高考线性规划题型归纳

线性规划常见题型及解法

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值

为 。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交

点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪

≤⎨⎪+≥⎩

，则z=x+2y 的取值范

围是 （ ）

A 、[2,6]

B 、[2,5]

C 、[3,6]

D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将

l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值

2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪

-+≤⎨⎪--≤⎩

则22x y +的最小值是 .

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

习题2、已

知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪--≤⎩

，则

z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2

C 、13，45

D 、13，

25

5

解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到

直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为4

5

，选C

练习2、已知x ，y 满足⎪⎩

⎪

⎨

⎧≥-+≥≥≤-+0320

,10

52y x y x y x ，则x

y 的最大值为___________，最小值为____________．

2，0

三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

图2

例

3、在平面直角坐标系中，不等式组20

200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

表示的平面区域的

面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2

解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20

200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

表示的平面区

域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.2

2

S BC AO =⋅=⨯⨯=从而

选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

习题3、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≤⎩

表示的平面区域的面

积为 （ ）

A 、4

B 、1

C 、5

D 、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，

由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

(A)0003x y x y x -≥⎧⎪

+≥⎨⎪≤≤⎩

(B)

0003x y x y x -≥⎧⎪

+≤⎨⎪≤≤⎩

(C) 0003x y x y x -≤⎧⎪

+≤⎨⎪≤≤⎩

(D) 2x + y –

x ＋y –

O

y

y

0003x y x y x -≤⎧⎪

+≥⎨⎪≤≤⎩

解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成

一个三角形区域（如图4所示）时有0

03x y x y x -≥⎧⎪

+≥⎨

⎪≤≤⎩

。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。

习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是 （ ）

A ．232600y x y x ≥-⎧

⎪-+>⎨

⎪<⎩

B ．232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩

C ．232600y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩

D ．232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩

C

五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例

5、在约束条件0

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x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨

+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目

标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值,

即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。 六、求约束条件中参数的取值范围

C