高二数学选修2-1-曲线与方程(123)-精品PPT课件
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结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y
A
0
2x
分析特例归纳定义
定义 曲线的方程，方程的曲线
• 给定曲线C与二元方程f（x，y）=0， 若满足
• （1）曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• （2）以这个方程的解为坐标的点都
是曲线上的点
y
• 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条
f(x,y)=0
2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
• 主要内容：
• 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题
• 重点和难点：
• 曲线和方程的概念
？
曲线和方程之间有 什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
l 第一、三象限角平分线
点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
一、方程的曲线和曲线的方程: ⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性)
就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是
这条曲线的方程.
二、坐标法 形成
解析几何
在平面上建立直角坐标系:
y
f(x,y)=0
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
例2：解答下列问题，并说明理由：
（1）判断点A（-4，3），B (3 2, 4) ，C ( 5, 2 5) 是
否在方程 x2 y2 25(x 0) 所表示的曲线上。
（2）方程
ax2
by2
25
所表示的曲线经过点A (0,
5), 3
B（1，1），则a=
,b=
.
下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？ 如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线，方程为(x-y)(x+y)=0;
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方 程为x+ =0;
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴 的距离乘积为1的点集，方程为y= 。
y 1
-1 0
x 1
y
1 -2 -1 0 1 2 x
y
1
图3 -2 -1 0 1 2 x
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，
那么（ D）
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是 xy k.
归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0) 是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.
例5、判断方程|x-1|+|y-1|=1所表示的曲线形状。
小结：
• 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和 方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线 是方程的曲线时就意味着具备上述两个条 件，只有具备上述两个方面的要求，才能 将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化 为代数问题，以数助形正是解析几何的思 想，本节课正是这一思想的基础。
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49 化简
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
点 一一对应 坐标(x,y)
0
曲线 坐标化 曲线的方程
研究
平面解析几何研究的主要问题是：
x
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
问题 1.
设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
解:∵ kAB 又∵线段
7 (1) 2 ,∴所求直线的斜率 k 3 (1)
AB 的中点坐标是 (1 3 , 1 7)
=1 2
即(1,3)
22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 1 (x 1) .
2
法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0
──需要掌握一般性的方法
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程.我们的目标就是要找x与y的关系式
曲线C的方程
• 这条曲线C叫做这个方程的曲线
0
x
分析特例归纳定义
2、两者间的关系：点在曲线上
点的坐标适合于此曲线的方程
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P(x0, y0 ) 在曲线C上的充要条件 是 f (x0, y0 ) 0
曲线
条件
方程
y l x-y=0 得出关系：
0x
（1） 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在上
分析特例归纳定义
（2）、方程 (x a)2 ( y b)2 r2 表示如图的圆 图像上的点M与此方程 (x a)2 ( y b)2 r2 有什么关系？
满足关系：
（1）、如果
y 0
是圆上的点，那么
··M
x
一定是这个方程的解
（2）、如果
是方程(x a)2 ( y b)2 r2 的解，那么以它为坐标
的点一定在圆上。
分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特例归纳定义
（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系 ①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2
y
A
0
2x
分析特例归纳定义
定义 曲线的方程，方程的曲线
• 给定曲线C与二元方程f（x，y）=0， 若满足
• （1）曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• （2）以这个方程的解为坐标的点都
是曲线上的点
y
• 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条
f(x,y)=0
2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
• 主要内容：
• 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题
• 重点和难点：
• 曲线和方程的概念
？
曲线和方程之间有 什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
l 第一、三象限角平分线
点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
一、方程的曲线和曲线的方程: ⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性)
就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是
这条曲线的方程.
二、坐标法 形成
解析几何
在平面上建立直角坐标系:
y
f(x,y)=0
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
例2：解答下列问题，并说明理由：
（1）判断点A（-4，3），B (3 2, 4) ，C ( 5, 2 5) 是
否在方程 x2 y2 25(x 0) 所表示的曲线上。
（2）方程
ax2
by2
25
所表示的曲线经过点A (0,
5), 3
B（1，1），则a=
,b=
.
下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？ 如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线，方程为(x-y)(x+y)=0;
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方 程为x+ =0;
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴 的距离乘积为1的点集，方程为y= 。
y 1
-1 0
x 1
y
1 -2 -1 0 1 2 x
y
1
图3 -2 -1 0 1 2 x
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，
那么（ D）
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是 xy k.
归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0) 是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.
例5、判断方程|x-1|+|y-1|=1所表示的曲线形状。
小结：
• 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和 方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线 是方程的曲线时就意味着具备上述两个条 件，只有具备上述两个方面的要求，才能 将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化 为代数问题，以数助形正是解析几何的思 想，本节课正是这一思想的基础。
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49 化简
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
点 一一对应 坐标(x,y)
0
曲线 坐标化 曲线的方程
研究
平面解析几何研究的主要问题是：
x
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
问题 1.
设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
解:∵ kAB 又∵线段
7 (1) 2 ,∴所求直线的斜率 k 3 (1)
AB 的中点坐标是 (1 3 , 1 7)
=1 2
即(1,3)
22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 1 (x 1) .
2
法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0
──需要掌握一般性的方法
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程.我们的目标就是要找x与y的关系式
曲线C的方程
• 这条曲线C叫做这个方程的曲线
0
x
分析特例归纳定义
2、两者间的关系：点在曲线上
点的坐标适合于此曲线的方程
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P(x0, y0 ) 在曲线C上的充要条件 是 f (x0, y0 ) 0
曲线
条件
方程
y l x-y=0 得出关系：
0x
（1） 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在上
分析特例归纳定义
（2）、方程 (x a)2 ( y b)2 r2 表示如图的圆 图像上的点M与此方程 (x a)2 ( y b)2 r2 有什么关系？
满足关系：
（1）、如果
y 0
是圆上的点，那么
··M
x
一定是这个方程的解
（2）、如果
是方程(x a)2 ( y b)2 r2 的解，那么以它为坐标
的点一定在圆上。
分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特例归纳定义
（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系 ①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2