一次函数与几何综合——中考专题复习
(完整版)《一次函数与几何图形综合》专题

《一次函数与几何图形综合》专题总论:函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一;函数中的几何问题,能使代数知识图形化,而几何中的函数问题,能使图形性质代数化;由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖,能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法,因而成为近几年各地中考的一类热门试题;函数知识与几何知识有机结合的综合题,根据构成命题的主要要素可分为以下两类:一类是几何元素间的函数关系问题(这类问题不妨称简称为“几函”问题),这类问题的特点是:根据已知几何图形间的位置和数量关系(如平行、全等、相似,特别是成比例)建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系,求出函数关系式,运用函数的性质解决几何图形中的问题;另一类是函数图像中的几何图形的问题(如三角形、四边形,特别是圆)(这类问题不妨简称为“函几”问题),这类问题的特点是:根据已知函数图像中的几何图形的位置特征,运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。
一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法,这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。
1.代数(1)表达什么函数(包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义)(2)显现怎样的图形(自身、与坐轴、与其他图形)(3)既是一个方程,也是一个坐标4)藏有那些数据,含有什么些关系(5)要建立某种代数关系缺少那些数据2.几何(1)基本图象有几个(2)图象之间有怎样关系(3)图象与所要证明(求解)的结论怎样的关联(4)要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3.代数与几何(1)代数(几何)在那些地方为几何(代数)提供了怎样的数据(2)几何(代数)通过什么方式为几何(代数)提供关系式(3)怎样设数据(坐标或线段长)函数与几何综合题的解题思想方法:“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强,应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法,它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功,能从已知所提供的信息中提炼出数学问题,从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题,正因如此,解决这类问题时,要注意解决问题的策略,常用的解题策略一般有以下几种:1.综合使用分析法和综合法。
中考数学 一次函数综合类问题四大类

大类一、一次函数与几何综合班级:__________ 姓名:__________【知识点睛】1.一次函数表达式:y=kx+b(k,b为常数,k≠0)①k是斜率,表示倾斜程度,可以用几何中的坡度(或坡比)来解释.坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比,如图所示,AM即为竖直高度,uj7BM即为水平宽度,则=AMkBM,②b是截距,表示直线与y轴交点的纵坐标.2.设直线l1:y1=k1x+b1,直线l2:y2=k2x+b2,其中k1,k2≠0.①若k1=k2,且b1≠b2,则直线l1∥l2;②若k1·k2=-1,则直线l1⊥l2.3.一次函数与几何综合解题思路从关键点出发,关键点是信息汇聚点,通常是函数图象与几何图形的交点.通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究,最后利用函数特征或几何特征解决问题.【精讲精练】1.如图,点B,C分别在直线y=2x和y=kx上,点A,D是x轴上的两点,已知四边形ABCD是正方形,则k的值为______.MA B第1题图 第2题图 第3题图2. 如图,直线l 1交x 轴、y 轴于A ,B 两点,OA =m ,OB =n ,将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD .CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ,则l 1____l 2;若直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,则k 1·k 2=_________.3. 如图,直线483y x =-+交x 轴、y 轴于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D ,则点C 的坐标为4. 如图,在平面直角坐标系中,函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线.探索:若点A 的坐标为(3,1),则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________;猜想:若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ,n ),则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________;应用:已知两点B (-2,-5),C (-1,-3),试在直线l 上确定一点Q ,使点Q 到B ,C 两点的距离之和最小,则此时点Q 的坐标为____________. 5. 如图,已知直线l :y x =+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,将△AOB 沿直线l 折叠,点O 落在点C 处,则直线CA 的表达式为__________________.第5题图 第6题图 第7题图6. 如图,四边形ABCD 是一张矩形纸片,E 是AB 上的一点,且BE :EA =5:3,EC=BCE 沿折痕EC 向上翻折,点B 恰好落在AD 边上的点F 处.若以点A 为原点,以直线AD 为x 轴,以直线BA 为y 轴建立平面直角坐标系,则直线FC 的表达式为__________________.7. 如图,矩形ABCD 的边AB 在x 轴上,AB 的中点与原点O 重合,AB =2,AD =1,过定点Q (0,2)和动点P (a ,0)的直线与矩形ABCD 的边有公共点.