有一道练习题是

有一道练习题是

本学期高等数学期末考试的试卷中有一道试题，老师们中间存在不同的意见。现将试题与部分不同意见发给大家，请大家在寒假休息之余，不妨考虑考虑。咱们可以利用互联网，开展一次网上的教学研讨活动。试题：设f在?0,1?上连续，f ?0xfdt?2x?1

在内仅有一个根。

意见1：试题正确，具体解法如下。

设F= ?0fdtx?2x?1,

由题目的条件可知：F=1>0,F 内有一个根。

又因为

F??f?2?1?2?0

所以由F的单调性可知，式在内仅有一个根。

意见2：试题正确，可以找到符合题意的函数f。设f=1cosx,2x??0,1?,满足f 有 1sinx2

?2x?1

利用意见1中的方法可以证明，式在内仅有一个根。

意见3：试题正确，不存在试题条件相互矛盾的问题。对式两边求导数，有f=2,这个函数不符合题

目的条件：f 意见4：试题错误，试题条件相互矛盾。

对式两边求导数，有f=2,这个结果与题目的

条件：f 意见5：试题错误，式无解。

对式两边求导数，有f=2,将此结果代入

式左边，得到2x=2x-1的矛盾方程，所以式无解。

以上是我个人以及根据我理解的部分老师的意见，供大家参考。为了便于讨论，建议大家采用“实名制方式”发表各种观点或意见。可以直接在这个文档上添加意见，互相转发。

杨永愉013,1,15

程钊补注:

经过考虑,我已改变先前的看法,认为该题无误.理由如下: 可以找到更简单的函数 f=1 满足题设条件,这时方程

成为1x?2x?1,解得x?2.符合题意.3

现在的问题是,如何理解将两边求导后得到的结果f=2.这里的关键是要区分“函数”和“方程”这两个概念,也就是说f=2并不表示f的取值,而仍然是一个方程.既然是方程它就可能有解也可能无解,将它代回是错误的.

许兰喜: 杨老师，我认为题没错，认为题错的老师的运算是基于方程式对任何的x属于成立，这显然不是题的含义。

杨卫星的理解:

这个试题没有任何问题,是一个很好的题目.对这个题

目的误解就在于对方程两边求导后出现了矛盾,但是对方程两边求导不是一个同解变换,所以不能对方程两边求导来化简方程.

如方程3x?6有解x?2,但是对方程两边求导后得到3?0,变成了一个无解方程,所以不能两边求导!

袁文燕:

同意程钊老师和杨卫星老师的看法。

赵雷嘎的补充:

同意程老师和杨老师的看法，这个题没错，再补充一点我的理解。对这个题中对方程两边不能求导。

如果说方程

?0xfdt?2x?1

对任意的x?R都成立，那么这时未知量应该是函数f，这时是可以求导的，求导解出f=2。

实际上题目中函数f已知的，方程

?0xfdt?2x?1

是关于x的方程，那么这时未知量应该是实数x，只要对某些点 x 成立就说有解，这时是普通的代数方程，不可以求导，例如杨老师举的例子。

郭敏茹综合分析：

这个题目没有问题.它实质上是求两个函数的交点，或者如程老师说的是解方程。大家可能都见过同样的题目

ex?ax的实根个数。

f?ex?ax,f’?ex?a1)a?0,f’?0,f?1,知有一个负实根； 2）a?0,f?0,无实根;

3）a?0,分三种情况：

i)0?a?e,无实根；ii)a?e,有一实根；iii)a?e,有二实根。

从本例可以知道方程有解；或者说函数f有零点。但是，我们可以看出，当a?0时，f’?0。也就是说，方程ex?a 是无解的。更简单的例子：比如函数y?lnx有零点x?1，但是，它的导函数y’?1

x却没有零点一样。只是阅卷时有些老师一说

大家有些蒙，脑子一下没转过弯来。

它与我们课本上一百五十一也第五题实质上是一个类型，或者有些发展。只不过其中一个函数变成了变上限函数。

牛兴文:

试题没有错，但表述容易误解，附件[见下]中我给出了两个命题。应该理解为命题2，但在涉及定义隐函数的函数方程语境下，容易误解为命题1。原试题：设f在?0,1?上连续，f ?0fdtx?2x?1

在内仅有一个根。

命题1. 以f为未知函数的函数方程

?0xfdx?2x?1

有且仅有一个定义在?0,1?上且满足条件f?1的解。

一道试题为何有两个答案

2012年浙江省高考理科综合试题第27题小题的标准答案是ΔH=-41.kJ/mol，而在阅卷时发现很多考生的答案却是ΔH=-47.kJ/mol。根据题给的信息，这个答案也是正确的，那么原因在哪里呢？

一、原题

27.甲烷自热重整是先进的制氢方法，包含甲烷氧化和蒸汽重整。向反应系统中同时通入甲烷、氧气和水蒸气，发生的主要化学反应有：

回答下列问题：

反应CO+H2O=CO2+H2的ΔH= kJ/mol。

在初始阶段，甲烷蒸汽重整的反应速率

甲烷氧化的反应速率。

对于气相反应，用某组分的平衡压强代替物质的量浓度也可表示平衡常数，则反应CH4+H2O?CO+3H2的KP= ；

随着温度的升高，该平衡常数。

从能量角度分析，甲烷自热重整方法的先进之处在于。

在某一给定进料比的情况下，温度、压强对H2和CO 物质的量分数的影响如下图：

①若要达到H2物质的量分数>65%、CO物质的量分数

A.00℃，0.9M Pa

B.00℃，0.9MPa

C.00℃，1.5MPa

D. 1000℃，1.5MPa

②画出600℃，0.1MPa条件下，系统中H2物质的量分数随反应时间的变化趋势示意图。

如果进料中氧气量过大，最终导致H2物质的量分数降低，原因是。

二、答案分析

由一道练习题所想到的

记得是这样一道练习题：从小兔家走50米经过广场再走90米到学校，从小兔家走60米经过商场再走70米到学校；比较这两条路怎样走比较近？在处理练习题时，学生做的方法很多，为了不打消他们的积极性我让学生一一上台展示：

有的学生做出了：60+70=130米，50+90=140米，130 ﹤ 140，所以小兔走商场这条路近。

有的学生只观察就找到了答案：60比50多10米，而70比90少20米，所以小兔走商场这条路近。

一个平时不爱表现自己的学生只用一个式子便说明了：50+70﹤50+90，所以小兔走商场这条路近。

学生们不由自主地为建波鼓起掌来，有的还朝他竖起大拇指！

就这一道练习题从此改变了他，课上回答问题积极了，