高二数学矩阵的定义和运算(教师版)
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二、矩阵的运算：
矩阵的运算包括：矩阵加法、矩阵减法、实数与矩阵的乘积、矩阵乘积。
1、矩阵的和（差）
（1）当两个矩阵A，B的维数相同时，将它们各位置上的元素相加（减）所得到的矩阵称为矩阵A，B的和（差）,记作：A+B（A-B）
（2）运算律
加法运算律：A+B=B+A
加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
（1） （2）
答案（1） （2）
（3） （4）
（3） （4）
2、求下列矩阵乘积：
（1） （2）
答案：（1） （2）
（3）已知矩阵A= ，B= ，AB= ，则x+y=。
答案：8
3、（1）已知矩阵 , 。计算 和
答案：
（2）已知矩阵 , 。计算 和
答案：
（3）计算 （k是正整数）
答案：
（4）
答案：
4、(1)若 ，求a,b
故此，由方程组的变化，可推导理解矩阵的变பைடு நூலகம்规则。
矩阵的变换规则：
（1）互换矩阵的两行；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；
（3）某一行乘以一个非零的数，再加到另一行。
3、矩阵变换的意义：使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程，就是解方程的过程。
当系数矩阵变为单位矩阵，该方程组的增广矩阵的最后一个列向量就是方程组的解。
答案：
(2)已知 , ，若矩阵 满足 ，求矩阵
答案：
（2）运算律
分配律： ，
结合律： ，
【注意】交换律不成立，即 。
【典型例题分析】
例1、用矩阵变换的方法可以解二元一次方程组，那么能否用矩阵变换的方法来解三元一次方程组？试用代入消元法、加减消元法和矩阵变换的方法分别解三元一次方程组。
答案：
变式练习：
运用矩阵变换，解下列二元一次方程组：
（1） （2）
答案：（1） （2）
例2、甲、乙、丙三人做一批零件. 若甲乙两人合作，甲做8天，乙做5天恰好完成；若甲丙两人合作，甲做6天，丙做9天恰好完成；乙丙两人合作，乙做10天，丙做6天恰好完成. 如果甲、乙、丙单独做，各需多少天才能完成？
变式练习：
1、已知一个线性方程组对应的矩阵为 ，（1）写出其对应的线性方程组（2）解（1）中的方程组。
答案（1） （2）
2、解方程组：
答案：
例3
1、已知A= ，B= 。求：（1）A+2B；（2）2A-B。
答案（1） （2）
2、已知A= ，B= 。求：（1）A-B；（2）3A-2B。
答案：（1） （2）
3、求下列矩阵乘积：
（1）
答案：
（2）
答案：
（3）
答案：
【课堂小练】
1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：
4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
（1） （2）
答案：（1） （2）
5、已知矩阵 为单位向量，且 ，求 的值。
答案：
6、用矩阵变换的方法求解下列方程组：
（1） （2） （3）
答案：（1） （2） （3）
7、已知 , ，求(1) (2)
答案：（1） （2）
【课后练习】
作业：
1、运用矩阵变换的方法解下列方程组：
当一个矩阵的行数和列数相等的时候，该矩阵叫做方矩阵，简称方阵。
如果一个方矩阵有 行（或列），那么该方矩阵叫做 阶方矩阵。
【注意】对于一个方矩阵而言，有几行（或列），就是几阶矩阵。
我们把对角线元素为1、其余元素均为0的方矩阵，叫做单位矩阵。例如， 。
2、在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化。
各阶段
姓名
第1组
第2组
第3组
第4组
总成绩
张娟娟
26
27
29
28
110
朴成贤
29
26
26
28
109
（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩形表示；
（2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。
（答案略）
2、已知矩阵 且 ，求 、 的值及矩阵 。
答案：
3、写出下列线性方程组的增广矩阵：
（1） ； （2）
答案（1） （2）
学科教师辅导讲义
年级：高二辅导科目：数学课时数：
课题
矩阵的定义和运算
教学目的
1、理解矩阵的概念，理解线性方程组和矩阵的关系；
2、掌握用矩阵变换的方法解二元、三元、四元一次等线性方程组；
3、理解和掌握矩阵的运算及其运算律。
教学内容
【知识梳理】
一、矩阵的概念：
1、我们把方程组的系数和常数项写成矩形数表。我们把这样的矩形数表叫做矩阵。
矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
仅由方程组的系数组成的矩形数表（即：矩阵）叫做方程组的系数矩阵。
由方程组的系数和常数项组成的矩形数表，叫做方程组的增广矩阵。
若矩阵 有 行， 列，则该矩阵可记做： 。
矩阵的每一行构成的一组数表，叫做矩阵的一个行向量。
矩阵的每一列构成的一组数表，叫做矩阵的一个列向量。
【注意】矩阵的列向量的写法。
2、矩阵与实数的积
（1）设 为任意实数，把矩阵A的所有元素与 相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数 的乘积矩阵。记作： A。
（2）运算律（ 为实数）
分配律： ；
结合律：
3、矩阵的乘积：
（1）一般地，设A是 阶矩阵，B是 阶矩阵，设C为 矩阵。
