【高二数学竞赛班】二试数论讲义-《欧拉、威尔逊定理》

一、知识点金
1．算术基本定理：任何一个正整数n ，都可以唯一分解成素因数乘积的形式，
其中1212k k n p p p α
αα=⋅⋅⋅。

12,,,k p p p ⋅⋅⋅均为素数，12,,,k ααα⋅⋅⋅为非负整数。

记()n τ是n 的正约数的个数，()n σ是n 的正约数的和，则1()(1)(1)k n ταα=+⋅⋅⋅+，
11+1+1111111()(1)(1)11
k k k k k k p p n p p p p p p αααασ--=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅--2．n 为平方数的充分必要条件是()n τ为奇数
3．完系和缩系：在模m 的m 个剩余类中各任取一个数作为代表，这样的m 个数称为模m 的一个完全剩余系，简称完系。

如果i 和m 互素，则易知同余类i M 中所有数都和m 互素，这样的同余类称为模m 缩同余类，我们将模m 缩同余类的个数记作()m ϕ，称为欧拉函数。

在()m ϕ个缩同余类中各任取一个数作为代表，这样的()m ϕ个数称为模m 的一个缩剩余系，简称缩系（也称简系）。

4．设(,)1a m =，b 是任意整数。

（i ）,2,3,,(1),a a a m a ma ⋅⋅⋅-是模m 的完系。

a 叫做模m 的生成元。

（ii ）若12,,,m c c c ⋅⋅⋅是模m 的完系，则12,,,m ac b ac b ac b ++⋅⋅⋅+也是模m 的完系。

（iii ）若12(),,,m r r r ϕ⋅⋅⋅是模m 的缩系，则12(),,,m ar ar ar ϕ⋅⋅⋅也是模m 的缩系。

证明：(,)1a m =，
（i ）假设(mod )ia ja m ≡，j i ≠，则|m ia ja -，因为(,)1a m =，所以|m i j -，矛盾！
（ii ）假设(mod )i j ac b ac b m +≡+，j i ≠，则|()i j m a c c -，所以|i j m c c -，矛盾！
（iii ）(,)1,(,)1i j ar m ar m ==，假设(mod )i j ar ar m ≡，j i ≠，则|i j m r r -，矛盾！
5．欧拉函数()n ϕ，它表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数，设1212k a
a a k n p p p =⋅⋅⋅，12,,,k p p p ⋅⋅⋅均为素数，则11()(1)k
i i
n n p ϕ==-
∏。

因此，若(,)1m n =，则()()()mn m n ϕϕϕ=证明：由容斥原理111
121()(1)(1)k k k i i j k i i i j k i n n n n n n p p p p p p p ϕ=≤<≤==-+-⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅∑∑∏因为(,)1m n =，则,m n 没有相同素因子，由公式易得()()()
mn m n ϕϕϕ=6．欧拉定理：设(,)1a m =，则()1(mod )
m a m ϕ≡证明：当(,)1a m =时，若12(),,,m r r r ϕ⋅⋅⋅是模m 的缩系，
则12(),,,m ar ar ar ϕ⋅⋅⋅也是模m 的缩系。

所以12()12()m m ar ar ar r r r ϕϕ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，即()12()|(1)m m m r r r a ϕϕ⋅⋅⋅-，所以()|1
m m a ϕ-费尔马小定理：p 为素数，且|p n ，则1|(1)p p n
--。

即p 为素数，且1),(=n p ，)(mod 11p n p ≡-证明：当p 为素数，且|p n 时，(,)1p n =，()1p p ϕ=-，由欧拉定理得11(mod )
p n n -≡费尔马小定理的推论：p 为素数，对任意正整数n ，都有|()p p n n -。

7．威尔逊定理：设p 为素数，则(1)!1(mod )
p p -≡-欧拉定理、威尔逊定理
高二数学竞赛班二试讲义
证明：若(,)1a m =，则由4（iii ）可知，存在x 使得1(mod )ax m ≡。

