两组数据分布的一致性分析及其应用

按 递增排 序为 Ｗ ｘ＾≤ ｗ ｘ１≤ … ≤ 妇 。Ｘ。，Ｘｔ，
… Ｘ 是 排 序 后 ｛ｗ ）编 号 ０，１，… ， 一 １ 的 一
个 排列 。
显然 ，最 理 想 的一 致 性 分 布 （互 惠关 系 、趋 同 ）
是 ：Ｘｏ一 ０，Ｘｌ＝ ｌ，… Ｘ Ｊ— ｌ＇ｔ～ ｌ，即 。， ｌ，… ，
的 匹配度呢 ？
ｗ－ｌ
∑（ — ）。
先考虑 构造 ＤＬ
ｉ＝ ０
。 其
∑一［ Ｌ（ Ｖ，ｚ ‘ —Ｉ— ）一ｆ ‘］ Ｊ
ｉ荨 ０
分子 是排序后 两组 数 据 编号 问的 差 异平 方 和 ，分 母
是最 大差异 平方 和 。它 可以反 映 ２组 数据 分布 的差
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Ｌ｝● 长 春 工程 学 院学 报 （自然 科 学 版 ）
本 文将对 这 一类 问 题 （２个任 意 总体 分 布 的 一 致 性 ）给 出相 应 的归 一 化 的统 计 量 ，并对 这 一 统计 量 的性 质做 了严格 的论 证 ，为其 应 用 提供 了理 论依 据 。最 后 ，给 出几个应 用模 型 。
１ 问 题
对 于来 自 ２个一 维 总体 Ｘ、ｙ的样 本 ，通 过不 同 的统 计 方法 ，可 以 分 析其 不 同 的相 关性 。计算 其 相 关 系数 ｐｘＹ的统计 量 ｒｘｙ，可 以反映 Ｘ与 ｙ的线性 关 系 水 平 ；计 算 其 间 距 （欧 氏 距 离 、马 氏 距 离 、 Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ距离 等），可 以得 到 Ｘ 与 ｙ 在 数量 上 的 相 近程 度 ；计 算 其 夹 角 余 弦 （力 学上 用 ＭＡＣ）或 指 数 相似 系 数 ，可 以度 量样 本 问的相 似度 。
谷 照 升 ，刘 志 明 （－Ｋ春 工程学 院理学 院 ，长 春 １３００１２）
摘 要 ：对 ２个 样本 数据分 布 的一致 性（高低 变 化的
一 致 程度 ），给 出 归一 化 统计 量—— 分 布 一致 水 平 ，
讨论 了其分 布规 律 与数 字特 征 ，并 给 出具体 的数 学
应 用模 型
是基 于 ，ｚ个 观 测 点 的 ２组 不 同属 性 或 指 标 的 观 测
值 。将 Ｚ０，Ｚ ．．’Ｚ．ｒ。按 递增 方 式 排序 ，仍 记 为 Ｚ０，
Ｚ ，… ，Ｚ，ｒ１，即 Ｚ。≤ Ｚ１≤ Ｚ２≤ … ≤ Ｚ，ｒ１．Ｗ 。， ｔ，
… ，Ｗ，广 的角标作 同 步调 整 ，再 将 ｗ。，ｗ ”，ｗ，广
但 分 布 的 内在 联 系 具 有多 样 性 ，有 时需 要考 证 的不是 ２个分 布 间 的数 量关 系 ，而是 分 布 高 低 变化 的一致 程 度 ，即 Ｘ取 值变 大时 ，ｙ的取值相 应 变大还 是 变 小 。互 抑 关 系 应 该是 此 消 彼 长 ，互 惠 （互助 ）关 系则往 往 亦步 亦趋 ，同高 同 低 。本 文称这 种关 系为分 布 一致 水 平 ，或分 布趋 势 一 致 性 。