双曲线中线段之差的最值问题

双曲线中线段之差的最值问题
本内容主要研究双曲线中线段之差的最值.根据双曲线的第一定义和第二定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.
例：已知F 是双曲线的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |-|PA |
的最22
1412
x y -=大值为________.
解：由双曲线的图象，
连接F A 延长交双曲线于点P ,满足|PF |-|
P A |最大.
由两点间距离公式，A (1,4),F (-4,0)
求得最大值为||AF =
,.
整理：
根据双曲线第一定义和第二定义
利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边，画出图形 利用几何图形的性质，三点共线线段之和取得最值.
例如：设为平面内一动点，、为两定点，则
P A B 当且仅当点在线段上时取得最小值；
||||||PA PB AB +≥P AB
B
A
图1 当且仅当点在线段（或）的延长线时取||||||||AB PA PB AB -≤-≤P AB BA 等号．
B A P P
图2
再看一个例题：
例：P 为双曲线x 2－＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝y 2
15
1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________．
解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线x 2－＝1的两焦点． y 2
15
如图：当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，
|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，
同样|PN |最小＝|PF 2|－1，
从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.
总结：
1.在遇到双曲线中线段差的最值问题时，常利用双曲线上点的性质（）及三角形三边关系.
12||2MF MF a -=
2. 双曲线上到的双曲线内（不含焦点的区域）一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与双曲线的交点.
3. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.
练习：
P 为双曲线右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋3)2＋y 2＝4和(x －3)2＋y 2＝12
2
18-=y x 上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________．
答案：
解：已知两圆圆心(－3,0)和(3,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线2
2
18y x -=的两焦点．当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，同样|PN |最小＝|PF 2|－1，
从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.。