第六节概率论独立性

两两相互 独立
4）P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) A) P( B) P(C )
注意： １）满足１）２）３）的事件称为两两相互独立
2)若事件A1 , A 2 ...A n 相互独立，则其中 任意k个事件也相互独立； 3)若n个事件A1 , A 2 ...A n (n 2)相互独立， 则将其中任意多个事件换成它们的对立 事件，所得的n个事件仍相互独立。
例题１ 设袋中有四只球，其中有一只红球，一 只白球，一只黑球，还有一只有红白黑三色的 球，从袋中任取一球，Ａ＝｛取得红球｝，Ｂ ＝｛取得白球｝，Ｃ＝｛取得黑球｝．证明： Ａ，Ｂ，Ｃ两两独立，但
P(ABC) P(A)P(B)P(C)
这说明在三个事件的情形下由两两相互独立 不能一定得到三个事件相互独立．
0.8 0.9 0.8 0.9 0.98 . 或者 P A B 1 P A B 1 P A B
1 P A P B 0.98 .
例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击 中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落 的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都 击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 设A={飞机被击落} Bi={飞机被i人击中}, i=1,2,3 则 A=B1A+B2A+B3A 依题意， P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1 解
定理2 若事件A与B相互独立，则下列各对事件 也相互独立：A与B，与 A B，与 A B。
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立？ 解 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2, P(AB)=2/52=1/26. 可见, P(AB)=P(A)P(B)
问：仅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)能 推出A,B,C相互独立吗？
例题2 设有一均匀的正八面体，其中1，2，3，4面 染红色，1，6，7，8面染黑色，1，2，3，5面染白 色，设A，B，C分别表示掷一次正八面体出现红黑白 面着地的事件，试证明：P(ABC)=P(A)P(B)P(C),但 是A,B，C中任何两个都不相互独立。
3
H1 H 2 H 3
H H H
1 2 3
P B3 P H 1 H 2 H 3
将数据代入计算得 P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.
于是
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
P(AB) P(A|B)= P(AB) P(A)P(B) P(B)
P(AB) 反之 若 P (AB)=P(A)P(B) P(A)= P(B) P(A)=P(A|B)
P(B)>0
即是说 当P(B)>0时， P(A)=P(A|B) P(AB) P(A)P(B)
一般情形下 对于两个随机事件A与B， 若 P (A)>0,P(B)>0，则有： P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B)
故 事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 则 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
可见
P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立.
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立.
五 作业
P33 13,16,17,19,21,23,26,29,31,33
第一章 小
结
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。 3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式。 4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。 6 引进贝努里概型及n重贝努里试验的概念，要会 计算与之相关事件的概率。
2 定义 设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立,简称A,B独立.
注:
1 不可能事件和必然事件与任何事件相互独立 2 两个事件的独立与互斥:事件A和B相互独立 是指A和B的概率的性质,即A与B同时发生的概率 等于各自发生概率的乘积,而A和B互斥实质上 是反映的两个集合的关系,即A与B中无公共元素. 对于两个概率均大于0的事件A和B, 若他们相互独立,则不可能互斥, 若他们互斥,则不可能相互独立.
2 共Cn 个
P( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( A j ) P( Ak ) P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) An相互独立。
共C 个 共C 个
n n
3 n
P( An )
则称A1 , A2 ,
特别地,当n=3时，
1 ）P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 2）P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 ) 3）P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 )
由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A |B3)
为求P(Bi ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3
可求得
Biblioteka BaiduPB PH H H
2 1 2
P B1 P H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3
例如
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 故认为A、B独立 . （即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
即飞机被击落的概率为0.458.
例题3 一个元件或系统能正常工作的概率称为元件或 系统的可靠性。现有2n个元件，其中每个元件的 可靠性为r,按下列两种方式组成两个系统，求各系 统的可靠性，并比较可靠性的大小。
四、小结
这一讲，我们介绍了事件独立性的概念. 不 难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分 简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独 立的，则许多概率的计算就可大为简化.
则事件 A、B 相互独立 , 且事件"两粒种子都出苗 " 表示为 : AB , " 恰好有一粒出苗" 表示为 : A B AB , "至少有一粒种子出苗 " 表示为 : A B .
1 P AB P AP B 0.8 0.9 0.72 ; 2 P A B AB P A B P AB P A P B P AP B 0.2 0.9 0.8 0.1 0.26 . 3 P A B P A P B P AB P A P B P A P B
3 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为 或
P A | B P A , P B 0 P B | A P B , P A 0
三、独立性的概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率计算可得到简化
例1 有甲、乙两批种子，出 苗率分别为0.8 和 0.9 , 现从这两批种子中各任 取一粒 , 求
1 两粒种子都出苗的概率 ; 2 恰好有一粒种子 出苗的概率 ; 3 至少有一粒种子出苗的概率 .
由甲批中取出的一粒种子出苗 解 设A B 由乙批中取出的一粒种子出苗
第六节 独立性
教学重点 事件的独立性 教学内容 (一) 独立性 例题1 设在10个元件中有7个一等品,放回地连续 抽取两次,每次抽取一个元件,问: (1) 第二次取得一等品的概率? (2) 在第一次取得一等品的条件下,第二次取 得一等品的概率?
解 设A : 第2次取得一等品，B:=第1次取得一等品 (1)P(A) 7 10, (2)P(A | B) 7 10 由此看来有：P(A)=P(A|B) 这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概 率,这时称事件A、B独立.由条件概率的定义有:
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.
例题 2 甲乙同时向一敌机射击,已知甲击中
的概率为0.6,乙击中的概率为0.5, 求敌机被击中的概率.
二 多个事件的独立性
设A1 , A2 ... An是n个事件，若对所有的组合 1 i j k ... n成立着： P( Ai Aj ) P( Ai ) P( A j )