线性常系数奇次递推关系的一般解法

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线性常系数齐次递推

i
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
令
P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
例4 an - 4an -1 4an -2 0, a0 1, a1 4.
解 : 特征方程：x 4 x 4 0 ( x 2)
2 2
特征根 r 2(2重根)
所以 an ( A B n)2n
再根据初始条件a0 A 1, a1 2( A B) 4 可解得A 1, B 1
K ( x) 0, 即 x 2 bx c 0 称为特征方程，
它的根为 r 1,2 称为特征根. b b 2 4ac 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
于是 D( x) 1 bx cx (1- r1x)(1- r2 x)
2
下面就其根来进行讨论:
1) r1 r2的情形
根据定理可知，an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在求 an 的过程中扮演了十分重要的角色，用 D( x)表示，即D( x) 1 bx cx .

微分方程中的常系数齐次线性方程求解

微分方程中的常系数齐次线性方程求解在微积分学中，常系数齐次线性方程是一类常见的微分方程。

它们的解可以通过一定的方法得到。

在本文中，我们将介绍如何求解常系数齐次线性方程。

一、什么是常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程是指形如y″+ay′+by=0的微分方程，其中a和b为常数。

它们的特点是方程中的未知函数及其导数的系数都是常数。

二、求解常系数齐次线性方程的方法1. 特征方程法特征方程法是求解常系数齐次线性方程的一种常用方法。

具体步骤如下：（1）写出微分方程的特征方程，特征方程就是对应的代数方程。

对于y″+ay′+by=0，其特征方程为r²+ar+b=0。

（2）解特征方程，求得特征根。

设特征根为r₁和r₂，则特征方程的解为r₁和r₂。

根的个数和重根的情况会影响方程的解形式。

（3）根据特征根求解原方程的解。

当r₁和r₂为不同的实根时，原方程的通解可以表示为y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)，其中C₁和C₂为常数。

当r₁和r₂为不同的复数根时，通解可以表示为y=e^(αx)(C₁cos(βx)+C₂sin(βx))，其中α为实部，β为虚部。

2. 代入法代入法也是一种常用的求解常系数齐次线性方程的方法。

具体步骤如下：（1）设定未知函数的形式。

根据方程的阶数，设定未知函数的形式，如y=e^(mx)。

（2）将未知函数及其导数带入微分方程，消去常数，得到相应的代数方程。

（3）解代数方程，得到未知函数的表达式。

根据代数方程的解，确定未知函数的形式。

（4）确定未知函数的常数。

根据给定的初始条件，确定未知函数中的常数值。

3. 傅里叶级数法对于特定的边界条件，常系数齐次线性方程还可以通过傅里叶级数法进行求解。

该方法主要适用于周期性边界条件的问题。

三、实例分析为了更好地理解求解常系数齐次线性方程的方法，我们来看一个具体的实例。

例题：求解方程y″+3y′+2y=0.解法：首先写出特征方程r²+3r+2=0，解得特征根r₁=-1，r₂=-2.特征根不相等，所以方程的通解为y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)。

组合数学幻灯片52常系数线性齐次递归关系

(n 3)
这个递归关系就是例4所求解的递归关系。故由例4的结果可知
an=1+n
c1 pn cos n c2 pn sin n
式中 p 2 2 , tan1( / )
c1 A1 A2 , c2 i( A1 A2 ) 注意，c1和c2是由边界条件决定的常数。
例3 计算n×n行列式
1100 0 0 00000 1110 0 0 00000 0111 0 0 00000 0011 1 0 00000
k
k
ciqin
ci (b1qin1
b2
qn2 i
bk
qnk i
)
i 1
i 1k
k
k
b1
ci
q n1 i
b2
ciqin2 bk
ci qin k
i 1
i 1
i 1
因此(5.15)是递归关系式(5.12)的解。
定义5.5 若an是递归关系式(5.12)的任意
一个解，都存在一组适当的常数c1,c2,…,ck使得an可以表示为式(5.15)的形式，则称式 (5.15)是递归关系式(5.12)的通解。
解得
c1 (1 5) / 2 5,c2 (1 5) / 2 5
故递归关系式(5.5)的解为
Fn (1 5)n1 (1 5)n1 / (2n1 5)
求解递归关系
ana0
2an1 1, a1
an2 2an 2, a2 0
3
解：递归关系的
(n 3)
特征方程为 x3-2x2-x+2=0
若q1,q2,…,qk是递归关系式(5.12) 的互不相同的特征根，则
an c1q1n c2q2n ckqkn

