中考数学经典总复习专题三角形完美
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第15讲┃ 三角形
[中考点金] 有关三角形角的计算，主要是利用平行线的性质、垂
直的定义等知识进行求解，而三角形的内角和为 180°、 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识 是基础的考查点．
第15讲┃ 三角形
┃考题自主训练与名师预测┃
1．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的
一个顶点，那么这个三角形是 A．锐角三角形 B．钝角三角形
变式题 已知三角形的两边长为 4，8，则第三边的长度 可以是__答__案__不_ 唯一，如 5 _(写出一个即可)．
[解析] 本题答案不唯一．根据三角形的两边之和大于 第三边，两边之差小于第三边，可得 8－4<x<4＋8，解得 4<x<12，只要符合条件即可．
第15讲┃ 三角形
探究二 三角形内角和定理的综合应用
第15讲┃ 三角形
【归纳总结】 1 ． 三 角 形 的 内 角 和 等 于 __1_8_0__°__ ， 外 角 和 等 于
__3_6_0_°___． 2．三角形的一个外角___等__于___与它不相邻的两个内
角的和．
第15讲┃ 三角形
【知识树】 第15讲┃ 三角形
┃考向互动探究与方法归纳┃ 探究一 三角形三边关系的应用
第15讲 三角形
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 三角形的分类
在△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC 是 __直__角____三角形．
第15讲┃ 三角形
【归纳总结】
三角形的分类：
不等边三角形 (1)按边分：三角形等腰三角形底等边边和三腰角不形相等的三角形
斜三角形锐角三角形
(2)按角分：三角形
4．[2014·台州] 如图 15－6，跷跷板 AB 的支柱 OD 经 过它的中点 O，且垂直于地面 BC，垂足为 D，OD＝50 cm， 当它的一端 B 着地时，另一端 A 离地面的高度 AC 为( D )
例 1 现有 3 cm，4 cm，7 cm，9 cm 长的四根木棒，任
取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数
是
(B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 采用枚举法，分为 3，4，7；3，4，9；3，7，9； 4，7，9 四组，其中第一组中 3＋4＝7，第二组中 3＋4<9， 不满足“任意两边之和大于第三边”的关系，故不成立，其 余两组均成立．
图 15－4
第15讲┃ 三角形
[解析] 方法一：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. 又∵∠A＝40°，∴∠B＝12(180°－40°)＝70°. ∴∠BCD＝∠A＋∠B＝40°＋70°＝110°. 方法二：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. 又∵∠A＝40°，∴∠ACB＝12(180°－40°)＝70°. ∴∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－70°＝110°.
第15讲┃ 三角形
3．如图 15－1，在△ABC 中，若∠BAC＝80°，O 为 三条角平分线的交点，则∠BOC＝__1_3_0_°___．
图 15－1 第15讲┃ 三角形
【归纳总结】 如图 15－2，△ABC 有如下四种重要线段： 图 15－2
第15讲┃ 三角形
线段名称
条件
结论
高线 AF 是△ABC 的高线
(C )
C．直角三角形 D．等边三角形
[解析] 锐角三角形三条高交于三角形的内部，钝角三 角形三条高所在直线交于三角形外部，只有直角三角形三 条高的交点在直角顶点．
第15讲┃ 三角形
2．下面判断正确的有
(A )
①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角
形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角
钝角三角形
直角三角形
第15讲┃ 三角形
考点2 三角形的重要线段
1．三角形的下列线段中，一定能将三角形的面积分成
相等的两部分的是
(A )
A．中线 B．角平分线
C．高 D．中位线
2．已知三角形的各边长分别为 8 cm，10 cm 和 12 cm，
则连接各边中点所得三角形的周长是__1_5_c__m__．
意两边之差__小__于____第三边．
第15讲┃ 三角形
考点4 三角形的内角和定理及其推论 1．如图 15－3，在△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝40°，
点 D，E 分别在 BC，AC 的延长线上，则∠1＝___8__0_°__．
图 15－3 第15讲┃ 三角形
2. 如图 15－4，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°， 则△ABC 的外角∠BCD＝___1_1_0___度．
第15讲┃ 三角形
[中考点金] (1)有三条线段 a，b，c：①若已知 a 最大，则当 b＋c>a
时，这三条线段能构成三角形；②若已知 a 最小，则当|b－c|<a 时这三条线段能构成三角形．
(2)若已知线段 a，b，则能构成三角形的第三条线段 c 的 取值范围为|a－b|<c<a＋b.
