是，1935年提出的薛定谔猫态与EPR佯谬，它们是对量子力学最为著名的质疑。
EPR佯谬设有两个电子构成的体系，总自旋为零的纯态为式中，i-分别表示第i个电子的自旋向上和向下的状态，ϕ就是两个电子的+与i自旋最大纠缠态。
在上述状态上，测量电子1的自旋，得到其自旋向上与自旋向下的概率皆为0.5。
如果测得电子1的自旋向上，则纯态ϕ坍缩为，于是，电子2的自旋无可选择地处于自旋向下的状态。
反之，若测得电子1的自旋向下，则电子2的自旋只能向上。
上述结果表明，在复合体系的一个纯态上，对一个子系进行测量将影响另一个子系所处的状态，这种情况称为量子不可分离性。
从另一个角度来看，上述讨论中并没有限定两个电子所处的位置，也就是说，两个电子可以在空间中相距很远，因此，量子不可分离性也称为量子力学的非定域性。
量子纠缠的非定域性是量子力学特有的性质，在经典物理中没有可以与之类比的现象。
据此，爱因斯坦、潘多尔斯基(Podolsky)和罗森(Rosen)发表了题为“能认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗?”的论文，对量子力学提出质疑，此即著名的EPR佯谬。
EPR认为，在对体系没有干扰的情况下，如果能确定地预言一个物理量的值，那么此物理量就必定是客观实在，对应着一个物理实在元素；一个完备的物理理论应当包括所有的物理实在元素。
对于两个分离开的并没有相互作用的体系，对其中一个的测量必定不能修改关于另一个的描述，也就是说，自然界不存在超距的相互作用，上述观点被称为定域实在论。
利用定域实在论，EPR分析了由两个粒子组成的一维体系，指出虽然每个粒子的坐标与动量算符不对易，但是两个粒子坐标算符之差x1-x2和动量算符之和p1+p2却是对易的，因此，可以存在一个两粒子态，ϕ是算符x1-x2与p1+p2的共同本征态，即：在状态ϕ上，若测得粒子1的坐标为x，则粒子2的坐标就是x-a；同样，若测得粒子1的动量为p，则粒子2的动量就是-p。
贝尔实验和违背贝尔不等式的实验证据
贝尔实验和违背贝尔不等式的实验证据一、概述贝尔实验是指由美国物理学家约翰·贝尔提出的一种实验，用于检验量子力学中“局域实在论”和“量子纠缠”的概念。
在贝尔实验中，通过测量两个纠缠粒子之间的相关性，可以验证量子力学的非局域性质，从而对“爱因斯坦-波尔斯基-罗森佩克”（EPR）悖论做出回答。
二、贝尔实验的基本原理在贝尔实验中，通常采用的是“贝尔不等式”，该不等式用于描述两个随机变量之间的相关性。
如果实验结果违背了贝尔不等式，那么就可以推断量子力学所描述的纠缠态系统是非局域的。
三、贝尔不等式贝尔不等式是由约翰·贝尔在1964年提出的，用于描述两个随机变量之间的相关性。
在经典物理学中，贝尔不等式可以被满足。
然而，当涉及量子力学中的纠缠态系统时，贝尔不等式往往会被违背。
四、违背贝尔不等式的实验证据近年来，科学家们进行了一系列的实验，以验证量子力学中的非局域性质。
其中，包括了实验室内的光子纠缠态系统实验、原子的双粒子自旋实验等。
这些实验均取得了违背贝尔不等式的结果，从而证明了量子力学中的纠缠态系统是非局域的。
五、量子纠缠的应用量子纠缠在量子通信、量子计算和量子密码等领域都有着重要的应用。
通过利用纠缠态系统，可以实现信息的安全传输以及量子计算中的并行计算等优势。
六、结论贝尔实验和违背贝尔不等式的实验证据证明了量子力学中的非局域性质，为量子物理学的发展提供了重要的实验依据。
量子纠缠的应用也为未来信息技术的发展带来了无限的可能。
通过对贝尔实验和违背贝尔不等式的实验证据的研究，我们可以更深入地了解量子力学的基本原理，进而推动未来信息科技的发展。
七、贝尔实验的挑战和未解之谜尽管贝尔实验和违背贝尔不等式的实验证据为量子物理学的发展提供了重要的实验依据，但仍然存在一些未解之谜和挑战。
其中之一是量子纠缠的本质，即使通过实验证据证明了其非局域性质，但是其具体的物理机制和作用方式仍然不完全清晰。
