第6章 弯曲变形

如：卸荷机构； 载荷尽可能靠近支座； 分散集中力，直至成为均布力。
第6章 弯曲变形 §6.5 减小弯曲变形的一些措施 影响弯曲变形的因素有：
弯矩M、跨度l、支座条件、截面惯性矩I、材料的E 2. 选择合理的截面形状，以增大I，
如：采用薄壁工字形、箱形、圆环截面。 3. 采用优质钢材（提高E），对提高弯曲刚度意义不大，
dw dx
1 EI
1 2
Fx2
Flx
C
w
1 EI
1 6
Fx3
1 2
Flx2
Cx
D
§6.2 用积分法求弯曲变形 解：
第6章 弯曲变形
4）由梁的边界条件确定积分常数
在固定端处横截面：x=0，θ=0，w=0，
代入积分式，求得C=0，D=0。
5）转角方程和挠曲线方程
dw dx
1 EI
1 2
Fx2
求全部支反力，并绘内力图。
解：1）建立等效静定梁，如图b 2）建立静定基，如图c、图d 3）建立变形协调条件 wB wBq wBF 0 原超静定梁图a在B处挠度wB=0 等效静定梁图b在B处挠度 wB wBq wBF
第6章 弯曲变形 §6.4 简单超静定梁 解：1）建立等效静定梁，如图b
B
Bq
BM
ql 3 24EI
M el 6EI
§6.4 简单超静定梁
第6章 弯曲变形
1. 超静定梁：支反力数目>独立平衡方程数
图a为一次超静定梁，需补充一个方程。
2. (变形)等效静定梁 解除多余约束(支座B)，代之以约束力(FRB)，
得到的静定梁(在q和FRB共同作用下的静定悬 臂梁)，图b。其变形与原超静定梁的变形相同。
第6章 弯曲变形 §6.3 用叠加法求弯曲变形
例6-2 简支梁AB，抗弯刚度EI，受均布载
荷和集中力偶作用，试用叠加法求中点C
的挠度和A、B截面的转角。
解：此梁上的载荷可分为两简单载荷，如图。
2）集中力偶单独作用时，查表得：p186
wCM
Mel2 16EI
AM
M el 3EI
，
BM
M el 6EI
x=2l/3，w左=w右
5. 将C、D代入积分式，得梁的转角方程和挠曲线方程， 进而可求梁上任一横截面的转角和挠度。
第6章 弯曲变形 §6.2 用积分法求弯曲变形 例6-1 图示等截面悬臂梁AB，弯曲刚度EI， 在自由端作用一集中力F。求梁的挠曲线方 程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和 最大转角θmax。
第6章 弯曲变形
2）建立静定基
3）建立变形协调条件
4）物理关系
5）受力如图，按静力平衡条件求固定端
的三个支反力得：
FAx 0, FAy 5ql / 8, MA ql2 / 8
6）绘剪力图和弯矩图
第6章 弯曲变形 §6.5 减小弯曲变形的一些措施 影响弯曲变形的因素有：
弯矩M、跨度l、支座条件、截面惯性矩I、材料的E 1. 减小弯矩 • 减少跨度： • 增加支撑：如车床上的尾顶尖、中心架、跟刀架p194 • 改善受力情况p192
2）建立静定基，如图c、图d
3）建立变形协调条件 wB wBq wBF 0
原超静定梁图a在B处挠度wB=0
等效静定梁图b在B处挠度 wB wBq wBF
4）物理关系，查p185表得：
ql 4
wBq
8EI
,
wBF
FRBl 3 3EI
代入变形协调条件解得
FRB
3 8
ql
§6.4 简单超静定梁 解：1）建立等效静定梁
解：1）求梁的弯矩方程 建立坐标系如图，取x处横截面右段为
分离体，弯矩方程为 M (x) F(l x)
第6章 弯曲变形 §6.2 用积分法求弯曲变形
解：1）弯矩方程为 M (x) F(l x)
2）建立梁的挠曲线近似微分方程为 d 2w M (x) F(x l) dx2 EI EI
3）积分得
2. 梁的弯曲变形：2参数如图 • 挠度w：梁上x处横截面的形心沿
y方向的线位移。向上为正。 挠曲线方程：w=w(x) • 截面转角θ：横截面绕中性轴转 动的角度。逆时针方向为正。 转角方程：θ=θ(x)
§6.1 挠曲线的微分方程 3. 挠度与转角的关系：
第6章 弯曲变形
tan dw w(x)