第15讲┃ 三角形
角平分线
AD 是△ABC 的角平 分线
Leabharlann Baidu
∠AFB＝∠AFC＝ ___9_0_°___
∠DAB＝∠DAC＝
12_∠__B__A_C__
中线 中位线
AE 是△ABC 的中线
BE＝CE＝12__B_C___
E，G 分别是 BC，AC 的中点
1 EG∥AB 且 EG＝___2_A_B___
第15讲┃ 三角形
考点3 三角形的三边关系
1．下列各组数可能是一个三角形的三边长的是( C ) A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11 2．已知三角形的两边长分别为 4，8，则第三边的长 度 x 的取值范围是_____4<x<12 ___．
第15讲┃ 三角形
【归纳总结】 三角形的三边关系：任意两边之和___大__于___第三边；任
例 2 如图 15－5 是由一副分别含有 30°和 45°角的两
个直角三角板拼成的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E
＝30°，则∠BFD 的度数是
(A )
图 15－5 A．15° B．25° C．30° D．10°
[解析] 由题意知∠EDC＝60°，∠B＝45°，所以 ∠BFD＝∠EDC－∠B＝60°－45°＝15°.
平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的
中线、角平分线、高都在三角形的内部．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
3．[2013·泉州] 在△ABC 中，∠A＝20°，∠B＝60°，
则△ABC 的形状是
(D )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
第15讲┃ 三角形
[中考点金] 有关三角形角的计算，主要是利用平行线的性质、垂
直的定义等知识进行求解，而三角形的内角和为 180°、 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识 是基础的考查点．
第15讲┃ 三角形
┃考题自主训练与名师预测┃
1．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的
一个顶点，那么这个三角形是 A．锐角三角形 B．钝角三角形
变式题 已知三角形的两边长为 4，8，则第三边的长度 可以是__答__案__不_ 唯一，如 5 _(写出一个即可)．
[解析] 本题答案不唯一．根据三角形的两边之和大于 第三边，两边之差小于第三边，可得 8－4<x<4＋8，解得 4<x<12，只要符合条件即可．
第15讲┃ 三角形
探究二 三角形内角和定理的综合应用
第15讲┃ 三角形
【归纳总结】 1 ． 三 角 形 的 内 角 和 等 于 __1_8_0__°__ ， 外 角 和 等 于
__3_6_0_°___． 2．三角形的一个外角___等__于___与它不相邻的两个内
角的和．
第15讲┃ 三角形
【知识树】 第15讲┃ 三角形
┃考向互动探究与方法归纳┃ 探究一 三角形三边关系的应用
第15讲 三角形
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 三角形的分类
在△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC 是 __直__角____三角形．
第15讲┃ 三角形
【归纳总结】
三角形的分类：
不等边三角形 (1)按边分：三角形等腰三角形底等边边和三腰角不形相等的三角形
斜三角形锐角三角形
(2)按角分：三角形
4．[2014·台州] 如图 15－6，跷跷板 AB 的支柱 OD 经 过它的中点 O，且垂直于地面 BC，垂足为 D，OD＝50 cm， 当它的一端 B 着地时，另一端 A 离地面的高度 AC 为( D )
例 1 现有 3 cm，4 cm，7 cm，9 cm 长的四根木棒，任
取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数
是
(B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 采用枚举法，分为 3，4，7；3，4，9；3，7，9； 4，7，9 四组，其中第一组中 3＋4＝7，第二组中 3＋4<9， 不满足“任意两边之和大于第三边”的关系，故不成立，其 余两组均成立．
图 15－4
第15讲┃ 三角形
[解析] 方法一：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. 又∵∠A＝40°，∴∠B＝12(180°－40°)＝70°. ∴∠BCD＝∠A＋∠B＝40°＋70°＝110°. 方法二：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. 又∵∠A＝40°，∴∠ACB＝12(180°－40°)＝70°. ∴∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－70°＝110°.
