第六节概率论独立性
概率论6
两点推论： 推论1：若事件 A1 , A2 ,
An 相互独立，则其中任意
k ( 2 ≤ k ≤ n) 个事件也是相互独立的。
推论2：若事件 A1 , A2 ,
An 相互独立，则将 A1 , A2 ,
An
中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的
n 个事件仍相互独立。
（三）相互独立事件至少发生其一的概率计算公式
= 1 − P ( A ) P ( B ) P (C )
= 1 − (1 − 0.1)(1 − 0.05)(1 − 0.2)
= 0.316
小
教学要求：
结
1 理解事件独立性的概念; 2 掌握事件独立性的计算； 教学重点： 独立事件概率的计算 教学内容： 一、事件的独立性 （一）两个事件的独立性： 若 P(AB)= P(A)P(B) 则称A，B为相互独立的事件。
两个事件独立的性质： 1 必然事件S 与任何事件独立； 不可能事件 ∅ 与任何事件独立。 2 若事件A , B 独立，且 P(A) > 0 , 则 P( B A) = P( B) 3 若事件 A, B 相互独立，则 A 与B , A 与B , A与B 相互独立。 4 若P(A) > 0 , P(B) > 0，则“ A , B相互独立” 与“A，B互不相容”不能同时成立。
§1.6
独立性
一、事件的独立性
两个事件的独立性 多个事件的独立性 事件独立性与概率的计算
返回
一、事件的独立性 上节课我们学过乘法公式：
P ( AB ) = P ( A ) ⋅ P ( B A )
( P ( A ) > 0)
如果事件A的发生与否对事件B没有任何影响， 则：
P ( B A) = P ( B )
概率论
定理二 若事件A，B相互独立，则下列各对事件也相互 独立, A与B，A与B，A与B。 【证】P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) =P(A)-P(A)P(B) =P(A)(1-P(B)) =P(A)P(B) 所以 A与B相互独立。 其他同理可得。
【注】概率为0的事件与任何事件独立。 设A, B是任二事件，且P(A)=0，则 P(AB)P(A)=0， 所以 P(AB)=0=P(A)P(B)，
【解】(2)放回摸球，以事件A表示“第一次摸得黑球”， 以事件B表示“第二次摸得黑球”，则
a a2 P(A) , P(AB) ， 2 ab (a b)
P(AB) a 据定义 P(B A ) P(A) ab a 又 P(B) , 所以 P(BA)=P(B)，事件A对B的发生 ab
三、事件的独立性及其概率计算 设A1, A2, …, An是相互独立的事件，由德摩根律：
P( A i ) 1 P( A i )
i 1 i 1 n n
=1-P(A1A2…An)， 因A1, A2, …, An是相互独立的，所以 =1-P(A1)P(A2) …P(An)， 【注】独立事件的和事件的概率最好转为积事件的概率 来计算。
前两者涉及事件，后一个涉及概率。 当0<P(A)<1，0<P(B)<1时，A与B的独立性可图示， 向边长为1的正方形内投一点，假设着落点有等可能性，
AB 1 A B l
s
则依几何概型概率的计算， P(AB)=sl=P(A)P(B)。
【注】当P(A)>0，P(B)>0时，A, B互斥与A，B独立不能 同时成立。事实上， 如果A与B互不相容，则A与B一定不独立，因为 P(AB)=P()=0P(A)P(B)。 如果A与B独立，则A与B一定相容，因为 P(AB)=P(A)P(B)0，即A, B不互斥。
概率论-事件的独立性
P( Ai Aj Ak )
P( Ai )P( Aj )P( Ak ),(1
i
j
k
n)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 )P( An ).
则称事件 A1 , A2 ,, An
为相互独立的.