我们称x 为a 关于模m 的逆，记作1
a -或1a。

当2p =时结论显然成立。

如3p ≥，由上述结论知，对每个a ，11a p ≤≤-，有唯一的1a -，使得11(mod )aa p -≡当1(mod )a a p -≡时，等价于21(mod )a p ≡，则11(mod )a a
p -≡=±所以3p -个数{}2,3,,2p ⋅⋅⋅-可配为32
p -对，每对{}1,a a -满足11(mod )aa p -≡。

因此，(1)!12(2)(1)1(1)1(mod )
p p p p p -≡⋅⋅⋅⋅⋅⋅--≡⋅-≡-二、例题分析
例1．（1）证明：完全平方数模4同余于0或1
（2）证明：奇数的平方模8同余于1
（3）证明：完全立方数模9同余于0，±1
例2．设a 是奇数，n 为正整数，证明：211(mod 2)
n n a +≡例3．设,p q 是不同的奇素数，1|21pq pq --，则11|21,|21q p p q ----，反之亦然。

例4．若正整数n 满足()2n n σ=，则称n 为完全数。

证明：偶数n 为完全数的充分必要条件是12(21)k k n -=-，
且21k -是素数。

三、同步检测
1．设21p p M =-，p 是素数。

证明：若|p q /，则(,)1p q M M =。

2．证明：有无穷多个41k -形式的素数，也有无穷多个61k -形式的素数（k 为正整数）。

3．设n 是给定的正整数。

证明：存在连续n 个正整数，其中每一个都不是素数。

4．设n 是偶数，12,,,n a a a ⋅⋅⋅与12,,,n b b b ⋅⋅⋅都是模n 的完系。

证明：1122,,,n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+不是模n 的完系。

5．设3p ≥是素数，121,,,p a a a -⋅⋅⋅与121,,,p b b b -⋅⋅⋅都是模p 的缩系。

证明：112211,,,p p a b a b a b --⋅⋅⋅不是模p 的缩系。

6．设p 是一个素数，k 为正整数，则
（1）|k
p p C ，对1,2,,1k p =⋅⋅⋅-成立。

（2）1(1)(mod )k k p C p -≡-，对1,2,,1k p =⋅⋅⋅-成立。

欧拉定理、威尔逊定理
例1．证明略
例2．对n 归纳。

1n =时易证。

假设1n =时结论成立，即12112n n a
x -+=+，两边平方，则1222()12n n a x -+'=+，所以211(mod 2)
n n a +≡例3．1(1)1121(21)221pq p q q q -----=-⋅+-，1|21pq pq --知1|21pq p --，
所以(1)11|(21)221p q q q p ----⋅+-，由费尔马小定理，121(mod )p p -≡，所以1|21
q p --同理1|21p q --例4．设12k n m -=，其中2,2|k m ≥/。

由公式得出2122()21k k m n m σ-==-，故()21k m m m σ=+-，但m 及21k m -都是m 的约数，而()m σ为m 的所有正约数之和，故m 只有这两个约数，即m 为素数，且121k m =-1．由带余除法得(,)(,)(21,21)2
1p q p q p q M M =--==2．设形如41k -的素数只有有限多个，设为12,,,n p p p ⋅⋅⋅，考虑奇数N =1241n p p p ⋅⋅⋅-，易知1N >，故N 有素
数因子。

如果这些素数因子都是41k +形式，则它们的积也是这种形式。

但N 是41k -的形式，从而必有一个素数因子形如41k -，又显然不同于12,,,n p p p ⋅⋅⋅，矛盾。

3．可取(1)!2,(1)!3,,(1)!1
n n n n ++++⋅⋅⋅+++4．反证法：假设有一组12,,,n a a a ⋅⋅⋅与12,,,n b b b ⋅⋅⋅使1122,,,n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+是模n 的完系，则
112212()()()2(12)(mod )
n n n a b a b a b n n ++⋅⋅⋅+≡++++⋅⋅⋅++≡++⋅⋅⋅+即(1)|2
n n n +。

因为n 是偶数，这不能成立。

5．由威尔逊定理，模p 的任一缩系的乘积(1)!1(mod )
p p ≡-≡-6．（1）因11k k p p kC pC --=，故|k p p kC ，但显然(,)1k p =，所以|k
p p C 。

（2）因111k k k p p p C C C ---=+，故1110(mod )k k p p C C p ---+≡，对k 归纳得出证明。