线性变换的基本性质
第七章 线性变换
(4) 多项式:
1) n 个( n 是正整数)线性变换 /A的乘积为/A的
n次幂，记为/An，即/An=/A/A.../A(n个). 规定 /A0 = /E. 当线性变换/A可逆时, 规定/A-n=(/A-1)n 2) 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是P[ x ] 中 一多项式，/A是 V 的一线性变换，则称 f (/A ) = am /A m + am -1 /A m -1 + … + a0/E
xi1, xi 2 ,, xiri
，则向量组
x11 , x12 ,, x1r1，x21 , x22 ,, x2r2， ，xs1, xs 2 ,, xsrs
线性无关.
6) 设B=X-1AX,即矩阵A与B相似. 如果i是A的特征
值，xi是A对应特征值i的特征向量，则i是B的特征值 ,且B对应特征值i的特征向量是X-1x.
是线性变换 /A 的多项式.
3) 线性变换的幂运算规律 ① /A n + m = /A n /A m , (/A n )m = /A m n (m , n 0) . ② 一般来说:(/A /B )n /A n /B n . 4) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(/A ) = f (/A ) + g(/A ) , p(/A ) = f (/A ) g(/A ) .
1+ 2+ ...+n=a11+a22+...+ann; 12...n=|A|.
4) 如果1, 2, ..., s是矩阵A的互异特征值，其对应
第八章 线性变换(第一讲)
(k )( ) k ( ), V .
kσ亦可记为σk，易证. kσ= k* σ.
对于线性空间V的变换σ ，定义它的负变换-σ为
- σ=（-1）σ 对于任意的α∈V ，便有
( )( ) (1) ( ) (1) ( ) ( ).
定义1.3 对于线性空间V的变换σ ，若有V的变换τ ，使
(0) (0 ) 0 ( ) 0.
( ) (1) (1) ( ) ( ).
性质2 线性变换σ保持线性组合关系，即对V中任意向 量α1，α2 ，· αs及数域F中任意数k 1， k2 ，·， k s， · · · · 总有
(k11 k2 2 ks s ) k1 (1 ) k2 ( 2 ) ks (s ).
又，对于V中任意向量α及F中任意数k ，有
k k ( 1 )( ) k 1 ( ) k 1 ( ) .
以σ -1作用两端，得
1 (k ) k 1 ( ).
综上，知σ -1为线性变换，从而是可逆线性变换. 可逆线性变换性质良好，应用广泛，在线性变换中居 于重要地位.
则τ是一个线性变换.
证明 首先τ显然是一个变换.又对R[x]n中任意的多项 式f(x),g(x)及任意k∈R的，有
1)
d f ( x) g ( x) f ( x) g ( x x) f ( x) g ( x) ; dx dx d d 2) kf ( x) kf ( x) k f ( x) k f ( x). dx dx
上述定义中1）、2）两条所表明的σ的性质，通常称 为保持加法、保持数乘，合起来称为保持线性运算.线性 变换就是保持线性运算的变换. 容易验证，恒等变换，零变换及数乘变换都是线性变
线性变换的定义
这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样. 线性变换是线性代数的一个主要研究对象.
下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定数域P上的线性空间.
以后我们一般用黑体大写拉丁字母A，B，…表示V的线性变换，A(α)或Aα代表元素α在变换A下的像.
D(f(x))=f ’(x) .
例6 定义在闭区间[a, b]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a, b )代表. 在这个空间中,变换
J(f(x))=
是一线性变换.
2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变. 换句话说，如果β是α1,α2,…,αr的线性组合：
β=k1α1+k2α2+…+krαr
那么经过线性变换A之后，A(β)是A(α1),A(α2),…,A(αr)同样的线性组合：
A(β)=k1A(α1)+k2A(α2)+…+krA(αr)
又如果α1,α2,…,αr之间有一线性关系式
那么它们的像之间也有同样的线性关系式
k1α1+k2α2+…+krαr=0
k1A(α1)+k2A(α2)+…+krA(αr)=0
以上两点，根据定义不难验证，由此即得
但应该注意，3的逆是不对的，线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组. 例如零变换就是这样.
二、线性变换的简单性质：
1. 设A是V的线性变换，则A(0)=0,A(-α)=-A(α).
这是因为
A(0)=A(0·α)=0A(α)=0 ，
不难直接从定义推出线性变换的以下简单性质：
A(-α)=A((-1)α)=(-1)A(α)=-A(α).
线性变换的基本概念与定理
R X(t) R
温敏电阻
Y(t)
1、变换的基本概念
分类：确定性变换、随机变换 线性变换、非线性变换
X (t )
线性放大器 线性滤波器
2 T × β ( )
Y (t )
平方律检波 全波线性检波
线性变换
非线性变换
1、变换的基本概念
线性变换：设 Y (t ) = L[ X (t )] , 如果
L[ A1 X 1 (t ) + A2 X 2 (t )] = A1 L[ X 1 (t )] + A2 L[ X 2 (t )]
X (t )
T
Y (t )
1、变换的基本概念
分类： 确定性变换、随机变换
设e1和e2分别为两个随机试验的结果，Y(t)=T[X(t)]，如果
x (t , e1 ) = x (t , e2 )
则T称为确定性变换。
y (t , e1 ) = y (t , e2 )
1、变换的基本概念
分类：确定性变换、随机变换
其中 A1 ， A2 为随机变量， X1(t) ， X2(t) 为随机过 程。则称L为线性变换。 对于线性变换, 若有
Y (t + ε ) = L[ X (t + ε )]
则称线性变换L是线性时不变的。
2、线性变换的基本定理
定理1： 设 Y (t ) = L[ X (t )] 则 E {Y (t )} = L{E[ X (t )]}
定理2：设 Y (t ) = L[ X (t )] 则 RXY (t1 , t 2 ) = Lt 2 [ RX (t1 , t 2 )]
RY (t1 , t 2 ) = Lt1 [ RXY (t1 , t 2 )] = Lt1 ⋅ Lt 2 [ RX (t1 , t 2 )]
2014年人教A版选修4-2课件 3. 线性变换的基本性质
2a
y
a
O x O
a
x
先伸长, 再旋转;
先旋转, 再伸长.
两结果相同.
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗? 两用代数运算试试. 90旋转变换公式为 x = x cos 90 y sin 90, x = y, y = x. y = x sin 90 y cos 90. 0 1 设 A=R90 = . 1 0 先伸长, 再旋转: 4 2 0 1 A(2a)= . = 2 1 0 4
一 线性变换与二阶矩阵
二 二阶矩阵与平面向量的乘法
三 线性变换的基本性质
(第一课时)
第一课时 第二课时
1. 标平面上一向量经过两次线性变换 所得的结果, 与两次变换的先后顺序有什么 关系?
2. 二阶矩阵与向量的乘法有什么性质? 3. 在线性变换的作用下, 点的像是什么? 直线的像是什么?
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗? 两用代数运算试试.
问题2. a, b 是任意的两个平面向量, 对于任一二 阶矩阵 A, A(ab)=AaAb 是否成立? 画图试试. 设 A 为关于 x 轴的反射变换矩阵, (旋转变换 OA = α, OB = β, 如图. y y 也同样, 同 C 学们可试试.) B B
A O x O A A x
线性变换的相关知识点总结
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
7.1 线性变换的定义
2. A (0) = A (0α) = 0 A (α) = 0. A (－α) = A ((－1)α) = (－1) A (α) =－A (α). ((－ (－ =－ 3. 4. 据1，易证该等式成立. ，易证该等式成立. 据题设，存在不全为0的数k 据题设，存在不全为0的数k1, ···, kr∈P, 使得 k1α1 + ··· + krαr= 0 → 据3. , 2.可知 2.可知 A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr) = A (0) = 0，即A α1, ···, A αr线性相关. 线性相关. 性质3说明：设β 性质3说明：设β= k1α1 + ··· + krαr → A (β) = A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr) , 即β与 A (β) 具有相同的线性关系. 具有相同的线性关系.
例5 C(a, b) = { f ( x ) | f ( x)为闭区间 [a , b] 上的连续函数 } 组成实数域 R
上的线性空间. 积分
z ( f ( x)) = ∫
x
x
a
f (t )dt 是 C(a, b)上的线性变换.