共 2n n 1
个式子．
n 个事件相互独立
n个事件两两独立
显然，如果n个事件相互独立，则它们中任何
机事件序列 A1, A2 ,, An 为相互独立的．
例21 甲、乙、丙三三名射手，他们命中他们命 中目标的概率分别是0.9,0.8,0.6，现三人独立地 向目标各射击一次，求命中目标的可能性有多大？
解 记A=“甲命中目标”, B=“乙命中目 标”, C=“丙命中目标”, D=“命中目标”, 显然A,B,C 相互独立，并且D=A+B+C ,则
NEXT
习题一：22、23、25
作业
例补充 设A,B,C三事件独立，试证A+B与C相互
独立． 证明:因为
P[(A B)C] P( AC BC) P( AC) P(BC) P( ABC)
P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) (P( A) P(B) P( A)P(B))P(C) P( A B)P(C)
P(A) P(B) P(A)P(B)
0.7 0.8 0.70.8 0.94
例补充 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一 密码，设甲译出的概率0.8,乙译出的概率 0.7,丙 译出的概率0.6,求密码能译出的概率.
解 记A=“甲译出密码”, B=“乙译出密
码”,
C=“丙译出密码”, D=“密码被译 显然出A”,B,,C相互独立，并且D=A+B+C ,则
概率论独立性ppt课件
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
定理 2 若两事件A、B独立, 则A与B, A与B, A与B
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B) 故 A与 B独立
第六节 独立性
主要内容： 1）两个事件的独立性 2）多个事件的独立性 3）独立性的概念在计算概率中的应用
重点： 1）两个、多个事件独立性的定义 2）利用独立性的概念接概率题目
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
两事件独立的定义independence
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
PA | B PA , PB 0
或
PB | A PB, PA 0
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去 判断两事件是否独立.
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立.
例如 甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
概率论与数理统计课件1-6
P( ABC ) = 1 = P( A)P(B)P(C ) 8
P( AB) = 3 ≠ 1 = P( A)P(B) 84
(3)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件也相互 独立.
(4)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件换成各 自事件的对立事件后，
所得的 n个事件也是相互独立的 .
如A, B,C 相互独立 , 则A, B,C 相互独立 , A, B,C
也相互独立 . A1, , An 相互独立，则
P( A1 + + An ) = 1 − P( A1)
P( An )
(5)设 A1, A2 , , An 相互独立，则将它们分 成 分成若干组，各组内的 运算结果间 也相互独立 .
于是 P(C1)=P(A1A2A3)+P(B1B2B3) -P(A1A2A3B1B2B3)
=p3+p3-p6=p3(2-p3),
P(C2)=(p+p-p2 )3=p3(2-p)3,
当0<p<1时, P(C2)>P(C1).
例6 甲、乙、丙同时向一架飞机射击，命中率各 为 0.4，0.5，0.7，一人和二人击中时，飞机坠毁的 概率分别为 0.2与0.6，三人击中时飞机一定坠毁.现 飞机坠毁了，计算是由三人同时击中的概率. 解 设 B =“飞机坠毁”注： (1)相互独立Fra bibliotek两两独立
袋内有4个球,全红、全黑、全白各一 个，另一个
涂有红、黑、白三色 ,从中任取一个， A、B、C分别表
示取到红、黑、白球
P( A) = P(B) = P(C ) = 2 = 1
《概率论》第1章§6独立性
两两独立 三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题 判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第 二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁 的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三 发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别 向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
概率独立性与相关性的判断
概率独立性与相关性的判断概率独立性和相关性是概率论中的两个重要概念，它们在统计学和数据分析中具有广泛的应用。
本文将深入探讨概率独立性和相关性的判断方法及其在实际问题中的应用。