科学家们需要继续深入研究量子纠缠的本质，以解开这一悬而未决的谜团。
该如何理解贝尔不等式
第一章：从EPR悖论，到贝尔不等式——灵遁者在写这一章之前，我要用费曼的话来做开头：“我确信没有人能懂量子力学。
”你现在不了解这句话的深意，但看完这篇文章之后，你会有所赞同。
在量子力学中，我们熟知的概念有波粒二象性，不确定性原理，互补原理，概率云等，但还有一个很多人不知道的定理，那就是贝尔不等式。
贝尔不等式在量子力学中的分量，举足轻重，不容忽视。
就好像迈克尔莫雷实验对于物理学的影响是一样的，是具有划时代性的发现。
所以我有必要先一步来介绍贝尔不等式，为我们后面理解量子世界打下基础。
先来认识一下这位卓越的物理天才吧。
读读他的简介，我确实有自惭形秽的感觉。
贝尔全名约翰·斯图尔特·贝尔。
他出生于北爱尔兰的贝尔法斯特。
11岁时便立志成为一名科学家，16岁时便从贝尔法斯特技术学校毕业。
之后进入贝尔法斯特女王大学就读，1948年取得了实验物理的学士学位，隔年再取得了数学物理学位。
接着他到了伯明翰大学研究核物理与量子场论，并在1956年获得博士学位。
这段期间里，他认识了在从事粒子加速器研究的物理学家玛莉·罗斯，两人在1954年结婚。
1964年，他提出了轰动世界的贝尔不等式，对EPR悖论的研究做出了重要贡献。
很多人看到这里会问了，什么是EPR悖论？大家大概都知道爱因斯坦和玻尔是一对物理界的冤家，他们之间的争辩很有名。
其中EPR论文之争可以说是众所周知。
当然这种争论多多益善，因为EPR之争，促进了新思想，新思路，新发现。
上面所说的贝尔不等式，就是在这样的环境中诞生的。
虽然贝尔发现贝尔不等式的时候，爱氏已经去逝，但这依然是对他最好的礼献。
来了解一下什么是EPR悖论？EPR悖论是E:爱因斯坦、P:波多尔斯基和R:罗森1935年为论证量子力学的不完备性而提出的一个悖论（佯谬）。
EPR 是这三位物理学家姓氏的首字母缩写。
这一悖论涉及到如何理解微观物理实在的问题。
爱因斯坦等人认为，如果一个物理理论对物理实在的描述是完备的，那么物理实在的每个要素都必须在其中有它的对应量，即完备性判据。
舒尔不等式等价形式推导
舒尔不等式等价形式推导舒尔不等式是一种数学不等式，它是由德国数学家费迪南德·舒尔于1878年提出的。
舒尔不等式是一种著名的不等式定理，它在数论和几何中有广泛的应用。
舒尔不等式的等价形式有多种推导方法，本文将以一种等价形式为标题进行推导和讨论。
标题：从舒尔不等式等价形式推导到其他不等式舒尔不等式的等价形式是：对于任意的正实数a，b，c，总有(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)≥0。
我们将从这个等价形式出发，推导出一些其他的不等式。
1. 三角不等式由舒尔不等式的等价形式可以得到三角不等式。
首先令 a = |x|，b = |y|，c = |z|，代入舒尔不等式的等价形式得到：(|x| + |y| + |z|)(|x| + |y| - |z|)(|x| - |y| + |z|)(-|x| + |y| + |z|) ≥ 0化简得到：(|x| + |y| + |z|)(|x - y|)(|y - z|)(|z - x|) ≥ 0这就是我们熟知的三角不等式。
2. 亚历山大不等式亚历山大不等式是一种与舒尔不等式等价的不等式。
它的形式为：对于任意的正实数a，b，c，总有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
我们可以通过舒尔不等式的等价形式来推导亚历山大不等式。