常系数线性齐次矩阵列及函数列递归关系的解法

证明用 As ij 表示矩阵 As 的位于第 i 行第 j 列位
是递归关系 (3)的通解，其中 C1 , C 2 , , C k 为任意 s t 常数矩阵。证明用 As ij 表示矩阵 As 的位于第 i 行第 j 列位

置的元素。由(3)，则有
置的元素。由(3)，则有
An ij
a1 An 1 ij a 2 An 2 ij a k An k ij ，
An ij
a1 An 1 ij a 2 An 2 ij a k An k ij ，
i 1,2, , s; j 1,2, , t
x k a1 x k 1 a2 x k 2 ak 1 x ak 0
，
共有 t 个不同的根 q1 , q 2 , , qt ，它们的重数分别为
An ij C1 ij q1n C 2 ij q 2n C k ij q kn
由
它们的重数分别为
m1 , m2 , , mt ，
A0 C11 C 21 A1 C11 C12 C 21 2 2 A2 C11 2C12 C 21 2
则递归关系(4)的通解为：
f n (t ) F1 (n, t ) F2 (n, t ) Ft (n, t ) ，
n k
(3)
An C1 1n C2 2n 2 2n 3 2n 2 2 n 1 。 5 2 n 1 10 5 2 n 1 2 n 1 定理 2 若矩阵列递归关系(3)的特征方程(2)共有 t
个不同的根
定义 2

4.2_求解线性递推关系

a2 = ��,�� +2��,�� +4��,�� =-1,∴ ��,�� =3, ��,�� = −��
4.所得��,�� ,�� ,�� 值代入第2步，得an =(1+3n-2n2)(-1)n
��
练习P190 2 c)d)e)f)g)
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
特征根相等的情况：
定理2 c1 和c2 是实数, c2 ≠0。 r2 – c1r – c2 = 0 只有一个根：�� 当 ��
0
��n
0
(n = 0,1,2,… ，�� 和 �� 是常数)
练习P190 2 a)b)
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
下面推广：求大于2阶的线性齐次递推关系的解。它的特征根也有两种情况：不相等，有重根。
特征根不相等的情况：
定理3
c1, c2 ,…, ck是实数。 rk – c1rk−1 –⋯ – ck = 0有k个不等的根： r1, r2, …, rk。
当
n
(n = 0,1,2,… ，α1, α2,…, αk是常数)时，序列 {an} 是递推关系an = c1an−1 + c2an−2 + ….. + ck an−k的解。
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
例. 求递推关系an = 6an−1 -11an−2 + 6an−3的解，其中初始值a0 = 2 , a1 = 5，a2 = 15 。解：1.求其特征方程： an =rn代入，得rn –6rn-1+11rn-2 – 6rn-3 =0，除以rn-3得 r3 −6r2 +11r −6= 0.该方程的根为r=3 ,r=2和r=1 n 2.根据定理3公式 an = �� 1 �� +�� 2�� + �� 3�� 3.由已知的初始值 a0 = 2 , a1 = 5, a2 = 15代入上式得 a0 =�� 1 +�� 2 +�� 3 = 2 ,a1 =�� 1 +�� 2 +3�� 3 =5, a2 =�� 1 +�� 2 +9�� 3 =15,∴�� 1 =1，��2=-1, �� 3 =2 4.所得�� 1 、�� 2 、�� 3值代入第2步，得an =1-2n + 2∙3n.