一、概率独立性的判断概率独立性是指两个事件的发生与否互相不影响，即事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，反之亦然。
在判断概率独立性时，我们可以根据联合概率和边缘概率之间的关系进行分析。
对于两个事件A和B，若它们为独立事件，则有以下条件成立：P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
通过计算上述等式两边的数值来判断两个事件是否独立。
若等式成立，则说明两个事件独立；若等式不成立，则说明两个事件不独立。
举例来说，假设有一枚公正的硬币，事件A表示抛掷硬币正面朝上，事件B表示抛掷硬币反面朝上。
根据硬币的性质，我们知道事件A和事件B是独立的，因为抛掷硬币的结果不受之前的结果影响，每一次抛掷硬币的概率都是1/2。
二、相关性的判断相关性是指两个变量之间的关联程度。
在统计学中，用协方差和相关系数来衡量两个随机变量之间的相关性。
1. 协方差协方差是衡量两个变量关系强弱和方向的统计量，用Cov(X,Y)表示，其中X和Y为两个随机变量。
协方差的计算公式如下：Cov(X, Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]其中E表示期望值。
协方差为正值时，表示X和Y呈正相关；协方差为负值时，表示X和Y呈负相关；协方差为零时，表示X和Y不相关。
2. 相关系数相关系数是在协方差的基础上进行标准化的统计量，用ρ(X,Y)表示，取值范围为[-1,1]。
相关系数的计算公式如下：ρ(X, Y)= Cov(X, Y) / σ(X)σ(Y)其中σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
相关系数接近于1时，表示X和Y呈正相关；相关系数接近于-1时，表示X和Y呈负相关；相关系数接近于0时，表示X和Y不相关。
概率论与数理统计(事件的独立性)
P(B)P(C P( A)P(C
) )
1
4 1
4
, ,
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，C 不相互独立.
1.6.1 事件的独立性
另一个反例(略) 【例1.21】设一口袋中有100个球，其中有7个是 红的，25个是黄的，24个是黄蓝两色的，1个是红 黄蓝三色的，其余43个是无色的．现从中任取一 个球，以A、B、C分别表示取得的球有红色的、 有黄色的、有蓝色的事件．
当A，B之一为Ф时，
P(AB) = P(A)P(B)与Ａ∩B ＝ Ф同时成立，即独立
与互不相容并存．
两事件相互独立 P( AB) P( A)P(B) 二者之间没
两事件互不相容 AB
有必然联系
1.6.1 事件的独立性
【例1.19】证明若事件A与B相互独立，则下列各 对事件也相互独立： A与 B，B与 A ，A 与 B
可以认为诸Ai是相互独立的，从而诸Ai 也是相互独
立的，且 P( Ai ) 1 0.004 0.996,
则要求的概率为
100
100
P( Ai ) 1 P( Ai )
i1
i1
100
1 P( Ai ) 1 0.996100 0.33
i 1
1.6.1 事件的独立性
例如 掷n枚硬币，从一大批产品中抽查n个产品等， 都是n重独立重复试验．
1.6.1 试验的独立性
在重伯努利试验中，若事件A在每次试验中发 生的概率均为P(A) = p，(0 < p < 1)，那么,事件A发 生k (k=1,2,…,n)次的概率pk是多少呢?
概率论 独立性
第六节 独立性
两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的概念在计算概率中的应用 小结
---
概率论
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工 作的概率.
C
0.70
AB
D
0.95 0.95
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.率论
解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工 作，有
P W P A P B P C D E P F G P H
其中 P(C D E) 1 P(C )P(D )P(E ) 0.973
---
概率论
例如 S 1,2 ,3 ,4,A 1,2, B 1,3,
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 PAPB ,
4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B )
故 A与 B独立
---
概率论
二、多个事件的独立性
概率论-独立性
i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n
R II P A1 B1 A2 B2 An Bn P A1 B1 P A2 B2 P An Bn P A1 B1 P A1 P B1 P A1 B1 p 2 p .
A1，A2， , An两两独立.由定义2可知，n个事件相互独立， 则它们两两独立；反之不成立.
例1(伯恩斯坦反例）设有一均匀的正四面体，其 第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，第四 面染红、白、黑色.现记 A={抛一次四面体朝下的一面出现红色}， B={抛一次四面体朝下的一面出现白色}， C={抛一次四面体朝下的一面出现黑色}，
1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 1 1 n .