令 a = b + x，c = b + y，代入舒尔不等式的等价形式得到：(3b + x + y)(x + y)(3b - x - y)(x + y) ≥ 0化简得到：(x + y)^2(3b - x - y)(3b + x + y) ≥ 0再进行展开和整理，得到：9b^2(x^2 + y^2) + 2b(x^3 + y^3) + (x^4 + y^4) - 2xy(x^2 + y^2) ≥ 0这就是亚历山大不等式。
3. 尼尔森不等式尼尔森不等式是一种与舒尔不等式等价的不等式。
它的形式为：对于任意的正实数a，b，c，总有(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)(c^2 + a^2) ≥ (ab + bc + ca)^2。
贝努利不等式的几个推论及应用
a 贝努利不等式的几个推论及应用《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）将“不等式选讲”作为选修系列4 的第5 专题，而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式．《标准》所指的贝努利不等式是：(1+x)n ≥1+nx（x＞-1，n为正整数）．（1）当n 为大于1 的实数时贝努利不等式也成立．为拓宽贝努利不等式的应用，本文给出了贝努利不等式的几个推论，并通过一些典型例题探讨了贝努利不等式及其推论的应用．推论 1 设n ∈N +，n＞1，t＞0，则有t n≥nt -n +1，（2）或t n≥1+n (t -1)，（2'）当且仅当t =1时，（2）和（2'）取等号．（2）的证明可由恒等式t n-nt +n -1 =(t-1)2⎡⎣t n-2+2t n-3+3t n-4+ +(n-2)t+n-1⎤⎦直接推出．易见，当且仅当t = 1时，（2）和（2'）取等号，因此，当且仅当x = 0时，（1）取等号．在（1）中令x +1 =t，则（1）可变为（2）或（2'）．因此，不等式（1）与（2）或（2'）是等价的．因此，不等式（1）与（2）或（2'）都可以称为贝努利不等式．推论 2 设a，＞0，n ∈N +，n＞1，则a n≥n n-1a -(n -1)n，（3）当且仅当a =时，（3）取等号．证明由（2）得，⎛a ⎫n ⎛ a ⎫a n=n ⎪≥n n ⋅-n +1⎪=n n-1a -(n -1)n，⎝⎭⎝⎭由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当a =时（3）取等号．推论 3 设a，b＞0，n ∈N +，n＞1，则nb n-1≥na -(n -1)b，（4）b n-1 a n ≥n-n -1a b，（5）⎝ ⎭ b b a ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ n + 3 2 当且仅当 a = b 时（4）和（5）取等号．证明 由（2）得，a n⎛ a ⎫n⎛ a ⎫ b n -1= b b ⎪ ≥ b n ⋅ - n +1⎪≥ na - (n -1)b ， ⎝ ⎭b n -11 ⎛ b ⎫n1 ⎛ b ⎫ n n -1n= ⎪ a ⎝ ⎭ ≥ b n ⋅ a- n +1⎪≥ a - b ， 由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a = b 时（4）和（5）取等号．推论 4 设 a ， b ＞0， n ∈ N +， n ＞1，则1 n -1 ≤ a +， （6）n n当且仅当 a = 1时（6）取等号．证明 由（2），得a = (na )n≥ n n a - n +1，所以 n a ≤ 1 a + n -1．n n由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当 a = 1时（6）取等号．不等式（1）～（6）有广泛的应用，利用贝努利不等式和上面几个推论可以简捷明快地解决一些数学问题，请看下面几例．例 1 已知 m ， n 为正整数．