C11 2阶常系数线性齐次递推关系

2阶常系数线性齐次递推关系Linear Homogeneous Relation of Degree 2•如果an的递推关系满足a n+C1a n-1+C2a n-2+…+C k a n-k=0，且初值为a0=d0, a1=d1, …a k-1=d k-1，则称这个等式为k阶常系数线性齐次递推关系（linear homogeneous relation of degree k）•多项式x k +C1x k-1+r2x k-2+…+r k=0称为它的特征多项式或特征方程（characteristic equation），其根称为特征根（characteristic root）。

是否常系数线性齐次递推关系？a n = a n-1⋅n Xa n = a n-1+2n-1 Xa n = 3a n-1+1 Xa n = 4a n-1- 4a n-2 √f n = f n-1 + f n-2 √T n = 2T n-1+1 Xx n+1 = x n(1-x n) X•例1•f= 1, f2 = 1, f n = f n-1+f n-21•特征方程是x2-x-1=0•例2•a= 1, a2 = 3, a n = 4a n-1-4a n-21•特征方程是x2-4+4=0•下面我们给出2阶常系数线性齐次递推关系的解法：•假设α, β是a n=c1a n-1+c2a n-2 的特征方程x2-c1x-c2=0 的两个根•a=(α+β)a n-1-(α⋅β)a n-2n•容易验证有a-α⋅a n-1=β⋅(a n-1-α⋅a n-2)n•递推可以得到：a n-αa n-1=β(a n-1-αa n-2)=β2(a n-2-αa n-3)=... =βn-1(a1-αa0)•由此倒推得到：a n-αn a0=(βn-1+αβn-2+α2βn-3+...+αn-1)(a1-αa0)•下面我们给出2阶常系数线性齐次递推关系的解法：•假设α, β是a n=c1a n-1+c2a n-2 的特征方程x2-c1x-c2=0 的两个根•若α≠β，则a n=uαn+vβn，其中u, v由初值决定•若α =β，则a n=a0⋅αn+(a1-αa0)⋅n⋅αn-1•例1•f 1 = 1, f 2 = 1, f n = f n -1+f n -2•特征方程是 x 2-x -1=0•两个特征根分别是和 •于是 f n = us 1n + vs 2n•由 f 1 = 1和 f 2 = 1 得到1=us 1+vs 2 及1 = us 12 + vs 22 •解出1152+=s 2152-=s 15=u 15=-v•于是，斐波那契数列的第 n 项是1151152255n ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n f•例2•a= 1, a2 = 3, a n = 4a n-1-4a n-21•特征方程是x2-4+4=0•特征根是α= 2，重数为二•可以求出a= 1/4•于是a n = a0⋅αn+(a1-αa0)⋅n⋅αn-1= (1/4)⋅2n+(1-2⋅1/4)⋅n⋅2n-1= (1+n)⋅2n-2E nd。

9-递推关系的求解

9 3 9
所以特解为 an = 7(−1)n − 1 n(−1)n + 2 2n
9 3 9
8.1 常系数齐次递推关系求解
一般方法总结: 一般方法总结 (1) 求齐次关系的一般解；求齐次关系的一般解； (2) 求非齐次关系的一个特解；求非齐次关系的一个特解； (3) 将一般解和特解相加即为非齐次的通解；将一般解和特解相加,即为非齐次的通解即为非齐次的通解；通过初始条件确定一般解中出现的常系数值. 通过初始条件确定一般解中出现的常系数值
L 6 =L = (4n−6)(4n−10)(4n−14)L ⋅ 2a1
L = 2⋅ (2n− 3) ⋅ 2⋅ (2n− 5)L 2⋅ 3⋅ 2⋅ 1
( = 2n−1 ⋅ 1⋅ 3⋅L 2n− 5) ⋅ (2n− 3)
= 2n−1(2n− 3)!!
8.3 差分
本节将介绍差分表，并利用差分表可计算通项公式,还可将多项式表示为广义组合数之和。如此的表示法可用来计算前 n个正整数
例求解递推关系
an = −an 1 + 3an 2 + 5an 3 + 2an 4 − − − − a0 = 1, a1 = 0, a2 = 143; x3 − 3x2 −5x − 2 = 0
, 特征根 q = q2 = q3 = −1 q4 = 2 1
第八讲递推关系的求解
8.1 常系数齐次递推关系求解
定义1:令是一个数列,若存在量定义令h0, h1, h2,…, hn,…是一个数列若存在量是一个数列 a1, a2, …,ak和bn(ak≠0,每个量是常数或依赖于的每个量是常数或依赖于n的每个量是常数或依赖于使得:h 数)使得 n= a1hn-1+ a2hn-2+…+ akhn-k+bn (n≥k)则使得则称序列满足k阶线性递推关系阶线性递推关系. 称序列满足阶线性递推关系称齐次的; 若bn=0,称齐次的称齐次的取常数,称常系数的称常系数的. 若a1, a2, …,ak取常数称常系数的