(1)a 的取值范围是________________;(2)若设直线PQ 为y =kx +2(k ≠0),则此时k 的取值范围是____________8. 如图,已知正方形ABCD 的顶点A (1,1),B (3,1),直线y =2x +b 交边AB 于点E ,交边CD 于点F ,则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________.第9题图9. 如图,已知直线l 1:2833y x =+与直线l 2:y =-2x +16相交于点C ,直线l 1,l 2分别交x 轴于A ,B 两点,矩形DEFG 的顶点D ,E 分别在l 1,l 2上,顶点F ,G 都在x 轴上,且点G 与点B 重合,那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________. 10. 如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 的坐标分别为A (4,0),B (0,-4),P 为y 轴上B点下方一点,PB=m(m>0),以点P为直角顶点,AP为腰在第四象限内作等腰Rt△APM.(1)求直线AB的解析式;(2)用含m的代数式表示点M的坐标;(3)若直线MB与x轴交于点Q,求点Q的坐标.大类二、一次函数之存在性问题班级:__________ 姓名:__________【知识点睛】存在性问题:通常是在变化的过程中,根据已知条件,探索某种状态是否存在的题目,主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向: 1. 把函数信息(坐标或表达式)转化为几何信息; 2. 分析特殊状态的形成因素,画出符合题意的图形;3. 结合图形(基本图形和特殊状态下的图形相结合)的几何特征建立等式来解决问题. 【精讲精练】 1.如图,直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A ,点B ,已知点P 是第一象限内的点,由点P ,O ,B 组成了一个含60°角的直角三角形,则点P 的坐标为_____________.2. 如图,直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ,C 两点,且43OC OB =. (1)求点B 的坐标和k 的值. (2)若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时,△AOB 的面积是6?(3)在(2)成立的情况下,x 轴上是否存在一点P ,使△POA 是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC,OA分别与x轴、y轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=点C的坐标为(-9,0).(1)求点B的坐标.(2)若直线BD交y轴于点D,且OD=3,求直线BD的表达式.(3)若点P是(2)中直线BD上的一个动点,是否存在点P,使以O,D,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.4.点C 是直线y =kx +3上与A ,B 不重合的动点.过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D ,是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等?若存在,请求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.5. 如图,直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,点C 的坐标为(-3,0),P (x ,y )是直线122y x=+上的一个动点(点P不与点A重合).(1)在点P的运动过程中,试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式.?求出此时(2)当点P运动到什么位置时,△OPC的面积为278点P的坐标.(3)过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E,F两点,是否存在这样的点P,使△EOF≌△BOA?若Array存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.大类三、一次函数之动点问题班级:__________ 姓名:__________【知识点睛】动点问题的特征是速度已知,主要考查运动的过程.1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向:①把函数信息(坐标或表达式)转化为基本图形的信息;②分析运动过程,注意状态转折,确定对应的时间范围;③画出符合题意的图形,研究几何特征,设计解决方案.2.解决具体问题时会涉及线段长的表达,需要注意两点:①路程即线段长,可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程;②根据研究几何特征需求进行表达,既要利用动点的运动情况,又要结合基本图形信息.【精讲精练】1. 如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点.点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动,设点P 的运动时间为t 秒. (1)求OA ,OB 的长.(2)过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ,在点P 的运动过程中,是否存在这样的点P ,使△EOP ≌△AOB ?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.3.如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,11),C(0,5),点D为线段BC的中点.动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OA—AB—BD的路线运动,至点D停止,设运动时间为t秒.(1)求直线BC的解析式.(2)若动点P在线段OA上运动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的14?(3)在动点P的运动过程中,设△OPD的面积为S,求S与t4.如图,直线y =+与x 轴交于点A,与直线y =交于点P .(1)求点P 的坐标. (2)求△OP A 的面积.(3)动点E 从原点O 出发,以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动,过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ,FB ⊥y 轴于点B .