模糊数学 第四章---模糊关系

x X
2.模糊自反关系(fuzzy reflexive relations)
定义 R F ( X X ), 若x X , R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1 根据主对角线元素是否为1判定R 是否自反
命题3.1 R自反 [0， 1]， R 是普通自反关系.
1]) 证明：R自反 x X , R( x, x) 1 ( [0，
即( x, x) R R 是普通自反关系 . 反之，若 [0,1]，R自反 R1 自反 ( x, x) R1 R( x, x) 1,即R( x, x) 1.
1 rij rij 0 rij
例1
0.2 0.4 0.7 R 0.6 0.3 0.8 0.6 0.5 0.7
0.8 0.6 0.5 S 0.4 0.3 0.7 1 0.5 0.4 0.8 0.6 0.3 c R 0.4 0.7 0.2 0.4 0.5 0.3 0 0 1 1 0 1 1 0 1
tT tT
R R
[ 0 ,1]
4. 有限论域上的模糊关系
设X {x1, x2 ,, xn }, Y { y1, y2 ,, ym} ,
R : X Y [0,1], ( xi , y j ) R( xi , y j ) [0,1]
令rij R ( xi , y j )得矩阵
R( x, y)称为x, y具有关系R的程度(关联度)。 显然R F ( X Y ). 特别，从X到X的模糊关系称为 X上的模糊关系.
例如，远远大于>> : 1 100 1 x y ( x, y ) ( x y ) 2 0 x y (2, 1) 1 / 101, (11, 1) 0.5, (101, 1) 100 / 101
2 2
R R x, z X , R( x, z) R ( x, z )
R ( x, z ) ( R ( x, y ) R ( y, z ))
yX
x, y, z X , R( x, z ) R( x, y ) R( y, z )
命题3.4 R传递 x, y, z X , R( x, z ) R( x, y) R( y, z )
1
X 有限时，
根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系
0.3 0.1 为对称关系. 0.1 0.3
命题3.3 R对称 [0， 1]， R 是普通对称关系.
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y) ( y, x) R
1. 普通关系的合成的特征关系 R P ( X Y ), S P (Y Z ), T P ( X Z )
若( x, z ) T y Y , ( x, y) R, ( y, z ) S ,
则T称为R与S的合成，记为 T R S .
T ( x, z ) 1 ( x, z ) T y Y , ( x, y ) R且( y, z ) S. y, R( x, y ) 1且S ( y, z ) 1 y, R( x, y ) S ( y, z ) 1 ( R( x , y ) S ( y, z )) 1.
第三章 模糊关系
第一节 模糊关系的基本概念 第二节 模糊关系的合成 第三节 模糊等价关系 第四节 模糊相似关系 第五节 模糊关系应用 (模糊聚类分析和模糊综合评判)
1. 概念 定义3.1 设 X , Y 是论域, R : X Y [0,1] 称为从X 到 Y 的模糊关系.
第一节 模糊关系的基本概念
0.2 0.4 0.5 R S 0.4 0.3 0.7 0.6 0.5 0.4
R c S c ( R S )c
0.8 0.6 0.5 0.6 0.7 0.3 0.4 0.5 0.6 R0.6
第二节 模糊关系的合成
R (rij )lm , S (sij )mn , T (tij )ln
T ( xi , zk ) ( R( xi , y j ) S ( y j , zk ))
y j Y
m
( R ( xi , y j ) S ( y j , zk )).
j 1
ti k (ri j s j k ) (i 1,2,, l ; k 1,2,, n).
1
(2) ( R S ) 1 R 1 S 1 (3) ( R ) ( R )
c 1 1 c
证明：(3) ( Rc )1 ( x, y) Rc ( y, x) 1 R( y, x)
( R ) ( x, y) 1 R ( x, y) 1 R( y, x).
从而，
1 c
1
(R ) (R )
c 1
1 c
3.截关系与强截关系
R {( x, y) | R( x, y) }
称为R的 截关系
R {( x, y) | R( x, y) }