（Ⅰ）用数学归纳法证明：当 x > -1时， (1+ x )m≥1+ mx ；（ Ⅱ ） 对 于m = 1, 2, , n ；n ≥ 6， 已 知 1- ⎪ <， 求 证 ：m1- ，（Ⅲ）求出满足等式3n + 4n + + (n + 2)n = (n + 3)n的所有正整数 n ． 解：（Ⅰ）证明从略．⎛1 ⎫mm （Ⅱ）证明：当 n ≥ 6， m ≤ n 时，由（1）得 1- n + 3 ⎪ ≥1-> 0，于是 n + 3⎛ m ⎫n ⎛1 ⎫mn ⎡⎛ 1 ⎫n ⎤m ⎛ 1 ⎫m1- n + 3 ⎪ ≤ 1- n + 3 ⎪ = ⎢ 1- ⎪ ⎥ ⎢⎣⎝ ⎭ ⎥⎦< ⎪ ⎝ ⎭ ， m = 1, 2, , n ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当 n ≥ 6时，⎛ 1 ⎫n ⎛ 2 ⎫n ⎛ n ⎫n1- n + 3 ⎪ + 1-n + 3 ⎪ + + 1- n + 3 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭na ⎛1 ⎫n 1 ⎛m ⎫n ⎛ 1 ⎫ ⎝ n + 3 ⎭ 2⎝ n + 3 ⎪ < 2 ⎪ ⎭ ⎝ ⎭a 2 a 1 a 2 a 1 k +11 2 1 2 1 ⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫n1 ＜2 + 2 ⎪ + + 2 ⎪ = 1- < 1， 2n ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎛ n + 2 ⎫n⎛ n +1 ⎫n ⎛ 3 ⎫n所以 n + 3 ⎪ +n + 3 ⎪ + + n + 3 ⎪ < 1，⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭即3n + 4n + + (n + 2)n＜ (n + 3)n，即当 n ≥ 6时，不存在满足该等式的正整数 n ．故只需要讨论 n = 1, 2, 3, 4, 5的情形． 逐一检验 n = 1, 2, 3, 4, 5可得， 所求的 n 只有n = 2, 3．例 2 （算术—几何平均值不等式）设 a ， a ， ，a 均为正数， n ∈ N +， n ＞1，则a 1 + a 2 + + a n ≥ n a a a12 n． （7）n1 2n证明 下面用数学归纳法证明（7）： 当 n = 2时，（2）变为 x 2≥ 2x -1，从而⎛ ⎫2⎛ ⎫a + a = a + a ⎪ ≥ a + a 2 ⋅ -1⎪ = 2 a a ，1 2 1 1 ⎝ ⎭ 所以（7）成立．1 1 12 ⎝ ⎭假设 a 1 + a 2 + + a k k k a 1a 2 a k n = k +1时，由（3）知(k +1a k +1≥ (k +1)k +1a k (k +1)a a a )k-k(k (k 1)a a a k +1，即 a k +1≥ (k +1)k +1 a 1a 2 a k a k +1 从而a 1 + a 2 + + a k + a k +1-k k a 1a 2 a k ，≥ k k a 1a 2 a k ≥ k k a 1a 2 a k +a k +1+ (k +1)k +1 a 1a 2 a k a k +1-k k a 1a 2 a k= (k +1)k +1 a 1a 2 a k +1，这表明，当 n = k +1时（7）也成立．故对一切 n ∈ N +， n ＞1，（7）都成立．由例 2 的证明可以看出，贝努利不等式是算术—几何平均值不等式的一个充分条件，也就是说，凡是能用算术—几何平均值不等式解决的问题都可以利用贝努利不等式予以解决， 因此，贝努利不等式的应用是极为广泛的．