高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列
一．等差数列知识点：
知识点1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示
知识点2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列
③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列
知识点3、等差数列的通项公式:
④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数
知识点4、等差数列的前n 项和:
⑤2
)(1n n a a n S +=
⑥d n n na S n 2)
1(1-+
= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数
知识点5、等差中项:
⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2
b
a A +=
或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项
知识点6、等差数列的性质:
⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=
⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+
也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a
⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()
*
2n n ∈N ，则
()21n n n S n a a +=+，且
S S nd -=偶奇，1
n
n S a
S a +=奇偶．②若项数为(
)*
21n n -∈N
，则()21
21n n S
n a -=-，且n S S a -=奇偶，
1
S n
S n =
-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 二、题型选析：
题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）
1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2
2．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）
A ．92
B ．47
C ．46
D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )
( )
A 15
B 30
C 31
D 64
5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是
（ ）
A.d ＞38
B.d ＜3
C. 38≤d ＜3
D.3
8
＜d ≤3
6、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.
7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．
8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6
9、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.
10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .
12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .
题型二、等差数列性质
1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
2、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
3、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =
4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ）
A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差数列{}n a 中，已知3
1
a 1=
，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51
6.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5
935,95S S
a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．
2
1 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )
A ．α1＋α101＞0
B ．α2＋α100＜0
C ．α3＋α99＝0
D ．α51＝51
9、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和
为390，则这个数列有（ ）
（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项
题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p +++
+=，98n n n a a a q --+++=，则其前n 项和
n S = ．
2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ ）
A. ()4321-n n
B. ()7321-n n
C. ()4321+n n
D. ()732
1
+n n
3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ） A. 0991>+a a B. 0991<+a a C. 0991=+a a D. 5050=a
4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，
则=n 。

5、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2462,10,S S S ==则等于（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．42
6、若等差数列共有12+n 项()*N n ∈，且奇数项的和为44，偶数项的和为33， 则项数为 （ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
7、 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=
8、 若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T ，，已知73n n S n T n =+，则55
a
b 等于（ ）
Ａ．7 Ｂ．23 Ｃ．278
Ｄ．21
4
题型四、等差数列综合题精选
1、等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a
（Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.
2、已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值。

3、设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，
7515=S ，n T 为数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S n 的前n 项和，求n T 。

4、已知{}n a 是等差数列，21=a ，183=a ；{}n b 也是等差数列，4a 22=-b ，
3214321a a a b b b b ++=+++。

（1）求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 的公式；
（2）数列{}n a 与{}n b 是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。

5、设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (Ⅰ)若a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；
(Ⅱ)若a 1≥6，a 11＞0，S 14≤77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式.
6、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，
点(,)()n n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上。

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设1n n n a a 3b +=
,n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有n N *
∈都成立的最小正整数m ；
五、等差数列习题精选
1、等差数列}{n a 的前三项依次为x ，12+x ，24+x ，则它的第5项为（ ）
A 、55+x
B 、12+x
C 、5
D 、4 2、设等差数列}{n a 中，17,594==a a ,则14a 的值等于（ ）
A 、11
B 、22
C 、29
D 、12 3、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，
则111213a a a ++=( )
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75 4、若等差数列}{n a 的公差0≠d ，则 （ ）
（A ） 5362a a a a > （B ） 5362a a a a <
（C ） 5362a a a a = （D ） 62a a 与53a a 的大小不确定
5、 已知{}n a 满足，对一切自然数n 均有1n n a a +>，且2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
Ａ．0λ> Ｂ．0λ< Ｃ．0λ= Ｄ．3λ>-
6、等差数列{}
d a a a d a a n 成等比数列，则若公差中，5211,,,0,1≠=为 （ ） (A) 3 (B) 2 (C) 2- (D) 2或2- 7、在等差数列{}n a 中，)(,q p p a q a q p ≠==，则=+q p a
A 、q p +
B 、)(q p +-
C 、0
D 、pq
8、设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A 、1 B 、2 C 、4 D 、8
9、已知为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ） A. -1 B. 1
C. 3
D.7
10、已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝
A.－2
B.－12
C.1
2
D.2
11、在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ ） A ．18 B 27 C 36 D 9
12、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 13、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，
则=n 。