第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
如果我们将试验一次接一次地做下去，即让n ， 由于0 1，则当n 时，P( A1 A2 An ) 1， 这说明小概率事件在大量重复试验中迟早出现的概率为1. 概率论中的这一结论，是有重要意义的。在实际工作中， 不能忽视小概率事件，如在山里乱丢烟头，就一次而言， 引起火灾的机会并不大，但是很多人都这么做，发生火灾 的概率就很大。
第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
•
例3 通常称元件能正常工作的概率为元件的可靠性， 称由元件组成的系统能正常工作的概率为系统的可靠 性。假定构成系统的每个元件的可靠性均为p(0<p<1), 且各元件能否正常工作彼此独立。今有下面两个系统， 试比较其可靠性的大小。 解 我们用Ai ,Bi i 1, 2,, n 分别表示元件能够正常
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性
大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。
在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。
其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。
本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。
例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。
现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。
根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。
条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。
通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。
二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。
具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。
两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。
例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。
再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。
问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。
概率论独立的定义
概率论独立的定义引言在概率论中，独立是一个非常重要的概念。
它被广泛应用于各个领域，包括统计学、数学和工程等。
独立性是描述两个或多个事件之间关系的一种性质，其中一个事件的发生不会对其他事件的发生产生影响。
在本文中，我们将详细介绍概率论中独立的定义，深入探讨其性质和应用，并提供一些例子来帮助读者更好地理解独立性的概念。
概率论独立的定义在概率论中，独立是指两个事件的发生与否之间没有关联性。
具体来说，若事件A和事件B是两个随机事件，它们的发生与否应满足以下条件：1.事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响；2.事件B的发生与否不会对事件A的发生产生影响。
用数学符号表示，若事件A和事件B是独立事件，则有以下等式成立：P(A ∩ B) = P(A) · P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
需要注意的是，两个事件的独立性是一种相对概念，具体取决于事件之间是否存在相互依赖或相关性。
如果事件A和事件B之间存在一定的依赖关系，那么它们就不是独立的。
概率论独立的性质独立事件具有以下几个性质：1.传递性：如果事件A独立于事件B，事件B独立于事件C，则事件A独立于事件C。
这是因为如果事件A和事件B是独立的，那么事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响；同理，事件B的发生与否不会对事件C的发生产生影响，所以事件A与事件C也是独立的。
2.对称性：如果事件A独立于事件B，则事件B独立于事件A。
这是因为事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响，那么事件B的发生与否也不会对事件A的发生产生影响。
3.自反性：任何事件都与它自己独立。
这是因为事件A的发生与否完全由事件A本身决定，与其他任何事件无关。
这些性质使我们能够更好地理解和应用独立性的概念。
在实际问题中，我们常常利用独立性来简化计算和分析，从而得出更准确的结果。
概率论独立的应用独立性在概率论中有着广泛的应用。
概率论中的独立性与互斥性
概率论中的独立性与互斥性在概率论中，独立性与互斥性是两个重要的概念。
独立性描述了两个事件之间的关系，而互斥性则表示两个事件不可能同时发生。
理解这两个概念对于解决概率问题非常重要。
接下来，我们将通过一些典型例题来加深对独立性和互斥性的理解。
一、独立性概念的理解与应用独立性事件的定义是：事件A和事件B相互独立，当且仅当事件A的发生不影响事件B的发生概率。
换言之，如果两个事件相互独立，那么一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生概率。
例题1：设事件A表示抛一枚硬币正面朝上，事件B表示抛一枚硬币反面朝上。
那么事件A和事件B是否独立？解：事件A和事件B是相互独立的。
因为抛硬币的结果只有正面和反面两种可能，且每次抛硬币的结果都是独立的，所以事件A的发生不会影响到事件B的发生概率。
结论1：相互独立的事件概率之积等于各自事件概率的乘积。
二、互斥性概念的理解与应用互斥性事件的定义是：事件A和事件B互斥，当且仅当两个事件不能同时发生。