证明： ∀f ( x), g ( x ) ∈ C(a, b), ∀k ∈ R ， 证明
/
可以证明， S θ 是二维平面V2 上的一个线性变换。 是二维平面V
证明： 对任意的α,β∈ 证明： 对任意的α,β∈V2 , 设α+β=γ（如图） α+β=γ（如图）
S θ (α+β) = S θ (γ) =γ/=α/ +β/= S θ (α) + S θ (β) ， α+β) S θ (kβ) = kβ/= k S θ (β) . 故S θ 是V2 上的线性变换. (kβ kβ 上的线性变换.
高中数学新湘教版精品学案《线性变换的基本性质》
线性变换的基本性质【学习目标】知识与技能：会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即＝方法与过程分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。
情感、态度与价值观感受数学活动充满探索性和创造性，激发乐于探究的热情。
增强符号意识，培养逻辑推理能力。
【学习重点】定理的探究及证明。
【学习难点】定理的探究。
【学习过程】一、复习引入：1．基本概念（1）二阶矩阵：由四个数，，，排成的正方形数表称为二阶矩阵。
特别地，称二阶矩阵为零矩阵，简记为0称二阶矩阵为二阶单位矩阵，记为。
（2）向量：向量（）是一对有序数对，叫做它的两个分量，且称为列向量，（）为行向量。
同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。
2．几类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如（其中，，，为常数）的几何变换叫做线性变换。
（2）旋转变换)(21βλαλ+A βλαλA A 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001⎪⎪⎭⎫⎝⎛y x ⎩⎨⎧+=+=dy cx y byax x ``坐标公式为，变换对应的矩阵为_____________。
（3）反射变换①关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_____________；②关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_____________；③关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_____________；（4）伸缩变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_____________；（5）投影变换①投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_____________；②投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_____________（6）切变变换①平行于轴的切变变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_____________②平行于轴的切变变换坐标公式为对应的二阶矩阵为_____________二、新课学习定理1 设A ＝，，，，是实数。
线性变换
第四章 线性变换在第三章中，我们介绍了同构的概念，它研究的是线性空间与线性空间之间的一种联系. 我们研究客观事物，固然要弄清楚个体事物单个的和总体的性质，但单个事物之间的各种各样的联系则更为重要. 基于此，本章将要研究线性空间本身的向量之间的一种最为基本、最为重要的联系——线性变换. 它是线性空间到它自身的映射是几何中旋转变换、投影变换以及别的科目中类似变换的一种推广. 其应用十分广泛，是线性代数的一个主要研究对象.在本章中，如果不特别声明，我们考虑的都是某个数域P 上的线性空间.§4.1 线性变换及其运算一个集合到它自身的映射，称为这个集合的一个变换. 线性变换就是线性空间到它自身的一种特殊变换. 我们给出它的定义.1. 线性变换的概念定义4.1.1 设A 是线性空间V 的一个变换，如果A 对于V 中任意的向量,αβ及数域P 中的任意数k ，满足：()()()+=+A A A αβαβ；()()k k =A A αα.则称A 是线性空间V 的一个线性变换. 以后我们一般用花体大写字母,,,A B C 来表示线性变换，用()A α或A α来表示向量α在线性变换A 下的象.说明 变换仅反映元素之间的一种单纯的对应关系，而线性变换则涉及到了线性空间中向量的运算. 从定义可以看出，线性变换保持向量的加法与数乘.例4.1.2 设V 是数域P 上的上的线性空间，λ是P 中的某个数，定义变换如下：(),()V λλ=∀∈A ααα.则容易看出，λA 是线性空间V 的一个线性变换.说明1）上例中的线性变换λA 称为由数λ决定的数乘变换.2）当1λ=时，就是V 的恒等变换或单位变换，记为E . 即E 将V 中的每个向量变为它自身.3）当0λ=时，0A 就是V 的零变换，记为0. 它把V 中的每个向量都变为0，即(),()V =∀∈00αα.例4.1.3 对于12(,,,)n n a a a P ∀=∈α，变换1211(,,,)(,,,)n n n a a a a a a -=A是n P 的一个线性变换.例4.1.4 令()()([,])xa f x f t dt x ab =∈⎰A ，则A 是线性空间[,]C a b 的一个线性变换.例 4.1.5 平面π上的向量构成了实数域上线性空间. 将π围绕着坐标原点逆时针方向旋转θ角度，就是一个线性变换，我们用θA 表示. 设平面π上的向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么旋转θ角度后α的坐标按照下面的公式计算：cos sin ()sin cos x x y y θθθθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α. 例 4.1.6 设α是几何空间中某个固定的非零向量，将每个向量η变到它在α上的内射影的变换是一个线性变换，以N α来表示它，即(,)()(,)=N ααηηαα. 其中(,),(,)αηαα表示内积. 例4.1.7 设线性空间3P ，则显然222123123(,,)(,,)a a a a a a =A是3P 的一个变换，但如果取(1,0,0),(2,0,0)==αβ，则()(3,0,0)(9,0,0)+==A A αβ，而()()(1,0,0)(4,0,0)(5,0,0)+=+=A A αβ，则()()()+≠+A A A αβαβ. 所以，A 不是线性变换.2. 线性变换的性质线性变换具有如下的性质：性质1 ();()(),()V =-=-∀∈00A A A ααα.事实上，()(0)0();===0000A A A又()()(())()+-=+-==00A A A A αααα，所以()()-=-A A αα. 性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变. 也就是说， 如果β是12,,,m ααα的一个线性组合：1122m m k k k =+++βααα，则经过线性变换A 之后，()A β是12(),(),,()m A A A ααα同样的线性组合： 1122()()()()m m k k k =+++A A A A βααα.如果12,,,m ααα之间有线性关系式：1122m m k k k +++=0ααα，则它们的象12(),(),,()m A A A ααα之间也有同样的关系：1122()()()m m k k k +++=0A A A ααα.性质3线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 也就是说，如果12,,,m ααα线性相关，则12(),(),,()m A A A ααα也线性相关.事实上，若12,,,m ααα线性相关，则在数域P 中存在一组不全为零的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++=0ααα.则由性质2与性质3得11221122()()()()()m m m m k k k k k k +++=+++==00A A A A A αααααα.从而12(),(),,()m A A A ααα也线性相关.说明 当12(),(),,()m A A A ααα线性相关时，12,,,m ααα未必是线性相关的；当12,,,m ααα线性无关时，12(),(),,()m A A A ααα未必是线性无关的. 如零变换.3. 线性变换的运算线性变换作为映射的一种特殊情形，它当然可以定义乘法、加法及数量乘法.下面我们来介绍线性变换的运算及其简单性质.定义 4.1.8 设12,A A 及A 都是数域P 上线性空间V 上的线性变换，V ∀∈α及k P ∀∈，现在定义：1）线性变换的加法：1212()()()+=+A A A A ααα； 2）线性变换的乘法：1212()()=A A A A αα； 3）数与线性变换的数量乘法：()()k k =A A αα.定理4.1.9 定义4.1.8中的线性变换的和12+A A 、乘积12A A 及数与线性变换的乘积k A 都还是线性变换.证明 仅证明12+A A 是线性变换，其余的类似证明.对于V 中任意的向量,αβ及数域P 上的任意数λ，由于12,A A 都是线性变换，则结合线性变换的和的定义有12121122()()()()()()()()++=+++=+++A A A A A A A A αβαβαβαβαβ 12121212(()())(()())()()()()=+++=+++A A A A A A A A ααββαβ； 1212121212()()()()()()k k k k k k k +=+=+=+=+A A A A A A A A A A αααααααα. 因此，12+A A 是线性空间V 上的线性变换. 证毕.由线性变换的加法及乘积的定义易知下述性质. 性质4 线性变换的加法满足1）结合律：123123()()++=++A A A A A A ； 2）交换律：1221+=+A A A A .说明 1）零变换0与任何线性变换A 的和仍是A ，即+=A 0A . 2）对每个线性变换A ，我们可以定义它的负变换-A ：()().V -=-∀∈A A ααα容易看出-A 也是线性的，且()+-=A A 0.性质5 线性变换的乘法满足 1）结合律：123123()()=A A A A A A ；2）对加法的左右分配律：12312113()+=+A A A A A A A ；1231323()+=+A A A A A A A . 说明 线性变换的乘法一般是不满足交换律的. 如在实数域R 上的线性空间[]x R ，定义线性变换0(())(),(())().xf x f x f x f t dt '==⎰D J则乘积D J 是恒等变换，但一般J D 却不是恒等变换.性质6 数与线性变换的数量乘法满足下面的规律：()()kl k l =A A ； ()k l k l +=+A A A ；1212()k k k +=+A A A A ；1=A A .