14、数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为 （ ） A. C Bn An S n ++=2 B. Bn An S n +=2 C. C Bn An S n ++=2()0≠a D. Bn An S n +=2()0≠a 小结
1、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2
a b
A +=
2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）
3、当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

4、当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
5、若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；
等差数列参考答案
题型一：计算求值
题型二、等差数列的性质
1、C
2、D
3、12（a 3+a 7-a 10+a 11-a 4=8+4=a 7=12）
4、C
5、C
6、B
7、A
8、C
9、B 10、A
题型三、等差数列前n 项和
1、5n(p+q)
2、B
3、C
4、n=10
5、24
6、S 奇/S 偶=n/n-1=4/3, n=4
7、45
8、D （a 5/b 5=S 9/T 9） 题型四：等差数列综合题精选
1、解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组
⎩⎨
⎧=+=+.
5019,
30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n
（Ⅱ）由242,2
)
1(1=-+
=n n S d n n na S 得方程 .24222
)
1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n
2、解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，得11
1
45a d a d +=⎧⎨+=-⎩，
解出13a =，2d =-．所以1(1)25n a a n d n =+-=-+． （Ⅱ）21(1)
42
n n n S na d n n -=+
=-+24(2)n =--． 所以2n =时，n S 取到最大值4．
3、解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 ()d n n na S n 12
1
1-+
= ∵ 77=S ，7515=S ，
∴ ⎩⎨
⎧=+=+, 7510515,
72171
1d a d a 即
⎩⎨
⎧=+=+, 57,
131
1d a d a 解得 21-=a ，1=d 。

∴ ()()12
1
21211-+-=-+=n d n a n S n ，
∵ 21
11=-++n S n S n n ，∴ 数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列，其首项为2-，公差为21，
∴ n n T n 4
941
2-=。

4、解：（1）设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2 由a 3=a 1+2d 1得 82
a d 1
31=-=
a 所以68n )1n (82a n -=-+=，所以a 2=10, a 1+a 2+a 3=30
依题意，得⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+=+30d 23
44b 6
d b 2121解得⎩⎨⎧==3d 3b 21，所以b n =3+3(n-1)=3n .2
3232)(21n n b b n S n n +=+=
（2）设a n =b m ,则8n-6=3m, 既8
)
2m (3n +=①，要是①式对非零自然数m 、n 成立，只需
m+2=8k,+∈N k ,所以m=8k-2 ，+∈N k ②
②代入①得，n=3k, +∈N k ,所以a 3k =b 8k-2=24k-6,对一切+∈N k 都成立。

所以，数列{}n a 与{}n b 有无数个相同的项。

令24k-6<100,得,12
53
k <又+∈N k ，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。

5、解：（Ⅰ）由S 14=98得2a 1+13d =14, 又a 11=a 1+10d =0，故解得d =－2,a 1=20.
因此，{a n }的通项公式是a n =22－2n ,n =1,2,3…
（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧≥〉≤6,0,7711114a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧≥〉+≤+6,010,11132111a d a d a 即⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤-〈--≤+12
2,0202,11132111a d a d a
由①+②得－7d ＜11。

即d ＞－711。

由①+③得13d ≤－1 即d ≤－13
1
于是－
711＜d ≤－13
1
，又d ∈Z , 故d =－1，将④代入①②得10＜a 1≤12. 又a 1∈Z ,故a 1=11或a 1=12.
所以，所有可能的数列{a n }的通项公式是 a n =12-n 和a n =13-n ,n =1,2,3,…
6、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.
又因为点(,)()n n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[
]
)1(2)132
---n n （
＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *
∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1
61
561(21+--n n ，
故T n ＝
∑=n
i i b 1
＝
2
1
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－1
61+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m
，即m ≥10，
所以满足要求的最小正整数m 为10
题型五、精选练习。