换言之，如果两个事件互斥，那么它们之中只能发生一个。
例题2：设事件A表示掷一个骰子，点数为1、2、3，事件B表示掷一个骰子，点数为4、5、6。
那么事件A和事件B是否互斥？解：事件A和事件B是互斥的。
因为掷两个骰子的结果不可能同时包含1、2、3和4、5、6，所以事件A和事件B不能同时发生。
结论2：互斥事件的概率之和等于0。
三、独立性与互斥性的关系事件独立性和事件互斥性之间有着密切的关系。
如果两个事件是独立的，那么它们一定是互斥的；反之，如果两个事件是互斥的，那么它们不一定是独立的。
例题3：设事件A表示掷一个骰子，点数为1、2、3，事件B表示掷一个骰子，点数为4、5、6。
那么事件A和事件B既互斥又独立。
解：事件A和事件B是互斥的，因为两个骰子的点数不可能同时包含1、2、3和4、5、6。
事件A和事件B是独立的，因为一个骰子的点数不会影响到另一个骰子的点数。
通过以上例题和结论，我们可以看出独立性和互斥性在概率论中的重要性。
概率论之随机事件的独立性
随机事件及其概率
A 与 B 之间没有关联或关联很微弱
A 与 B 相互独立
P(AB) P(A)P(B)
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
例一台自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两 部分如有任何一个出现故障，报警器就失灵．若使用 一年后，雷达出故障的概率为 0.2，计算机出故障的 概率为 0.1，求这个报警器使用一年后失灵的概率．
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
定理 当 P(A) 0 ，P(B) 0 时，若 A, B 相互独立，则
A, B 相容；若 A, B 互不相容，则 A, B 不相互独立.
证明 (1)若 A,B 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B)≠ 0 ，即 A,B 是相容的.
(2)若 A,B 互不相容,则 AB=,P(AB)=0. 因此 0=P(AB)≠ P(A)P(B)>0，即 A,B 是不相互独立.
1 4
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，互独立
随机事件及其概率
定义 设 A1, A2, , An 是 n(n 2) 个事件，若其中任意 两个事件都相互独立，则称 A1, A2 , , An 两两独立 （Independence between them）.
Pn (k) Cnk pk qnk , q 1 p, k 0,1, 2, , n
证明 设 Ai {第 i 次试验中事件 A 发生}，1 i n ； Bk { n 次试验中事件 A 恰好出现 k 次}， 0 k n ， 则
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
Bk A1A2 Ak Ak1 An
概率论与数理统计 1-6
第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念第六节独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、例题讲解四、小结一、事件的相互独立性1.引例盒中有5个球（3绿2红），每次取出一个，有放回的取两次，记A：第一次抽取，取到绿球B：第二次抽取，取到绿球则有P(B|A)=P(B)他表示A的发生并不影响B发生的可能性大小，即)P(AB)=P(A)P(BP(B|A)=P(B⟺)2.定义设A,B是两事件，如果满足等式P AB=P A P B则称事件A，B相互独立，简称A，B独立.说明：事件A与事件B相互独立，是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.两事件相互独立)P(AB)=P(A)P(B 两事件互斥AB =∅两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系互斥独立AB例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.P(A)=12,P(B)=12,P(AB)=P(A)P(B).A BP A=12,P B=12则P(AB)=0，而P(A)P(B)=1 4 ,故P(AB)≠P(A)P(B).由此可见两事件互斥但不独立. AB3.三事件两两相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式൞P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C),则称事件A，B，C两两相互独立4.三事件相互独立的概念定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式P AB=P A P B,P BC=P B P C,P AC=P A P C,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A，B，C相互独立注意:三个事件相互独立→三个事件两两相互独立三个事件相互独立↚三个事件两两相互独立推广：设A1,A2,⋯,A n是n个事件，如果对于任意k(1<k≤n)，任意1≤i1<i2<⋯<i k≤n，具有等式P(A i1A i2⋯A ik)=P(A i1)P(A i2)⋯P(A ik)则称A1,A2,⋯,A n为相互独立的事件n个事件相互独立→n个事件两两相互独立n个事件相互独立↚n个事件两两相互独立二、几个重要定理定理一：设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然.定理二：若A,B相互独立，则下列各对事件，ഥA与B，A与ഥB，ഥA与ഥB，也相互独立。
概率统计-事件的独立性
• 所求概率为
10
10
P( A) P( Ai ) 1 P( Ai )
i 1
i 1
1 P( A1 A2 A10 )
1 P( A1)P( A2 ) P( A10)
1 0.9 0.9 0.9 0.65
• 例 若每个人的血液中含有肝炎病毒的概 率为0.4%,今混合100个人的血液.求此混 合血液中含有肝炎病毒的概率.