组合数学求解递推关系2

性质3
对线性齐次递推式：
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
设 ak x k , 可以吗？
相应的特征方程为：
x k a1 x k 1 ... ak 1 x ak 0
若 q 是特征方程的解，则 q n 是齐次递推式的解 .
性质4
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qk 是特征方程的 k个不同的
特征根，则 hn c1q1 c2 q2 ... ck qk
n n n
是齐次递推式的通解 .
对初始条件 h0 , h1 , ...， hk -1，可以唯一确定 hn c1q1 c2 q2 ... ck qk
总结
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qt 是特征方程的全部互异的特征根， qi 是si 重根（ i 1,2,..., t )，则 hn H n 其中 Hn
(i ) (1)
错位排列 :
Dn ( n 1)( Dn-1 Dn-1 )
二阶变系数线性齐次式。
Dn nDn-1 ( 1)n
一阶变系数线性非齐次式。例2 Fibonacci数列 f n f n-1 f n- 2 , f 0 0, f1 1 二阶常系数线性齐次式。例3 等比数列 hn qhn1 一阶常系数齐次等差数列 hn hn1 d 一阶常系数非齐次阶乘数列 hn n hn1 一阶变系数齐次

3.2常系数线性齐次递推关系

2
也都是递推关系(3.2.1)的解。
3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
特征方程(3.2.2)有k个不同的根x1,x2,…,xk 递推关系(3.2.1)的通解 an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋Akxkn 共轭复根x1＝peiө，x2＝pe-iө 递推关系(3.2.1)的通解an＝A1pncosnө ＋ A2pnsinnө ＋A3x3n ＋…＋Akxkn
定理3.2.3 如果特征方程(3.2.2)有k 个不同的根x1,x2,…,xk (可有共轭虚 x ( 根)，则 an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋Akxkn 是递推关系(3.2.1)的通解，其中 A1,A2,…,Ak为任意的常数。
3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
例3.2.1 解递归 f 0=0, 1=1 f
3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
把f0＝0, f1＝1代入通解得
A1 + A 2 = 0 1 + 5 1− 5 A1 + 2 A 2 = 1 2
5 A1 = 5 =− 5 A2 5
因此所求递归的解为
5 1+ 5 5 1− 5 fn= − 5 5 2 2
定理3.2.5 设x1,x2,…xt-1,xt(t＜k)是特征方程 (3.2.2)的t个不同根，且xt为m(m＝k－t＋1) 重根，则 an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋At-1xt-1n ＋n0Atxtn＋n1At+1xt+1n＋ …＋nm-1Akxkn 是递推关系(3.2.1)的通解，其中A1,A2,…,Ak 为任意的常数。
3.3.5 递推(3.2.1)特征根有重根
例3.2.3 解递归 a 0=0,a =1, 2=2, 3=3 a a

递推关系

递推关系递归公式是用它自身来定义的一个公式，我们习惯称之为递推关系或递推式。

如正奇数序列可以用递推式描述为：f(n)=f(n-1)+2, n>1 且f(1)=1当n为很大的值时，直接用递推来计算f(n)会很麻烦，所以希望能够用一种封闭的式子来描述这个序列，从它入手可以直接计算f(n)。

如果找到这样一种封闭的式子，则称递推式已经解出。

下面的内容给出了求解基本的递推式的一些方法。

递推关系如果具有如下这种形式，则称为常系数线性齐次递推式：f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)这里f(n)称为k次的。

当一个附加项包括常数或者n的函数出现在递推中，那么它就称为非齐次的。

一、线性齐次递推式的求解令f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)的一般解含有f(n)=x n形式的特解的和。

用x n来代替上式中的f(n)，得到：x n =a1x n-1+a2 x n-2 +…+a k x n-k两边同时除以x n-k得到：x k =a1x k-1+a2 x k-2 +…+a k或者写成x k -a1x k-1-a2 x k-2 -…-a k =0以上两等式都称为原递推关系的特征方程。

