函数图像与函数方程

函数图像与函数方程

【知识要点】 1、函数图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换

①)(x f y =――→关于x 轴对称)(x f y -=; ②)(x f y =――→关于y 轴对称

)(x f y -=; ③)

(x f y =――→

关于原点对称

)(x f y --=;

④)10(≠>=a a a y x

且――→

关于y ＝x 对称

)10(log ≠>=a a x y a 且、

(3)翻折变换

①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像

将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =、 ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像

并作其关于y 轴对称的图像|)(|x f y =、 (4)伸缩变换

①)(x f y = )(ax f y =、

②)(x f y = )(x af y =、

2、函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点.

(2)几个等价关系

方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象就是连续不断的一条曲线,并且有

0)()(<⋅b f a f ,那么,函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点,即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,

这个c 也就就是方程0)(=x f 的根. 【例题解析】

考点一 函数图象变换

【例1】画出下列函数的图像,并说明它们就是由函数()2x

f x =的图像经过怎样的变换得到

的。 (1)1

2

x y -= (2)2+1x y = (3)2x

y =

(4)2-1x y = (5)2x

y =- (6)2

x

y -=-

【变式训练1】画出下列函数的图像,并说明它们就是由函数()2log f x x =的图像经过怎样的变换得到的。

(1)2log (1)y x =- (2)2log 1y x =+ (3)2log ||y x = (4)2|log 1|y x =- (5)x y 2log -= (6))(log 2x y --= 【变式训练2】函数()y f x =的曲线如图所示,那么方程(2)y f x =-的曲线就是( )

A. B.

C. D. 答案:D

【变式训练3】函数2

1

x y x -=

-的图象大致就是 ( )

答案:B

解析 将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数y ＝1－

1

x －1

的图像.

【变式训练4】(2012湖北)已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图像如图所示,则

)2(x f y --=的图像为( )

答案 B

解析 当x ＝1时,y ＝－f (1)＝－1,排除A 、C 、 当x ＝2时,y ＝－f (0)＝0,故选B 、 考点二 函数的零点 题型一 零点存在性定理

【例2】下列各种说法中正确的个数有( ) ①函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 内只有一个零点; ②函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅≤,则函数()y f x =在区间[,]a b 内有零点; ③函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅>,则函数()y f x =在区间(,)a b 内没有零点;

④函数()y f x =在[,]a b 上连续且单调,并满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间

(,)a b 内只有一个零点;

⑤函数2

()23f x x x =--的零点就是(3,0)与(1,0)-、

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案:B

【例3】(2013重庆高考数学(理))

若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )

A.(),a b 与(),b c

B.(),a -∞与(),a b

C.(),b c 与(),c +∞

D.(),a -∞与(),c +∞

答案:()()()0f a a b a c =-->,()()()0f b b c b a =--<,()()()0f c c a c b =-->, 所以()()0f a f b <,()()0f b f c <,所以函数的两个零点分别在(,)a b 与(,)b c 内,选A. 【例4】函数a ax x f 21)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点,则实数a 的取值范围就是________

答案:1

(,1)3

【解析】当0a =时,函数()1f x =在(1,1)-上没有零点,所以0a ≠,所以根据根的存在定理可得(1)(1)0f f -<,即(31)(1)0a a -+-<,所以(1)(31)0a a --<,解得

1

13

a <<,所以实数a 的取值范围就是1(,1)3

【变式训练5】函数2()3log ()x f x x =--的零点所在区间就是( ) A 、 5,22⎛⎫

-- ⎪⎝⎭ B 、 ()2,1-- C 、 ()1,2 D 、 52,2⎛⎫

⎪⎝⎭

答案:B

【例5】已知二次函数2

(),f x ax bx c =++满足42

c b

a +>且0c <,则含有()f x 零点的一个区间就是( ) A.()2,0- B.()

1,0-

C.()01，

D.()02，

答案:A

【变式训练7】根据表格中的数椐,可以判断x

的一个零点属于区间( )

A 、(1,0-

B 、0,1

C 、1,2

D 、)2,3 答案:C

考点三 函数与方程