k +1kkxy ⎝⎭ i i i i ⎛ 1 ⎫3⎛ 1 ⎫3125例 3 设 x ， y ＞0， x + y = 1，求证： x + x ⎪ + y + y ⎪≥ 4．证明 由1 + 1≥ 2≥x y4 x + y⎝ ⎭ ⎝ ⎭ = 4，并在（3）中取= 5得 2⎛ 1 ⎫3⎛ 1 ⎫3x + x ⎪ + y + y ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭≥ 3⋅ ⎝⎭=75 (x + y ) +75 ⎛ 1 + 1 ⎫ - 125 44x y ⎪ 2 ≥75 + 75 ⨯ 4 - 125 = 125．4 4 2 4+例 4 （权方和不等式）设 a i , b i > 0, i = 1, 2,⋅⋅⋅, n , k ∈ N ，则a k +1 a k +1a k +1(a + a + ⋅⋅⋅ + a )k +11+ 2 + ⋅⋅⋅ + n≥ 1 2 n ． b k b k b k (b + b + ⋅⋅⋅ + b )k12 n 1 2 n证 明 令 s = (a + a + ⋅⋅⋅ + a )-1， t = (b + b + ⋅⋅⋅ + b )-1，则原不等式等价于∑ i =1 (sa )k +1(tb )k1 2 n ≥1． 1 2 n由（2），有(sa )k +1⎛ sa ⎫k +1 ⎡⎛ sa ⎫⎤ i = tb ⋅ i ⎪≥ tb ⎢1+ (k +1) i -1⎪⎥(tb )k= ⎡ isa i ⎝ tb i ⎭⎣⎤ ⎝ tb i⎭⎦tb i ⎢(k +1) tb - k ⎥= (k +1)sa i - ktb i ．⎣ i ⎦则n(sa )k +1n∑i ≥∑[(k +1)sa- ktb ] = (k +1) - k = 1，i =1(tb )kiii =1a k +1a k +1a k +1(a + a + ⋅⋅⋅ + a )k +1此即 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n ≥ 1 2n ． b k b k b k(b + b + ⋅⋅⋅ + b )k 1 2 n 1 2 n注：权方和不等式的应用极广，已有多篇文章探讨．例 5 （第 36 届 IMO 试题）设 a , b , c 为正数，且满足 abc = 1．试证in 25 ⎛1 ⎫ 125 25 ⎛ 1 ⎫ 1254 x + x⎪ - 2 ⋅ + 3⋅ y + ⎪ - 2 ⋅ 8 4 ⎝ y ⎭ 8( ) ( )11 a 3(b + c ) + b 3 (c + a ) + 1 c 3(a + b ) 3 ≥ ． （8） 2证明 由 abc = 1知，（8）等价于(2bc )22ca 2++(2ab )2≥ 6． （9）ab+ ca bc + ab ca + b c由（4）及 abc = 1，得(2bc )22ca 2++ (2ab )2ab + ca bc + ab ca + b c≥ 2 ⋅ 2bc - ab - ca + 2 ⋅ 2ca - bc - ab + 2 ⋅ 2ab - ca - bc= 2 (ab + bc + ca )≥ 6，所以（9）成立，故（8）成立．例 6设 a 1， a 2， ， a n ， a ， b ， s 均 为 正 数 ， a 1 + a 2 + + a k = s ，kn , k ∈ N +， n , k ＞1，求证： )． i =证明 由（6），及 a 1 + a 2 + + a k = s ，得ki =k ⎡ 1 k (aa i + b ) n -1⎤ ∑ ⎢ n ⋅ as + b k + n ⎥ i =1 ⎣ ⎦ =由于贝努利不等式的形式简单、内涵丰富、应用广泛，加之高中课改实验区的大多数老 师对选修系列 4 第 5 专题比较熟悉，愿意讲授“不等式选讲”．因此，应重视对贝努利不等式的探究．ki =。
贝尔不等式推倒过程