• 解法二
P(A B) 1 P(A B) 1 P(AB)
1 P( A)P(B) 1 0.4 0.5 0.8
• 定理:若A,B相互独立,则 A, B; A, B也; A相, B互 独立.
• 证明:因为A,B相互独立,所以 P(AB)=P(A)P(B),
P( AB) P( A AB) P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B) P(A)[1 P(B)]
P(
A2
|
A1 )
2 10
• 上式说明无论事件 A1发生与否,事件A2 发 生的概率不变,这种情况在概率论中就称 为独立性.
• 事件A、B相互独立
•
P(A) P(A | B) P(A | B)
可以证明:
P(A) P(A | B) P(A) P(A | B)
P P
( (Βιβλιοθήκη A) AB)P • 例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被 两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都 击中,飞机必定被击落.求飞机被击落的概 率.
• 解:用 D表i 示飞机仅被i人击中,i=1,2,3.
F表示飞机被击落，则有
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则事件 A、B 相互独立 , 且事件"两粒种子都出苗 " 表示为 : AB , " 恰好有一粒出苗" 表示为 : A B AB , "至少有一粒种子出苗 " 表示为 : A B .
1 P AB P AP B 0.8 0.9 0.72 ; 2 P A B AB P A B P AB P A P B P AP B 0.2 0.9 0.8 0.1 0.26 . 3 P A B P A P B P AB P A P B P A P B
0.8 0.9 0.8 0.9 0.98 . 或者 P A B 1 P A B 1 P A B
1 P A P B 0.98 .
例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击 中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落 的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都 击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 设A={飞机被击落} Bi={飞机被i人击中}, i=1,2,3 则 A=B1A+B2A+B3A 依题意， P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1 解
故 事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 则 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
可见
P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立.
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.
例题 2 甲乙同时向一敌机射击,已知甲击中
的概率为0.6,乙击中的概率为0.5, 求敌机被击中的概率.