第15讲┃ 三角形
3．如图 15－1，在△ABC 中，若∠BAC＝80°，O 为 三条角平分线的交点，则∠BOC＝__1_3_0_°___．
图 15－1 第15讲┃ 三角形
【归纳总结】 如图 15－2，△ABC 有如下四种重要线段： 图 15－2
第15讲┃ 三角形
线段名称
条件
结论
高线 AF 是△ABC 的高线
(C )
C．直角三角形 D．等边三角形
[解析] 锐角三角形三条高交于三角形的内部，钝角三 角形三条高所在直线交于三角形外部，只有直角三角形三 条高的交点在直角顶点．
第15讲┃ 三角形
2．下面判断正确的有
(A )
①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角
形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角
钝角三角形
直角三角形
第15讲┃ 三角形
考点2 三角形的重要线段
1．三角形的下列线段中，一定能将三角形的面积分成
相等的两部分的是
(A )
A．中线 B．角平分线
C．高 D．中位线
2．已知三角形的各边长分别为 8 cm，10 cm 和 12 cm，
则连接各边中点所得三角形的周长是__1_5_c__m__．
意两边之差__小__于____第三边．
第15讲┃ 三角形
考点4 三角形的内角和定理及其推论 1．如图 15－3，在△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝40°，
点 D，E 分别在 BC，AC 的延长线上，则∠1＝___8__0_°__．
图 15－3 第15讲┃ 三角形
2. 如图 15－4，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°， 则△ABC 的外角∠BCD＝___1_1_0___度．
第15讲┃ 三角形
[中考点金] (1)有三条线段 a，b，c：①若已知 a 最大，则当 b＋c>a
时，这三条线段能构成三角形；②若已知 a 最小，则当|b－c|<a 时这三条线段能构成三角形．
(2)若已知线段 a，b，则能构成三角形的第三条线段 c 的 取值范围为|a－b|<c<a＋b.
第15讲┃ 三角形
角平分线
AD 是△ABC 的角平 分线
Leabharlann Baidu
∠AFB＝∠AFC＝ ___9_0_°___
∠DAB＝∠DAC＝
12_∠__B__A_C__
中线 中位线
AE 是△ABC 的中线
BE＝CE＝12__B_C___
E，G 分别是 BC，AC 的中点
1 EG∥AB 且 EG＝___2_A_B___
第15讲┃ 三角形
考点3 三角形的三边关系
1．下列各组数可能是一个三角形的三边长的是( C ) A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11 2．已知三角形的两边长分别为 4，8，则第三边的长 度 x 的取值范围是_____4<x<12 ___．
第15讲┃ 三角形
【归纳总结】 三角形的三边关系：任意两边之和___大__于___第三边；任
例 2 如图 15－5 是由一副分别含有 30°和 45°角的两
个直角三角板拼成的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E
＝30°，则∠BFD 的度数是
(A )
图 15－5 A．15° B．25° C．30° D．10°
[解析] 由题意知∠EDC＝60°，∠B＝45°，所以 ∠BFD＝∠EDC－∠B＝60°－45°＝15°.
平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的
中线、角平分线、高都在三角形的内部．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
3．[2013·泉州] 在△ABC 中，∠A＝20°，∠B＝60°，
则△ABC 的形状是
(D )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
第15讲┃ 三角形