贝尔不等式推倒过程贝尔不等式是一个重要的数学定理，它被广泛应用于最优化，数值分析，概率论，几何，物理学，金融数学等领域。
贝尔不等式是20世纪最重要的定理之一，它也是20世纪最重要的数学定理之一，被认为是20世纪最伟大的发现之一。
贝尔不等式可以说是一个重要的数学基础，它比较广泛地应用于最优化理论和数值分析方面，它也被广泛应用于数学物理学，概率论，几何学，和金融学等学科。
贝尔不等式推倒过程可以分为三个步骤：第一步是给定一个不等式；第二步是证明不等式的最小值；第三步是得到具体的不等式解。
首先，给定一个不等式，我们可以使用各种不等式技巧来推倒不等式。
比如，我们可以使用非负性，对称性，三角不等式，Jensen不等式，幂不等式等技巧来推倒不等式。
此外，不等式可以使用多种形式来表达，比如：把不等式转换成同等的分类不等式，把不等式转换成同等的凸函数不等式，把不等式转换成同等的二次不等式，把不等式转换成同等的矩阵不等式等。
其次，证明不等式的最小值，我们可以使用泰勒展开式和傅里叶变换来求解不等式的最小值。
使用泰勒展开式可以在解析上计算不等式的最小值，使用傅里叶变换可以估计不等式的最小值，可以使用此方法得到近似解。
最后，得到具体的不等式解。
我们可以使用梯度下降法，Lagrange 乘数法，KarushKuhnTucker（KKT）条件等优化算法来求解不等式的解。
梯度下降法可以从不可行解出发求解不等式的最优解；Lagrange乘数法可以使用拉格朗日方程组来求解最优解；KarushKuhnTucker （KKT）条件可以使用最优性条件来解决不等式的最优解，总结而言，可以使用这些方法计算出不等式的解。
以上是贝尔不等式推倒过程的三个步骤：第一步是给定一个不等式；第二步是证明不等式的最小值；第三步是得到具体的不等式解。
贝尔不等式推倒过程的三个步骤在许多领域都有重大的应用，比如：最优化理论，数值分析，概率论，几何学，物理学，金融数学等等。
两道著名不等式等价性的一个简证
两道著名不等式等价性的一个简证
刘磊
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1999(000)005
【摘要】命题1 (1963年莫斯科竞赛题)设a,b,c∈R_+,求
证:(a/(b+c))+(b+/(c+a))=(c/(a+b))≥(3/2)。
命题2 (第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)设a,b,c∈R_+,求证:
(a~2/(b+c))+(b~2+(c+a))+(c~2+(a+b)≥(a+b+c)/2。
对于这两个著名问题,许多数学前辈都给出了它们的巧思妙解。
本文给出它们等价关系的一个简证。
【总页数】1页(P44-44)
【作者】刘磊
【作者单位】四川省苍溪中学 628400
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.几个著名积分不等式的等价性 [J], 乔希民
2.关于两道猜想不等式的简证 [J], 杨晋
3.两道不等式的简证 [J], 杜春来
4.两个著名贝尔不等式的等价性 [J], 孙浩瑜;
5.从一个简单不等式到两个著名不等式——一堂《不等式选讲》课的预设 [J], 陈世明
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