例 如 ，在 水 质 分析 时 ，对 Ｔ１个 观 测点 的两 种污染 指标 总氮 、总磷 浓度采 样 ，得 到 总 氮 浓 度 ＣＮ＝＝＝（Ｎｃｌ，Ｎｃ２，Ｎｃ３，… ，Ｎｃ ）， 总 磷 浓 度 一 （Ｐｃ１，Ｐｃ ，Ｒ ．．，Ｐｃ ）２ 个 样 本 ［１ ］。需 要 考 查 的是 ：总 氮 、总 磷浓 度 分 布 是 否呈 现 出同高 同低 ；或 相 反 ，总 氮 浓度 越 高 ，总磷 浓 度越 低 ；还 是 二者 分布 上 相互 独 立 ，没 有 显 著 的关 联 。其 结 论 对 寻找 污 染 过 程 、污 染 源 、污 染机 理 有很 大 帮 助 。这 类 问题 很多 。例 如 ，同一 批 学 生 ２门不 同课程
ｄ 歹Ｕ
逆
异
水
平
（ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｌｅｖｅ１ｍ） （分 ｑ
布
趋序势 互
反）。下面 研究 ＤＬ 的概 率属性 。 有
数
＞
３ 预 备 定 理
∑岔
∞
∑口
６
一 ｎ ６廿１一（ ）） －Ｌ ＋ａｐｂ 一 ａｐｂ抖ｆ ＿（ Ⅲ］＋ ｌ‘
墨墨 Ｑ ！： ！
ＣＮ ２２－１３２３／Ｎ
长 春 工 程 学 院 学 报 （自然 科学 版 ）２０１１年 第 １２卷 第 ３期
Ｊ．Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｉｎｓｔ．Ｔｅｃｈ．（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．Ｅｄｉ．），２０１１。Ｖｏ１．１２，Ｎｏ．３
３５／３８ ｌ２７一ｌ３０
两组数据分布的一致性分析及其应 用
关键 Baidu Nhomakorabea ：统 计 ；分 布 ；一致 性 ；相关性
中 图分 类号 ：Ｏ２１２．２
文献标 志码 ：Ａ
文 章 编 号 ：１００９－８９８４【２０１１）０３—０１２７—０４
的成绩关 系 ，２种生 物数 量在不 同地 区 的分 布 情况 ， 等等 。目前为止 ，尚未 有合适 的统 计方 法对这样 的考 查 目标 给 出定 量分析 或描述 。
牧 稿 日期 ｌ２０１１－ ０８－ Ｚ３ 基 金项 目ｔ吉林省教育厅 。十一五 科研项 目（吉教科合字［２ｏｌｏ］４１ｏ） 作 者简 介 。谷 照 升 （１９６５－ ），男 （汉 ）。吉 林 集 安 ，教 授
主 要 研 究 应 用 数 学 ．
２ 思 路
设 ｛ ，Ｚ１，… ，Ｚ，ｒ。），｛Ｗ。，Ｗ。，… ， 。｝分 别
，广 。 按递 增排序 后 为 ｗ。≤ ｗ，≤ … ≤ ，ｒｔ，高对 高 ，低 对低 。反 之 ，若恰 有 Ｘ。一 一 １，Ｘ。＝ 一２，… ，
Ｘ．－ ＝ ０，即 Ｗ ≤ Ⅳｒｒ２≤ … ≤ Ｗ。，则说 明二 者
的对应 刚好是 高对低 ，低对 高 ，这恰 好是 最大程 度 的
互 抑关 系 。
所 以 ，解决 问题 的关 键思 路在 于排 序后 数 据 编
号间 的位置关 系 ，而不 需要 数据值 本 身参与计 算 。排
列 Ｘｏ，Ｘｌ。… ，Ｘ 。与 ０，ｌ，… ， 一 １匹 配度越 大 ，则
两者 的一致水 平越 高。
如何刻 画排列 Ｘ。，Ｘ ．．’Ｘ ｔ与 ０，ｌ，… ， 一１