如果矩阵C中第i行第j列元素 是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积.记作：C=AB
矩阵的运算包括：矩阵加法、矩阵减法、实数与矩阵的乘积、矩阵乘积。
1、矩阵的和（差）
（1）当两个矩阵A，B的维数相同时，将它们各位置上的元素相加（减）所得到的矩阵称为矩阵A，B的和（差）,记作：A+B（A-B）
（2）运算律
加法运算律：A+B=B+A
加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
（1） （2）
答案（1） （2）
（3） （4）
（3） （4）
2、求下列矩阵乘积：
（1） （2）
答案：（1） （2）
（3）已知矩阵A= ，B= ，AB= ，则x+y=。
答案：8
3、（1）已知矩阵 , 。计算 和
答案：
（2）已知矩阵 , 。计算 和
答案：
（3）计算 （k是正整数）
答案：
（4）
答案：
4、(1)若 ，求a,b
故此，由方程组的变化，可推导理解矩阵的变பைடு நூலகம்规则。
矩阵的变换规则：
（1）互换矩阵的两行；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；
（3）某一行乘以一个非零的数，再加到另一行。
3、矩阵变换的意义：使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程，就是解方程的过程。
当系数矩阵变为单位矩阵，该方程组的增广矩阵的最后一个列向量就是方程组的解。
答案：
(2)已知 , ，若矩阵 满足 ，求矩阵
答案：
（2）运算律
分配律： ，
结合律： ，
【注意】交换律不成立，即 。
【典型例题分析】
例1、用矩阵变换的方法可以解二元一次方程组，那么能否用矩阵变换的方法来解三元一次方程组？试用代入消元法、加减消元法和矩阵变换的方法分别解三元一次方程组。
答案：
变式练习：
运用矩阵变换，解下列二元一次方程组：
（1） （2）
答案：（1） （2）
例2、甲、乙、丙三人做一批零件. 若甲乙两人合作，甲做8天，乙做5天恰好完成；若甲丙两人合作，甲做6天，丙做9天恰好完成；乙丙两人合作，乙做10天，丙做6天恰好完成. 如果甲、乙、丙单独做，各需多少天才能完成？
变式练习：
1、已知一个线性方程组对应的矩阵为 ，（1）写出其对应的线性方程组（2）解（1）中的方程组。
答案（1） （2）
2、解方程组：
答案：
例3
1、已知A= ，B= 。求：（1）A+2B；（2）2A-B。
答案（1） （2）
2、已知A= ，B= 。求：（1）A-B；（2）3A-2B。
答案：（1） （2）
3、求下列矩阵乘积：
（1）
答案：
（2）
答案：
（3）
答案：
【课堂小练】
1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：
4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
（1） （2）
答案：（1） （2）
5、已知矩阵 为单位向量，且 ，求 的值。
答案：
6、用矩阵变换的方法求解下列方程组：
（1） （2） （3）
答案：（1） （2） （3）
7、已知 , ，求(1) (2)
答案：（1） （2）
【课后练习】
作业：
1、运用矩阵变换的方法解下列方程组：
当一个矩阵的行数和列数相等的时候，该矩阵叫做方矩阵，简称方阵。
如果一个方矩阵有 行（或列），那么该方矩阵叫做 阶方矩阵。
【注意】对于一个方矩阵而言，有几行（或列），就是几阶矩阵。
我们把对角线元素为1、其余元素均为0的方矩阵，叫做单位矩阵。例如， 。
2、在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化。
各阶段
姓名
第1组
第2组
第3组
第4组
总成绩
张娟娟
26
27
29
28
110
朴成贤
29
26
26
28
109
（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩形表示；
（2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。
（答案略）
2、已知矩阵 且 ，求 、 的值及矩阵 。
答案：
3、写出下列线性方程组的增广矩阵：
（1） ； （2）
答案（1） （2）
学科教师辅导讲义
年级：高二辅导科目：数学课时数：
课题
矩阵的定义和运算
教学目的
1、理解矩阵的概念，理解线性方程组和矩阵的关系；
2、掌握用矩阵变换的方法解二元、三元、四元一次等线性方程组；
3、理解和掌握矩阵的运算及其运算律。
教学内容
【知识梳理】
一、矩阵的概念：
1、我们把方程组的系数和常数项写成矩形数表。我们把这样的矩形数表叫做矩阵。
矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
仅由方程组的系数组成的矩形数表（即：矩阵）叫做方程组的系数矩阵。
由方程组的系数和常数项组成的矩形数表，叫做方程组的增广矩阵。
若矩阵 有 行， 列，则该矩阵可记做： 。
矩阵的每一行构成的一组数表，叫做矩阵的一个行向量。
矩阵的每一列构成的一组数表，叫做矩阵的一个列向量。
【注意】矩阵的列向量的写法。
2、矩阵与实数的积
（1）设 为任意实数，把矩阵A的所有元素与 相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数 的乘积矩阵。记作： A。
（2）运算律（ 为实数）
分配律： ；
结合律：
3、矩阵的乘积：
（1）一般地，设A是 阶矩阵，B是 阶矩阵，设C为 矩阵。
如果矩阵C中第i行第j列元素 是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积.记作：C=AB