J = ∑ a，b，x，yCa，b，x，yp(a，b|x，y)， 其中 Ca，b，x，y 是一个关于输入 x，y 和输出 a，b 的 函数 ， 函数的不同会有不同的贝尔不等式。 最简单的两系统的贝尔不等式协议可以描述如下 ： 两位游戏者 Alice 和 Bob 各有一个黑盒子分开在两地 ， 他们分别随机地对黑盒子进行输入 x，y， 黑盒子因此各 产生了一个比特的输出 ， 分别为 a，b， 游戏中禁止通讯。 根据 J 的表达式计算出实验中的结果。有趣的是即使有 人提前控制了 Alice 和 Bob 手中的盒子 ， 提前预设好了 各种结果 ，即通过局域隐变量的方法 ，贝尔不等式的 值始终无法超过经典的界限 JC，J ≤ JC。而当 Alice 和 Bob 使用量子的方法进行测量 ， 比如 Alice 和 Bob 共享 了一对纠缠对 ， 根据自己的随机输入对自己部分的系统 进行不同基的测量 ， 测量结果决定了输出 ， 这时是可以 产生超过经典界限的值 ， 也就是贝尔不等式会产生违背 J ＞ JC[6]。 在这一组贝尔不等式中 ， 有两个不等时较为著名 ， 分别是 CHSH 不等式和 CH 不等式。它们的表述形式如下 ： CHSH ： S = ∑ a，b，x，y(−1)a ⊕ b+xyp(a，b|x，y) − 2 CH ： S = pA(o|α1) + pB(o|β1) − p(o， o|α1， β1) − p(o，o|α2，β1) − p(o，o|α1，β2) + p(o， o|α2，β2) 正如我们刚才所说 ， 这两个不等式形式有所差别。 在 CHSH 中 ： a，b 分别指 Alice 和 Bob 的输出值 ，x，y 分别指 Alice 和 Bob 的输入值 ； a ⊕ b 指 (a+b)/2 的余数 ； p(a，b|x，y) 指在输入 x，y 的情况下输出 a，b 的条 件概率。 在 CH 中 ： p(o，o|α1，β1) 即 为 p(o，o|x，y)， 只看某种特定输出时的概率 ； pA(o|α1) 为 Alice 单方 输入 α1 的情况下 ， 单方面输出 o 的条件概率 ， 它包 含两种情况 ， 因此 pA(o|α) = p(o，o|α，β) + p(o，e|α，β)。 Bob 同理 ， 因此有 pB(o|β) = p(o， o|α， β) + p(e， o|α，β)。 这样便得到了如下简图 ：
34
SCIENTIST
2016年第15期
图1
下面想要说明的是他们在无信号超光速传递（Nosignaling）的条件下是等价的。 无信号传递是指在贝尔 游戏中一端的输入不应该直接影响到另一端的输出 ， 反 之， 相隔很远的 Alice 和 Bob 则可以通过自己输出的不 同直接判断对方的输出是什么 ， 从而达到超光速传递信 息的功效 ， 而我们生活的世界便满足这一条件 ， 即无法 超光速传递信息 ， 量子力学所描述的问题也都在这一范 畴内。 首先把 CHSH 拆成分项 ： ∑ a，b，x，y(−1)a ⊕ b+xyp(a，b|x，y) = p(o， o|α1，β1) − p(e， o|α1，β1) − p(o， e|α1，β1) + p(e，e|α1，β1) +p(o， o|α2，β1) − p(e， o|α2，β1) − p(o， e|α2，β1) + p(e，e|α2，β1) +p(o， o|α1，β2) − p(e， o|α1，β2) − p(o， e|α1，β2) + p(e，e|α1，β2) −p(o， o|α2， β2) + p(e， o|α2， β2) + p(o， e|α2，β2) − p(e，e|α2，β2) ≤ 2 因为有 ： p(o，o|α，β) + p(e，o|α，β) + p(o，e|α， β) + p(e，e|α，β) = 1 所以 ： p(e， e|α， β) = 1 − p(o， o|α， β) − p(e， o|α，β) − p(o，e|α，β) 用 1 − p(o， o|α， β) − p(e， o|α，β) − p(o， e|α， β) 替换分项式中所有的 p(e， e|α， β) 项化简得 ：∑ a，b，x，y(−1)a ⊕ b+xyp(a，b|x，y) = 1 − 2p(e， o|α1， β1) − 2p(o， e|α1，β1) +1 − 2p(e， o|α2， β1) − 2p(o， e|α2， β1) +1 − 2p(e， o|α1， β2) − 