§6.4 简单超静定梁
第6章 弯曲变形
3. 静定基：即基本静定梁
按叠加原理，各载荷单独作用时的静定梁。
如图c、图d
4. 求解超静定梁支反力的基本方法：变形比较法 比较等效静定梁和原超静定梁在多余约束处的变形，
利用叠加原理写出变形协调条件，求解。
§6.4 简单超静定梁
第6章 弯曲变形
例6.3 图a所示悬臂梁，已知EI、l、q，
3. 边界条件
• 简支梁支座处：挠度都等于零，
即x=0，w=0；x=l，w=0
• 悬臂梁固定端处：挠度和转角都等于零
即x=0，w=0，θ=0
第6章 弯曲变形 §6.2 用积分法求弯曲变形 4. 变形连续条件 • 连续梁中间截面处：
左右挠度相等、左右转角相等
即w左=w右，θ左=θ右
• 中间铰处：左右挠度相等。
因为各类钢材的弹性模量比较接近。
dx
4. 挠曲线近似微分方程：p177
d 2w dx2
百度文库
M (x) EI
第6章 弯曲变形
§6.2 用积分法求弯曲变形
1. 梁上任一横截面的转角和挠度的求法：对挠曲线近似微分方程积分。
•
一次积分得转角
dw dx
M (x) dx C EI
•
二次积分得挠度
w
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
2. 确定积分常数C、D的方法：利用梁的边界条件及变形连续条件。
Flx
w
1 EI
1 6
Fx3
1 2
Flx2
第6章 弯曲变形 §6.2 用积分法求弯曲变形
解： 5）转角方程和挠曲线方程
dw dx
1 EI
1 2
Fx2
Flx
w
1 EI
1 6
Fx3
1 2
Flx2
6）求最大挠度和最大转角
据受力情况和边界条件知：此梁最大挠度和最大转角都在自由端，即x=l 处。
工程上，梁必须同时满足强度条件和刚度条件；
一般地，若满足强度条件，则刚度条件也能满足；
设计梁时，一般先由强度条件选择梁的截面，然后再校核刚度。
第6章 弯曲变形 §6.3 用叠加法求弯曲变形
梁上作用单一载荷时，弯曲变形（横截面转角和挠度）通过积分法求解； 梁上同时作用多个载荷时，弯曲变形如何求？ 总变形等于各载荷单独作用引起的变形的代数和，即叠加原理。p184 ∵梁在小变形条件下，材料服从胡克定律，是线弹性的； ∴挠曲线近似微分方程是线性的（即弯矩是一次的）； 又∵弯矩与外力之间也是线性的； ∴转角与外力之间是线性的、挠度与外力之间也是线性的； ∴弯曲变形可叠加。
第6章 弯曲变形
§6.1 挠曲线的微分方程 §6.2 用积分法求弯曲变形 §6.3 用叠加法求弯曲变形 §6.4 简单超静定梁 §6.5 减小弯曲变形的一些措施
第6章 弯曲变形 弯曲变形可用来求解弯曲刚度问题、超静定问题和振动问题。 §6.1 挠曲线的微分方程 1. 挠曲线：梁变形后的轴线。为平面曲线，且在梁的xy纵向对称面内。
Fl2 ,
max 2EI
w Fl3 max 3EI
横截面B顺时针方向转动，B点位移向下。
第6章 弯曲变形 §6.2 用积分法求弯曲变形
若全梁上的弯矩不能用统一的方程式表示，则应分段列出弯矩方程
和挠曲线近似微分方程，并分段积分。
6.
梁的刚度条件为
w [w], max
[] max
一般轴[w] (0.0003 0.0005)l ，滑动轴承 [ ] (0.003 0.005)rad
第6章 弯曲变形 §6.3 用叠加法求弯曲变形
例6-2 简支梁AB，抗弯刚度EI，受均布载
荷和集中力偶作用，试用叠加法求中点C
的挠度和A、B截面的转角。
解：3）将两结果叠加，得：
wC
wCq
wCM
5ql4 384EI
Mel2 16EI
A
Aq + AM
=
ql 3 24EI
M el 3EI
第6章 弯曲变形 §6.3 用叠加法求弯曲变形
例6-2 简支梁AB，抗弯刚度EI，受均布载
荷和集中力偶作用，试用叠加法求中点C
的挠度和A、B截面的转角。
解：此梁上的载荷可分为两简单载荷，如图。
1）均布载荷单独作用时，查表得：p187
5ql 4
wCq
384EI
Aq
ql 3 24EI
， Bq
ql 3 24EI