高中数学必修五等比数列的前n项和

解法2：设首项为a1，∵S4＝a111－－qq4＝1，且q＝2.
∴S8＝
a11－q8 1－q
＝
a11－q4 1－q
·(1＋q4)＝S4(1＋q4)＝1×(1＋24)
＝17.
规律技巧 在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn 中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时， 均可以列方程组求解.
(3)当q≠1时，Sn＝
a111－－qqn＝
1－a1 q －
a1 1－q
qn＝a－aqn(其中a
＝
a1 1－q
)．由此可知，若数列{an}的前n项和Sn＝a(1－qn)，且
a≠0，a≠1，则数列{an}是等比数列．
2．错位相减法 (1)课本上推导等比数列前n项和的方法，即错位相减法， 解决的主要求和问题是：由等差数列与等比数列的对应项乘积 构成的新数列求和问题，解此类问题仍需注意公比q是否为1. (2)有些数列求和可先用分组、拆项等方法，转化成每组均 可用公式或错位相减法求和的形式求解．
【解】 (1)由已知S6≠2S3，则q≠1. 又S3＝72，S6＝623，
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3，
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2. 将q＝2代入①，可得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝2n－2.
(2)解法1：设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，
∴a111－－224＝1，得a1＝115.∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17.
第二章 数列
§2.5 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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自学导引 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程． 2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.
课前热身 等比数列前n项和公式 等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝ ____________＝____________.当q＝1时，Sn＝__________.
解 (1)由已知，得a1＋a2＝4a1＋2， 解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3. 又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝ 4an＋1－4an， 于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn. 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
a1q2＝－12， a11＋q＋q2＝－9，
① ②
② ①得1＋qq＋ 2 q2＝34.
即q2＋4q＋4＝0，∴q＝－2.
3．求和Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解 分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1. 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann，上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1，两式相减，得
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一 基本运算
典例剖析
【例1】 (1)在等比数列{an}中，S3＝72，S6＝623，求an； (2)若q＝2，S4＝1，求S8. 【分析】 (1)本题已知等比数列的前3项和前6项的和，求 通项an，可利用等比数列前n项和公式，列方程组求解．(2)利 用前n项和求解．
＝1211－－1221n－2nn＋1＝1－21n－2nn＋1， ∴Tn＝2－2n1－1－2nn. 又1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1， ∴数列{ann}的前n项和 Sn＝2－2＋2nn＋nn＋ 2 1＝n2＋2n＋4－n＋2n2.
三 等比数列前n项和公式的应用 【例3】 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以 后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度 的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 【分析】 通过仔细审题，抓住“在以后每一分钟里，它 上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题 眼”，从而构造出等比数列模型——热气球在每分钟里上升的 高度组成一个等比数列，于是热气球上升的总高度便是该等比 数列的前n项和，利用公式即可．
1－1aSn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1， 即Sn＝aan－an1a－－n1a2 －1.
综上，得Sn＝nana2＋ n－11－an＝ a－1， 1 ana－12
a≠1.
4．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
【正解】 (1)当a＝0时，Sn＝1. (2)当a≠0时，1，a，a2，…an是等比数列，此时公比q＝ a，共有n＋1项． ∴当a≠1时，Sn＝1×11－－aan＋1＝1－1－ana＋1. 当a＝1时，Sn＝n＋1. 又当a＝0时，Sn＝1－1－ana＋1也成立．
n＋1 a＝1，
∴Sn＝1－an＋1 1－a
二 错位相减法求数列的和
【例2】
已知数列{an}的首项a1＝
2 3
，an＋1＝
2an an＋1
，n＝
1,2，….
(1)证明：数列{a1n－1}是等比数列； (2)求数列{ann}的前n项和Sn.
【分析】 (1)可如下变形 an＋1＝a2n＋an1⇔an1＋1＝12·a1n＋12； (2)用错位相减法求数列的前n项和．
a≠1.
随堂训练
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若SS63＝3，则SS96＝(
)
A．2
7 B.3
8 C.3
D．3
解析 S3＝a1＋a2＋a3， 则S6＝(a1＋a2＋a3)(1＋q3)， S9＝(a1＋a2＋a3)(1＋q3＋q6)． 由SS63＝3，得1＋q3＝3，∴q3＝2. 故SS96＝1＋1＋q3＋q3 q6＝1＋1＋2＋2 4＝73.
自
我 校
a11－qn 1－q
a1－anq 1－q
na1
对
名师讲解 1.前n项和公式及应用 (1)在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和 公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还 可利用前n项和公式解与之有关的实际问题． (2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 应用，同时要注意在使用等比数列前n项和公式时，务必考虑 公比q是否等于1，从而选择恰当的公式求解，特别是公比是字 母时，要讨论．
(2)由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2， 所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是a2nn＋ ＋11－a2nn＝34， 因此数列{a2nn}是首项为12，公差为34的等差数列， a2nn＝12＋(n－1)×34＝34n－14， 所以an＝(3n－1)·2n－2.
答案 B
2．在等比数列{an}中， (1)已知q＝2，S4＝1，求S8； (2)a3＝－12，S3＝－9, 求公比q.
解 (1)S4＝a111－－qq4＝a111－－224＝15a1＝1，∴a1＝115.
∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17.
(2)由a3＝－12，S3＝－9，得
【解】 (1)∵an＋1＝a2n＋an1， ∴an1＋1＝an2＋an1＝12＋12·a1n. ∴an1＋1－1＝12(a1n－1)． 又a1＝23，∴a11－1＝12， ∴数列{a1n－1}是以12为首项，12为公比的等比数列．
(2)由(1)知a1n－1＝12·2n1－1＝21n， 即a1n＝21n＋1，∴ann＝2nn＋n. 设Tn＝12＋222＋233＋…＋2nn，① 则12Tn＝212＋223＋…＋n－2n 1＋2nn＋1，② ①－②得 12Tn＝12＋212＋…＋21n－2nn＋1
易错探究 求和Sn＝1＋a＋a2＋…＋an. 【错解】 ∵1，a，a2，…，an成等比数列，且公比为q ＝a，∴Sn＝1×1－1－a an＝11－－aan.
【错因分析】 由于字母a没有限制条件，则a∈R，所以 当a＝0时，1，a，a2，…，an不是等比数列，当a≠0时，才是 等比数列．求和时，应分a＝1和a≠1两种情况求和，其和共有n ＋1项，而不是n项．
【解】 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意， 得an＋1＝45an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝45的等比数 列．
热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝a111－－qqn＝2511－－4545n
＝125×1－45n<125. 即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 规律技巧 在比较Sn与125的大小时，由于n未知，可能无 从下手，应考虑指数函数y＝45x，x>0，y<1而求解．