注 线性变换所满足的全部运算规则，同矩阵所满足的运算规则完全一致. 如果用()V M 表示由数域P 上的线性空间V 的全体线性变换构成的集合，则()V M 构成数域P 上的一个线性空间.定义 4.1.10 设A 是数域P 上线性空间V 上的一个线性变换，如果存在V 上的一个变换，记之为1-A，使得11--==A AAA E ，则称1-A为A 的逆变换，且称A 是可逆的.说明 一个线性变换未必有逆变换，如零变换就没有逆变换.定理4.1.12 设A 是数域P 上线性空间V 上的一个线性变换，如果A 是可逆的，则其逆变换1-A也是V 上的线性变换.证明 任取,V ∈αβ及k P ∈，则1111()[()()]----+=+AAA AA Aαβαβ111111()()()()------=+=+AA A AA A A Aαβαβ.11111()[()()][((())]k k k -----==AA A AA A Aααα11111[((())]()[(()]()k k k -----===AA AAA AAααα.故1-A是V 上的线性变换.4. 线性变换的多项式的概念由于线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A 相乘时，其最终结果是确定的，与乘积的结合方式无关. 所以我们可以用nn=AA AA .来表示n （n 是正整数）个线性变换A 的乘积，称nA 为A 的n 次幂. 并规定=AE .由此可以推出指数法则： ,()()m nm n m nmn+==AA A AA，（,m n 是正整数）. （1.1） 当线性变换A 可逆时，也可以定义A 的负整数幂为1()nn--=A A（n 是正整数）. 说明 1）在有了负整数幂概念后，（1.1）中的,m n 就可以取任意的整数了. 2）线性变换乘积的指数法则不成立，一般来说1212()n n n ≠A A A A .设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++是[]P x 上的一个多项式. A 是线性空间V 上的一个线性变换，定义1110()mm m m f a a a a --=++++A AAA E .容易看出，()f A 也是V 上的一个线性变换，称它为线性变换A 的多项式.§4.2 线性变换的矩阵考虑线性方程组=Ax β，其中A 是n 阶方阵，β是常数项向量组. 我们可以这样认为：把矩阵A 当作一种“对象”，它通过乘法“作用”于向量x ，产生的新的向量为Ax .例如，方程31315201134216-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭↑↑↑A x β0 与31310201304220-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭↑↑↑A u 00通过矩阵A 通过乘法“作用”将x 变成了β. 而将u 变成了0. 于是，解方程A =x β，就要求出n P 中所有经过A “作用”后变为β的向量x . 而线性变换也就是在线性空间内部“作用”，将其中的一个向量变为其中的某个向量. 如此看来，线性变换与矩阵之间会有着千丝万缕的联系. 本节我们将要讨论线性变换与矩阵的关系，且利用矩阵来描述线性变换.1. 线性变换在基下的矩阵设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基.则V 的任一向量η都可以用12,,,n εεε来线性表示，即数域P 中存在唯一的一组数12,,,n x x x 使得1122n n x x x =+++ηεεε.由于线性变换A 保持线性关系不变，则1122()()n n x x x =+++A A ηεεε1122()()()n n x x x =+++A A A εεε.（2.1） 也就是说，η的象()A η与基的象12(),(),,()n A A A εεε之间有着相同的关系.所以，只要知道基的象12(),(),,()n A A A εεε，那么线性空间V 中任一向量η的象()A η也就知道了.命题4.2.1 设1A ，2A 都是线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，如果1A 与2A 在这组基上的作用相同，即12()(),1,2,,i i i n ==A A εε. （2.2）则12=A A .（分析）1A 与2A 相等的意义是它们对V 中的每个向量的作用相同，所以，我们就只要证明对任一向量η，都有12()()=A A ηη即可. 证明 V 中的任一向量η都可以由12,,,n εεε线性表示，即存在一组数12,,,n x x x 使得1122n n x x x =+++ηεεε.则由假设有111121121()()()()n n x x x =+++A A A A ηεεε12122222()()()()n n x x x =+++=A A A A εεεη. 证毕. 说明 命题4.2.1表明了，一个线性变换在V 上的作用，完全由它在任一组基上的作用所决定.命题4.2.2 设12,,,n εεε是数域P 上的线性空间V 的一组基，又12,,,n ααα是V 的任意的n 个向量，则存在唯一的线性变换A 使得(),1,2,,i i i n ==A εα. （2.3）（分析）只要找出这样的线性变换即可. 证明 设β是V 任一向量，且1122n n x x x =+++βεεε.现在定义V 的变换1122()n n x x x =+++A βααα. 我们先来说明A 满足（2.3）.因为11100100i i i i n -+=++++++εεεεεε，1,2,,i n =. 所以111()00100i i i i n i -+=++++++=A εαααααα，1,2,,i n =.我们还需要证明A 是线性的.设,ηγ是V 中任意两个向量，k 是P 中任一数，并设1122n n b b b =+++ηεεε，1122n n c c c =+++γεεε.则111222()()()n n n b c b c b c +=++++++ηγεεε；1122n n k kb kb kb =+++ηεεε.按照A 的定义有111222()()()()n n n b c b c b c +=++++++A ηγααα11221122()()()()n n n n b b b c c c =+++++++=+A A ααααααηγ； 11221122()()()n n n n k kb kb kb k b b b k =+++=+++=A A ηααααααη.所以A 是V 上的线性变换.唯一性可由命题4.2.1直接得到. 证毕.下面，我们就来讨论线性变换与矩阵的联系.设12,,,r ααα是数域P 上的线性空间V 的一组向量，A 是V 上的一个线性变换，我们约定1212(,,,)(,,,)r r =A A A A αααααα.定义4.2.3 设12,,,n εεε是数域P 上的线性空间V 的一组基，A 是V 上的一个线性变换，且11112121212122221122,,.n n n nn n n nn n a a a a a a a a a =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩A A A εεεεεεεεεεεε 用矩阵形式表示，即121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==A A A A A εεεεεεεεε，其中111212122212n n n n nn a a a a a a aa a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A . 矩阵A 称为A 在基12,,,n εεε下的矩阵.例4.2.4 求[]n P x 的线性变换()()f x f x '=D 在基11,,,n x x -下的矩阵.解 因为21210,1,2,,(1),n n x x x x n x --====-D D D D所以D 在基11,,,n x x -下的矩阵为0100002000010000n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A . 例4.2.5 设W 是()n n m >维线性空间V 的子空间，12,,,m εεε是W 的一组基，把它扩充为V 的一组基12,,,n εεε. 定义线性变换A 如下：,1,2,,,,1,,.i i i i m i m n ==⎧⎨==+⎩0A A εεε 如此定义的线性变换A 称为对子空间W 的投影. 投影A 在基12,,,n εεε下的矩阵为11100m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个1.说明 在取定一组基之后，我们就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射ϕ.定理4.2.6 设V 是数域P 上的n 维线性空间. 则映射:ϕ→A A是数域P 上的线性空间()V M 到n n P ⨯的一个一一映射，其中A 是线性变换在基12,,,n εεε下的矩阵.（分析）需要证明ϕ是双射，即既是单射，又是满射. 证明 ϕ显然是()V M 到n n P ⨯的映射. 设11()ϕ=A A ，22()ϕ=A A . 则112121(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 212122(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.如果12=A A ，则显然有12()(),1,2,,i i i n ==A A εε. 则由命题4.2.1知道，ϕ是单射.又对于n n P ⨯中的任一矩阵A ，令1212(,,,)(,,,)n n =A βββεεε.则由命题4.2.2知道，存在线性变换A 使得(),1,2,,i i i n ==A εβ，即有线性变换A 使得1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.所以ϕ又是满射. 故ϕ是一一映射.这个一一映射的重要性在于它保持运算. 也就是下面的定理.定理4.2.7 设1A ，2A 是数域P 上n 维线性空间V 的任意两个线性变换，1A ，2A 在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A 与B . 则在基12,,,n εεε下1）12+A A 的矩阵为+A B ； 2）12A A 的矩阵为AB ； 3）k A 的矩阵为k A . 证明 由于1A ，2A 在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A 与B ，则有11212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 21212(,,,)(,,,)n n =B A εεεεεε.1）1212()(,,,)n +A A εεε112212(,,,)(,,,)n n =+A A εεεεεε1212(,,,)(,,,)n n =+A B εεεεεε12(,,,)().n =+A B εεε所以在基12,,,n εεε下，线性变换12+A A 的矩阵为+A B . 