二 多个事件的独立性
设A1 , A2 ... An是n个事件，若对所有的组合 1 i j k ... n成立着： P( Ai Aj ) P( Ai ) P( A j )
2 共Cn 个
P( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( A j ) P( Ak ) P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) An相互独立。
共C 个 共C 个
n n
3 n
P( An )
则称A1 , A2 ,
特别地,当n=3时，
1 ）P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 2）P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 ) 3）P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 )
由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A |B3)
为求P(Bi ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3
可求得
PB PH H H
2 1 2
P B1 P H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3 H 1 H 2 H 3
例如
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 故认为A、B独立 . （即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
例题１ 设袋中有四只球，其中有一只红球，一 只白球，一只黑球，还有一只有红白黑三色的 球，从袋中任取一球，Ａ＝｛取得红球｝，Ｂ ＝｛取得白球｝，Ｃ＝｛取得黑球｝．证明： Ａ，Ｂ，Ｃ两两独立，但
P(ABC) P(A)P(B)P(C)
这说明在三个事件的情形下由两两相互独立 不能一定得到三个事件相互独立．
问：仅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)能 推出A,B,C相互独立吗？
例题2 设有一均匀的正八面体，其中1，2，3，4面 染红色，1，6，7，8面染黑色，1，2，3，5面染白 色，设A，B，C分别表示掷一次正八面体出现红黑白 面着地的事件，试证明：P(ABC)=P(A)P(B)P(C),但 是A,B，C中任何两个都不相互独立。
第六节 独立性
教学重点 事件的独立性 教学内容 (一) 独立性 例题1 设在10个元件中有7个一等品,放回地连续 抽取两次,每次抽取一个元件,问: (1) 第二次取得一等品的概率? (2) 在第一次取得一等品的条件下,第二次取 得一等品的概率?
解 设A : 第2次取得一等品，B:=第1次取得一等品 (1)P(A) 7 10, (2)P(A | B) 7 10 由此看来有：P(A)=P(A|B) 这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概 率,这时称事件A、B独立.由条件概率的定义有:
两两相互 独立
4）P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) A) P( B) P(C )
注意： １）满足１）２）３）的事件称为两两相互独立
2)若事件A1 , A 2 ...A n 相互独立，则其中 任意k个事件也相互独立； 3)若n个事件A1 , A 2 ...A n (n 2)相互独立， 则将其中任意多个事件换成它们的对立 事件，所得的n个事件仍相互独立。
三、独立性的概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率计算可得到简化
例1 有甲、乙两批种子，出 苗率分别为0.8 和 0.9 , 现从这两批种子中各任 取一粒 , 求
1 两粒种子都出苗的概率 ; 2 恰好有一粒种子 出苗的概率 ; 3 至少有一粒种子出苗的概率 .
由甲批中取出的一粒种子出苗 解 设A B 由乙批中取出的一粒种子出苗
3
H1 H 2 H 3
H H H
1 2 3
P B3 P H 1 H 2 H 3
将数据代入计算得 P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.
于是
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
即飞机被击落的概率为0.458.
例题3 一个元件或系统能正常工作的概率称为元件或 系统的可靠性。现有2n个元件，其中每个元件的 可靠性为r,按下列两种方式组成两个系统，求各系 统的可靠性，并比较可靠性的大小。
四、小结
这一讲，我们介绍了事件独立性的概念. 不 难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分 简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独 立的，则许多概率的计算就可大为简化.
定理2 若事件A与B相互独立，则下列各对事件 也相互独立：A与B，与 A B，与 A B。
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立？ 解 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2, P(AB)=2/52=1/26. 可见, P(AB)=P(A)P(B)
五 作业
P33 13,16,17,19,21,23,26,29,31,33
第一章 小
结
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。 3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式。 4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。 6 引进贝努里概型及n重贝努里试验的概念，要会 计算与之相关事件的概率。
P(AB) P(A|B)= P(AB) P(A)P(B) P(B)
P(AB) 反之 若 P (AB)=P(A)P(B) P(A)= P(B) P(A)=P(A|B)
P(B)>0
即是说 当P(B)>0时， P(A)=P(A|B) PB， 若 P (A)>0,P(B)>0，则有： P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B)
2 定义 设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立,简称A,B独立.
注:
1 不可能事件和必然事件与任何事件相互独立 2 两个事件的独立与互斥:事件A和B相互独立 是指A和B的概率的性质,即A与B同时发生的概率 等于各自发生概率的乘积,而A和B互斥实质上 是反映的两个集合的关系,即A与B中无公共元素. 对于两个概率均大于0的事件A和B, 若他们相互独立,则不可能互斥, 若他们互斥,则不可能相互独立.
3 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为 或
P A | B P A , P B 0 P B | A P B , P A 0