设运动时间为t 秒,矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式.5.如图,直线l的解析式为y=-x+4,它与x轴、y轴分别交于A,B两点,平行于直线l的直线m从原点O出发,沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴、y轴分别交于M,N两点,设运动时间为t秒(0< t <4).(1)求A,B两点的坐标;(2)用含t的代数式表示△MON的面积S1;(3)以MN为对角线作矩形OMPN,记△MPN和△OAB重叠部分的面积为S2,试探究S2与t之间的函数关系式.大类四、一次函数之面积问题 班级:_________ 姓名:__________【知识点睛】1. 坐标系中处理面积问题,要寻找并利用横平竖直的线, 通常有以下三种思路: ①公式法(规则图形);②割补法(分割求和、补形作差); ③转化法(例:同底等高). 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例 ① 割补求面积(铅垂法):12△APB S ah = 12△APB S ah= ②转化求面积:l 1l 2如图,满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1,l 2上.二、 精讲精练1. 如右图,在平面直角坐标系中,已知A (-1,3),B (3,-2),则△AOB 的面积为___________.2. 如图,直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ,点B ,点P 的坐标为(-2,2),则S △PAB =___________.第2题图 第3题图3. 如图,直线AB :y =x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ,点B ,直线CD :y =kx -2与x 轴、y 轴分别交于点C ,点D ,直线AB 与直线CD 交于点P .若S △APD =4.5,则k =__________.4. 如图,直线112y x =+经过点A (1,m ),B (4,n ),点C 的坐标为(2,5),求△ABC 的面积.5. 如图,在平面直角坐标系中,已知A (2,4),B (6,6),C (8,2),求四边形OABC 的面积.6. 如图,直线112y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,C (1,2),坐标轴上是否存在点P ,使S △ABP =S △ABC ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.7. 如图,已知直线m 的解析式为112y x =-+,与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ,且∠BAC =90°,点P 为直线x =1上的动点,且△ABP的面积与△ABC的面积相等.(1)求△ABC的面积;(2)求点P的坐标.8.如图,直线P A:y=x+2与x轴、y轴分别交于A,Q两点,直线PB:y=-2x+8与x轴交于点B.(1)求四边形PQOB的面积.(2)直线P A上是否存在点M,使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【分类一参考答案】 二、精讲精练1.232.⊥,-1 3.7(0)3-, 4.(1,3);(n ,m );1313()55--, 5.y =+ 6.4163y x =-+ 7.(1)-2≤a ≤2;(2)k ≥1或k ≤-1 8.-3≤b ≤-1 9.8:9 10.(1)y =x -4;(2)M (m +4,-m -8);(3)Q (-4,0)【分类二参考答案】 二、精讲精练1.333(4444或(或,或(,) 2.(1)B (3,0),43k =(2)A (6,4) (3)123413(120)03P P P P 或(-)或,或(,)3.(1)B (-3,6) (2)y =-x +3(3)123433(30)(22P P P P +,或或或(,) 4.1261224()(46)5555--,或(,)或,5.(1)33(4)433(4)4x x S x x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩(2)1217919()2424P P --,或(,) (3)12412124()5555P P ,或(-,) 【分类三参考答案】1.(1)OA =4,OB =3; (2)t =1或t =7 2.(1)y =+(2)22(04)(48)t S t <=⎨⎪+<<⎪⎩≤(3)123(08)(08)(0M M M -或或,4(0M 或3.(1)354y x =+(2)32t =(3)4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4.(1)(3P (2) (3)22(03)(34)t S t <=⎨⎪+-<<⎪⎩≤第21页/共21页 5.(1)(40)(04)A B ,,, (2)2112S t =.(3)2221(02)2388(24)2t tS t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤ 【分类四参考答案】二、精讲精练1.72 2.8 3.52 4.925.24 6.123451(0)(50)(0)(10)22P P P P --,或,或,或,7.(1)52;(2)12(13)(12)P P -,或,8.(1)10;(2)12162242()()3333M M -,或,。
中考数学专题复习:一次函数与几何变换综合