2）1212()(,,,)n A A εεε121211211212[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,).n n n n ====B BAB A A A A εεεεεεεεεεεε因此，在基12,,,n εεε下，线性变换12A A 的矩阵为AB . 3）112()(,,,)n k A εεε1121212[(,,,)][(,,,)](,,,)().n n n k k k ===A A A εεεεεεεεε 因此，在基12,,,n εεε下，线性变换k A 的矩阵为k A . 证毕.说明 结合定理4.2.7可以看出，在定理4.2.6中，V 的全体线性变换所构成的线性空间()V M 与n n P ⨯之间的映射，不仅是一一映射，而且还是同构映射. 即()V M 与n n P ⨯同构.推论4.2.8设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换. 则A 有逆变换的充分必要条件是A 在任意基下的矩阵都是可逆矩阵.且当A 在某组基下的矩阵为A 时，则1-A在这组基下的矩阵为1-A .证明 设A 有逆变换1-A，12,,,n εεε是V 任一组基，A 与1-A在基12,,,nεεε下的矩阵分别是A 与B ，即1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε，11212(,,,)(,,,)n n -=B Aεεεεεε.由定理4.2.7的2）有11212(,,,)(,,,)n n -=AB A Aεεεεεε，则有1212(,,,)(,,,)n n =AB E εεεεεε.而1212(,,,)(,,,)n n =E E εεεεεε，故=AB E .类似地有=BA E ，即有==AB BA E .所以1-=B A .故A 在任意基下的矩阵都是可逆矩阵，而且1-A在12,,,n εεε下的矩阵为1-A .反过来，如果A 在基12,,,n εεε下的矩阵是可逆阵A ，设1-A 是A 的逆矩阵. 则由定理4.2.6，必存在V 的一个唯一的线性变换B 使得11212(,,,)(,,,)n n -=A B εεεεεε.则1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n -==AA E A B εεεεεεεεε， 1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n -==A A E B A εεεεεεεεε.所以==AB B A E . 故A 有逆变换. 证毕.利用线性变换的矩阵，可以直接计算一个向量的象. 我们有下面的定理. 定理4.2.9 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，A 在基12,,,n εεε下的矩阵是A ，向量α在基12,,,n εεε下坐标为12(,,,)n x x x . 则()A α在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n y y y 可以按如下的公式计算：1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . （分析）实际上就是要求我们求出()A α在基12,,,n εεε下的坐标.证明 由于1212(,,,)n n x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αεεε， 所以11221212()(,,,)(,,,)n n n n x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A αεεεεεε. 又1212()(,,,)n n y yy ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A αεεε，而12,,,n εεε是V 的一组基，所以1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . 证毕.说明 定理4.2.9说明了，()A α在某组基下的坐标完全由A 在这组基下的矩阵所决定. 这也就是说，对于某组基，如果给定了线性变换在这组基下的矩阵，也就等于给出了这个线性变换.2. 相似矩阵线性变换的矩阵与线性空间的基是密切联系的，一般来说，随着基的改变，同一线性变换的矩阵也会随之而改变. 读者肯定会要问：线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的呢？亦即改变后的矩阵之间有什么联系呢？下面的定理指明同一线性变换在不同的基下的矩阵之间的联系.定理 4.2.10 设A 是线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε与12,,,n ηηη是线性空间V 的两组基，A 在这两组基下的矩阵分别为,A B ，从基12,,,n εεε到12,,,n ηηη的过渡矩阵为C ，则1-=B C AC .证明 因为1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη，1212(,,,)(,,,)n n =C ηηηεεε，所以1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη，1212121211212(,,,)[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,)(,,,)n n n n n n -=====A A A ηηηεεεεεεεεεεεεηηηC C A C AC C AC故有1-=B C AC .定义4.2.11 设,A B 是数域P 上的两个n 阶矩阵，如果存在P 上的n 阶可逆矩阵C ，使得1-=C AC B ，则称A 与B 相似，记作A B .定理4.2.12 数域P 上的相似关系是一个等价关系.（分析）需要说明相似关系满足：反身性、对称性及传递性. 证明 设有n 阶矩阵,,A B D .1）因为=AE EA ，则1-=E AE A ，即A A ；2）如果AB ，则存在可逆阵C 使得1-=C AC B ，所以有111()---=C BC A .故BA ；3）如果AB ，BD ，则分别存在可逆阵12,C C 使得111122,--==C AC B C BC D ，所以11121121212()()()---==D C C AC C C C A C C . 故AD . 证毕.定理4.2.13 如果两个矩阵相似，则它们可以看作是同一个线性变换在某两组基下的矩阵.证明 设有n 阶矩阵A 与B 相似. 则n 阶可逆矩阵C 使得1-=C AC B . 又由定理4.2.6，A 可以看作是n 维线性空间V 的一个线性变换A 在某组基12,,,n εεε下的矩阵.则1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.令1212(,,,)(,,,)n n =C ηηηεεε，显然，12,,,n ηηη也是V 的一组基，而又1212121212112(,,,)[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,)(,,,).n n n n n n -=====C CA C ACC AC A A A ηηηεεεεεεεεεεεεηηη即1212(,,,)(,,,).n n =B A ηηηηηη 证毕.例 4.2.14 设n 阶矩阵A 与B 相似，()f x 为任一多项式. 证明：()f A 与()f B 相似.（分析）需要找出一个可逆阵C 使得1()()f f -=B C A C . 证明 因为A 与B 相似，则存在可逆阵C ，使得1-=C AC B .现在设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++.则1110()n n n n f a a a a --=++++B B B B E11111110[][][][]n n n n a a a a ------=++++C AC C AC C AC C C 11111110[][][][]n n n n a a a a ------=++++C A C C A C C AC C C 11111110()()()()n n n n a a a a ------=++++C A C C A C C A C C E C11110()n n n n a a a a ---=++++C A A A E C1()f -=C A C故()f A 与()f B 相似.§4.3 线性变换的值域与核1. 线性变换的值域与核的概念定义4.3.1 设A 是线性空间V 的一个线性变换，则称集合{}()V ∀∈A αα为A 的值域，记作()V A （或Im A ）；称集合{}()V ∀∈=0且A ξξξ为A 的核，记作1()-0A（或Ker A ）. 即{}()()V V =∀∈A A αα；{}1()()V -∀∈=0=0且A A ξξξ.设,αβ是数域P 上的n 维线性空间V 的任意两个向量，k 是P 中任一常数. 显然()V A 与1()-0A是非空的，即它们都是V 的非空子集. 又由于(),()()k k +=+=A A A A A αβαβαα，即()V A 对加法与数乘是封闭的，所以()V A 是V 的一个子空间. 如果,==00A A αβ，则(),()()k k +=+===00A A A A A αβαβαα.所以1()-0A 也是V 的子空间. 故我们有下面的命题.命题4.3.2 V 的线性变换A 的值域()V A 与核1()-0A都是V 的子空间.定义 4.3.3 将V 的线性变换A 的值域()V A 的维数称为线性变换A 的秩；1()-0A的维数称为线性变换A 的零度.例4.3.4 线性空间V 的零变换0的值域是{}0，而核就是V .例4.3.5线性空间[]n P x 的线性变换()()f x f x '=D ，则D 的值域就是1[]n P x -，D 的核就是P .V 的线性变换的值域()V A 是由全体象的集合而构成的. 这自然使我们联想到基象组12,,,n A A A εεε（12,,,n εεε是V 的一组基），它与值域()V A 之间有哪些联系呢？定理4.3.6 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，在这组基下的矩阵是A ，则1）A 的值域()V A 是由基的象12,,,n A A A εεε所生成的子空间，即12()(,,,)n V L =A A A A εεε.2）A 的秩等于A 的秩.证明 1）设α是线性空间V 的任一向量，它在基12,,,n εεε下的坐标为坐标为12(,,,)n x x x ，即1122n n x x x =+++αεεε.于是11221122()n n n n x x x x x x =+++=+++A A A A A αεεεεεε. 所以12(,,,)n L ∈A A A A αεεε，因而12()(,,,)n V L ⊂A A A A εεε. 