下面我们只限于一阶和二阶的线性递推关系。

一阶齐次递推方程的解可以直接得到，令f(n)=af(n-1)，假定递推序列从f(0)开始，由于f(n)=af(n-1)=a2f(n-2)=…=a n f(0)所以f(n)=a n f(0)是递推的解。

如果递推的次数是2，那么特征方程变为x2-a1x-a2=0,令这个二次方程的根是r1和r2，递推的解是：f(n)=c1r1n+c2r2n(r1≠r2)f(n)=c1r n+c2nr n(r1=r2)代入序列初始的值f(n0)和f(n0+1)解方程得到c1和c2的值。

例1序列1,4,64,256,…可以用递推关系表示为f(n)=3f(n-1)+4f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=4，求此递推式的解。

组合数学第二章5线性常系数非齐

p为待定系数，代入原递推关系得 p 4n 5 p 4n-1 6 p 4n-2 42 4n 化简得 42 p 42 16 p 16 故所求特解为 a *n 16 4n 4n 2
n
2.8 线性常系数非齐次递推关系
例4 求解递推关系 an - 5an-1 6an-2 2n 的特解
例 2，求解递推关系 an an1 7n 的特解
解：如果我们设a *n p1n p2 代入原递推关系得 ( p1n p2 ) -[ p1 ( n -1) p2 ] 7n
于是 p1 =7n
2.8 线性常系数非齐次递推关系
我们很直观的看出上式解不出p1 和 p2.这是因为当原递推关系的特征根是1时.如果所设的特解中n的最高次幂的次数与f(n)的次数一样时,代入原递推关系后,等式左边的n的最高次幂就会消去. 因此等式左边的多项式比右边的多项式的次数低. 为此在设特解时要将n的最高次幂提高,并且可以不设常数项
n
2.9
Stirling数
推广: n个有区别的球放到m个有区别的盒子里，要求m个盒子放的球数分别是
n1 , n2 ,, nm (n n1 n2 nm )
其不同方案数用下式表示：
n n1n 2 n m
(9.1)
2.9
Stirling数
计算如下
从n个有区别的球中取出n1个放到第1个盒子里去，其选取方案数为C(n,n1)；当第1个盒子的n1 个球选定后,第2个盒子里的n2个球则是从n- n1个中选取的，其方案数应为 C(n-n1,n2),第3个盒子的n3个球则是从余下的n-n1– n2个球中选取，其方案数C(n- n1-n2, n3)…..

第五章递归关系及解法

其中 A为待定常数。
例5 求解递归关系 an 4an1 4an2 2n的通解.
⑶f(n)= βn g(n),其中g(n)为n的t次多项式, β是导齐次线性递归关系的m重特征根(m≥0) 这时,(5.3.1)的特解形式为
an (A0nt A1nt1 At1n At ) nm n.
▪ 一、迭代法
例1
求解递归关系
aa0n
an1 1.
n
(n 1)
▪ 二、归纳法
例2
求解递归关系
aa1n
an1 2.
2(n 1)
(n 2)
三、母函数法
主要思想:
⑴用f(x)表示序列{a0,a1,a2,…,an,…}的普通母函数,即
f (x) a0 a1x a2 x2 an xn an xn , (5.4.1) n0
且仅当q为特征方程(5.2.2)的根。
▪ 定义5.2.3 称式
a0 h0 , a1 h1 , , ak1 hk1,
为递归关系(5.2.1)的初值条件。
(5.2.1)
定理5.2.2 若q1,q2,…,qk为递归关系式(5.2.1)的特征根，c1,c2,…,ck为任意常数，则 an c1q1n c2q2n ck qkn ,
▪ 1.f(n)是n的t次多项式 ⑴1不是齐次递归关系(5.3.2)的特征根
这时,(5.3.1)的特解形式为 an A0nt A1nt1 At1n At ,
其中 A0 , A1,, At1, At 为待定常数。
例1 求解“Hanoi塔”问题的递归关系
aa1n
2an1 1.
1
(n 2)
▪ 例1 求Fibonacci序列的通项。
▪
例2
求解递归关系