称为R的强 截关系
截关系与强截关系分别满足截集与强截集性质 例如： ( Rt ) ( Rt ) ,
yY
则称T是R与S的合成，记为 T R S .
当R F ( X X ), R R记为R2 ,
即R 2 ( x, z ) ( R( x, y ) R( y, z )).
yX
一般地，Rn Rn1 R (n 2, 整数） .
3. 有限论域上模糊关系合成
X {x1, x2 ,, xl }, Y { y1, y2 ,, ym }, Z {z1, z2 ,, zn }
R 是普通对称关系. 反之，若，R 对称， 任取x, y X ,
令 R( x, y) 则( x, y) R , 从而( y, x) R ,
于是R( y, x) R( x, y),
类似得R( x, y) R( y, x)
故R( x, y) R( y, x).
3. 模糊对称关系(fuzzy symmetric relations) 定义
R F ( X X ), 若x, y X , R( x, y) R( y, x)，
则ห้องสมุดไป่ตู้R为模糊对称关系.
显然，R为模糊对称关系 x, y, R( x, y) R ( x, y)
R 1 R
可推广
R ( x, y) 1 R( x, y)
c
结论 : ( F ( X Y ), U, I , c)是一个软代数 但不是布尔代数.
R的逆R1 F (Y X )定义为： R ( y, x) R( x, y)
性质： (1) ( R S ) 1 R 1 S 1
y
故T ( x , z ) ( R( x , y ) S ( y, z )).
y
2. 模糊关系合成的定义
设R F ( X Y ), S F (Y Z ), T F ( X Z ) 若对( x, z ) X Z , T ( x, z ) ( R ( x, y ) S ( y, z )).
j 1
m
公式：tik (ri1 s1k ) (ri 2 s2 k ) (rim smk )
tij (ri1 s1 j ) (ri 2 s2 j ) (rim smj )
将矩阵乘法中乘积改为取小，加改为取大
0.8 0.3 0.3 0.7 0.3 0.7 0.2 0.1 0.8 0 0.9 1 0.8 0.6 0.5 0.6
2. 运算
设R, S F ( X Y )
R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y );
( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y ) ( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y )
设R (rij )nm , S ( sij )nm ,
即R( xi , y j ) rij , S ( xi , y j ) sij
则（R S )( xi , y j ) R( xi , y j ) S ( xi , y j ) rij sij 所以，R S (rij sij )nm .
(0.3 0.8) (0.7 0.1) (0.2 0.5)
0.3 0.1 0.2 0.3
合成与矩阵乘积规则及注意事项类似
第三节 模糊等价关系 1.普通等价关系
R XX
自反关系： x X , ( x, x) R
对称关系： ( x, y ) R ( y, x) R
4. 模糊传递关系(fuzzy transitive relations)
定义 例如
2 R F ( X X ), 若R R , 则称R是模糊传递的.
0.5 1 0.5 0.5 2 R 则R 0.4 0.4 0.4 0.4 R R 2 , 故R是传递的.
传递关系： ( x, y ) R且( y, z ) R ( x, z ) R
等价关系： 自反、对称、传递
利用等价关系R可以对X进行划分(partition) x X , 令[ x] { x'| ( x' , x) R} [ x1 ] [ x2 ]或[ x1 ] [ x2 ] X [ x ]
例2.
X {1.4， 1.5， 1.6, 1.7} Y {40,50,60,70,80}
身高与体重之间的关系为：
1 0.8 0.2 0.8 1 0.8 R 0.2 0.8 1 0 0.1 0.2 0.1 0 0.2 0.1 0.8 0.2 0.8 1
类似可得： R S (rij sij ) nm . R c (1 rij )nm .
R 1 ( yi , x j ) R( x j , yi ) rji R S i, j, rij sij
即R 1为R的转置.
R {( xi , y j ) | R( xi , y j ) } {( xi , y j ) | rij } )nm R (rij
r11 r21 r n1
r12 r22 rn 2

r1m r2 m rnm
视其为关系R, 即R (rij )nm
rij为xi , y j具有关系 R的程度.
例1. X Y {甲，乙，丙} R 信任
1 0.8 0.9 R 0.3 1 0.9 0.9 0.3 1