再设12(,,,)n L A A A εεε中任一向量η，则存在一组数12,,,n k k k 使得11221122()n n n n k k k k k k =+++=+++A A A A ηεεεεεε这表明了V ⊂A η，所以12(,,,)n L V ⊂A A A A εεε.故12()(,,,)n V L =A A A A εεε.2）因为A 的秩等于dim ()V A ，由1）则有A 的秩等于12(,,,)n rank A A A εεε.又矩阵A 是由基象组的坐标按列而排成的. 而在n 维线性空间V 中取定一组基之后，把V 中的每一向量与它的坐标对应起来，我们就得到了V 到n P 的一个同构映射. 同构映射保持向量组的一切线性关系，因此基象组与它们的坐标组（即矩阵的列向量组）有相同的秩. 证毕.说明 上述定理表明了线性变换与矩阵的对应关系保持秩不变.定理4.3.7设A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度n =.即1dim ()dim ()dim V V -+=0A A.证明 设A 的零度为r . 在核1()-0A中取一组基12,,,r εεε，现在将它扩充为V 的一组基121,,,,,,r r n +εεεεε. 又11()(,,,,,)r r n V L +=A A A A A εεεε，而12,,,r A A A εεε全是零向量，所以1()(,,)r n V L +=A A A εε.下面证明1,,r n +A A εε是()V A 的一组基. 显然()V A 中任一向量均可由1,,r n +A A εε线性表示，只需要证明1,,r n +A A εε线性无关即可. 设11r r n n λλ++++=0A A εε，则有11()r r n n λλ++++=0A εε，所以111()r r n n λλ-++++∈0Aεε，因此，11r r n n λλ++++εε可以用1()-0A 的基12,,,r εεε线性表示，设为111122r r n n r r λλλλλ++++=+++εεεεε. 而121,,,,,,r r n +εεεεε线性无关，所以0(1,2,,)i i n λ==.故1,,r n +A A εε线性无关. 因而A 的秩等于n r -，所以A 的秩+A 的零度n =. 证毕.说明 虽然()V A 与1()-0A的维数和是n ，但1()()V -+0A A 未必就是整个线性空间V . 如例4.3.5.推论4.3.7 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，则A 是单射⇔A 是满射. 证明 设A 是单射，则1(){}-=00A ，而又1dim ()dim ()dim V V -+=0A A. 所以dim ()dim V V =A .则()V V =A ，所以A 是满射，从而为双射.反过来，设A 是满射，仍由1dim ()dim ()dim V V -+=0A A有1(){}-=00A，即A 是单射，从而是双射.注 这是有限维线性空间的线性变换的一个特性. 对于无限维线性空间并不成立.例4.3.8 设A 是一个n n ⨯矩阵，2=A A . 证明：A 相似于对角阵B . 其中11100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B . （分析）要证明AB ，只要证明A 与B 是同一线性变换在某两组基下的矩阵即可.证明 设有n 维线性空间V ，12,,,n εεε是V 的一组基. 定义线性变换A 为：1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.下面我们来证明A 在某组基下的矩阵就是B .因为2=A A ，所以2=AA . 对任意的()V ∈A α，则必存在V ∈β，使得()=A αβ.则2()====A A A A A αβββα.所以1()(){}V -0=0A A.而又1dim dim ()V n -+0=A A，所以1()()V V -=⊕0A A.因而在()V A 取一组基12,,,r ηηη，在1()-0A中取一组基1,,r n +ηη，所以121,,,,,,r r n +ηηηηη就是V 的一组基. 显然1122,,,,r r ===A A A ηηηηηη1,,r n +==00A A ηη.故1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη.由定理4.2.13，同一线性变换在不同的基下的矩阵是相似的. 即A 相似于对角阵B . 证毕.2. 线性变换的值域与核的求法现在我们总结一下线性变换的值域与核的求法.设V 是数域P 上的n 维线性空间V ，A 是V 的线性变换，常通过下面的两种方法来求()V A 及1()-0A：第一种 取V 的一组基12,,,n εεε，由于1()(,,)r n V L +=A A A εε，所以先求出基象组12,,,n A A A εεε，再求出12(,,,)n rank A A A εεε及其一个极大无关组，也就得到了()V A 的维数及它的基； 设1()-∈0Aη，根据()=0A η来求确定1()-0A的维数与基.第二种 求出A 在基12,,,n εεε下的矩阵A ，所以A 的秩就等于A 的秩，且由于()i A ε在基12,,,n εεε下的坐标就是A 的第i 个列向量，从定理4.3.6的证明可以看出，利用同构，A 的列向量组的极大无关组对应12,,,n A A A εεε的极大无关组，从而可以确定()V A 的基. 设1()-∈0Aη，则由()=0A η知，η在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n x x x 就是齐次线性方程组=0Ax 的解向量，所以=0Ax 的基础解系就是1()-0A的基在12,,,n εεε下的坐标.例 4.3.9 设V 是全体次数不超过n 的实系数多项式，再添上零多项式构成实数域上的线性空间，定义V 的线性变换：[()]()()(())f x xf x f x f x V '=-∀∈A .1）求A 的核1()-0A及值域()V A ；2）证明：1()()V V -=⊕0A A .1）解 取V 的一组基21,,,,n x x x ，则22(1,,,,)(1,,,,)n n x x x x x x =A A .其中100000000010001n -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A . 求解齐次线性方程组=0Ax 得到基础解系(0,1,0,,0)T =ε. 令22(1,,,,)(1,,,,)(0,1,0,,0)n n T x x x x x x x ===ηε.则1()()L x -=0A ， 1dim ()1-=0A.又22323()(1,,,,)(1,0,,2,(1))(1,,,)n n nV L x xx L x x n x L x x x==--=A A A A A ， 所以dim ()V n =A .2）证明 由1）有12323()()()(1,,,)(1,,,,)n n V L x L x x x L x x xx V -+=+==0A A .又1dim ()dim ()1dim V n V -+=+=0A A ，故1()()V V -=⊕0A A . 证毕.§4.4 不变子空间我们知道，同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，而相似的矩阵也可以认为是同一个线性变换在不同基下的矩阵. 所以，我们可以选择适当的基，使得线性变换的矩阵尽可能的简单，这样通过简单的矩阵来把握所给的线性变换. 因此，我们引入不变子空间的概念.定义4.4.1设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间. 如果对于W 中任一向量α，均有W ∈A α，则称W 是A 的不变子空间，简记为-A 子空间.如果A 是线性空间V 的线性变换，W 是A 的不变子空间，由于W 中的向量在A 下的象仍然在W 中，这就使得有可能不必在整个线性空间V 中来研究A ，而只需要在W 中来考虑A 即可. 这样A 便又诱导出W 的一个线性变换，这个线性变换称为A 在W 上的限制（或A 在W 中的诱导变换），记作|W A . 因此()()|W W =∀∈A A βββ.在不致发生混淆时，有时也将|W A 记为A .说明 A 与|W A 的异同：A 是V 的线性变换，V 中每个向量在A 下都有确定的象；|W A 是不变子空间W 上的线性变换，对于W ∀∈β，有()|W =A A ββ，但对于V 中不属于W 的向量ξ，()|W =A A ξξ是没有意义的.例4.4.2 对于V 的任何线性变换A ，平凡子空间{}0及V 都是A 的不变子空间. 例4.4.3 []P x 的子空间[]n P x 是关于线性变换()()f x f x '=D的一个不变子空间.例4.4.4 线性变换A 的值域()V A 与核1()-0A都是A 的不变子空间.证明 任取()V ∈A α，则当然有V ∈α，所以有()V ∈A A α，即()V A 对A 不变. 对于任意的1()-∈0Aξ，有1()-=∈00A Aξ，即核1()-0A也是A 的不变子空间.证毕.例4.4.5 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.证明 设W 是线性空间V 的任一子空间，λA 是数乘变换，则对于W 中的任一向量α，都有λλ=A αα.而W 是V 的子空间，所以W λ∈α，即W λ∈A α. 所以W 是λA 的不变子空间. 证毕.例4.4.6 如果线性变换A 与B 可交换，则B 的核1()-0B 与值域()V B 都是A 的不变子空间. 证明 在B 的核1()-0B 中任取一个向量α，则()()()===00B A B A A αα，所以1()-∈0A Bα. 即1()-0B 是A 的不变子空间.在B 的值域()V B 中任取一个向量()B β，则(())(())()V =∈A B B A B ββ.因此，值域()V B 也是A 的不变子空间. 证毕.例4.4.7 已知123321(,,)(,,)a a a a a a =A 是3P 的一个线性变换. 则子空间1212{(,,0)|,}W x x x x =∈F就不是A 的不变子空间. 如(1,2,0)W ∈，但(1,2,0)(0,2,1)W =∉A .命题 4.4.8 A 的不变子空间的交与和还是A 的不变子空间.证明 设1W 与2W 都是A 的不变子空间，α是12W W 中的任一向量，则1()W ∈A α且2()W ∈A α.所以，12()W W ∈A α. 故12W W 是A 的不变子空间.设β是12W W +中任一向量，则存在1W 中的向量1β与2W 中的向量2β，使得12=+βββ.则1212()()()()=+=+A A A A βββββ.又1122(),()W W ∈∈A A ββ，所以12()W W ∈+A β. 故12W W +也是A 的不变子空间.证毕.2. 不变子空间与线性变换的矩阵化简 下面我们来看不变子空间的一个应用.定理 4.4.9 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果1W 与2W 都是A 的不变子空间，且12V W W =⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A . 