三项齐次递推式的一般解公式

三项齐次递推式的一般解公式众所周知，三项齐次递推式是数学分析中的一种特殊的经典问题，也是一类有趣的数学问题。

这类问题有着广泛的应用，在实际问题的解决中也有着重要的应用，因此，对这一问题的深入研究就变得尤为重要。

三项齐次递推式可以用Xn+1=aXn+bXn-1+c表示，其中a,b,c也被称为预定系数。

我们可以将它化为一般形式，即Xn+1-aXn=bXn-1+c，可以看出，这个递推式有解，所以我们可以对它给出一般的解公式。

解一般的三项递推式的一般解公式：如果ax2-4bc=0，且a≠2b，则递推式的一般解是：Xn=Arn汉+B(2b-a)r汉r汉 = (-a±√a2-4bc)/2b）如果ax2-4bc≠0，则有：Xn=Ccos(nφ)+Dsin(nφ)（φ=(ln(r1)-ln(r2))/(-θ1+θ2)）其中C,D,θ1,θ2都与a,b,c有关，且满足：Ccosθ1+Dsinθ1=A，Ccosθ2+Dsinθ2=B.以上的公式就是三项齐次递推式的一般解公式，基本上就是这个形式。

当我们推导出这一一般解公式之后，就可以用它来解决具体的三项齐次递推式的具体问题。

因为我们已经知道了解决该问题的统一公式，所以只需将递推式的预定系数代入到一般公式中即可得到一般解，通过对比可以计算出特殊解。

三项齐次递推式的一般解公式在实际应用中也有着重要的意义。

它可以用来解决许多具体应用问题，比如经济学中的投资问题、生态学中的植物和动物数量分析等，它们都可以用递推方法进行分析。

因此，三项齐次递推式的一般解公式可以说是一个重要的数学知识点，它的熟练运用可以为许多实际问题的解决提供方便。

它的正确使用正是为解决实际问题奠定基础的重要条件，且在许多领域的实际应用中都有广泛的重要意义。

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线性常系数齐次递推关系的求解 ✧ 母函数
对于序列0C ，1C ，2C ，……构造一函数
2012()G x C C x C x =+++……
称为()G x 为序列0C ，1C ，2C ，……的母函数。

由此可知，母函数与序列是一一对应的，求解母函数，得到x n
系数便是要求的C n 。

✧ 线性常系数齐次递推关系的求解过程：（侧重于求解过程）
1.由递推关系写出特征方程C(x)=0，求出k 个特征根（12,,...,t ααα）。

2.由递推关系可以得到序列012,,,...,,...n a a a a 其中，n a 便是我们想要得到的通项公式。

与序列012,,,...,,...n a a a a 对应的母函数为
2012()......n n G x a a x a x a x =++++++ 便可化为
1212()()(1)(1)...(1)t
k k k t P x G x x x x ααα=---
其中有 12···t k k k k +++=
1212()()(1)(1)...(1)t
k k k t P x G x x x x ααα=--- 121212()()()···(1)(1)(1)t
t k k k t P x P x P x x x x ααα=+++---
其中()i P x 为次数不超过1i k -次的多项式。

3.
122()···(1)1(1)(1)i i i
ik i i i k k i i i i A P x A A x x x x αααα=+++---- 其中，i ik A 为待定系数，代入边界值（或初始值）求出i ik A 。

4.利用以下公式将函数
1
(1)t k t x α-在0x =处展开为幂级数，整理求解x n 的系数即可。

线性常系数齐次递推关系快速求解过程（侧重于结果形式）
1.若特征方程C(x)=0，有t 个单根12,,...,t ααα，则
1122···n n n n t t a Aa A a Aa =+++
2. 若特征方程C(x)=0，有一对共轭复根i e
θρ±（a ib ±），其中 22a b ρ=+，arctan
b a θ=
则 cos()sin()n n n a A n B n ρθρθ=+
3. 若特征方程C(x)=0出现k 重根α，则
()n n a f n α=
其中，()f n 为1k -次多项式，不妨设
1212
1()...k k k k f n A n A n A n A ---=++++ 代入边界值（或初始值）即可求出待定系数，从而求出{{}n a 的通项公式。