2p(o， e|α1， β2) −1 + 2p(e， o|α2，β2) + 2p(o，e|α2，β2) 2 + 2[−p(e，o|α1，β1) − p(o，e|α1，β1) − p(e， o|α2， β1) −p(o， e|α2，β1) − p(e， o|α1， β2) − p(o，e|α1，β2) +p(e，o|α2，β2) + p(o，e|α2，β2)] ≤ 2 所以有 ： p(e， o|α1， β1) + p(o， e|α1， β1) + p(e， o|α2，β1) + p(o， e|α2，β1) +p(e， o|α1，β2) + p(o，e|α1，β2) − p(e，o|α2，β2) − p(o，e|α2， β2) ≥ 0--由于 CH 中输出项全部为 o， 则尽可能能消去 CHSH 中输出有 e 的项 ， 又因为 ： pA(o|α) = p(o， o|α， β) + p(o， e|α， β)
1900 年 ，普朗克提出量子概念 [1]，标志量子力学 正式提出。然而 ， 这个理论的创立与完善并非像牛顿经 典力学、麦克斯韦电磁理论以及爱因斯坦的相对论那么 顺风顺水 ， 自此理论建立至今 ， 质疑与反对者层出不穷 ， 他们的质疑与批判曾给量子力学的建立者们带来极大的 困难 ， 但也正是这些质疑与批判 ， 使量子力学在不断地 克服困难中得到完善修正 ， 从而使其变得比其他理论更 加强大和使人信服。 爱因斯坦坚信“上帝不掷骰子”[2]， 爱因斯坦同波 多尔斯基（Boris Podolsky）和罗森（Nathan Rosen） 共同在《物理评论》 （Physics Review）上发表了一篇 题为《量子力学对物理实在的描述可能是完备的吗》[3] 的论文 ， 从而提出著名的 EPR 佯谬。显然 ， 在爱因斯坦 看来 ， 量子力学对物理问题的描述实在是不完备的。为 了解决这一问题 ， 德布罗意、玻姆等人提出了一个叫做 局域隐变量的假说。这个假说是指在一个局域有限空间 内， 应当存在一个能描述一切但又尚未被人所发现的完 备理论 ， 能够解释量子理论对 EPR 佯谬的不完备描述。 简单地说 ， 就是对于我们观察者来说 ， 两个粒子的行为 看似随机 ， 实则受控于一个隐藏力量 ， 它在暗中作用于 粒子 ， 使其按早已确定好的行为发展 ， 再以看似随机的 样子出现在观察者面前。就好比赌博 ， 赌徒们看似觉得 赌局是公平随机的 ， 实则赌局早已被庄家操纵好 ， 只是 赌徒们不知道而已 ， 其中的庄家就是这里所说的局域隐 变量。 贝尔本是爱因斯坦确定论的忠实追随者 ， 其创造 贝尔不等式的目的本是出于拥护爱因斯坦的目的 ， 但令 他始料未及的是 ，1982 年巴黎奥赛光学研究所得到的 结果与量子论完全符合 ， 爱因斯坦的定域实在性以及确 定论错了 ， 此次实验和以后的大量实验都证明了现实的 非定域性并且否定了局域隐变量的假说 [4-5]。 贝尔不等式所说的并不是一个不等式 ， 而是一组。 这一组贝尔不等式形式不一 ， 但其在大体上的表意都差 不多 ， 尽管各自有微小的差别 ， 比如说在成立条件的差 别， 对于只有两个系统 ， 每个系统只有两个输入 ， 两个 输出的最一般形式的贝尔不等式为 ：
科学前论坛
两个著名贝尔不等式的等价性
孙浩瑜 西安高新第一中学 ， 陕西西安 710000
摘 要 量子力学因其反直觉的特点从诞生起就争议不断 ， 其中有爱因斯坦和波尔的著名争论。贝尔不等式的实 验证明了爱因斯坦局域隐变量假设的错误 ， 从而验证了量子纠缠这一非局域性的存在。而 CHSH 不等式和 CH 不等式 是其中两个非常著名的贝尔不等式 ， 本文将分析它们在无信号传递条件下的等价性特点。 关键词 量子力学 ； 贝尔不等式 ； 无信号传递 中图分类号 O4 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2016）15-0034-02