证明 设12,,,r εεε是1W 的一组基. 由于12V W W =⊕，则可设1,,r n +εε是2W 的一组基，且121,,,,,,r r n +εεεεε是V 的一组基. 又1W 与2W 都是A 的不变子空间，则可设111111111,11,11,1(),(),(),().r r r r rr r r r r r n r n n r n r nn n a a a a a a a a +++++++=++⎧⎪⎪⎪=++⎪⎨=++⎪⎪⎪=++⎪⎩AA A Aεεεεεεεεεεεε所以，A 在基121,,,,,,r r n +εεεεε下的矩阵是1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A . 其中11111r r rr a a a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭A ， 1,11,2,1r r r n n r nn a a a a ++++⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 证毕.说明 定理4.4.9反过来也成立. 如果A 在基121,,,,,,r r n +εεεεε下的矩阵是1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A ， 则由12,,,r εεε与1,,r n +εε所生成的子空间都是A 的不变子空间.（请读者自己给出证明）我们将上述定理4.4.9进行推广，其证明是与定理4.4.9类似的. 推论4.4.10 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果12,,,s W W W 都是A的不变子空间，且12s V W W W =⊕⊕⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：12s ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A . 说明 推论4.4.10反过来也是成立的. 即如果A 在基12,,,(1,2,,)ii i ini s =εεε下的矩阵是12s ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A ， 则由12,,,(1,2,,)ii i in i s =εεε所生成的子空间都是A 的不变子空间.由推论4.4.10立刻有：推论4.4.11设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果12,,,n W W W 都是A的一维不变子空间，且12n V W W W =⊕⊕⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵是对角矩阵：12s a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.说明 定理4.4.9及上面的推论告诉我们两个事实：1）对于一个线性变换A ，如果V 可以分解成一些子空间的直和，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵是准对角矩阵.2）矩阵相似于准对角矩阵与线性空间分解为不变子空间的直和是相当的.习题A1. 判别下面的变换，哪些是线性变换，哪些不是：1）在线性空间V 中，()=+A ηηα，其中V ∈α是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，()=A ηα，其中V ∈α是一固定的向量； 3）在线性空间[]n P x 中，()()f x f x '=A ；4）在线性空间3P 中，221231233(,,)(,,)x x x x x x x =+A ；123123(,,)(0,,0)x x x x x x =A ；123122331(,,)(,,)x x x x x x x x x =+++A ；123123(,,)(0,,0)x x x x x x =++A ；5）在n n P ⨯中，(),=X AXB A 其中,A B 是n n P ⨯中两个固定的矩阵. 2. 证明：21,1,1x x x +++是线性空间3[]P x 的一组基. 并求出线性变换()()f x f x '=A在这组基下的矩阵. 3. 在22P ⨯中定义线性变换1()a b X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭X A ；2()a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭X X A ；3()a b a b c d c d ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X X A . 分别求出1A ，2A ，3A 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵.4. 设在数域P 上的三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 求1）A 在基321,,εεε下的矩阵；2）A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈，且0k ≠； 3）A 在基1223,,+εεεε下的矩阵.5.设,A B 是线性变换，如果=,-A B B A E 证明：1=,k kk k --A B B AAk 是大于1的正整数.6.设n 阶矩阵A 和B 相似，且A 可逆. 则AB 与BA 相似.7.设V 是数域P 上的二维线性空间，线性变换A 在基12,εε下的矩阵是2110⎛⎫⎪-⎝⎭. 12,ηη也是V 的一组基，且从基12,εε到12,ηη的过渡矩阵为1112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 求A 在基12,ηη下的矩阵及21,10kk ⎛⎫⎪-⎝⎭为正整数. 8.证明：方阵12n a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭与 12n i i i a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列.9.如果A 和B 相似，C 和D 相似，证明⎛⎫ ⎪⎝⎭00A B 与⎛⎫ ⎪⎝⎭00C D 相似.10.设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，线性变换A 在基1234,,,εεεε下的矩阵是1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭. 1）求A 在基11242234334342,3,,2=-+=--=+=ηεεεηεεεηεεηε下的矩阵； 2）求A 的值域与核；3）在A 的值域中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵；4）在A 的核中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵.11. 设W 是线性空间V 的一个子空间，A 是V 的一个线性变换. 证明：如果W 是A 的不变子空间，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：⎛⎫ ⎪⎝⎭0A C B . 12.设A 是n 维线性空间V 的可逆的线性变换，W 是V 的子空间，且对于A 不变.证明：W 也是1-A 的不变子空间.习题B1. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 上的线性变换，12,W W 是V 的两个子空间，且12V W W =⊕.证明：A 可逆的充分必要条件是12()()V W W =⊕A A .2. 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，且1n -≠0A ，n=0A. 证明：在V 中存在一组基，使得A 在这组基下的矩阵是0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间. 证明：1dim ()dim[()]dim W W W -+=0A A.4. 设,A B 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：AB 的秩≥A 的秩+B 的秩n -.5. 设12,,,s A A A 是线性空间V 的s 个两两不同的线性变换，则在V 中必存在向量η，使得12(),(),,()s A A A ηηη也两两不同.6. 设,A B 是线性空间V 线性变换，且2=A A ，2=BB . 证明：1）,A B 有相同的值域,⇔==A B B B A A ； 2）,A B 有相同的核,⇔==A B A B A B . 7. 设A 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：A 的秩=2A 的秩1()()V V -⇔=⊕0A A.8. 设A 是n 维线性空间V 线性变换，且2=A A . 证明：1）1(){()|}V -=-∈0AA ξξξ；2）若B 是V 线性变换，则1()-0A 与()V A 都是B 的不变子空间⇔=AB B A .。
线性变换的概念和基本性质
性变换,我们有下列定义
定义8.1.2 令 (W ) (w) wW ,称其
为W 在σ 之下的象, 1 (W ) V ,
() W ,称为W在σ之下的原象.
定理8.1.3 设W是V的子空间,σ是V的 线性变换,则σ (W), σ -1 (W) 都是V的子
(στ) (α) = σ［τ (α)］, α∈V,k∈P. 它们分别称为σ与τ的和,σ与数k的数乘,σ 与τ 的的乘积.
易见σ + τ,kσ,στ仍是V上的变换. 而 且,下一定理证明了它们还是线性变换.
定理8.1.4 设σ,τ是线性空间V的两 个线性变换,则σ +τ,kσ,στ都是V的线性变
换.
证 由于
线性变换的乘积满足结合律及对加法 的分配律:
( ) ( ) , ( ) , ( ) .
应当注意,如同矩阵乘法不满足变换
律一样,线性变换的乘法不满足交换律.即
一般地,
στ≠ τσ.
例8.1.6 设V = R2是实二维平面空间.
令σ 是把V的每个向量逆时针旋转 的变
2
换,τ是把V的每个向量向x轴作反射的变换,
证 必要性 由线性变换的定义得:
(k1 k2 ) (k1) (k2 ) k1 () k2 ( ) .
充分性 分别取k1 = k2 =1及k2 = 0得到:
( ) (1 1 )
1 () 1 ( ) () ( ) ;
k1 () (k1 0 ) (k1) .
证毕.
8.1.2 线性变换的运算
设V是一个线性空间.在V上有各种不 同的线性变换,如例8.1.4说明任一个n阶矩 阵就可给出一个Rn上的线性变换.在V上所 有线性变换中可以定义一些运算关系,就 象函数可以进行运算一样.
人教A版高中数学选修- 第一讲 三 线性变换的基本性质 课件 PPT
1.恒等变换
定义: 把平面上任意一点变成它本身的变换. 10
恒等变换I 对应的矩阵为E2= 0 1
变换公式:
x′= x, y′= y.
∵E2 i =
1 0
0 1
E2 j =
1
0
01
1= 1， 00
0= 0. 11
y
1
j
O
i1
10 01
x
y
1
j
O
i1
x
解这类题型的一般步骤:
1.写出变换所对应的矩阵A;
2.写出坐标变换公式;
3.求出A i ,A j ,即得到单位正方形区域两条邻 边的新位置.作图表示
1.旋转变换R30° 2. 切变变换（平行与x轴、y轴） 3.反射变换（ 关于x轴、y轴） 4.投影变换（ 关于x轴、y轴）
关于x轴的切变变换所对应的矩阵为A= 1 k 01
No 证P是明这：个设平P面1，P的2 是任直意角点,坐记标α1系=
的 O
两 P1
个定点， ,α 2 = O P
2
,
Image γ= OP，∴ ∴γ γ则 －=Pα(点1－ 1 在=λλ直()α α线12－+lα上λ1α当).2 .且仅当P1 P // P1 P2
∴令γλ 1==λ11－α1λ+λ，λ2α2=2 λ，
性质1
设A是一个二阶矩阵,α ,β 是平面上的 任意两个向量,λ是任意实数,则 (1) A(λ α)=λA ;α (2) A(α +β)= Aα +Aβ .
定理1
设A是一个二阶矩阵,α
,β是平面上的任意
两则个A(向λ1 量α+,λλ1,2λ2是)β=任λ1意A实+数αλ,2 A .
线性变换的基本性质
λ1+λ2=1).
x
x'
设直线 l 在线性变换
=
y
y'
的作用下变成γ'=A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ(λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1).
(1)如果Aα≠Aβ,则由Aα和Aβ的终点确定直线l',即把直线l变为直
线l'.
题型三
题型四
解:设直线 l 的方程为 3x+5y+c=0,把(3,-2)代入,得 c=1,
故直线 l 的方程为 3x+5y+1=0.
1 0
, 令点P(x,y)是 l 上任
又切变变换对应的矩阵为 A= 1
1
2
一点,在 A 对应的变换作用下的像为点 P'(x',y'),
x
x'
= ',
' = ,
三
线性变换的基本性质
(一)线性变换的基本性
质
1.理解数乘平面向量和平面向量的加法的概念,掌握线性变换的
基本性质1、性质2及定理1.
2.会利用线性变换的性质及定理进行相关的计算,会确定直线在
线性变换后的图形,并能解决简单的实际问题.
为什么线性变换把平面上的直线变成直线(或一点)?
剖析:设 P1,P2 为直线 l 上的两个定点,P 为 l 上的一个动点,如图
正解:过 A(1,0),B(0,2)两点的直线 l 的方程为
2
x+ = 1, 即2x+y-2=0.
0.8 0
令(x,y)为直线 l 上任一点,在矩阵
线性变换的多项式
事实上， , V , m P,
K k( ) k k K K , K m km mk mK .
例1. V R2(实数域上二维向量空间)，把V中每
一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，
用T 表示，即
线性相关，1,2 ,L ,r未必线性相关.
事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成
线性相关的向量组. 如零变换.
练习：下列变换中，哪些是线性变换？
√ 1．在 R3中， x1, x2 , x3 (2x1, x2, x2 x3 ).
2．在 P[ x]n中， f ( x) f 2( x).
(２)．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换
（3）交换律一般不成立，即一般地，
.
例1. 线性空间 R[x]中，线性变换
D f x f x
J
f
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
1、 线性变换的乘积 (1)．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的乘积 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ),
( )(k ) ( (k )) (k ( )) k ( ( )) k( )( )
: R3 R3,
a
( , ) , ( , )
2 线性变换的运算
τ
τ 使στ = τσ = E,则称 σ 为可逆变 则称
2．基本性质
(1) 可逆变换
σ 的逆变换 σ −1也是 的线性变换 也是V的线性变换 的线性变换. (2)线性变换 σ 可逆 ⇔ 线性变换 σ 是一一对应 是一一对应. 线性变换
ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n是线性空间 的一组基， σ 为V的线性变换，则σ 可逆当且仅当 是线性空间V的一组基 的一组基， 的线性变换， 的线性变换 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),⋯ ,σ (ε n ) 线性无关. 线性无关
线性变换的运算 一、线性变换的乘积
1．定义 为线性空间V的两个线性变换 定义它们的乘积 的两个线性变换， 设 σ ,τ 为线性空间 的两个线性变换，定义它们的乘积 为：
(στ ) (α ) = σ (τ (α ) ) ,
στ
∀α ∈ V
则
στ
也是V的线性变换 也是 的线性变换. 的线性变换
２．基本性质 满足结合律： （1）Eσ = σ E = σ ）满足结合律： （2） ）
(3) 设 (4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组.
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设
σ 为线性空间 的线性变换，n为自然数，定义 为线性空间V的线性变换 的线性变换， 为自然数 为自然数， σ n = σ ⋯σ ,
n
次幂. 称之为 σ 的n次幂 次幂 当 n = 0 时，规定 （单位变换） σ 0 = E 单位变换）.
（4）乘法对加法满足左、右分配律： ）乘法对加法满足左、右分配律：
σ (τ + δ ) = στ + σδ
7.1 线性变换的定义
第七章 线性变换学习单元1： 线性变换的定义_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性空间的线性变换的概念；会判断线性空间的一个变换是否为线性变换；掌握线性变换的基本性质。
学习建议：本学习单元主要是线性变换的概念，大家可以多看书、多看例题，掌握判断一个变换是否是线性变换的技巧。
重点难点：重点：深刻理解线性变换的概念。
难点：理解线性变换的基本性质。
_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的概念及例定义 设V 为P 上线性空间，A 为V 的变换，满足（1）对任何,V αβ∈，有A ()αβ+= A (α) +A (β)；（2）对任何,k P V α∈∈，有A ()k α= kA (α)。
则称A 为V 的线性变换。
例1 θℜ为把2V 中向量绕坐标原点反时针旋转θ角的变换。
θℜ为2V 的线性变换。
例2 α为2V 中一个固定向量，α∏表示把2V 中的向量ξ投影到α上，即()αξ∏为ξ在α上的内射影，也即(,)()(,)a ααξξαα∏=， α∏为2V 的线性变换，这里(,)αξ表示内积。
例3 V 的恒等变换E 和零变换O 均为V 的线性变换。
例4 V 的数乘变换ℜ：,,k k P V ααα→∈∈是V 的线性变换。
例5、例6见书，自学。
二、线性变换的基本性质设A 为V 的线性变换。
性质1 (0)0,()()A A A αα=-=-。
性质2 若11r r k k βαα=++L ，则11()()()r r A k A k A βαα=++L 。
性质3 若1,,r ααL 线性相关，则1(),,()r A A ααL 线性相关。
注：性质3的逆不成立，如V 的零变换，把线性无关向量组变成线性相关向量组。
当A 为双射时，A 为V 到V 的同构映射，称A 为V 的自同构。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第7章 线性变换 【圣才出品】
第7章线性变换[视频讲解]7.1本章要点详解本章要点■线性变换的定义及其运算■线性变换的矩阵■特征值与特征向量■对角矩阵■线性变换的值域与核■不变子空间■若当标准型■最小多项式重难点导学一、线性变换的定义1．线性变换的定义线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α、β和数域P中任意数k，有2．线性变换的简单性质（1）设A是V的线性变换，则；（2）线性变换保持线性组合与线性关系式不变，如果β是α1，α2，…，αr的线性组合则经过线性变换A之后，是的线性组合又如果之间有一线性关系式则（3）线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组．二、线性变换的运算1．线性变换的乘积（1）定义设A ，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB 为注：①线性变换的乘法适合结合律，即．②线性变换的乘法一般是不可交换的．（2）基本性质①满足结合律：()()στδστδ=；②,E E E σσσ==为单位变换；③交换律一般不成立，即一般地，στστ≠．2．线性变换的和（1）定义设A ，B 是线性空间V 的两个线性变换，则称为A ＋B 的和．（2）基本性质①满足交换律：σττσ+=+；②满足结合律：()()στδτσδ++=++；③线性变换的和还是线性变换；④零变换与所有线性变换A 的和仍等于A ，A ＋0＝A ；⑤线性变换的乘法对加法有左右分配律，即（3）负变换设σ为线性空间V 的线性变换，定义变换σ-为()()(),V σασαα-=-∀∈则σ-也为V 的线性变换，称之为σ的负变换．3．线性变换的数量乘法（1）定义数域P 中的数与线性变换的数量乘法为，即（2）基本性质4．线性变换的逆（1）定义V的变换A称为可逆的，如果有V的变换B存在，使AB=BA=E，则变换B称为A的逆变换，记为A-1．注：如果线性变换A是可逆的，它的逆变换A-1也是线性变换．（2）基本性质σ-也是V的线性变换．①可逆变换σ的逆变换1②线性变换σ可逆⇔线性变换σ是一一对应．5．线性变换的多项式（1）线性变换的幂当n个（n是正整数）线性变换A相乘时，可以用来表示，称为A的n次幂，简单地记作A n．指数法则：当线性变换可逆时，的负整数幂为（n是正整数）．注：线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来，（2）线性变换的多项式设f（x）＝a m x m＋a m－1x m－1＋…＋a0是P[x]中一多项式，是V的一线性变换，定义．f （）是一线性变换，它称为线性变换的多项式．注：同一个线性变换的多项式的乘积是可交换的．三、线性变换的矩阵1．线性变换与基（1）设ε1，ε2，…，εn 是线性空间V 的一组基，σ为V 的线性变换，则对任意V ξ∈存在唯一的一组数12,,...,n x x x P ∈，使1122...n n x x x ξ=+++εεε，则1122()()()...()n n x x x σσσσ=+++ξεεε（2）设ε1，ε2，…，εn 是线性空间V 的一组基，如果线性变换与在这组基上的作用相同，即。
高等代数第7章线性变换PPT课件
特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。
矩阵论-第二章 线性变换2012
第二章线性变换Made By QQIR第二章线性变换Made By QQIR第二章线性变换邱启荣§2.1 线性变换的定义教学目的: 理解线性变换的概念 教学重点: 线性变换的概念 教学难点: 线性变换的概念华北电力大学数理系 QQIR@12第二章线性变换Made By QQIR第二章线性变换Made By QQIR一、线性变换的概念１．映射 线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的．定义1 设有两个非空集合 A, B , 如果对于 A中任一 元素 α , 按照一定规则, 总有 B中一个确定的元素 β 和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集 合A到集合 B的变换(或映射 ), 记作设 α ∈ A, T (α ) = β , 就说变换 T把元素 α变为 β ,β 称为 α 在变换 T下的象 , α 称为 β在变换 T下的源 .A称为变换 T的源集 , 象的全体所构成的集合 称为 象集 , 记作 T ( A), 即T ( A) = {β = T (α ) α ∈ A},显然 T ( A) ⊂ B .变换的概念是函数概念的推广．β = T (α )或β = Tα , (α ∈ A).34第二章线性变换Made By QQIR第二章线性变换Made By QQIR例1 在线性空间 P 3[x], 中∀ p = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ∈ P[ x ]3 ,(1) 微分运算D是一个线性变换 .( 2) 如果T ( p ) = a 0 , 那么T也是一个线性变换 .( 3)如果 T 1 ( p ) = 1, 那么T 1 是个变换 , 但不是线 性变换.56第二章线性变换Made By QQIR第二章线性变换Made By QQIR例在 R 3中定义变换32 T ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 + x3 ,0 )则 T 不是 R 的一个线性变换．3 证明 ∀α = (a1 , a2 , a3 ), β = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R ,T (α + β ) = T (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )= (a1 + b1 ) , a2 + a3 + b2 + b3 ,02()2 ≠ (a1 , a2 + a3 ,0 ) + (b12 , b2 + b3 ,0 )= T (α ) + T ( β ).7 8证毕.第二章线性变换Made By QQIR第二章线性变换Made By QQIR910第二章线性变换Made By QQIR第二章线性变换Made By QQIR1112第二章线性变换Made By QQIR第二章线性变换Made By QQIRf (α ) = k1 f (α 1 ) + k2 f (α 2 ) ++ kn f (α n )R ( f ) ⊂ Span { f (α1 ), f (α 2 ),, f (α n )}另一方面，基象的线性组合仍是一个象，因此R ( f ) ⊃ Span { f (α1 ), f (α 2 ), , f (α n )}α1 , α 2 ,, α r , α r +1 ,,α n故R ( f ) = Span { f (α1 ), f (α 2 ),, f (α n )}13R( f ) = Span { f (α r +1 ), f (α r + 2 ),, f (α n )}14第二章线性变换Made By QQIR第二章线性变换Made By QQIRk1α1 + k2α 2 ++ krα r − kr +1α r +1 − kr + 2α r + 2 −− knα n = 0kr +1 f (α r +1 ) + kr + 2 f (α r + 2 ) ++ kn f (α n ) = 0k1 = k2α 2 == k r = kr + 1 = k r + 2 == kn = 0f ( kr +1α r +1 + kr + 2α r + 2 ++ knα n ) = 0所以kr +1α r +1 + kr + 2α r + 2 + + knα n ∈ N ( f )r( f ) = n−r因此。
矩阵与线性变换的性质与应用
矩阵与线性变换的性质与应用矩阵与线性变换是线性代数中的重要概念，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵与线性变换的基本性质，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的基本性质1. 矩阵的定义矩阵是一个由一定数量的数按照长方阵列排列而成的矩形数表。
一般表示为m×n(m行n列)。
矩阵中的元素可以是实数、复数或者其他代数元素。
2. 矩阵的运算矩阵与矩阵之间有加法和乘法运算。
对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法定义为A + B = C，其中C的每个元素等于A和B对应位置上元素的和。
矩阵的乘法定义为A × B = D，其中D的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置后的矩阵记作A^T。
对于方阵A，如果存在一个矩阵B使得A × B = B × A = I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
逆矩阵可以用来解线性方程组，求解矩阵的逆矩阵需要满足一定的条件。
二、线性变换的基本性质1. 线性变换的定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的映射。
对于向量空间V中的两个向量u和v，以及标量c，线性变换T必须满足两个性质：T(u + v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。
2. 线性变换的表示与矩阵每个线性变换都可以由一个矩阵表示。
对于向量空间V中的一组基底B = {b1, b2, ..., bn}，线性变换T定义为T(v) = Av，其中A 是一个由线性变换将基底B中的向量映射到对应的新坐标系中的向量所得到的矩阵。
3. 线性变换的性质线性变换具有以下性质：- 保持原点不变：T(0) = 0- 保持直线性质：对于直线上的点，线性变换后仍然在直线上- 保持比例关系：对于两个向量u和v，如果它们的比例关系为u = cv，那么它们的线性变换后的比例关系为T(u) = cT(v)三、矩阵与线性变换的应用1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，可以用来判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的逆矩阵。
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线性变换的基本性质
学习目标
理解线性变换的基本性质
教学重点
理解线性变换的基本性质
新课讲解
一、 数乘平面向量与矩阵的运算
1.数乘平面向量：设x y α→
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 2.平面向量的加法：设11x y α→
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，22x y β→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1212x x y y αβ→→+⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦ 性质1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→
是平面上的任意两个向量，λ是任意一个实数，则
（1）()A A λαλα→→=；（2）()A A A αβαβ→→→→+=+ 。
定理1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→是平面上的任意两个向量，21λλ，是任意两个实数，则βλαλβπαλA A A 2121)(+=+。
【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。
二、直线在线性变换下的图形
研究y kx b =+分别在以下变换下的像所形成的图形：
①伸缩变换：1002⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
②旋转变换：12122⎤-⎥⎢⎢⎢⎣⎦
③切变变换：1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦
性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）。
（证明见课本P 18）
三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形
分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。
① 恒等变换：1001⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
②旋转变换：cos sin sin cos αααα-⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
③切变变换：101k ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
④反射变换：1001⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦
⑤投影变换：1000⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
【练习：P 27】
【应用】 试研究函数1y x =
在旋转变换2222-⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦
作用下得到的新曲线的方程。
课堂小结
1.数乘平面向量与平面向量的加法运算。
2.直线在线性变换下的图形。
3.平面图形在线性变换下的像所形成的图形。