中考数学专题复习:一次函数与几何变换综合1.如图,已知点A(﹣1,0)和点B(1,2),在y轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足条件的点P共有()A.5个B.4个C.3个D.2个2.如图,点A的坐标为(﹣1,0),点B在直线y=2x﹣4上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是()A.(﹣,﹣)B.(,)C.(﹣,)D.(,﹣)3.如图,点B,C分别在直线y=2x和直线y=kx上,A,D是x轴上两点,若四边形ABCD 是长方形,且AB:AD=1:2,则k的值是()A.B.C.D.4.如图,直线与x轴、y轴交于A、B两点,∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是()A.B.C.D.5.如图,一次函数y=﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.则过B、C两点直线的解析式为()A.y=x+3B.y=x+3C.y=x+3D.y=x+36.已知,如图点A(1,1),B(2,﹣3),点P为x轴上一点,当|P A﹣PB|最大时,点P的坐标为()A.B.C.D.(1,0)7.如图,若直线P A的解析式为y=x+b,且点P(4,2),P A=PB,则点B的坐标是()A.(5,0)B.(6,0)C.(7,0)D.(8,0)8.已知平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A坐标为(0,8),点B坐标为(4,0),点E是直线y=x+4上的一个动点,若∠EAB=∠ABO,则点E的坐标为__________.9.如图,直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A,B,与直线y=x交于点C,线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动,运动时间为t秒,连接CQ.(1)求出点C的坐标__________;(2)若△OQC是等腰直角三角形,则t的值为__________;(3)若CQ平分△OAC的面积,求直线CQ对应的函数关系式__________.10.如图,正方形ABCD的边长为2,A为坐标原点,AB和AD分别在x轴、y轴上,点E 是BC边的中点,过点A的直线y=kx交线段DC于点F,连接EF,若AF平分∠DFE,则k的值为__________.11.如图所示,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(12,5),直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分.那么b=__________.12.若四条直线x=1,y=﹣1,y=3,y=kx﹣3所围成的凸四边形的面积等于12,则k的值为__________.13.正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2),则B5的坐标是__________.14.如图,点A的坐标为(﹣1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为__________.15.如果直线y=﹣2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9,则k的值为__________.16.如图,点A、B的坐标分别为(0,2),(3,4),点P为x轴上的一点,若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上,则点P的坐标为__________.17.一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,在x轴上取一点C,使△ABC为等腰三角形,则这样的点C的坐标为__________.18.如图,在直角坐标系中有一个缺失了右上格的九宫格,每个小正方形的边长为1,点A 的坐标为(2,3).要过点A画一条直线AB,将此封闭图形分割成面积相等的两部分,则直线AB解析式是__________.19.如图,在直角坐标系中,矩形ABCD的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(3,4),直线CD分别交OB、AB于点D、E,若BD=BE,则点D的坐标为__________.20.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB沿过点A的直线折叠,使点B落在x轴负半轴上,记作点C,折痕与y轴交点交于点D,则点C的坐标为__________,点D的坐标为__________.21.如图,在平面直角坐标系中,函数y=﹣x+2的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,与函数y=x+b的图象交于点C(﹣2,m).(1)求m和b的值;(2)函数y=x+b的图象与x轴交于点D,点E从点D出发沿DA方向,以每秒2个单位长度匀速运动到点A(到A停止运动).设点E的运动时间为t秒.①当△ACE的面积为12时,求t的值;②在点E运动过程中,是否存在t的值,使△ACE为直角三角形?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.22.如图,在平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+4交x轴于点A,交y轴于点B,OC ⊥AB于点C,点P从B点出发,以每秒4个单位的速度沿BA运动,点Q从O点出发,以每秒3个单位的速度沿OC向终点C运动,当Q点到达点C时,点P也随之停止运动,连接OP,连接AQ并延长交OP于点H,设运动时间为t秒.(1)BP=__________,OQ=__________;(用含t的代数式表示)(2)求证:AH⊥OP.(3)当△APH为等腰直角三角形时,求t的值.23.如图,长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片,O为原点,点A在x 轴上,点C在y轴上,OA=10,OC=6.在AB上取一点M,使得△CBM沿CM翻折后,点B落在x轴上,记作B'点.(1)B'点的坐标是__________.(2)求折痕CM所在直线的解析式.(3)在x轴上是否能找到一点P,使△B'CP的面积为12?若存在,直接写出点P的坐标?若不存在,请说明理由.24.如图,已知直线l1经过点B(0,3)、点C(2,﹣3),交x轴于点D,点P是x轴上一个动点,过点C、P作直线l2.(1)求直线l1的表达式;(2)已知点A(7,0),当S△DPC=S△ACD时,求点P的坐标;(3)设点P的横坐标为m,点M(x1,y1),N(x2,y2)是直线l2上任意两个点,若x1>x2时,有y1<y2,请直接写出m的取值范围.25.已知直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C是x轴上一定点,其坐标为C(1,0),一个动点P从原点出发沿O﹣B﹣A﹣C﹣O方向移动,连接PC.(1)当线段PC与线段AB平行时,求点P的坐标,并求此时△POC的面积与△AOB的面积的比值.(2)当△AOB被线段PC分成的两部分面积相等时,求线段PC所在直线的解析式;(3)若△AOB被线段PC分成的两部分面积比为1:5时,求线段PC所在直线的解析式.26.在如图的平面直角坐标系中,直线n过点A(0,﹣2),且与直线l交于点B(3,2),直线l与y轴交于点C.(1)求直线n的函数表达式;(2)若△ABC的面积为9,求点C的坐标;(3)若△ABC是等腰三角形,求直线l的函数表达式.27.如图,在平面直角坐标系中,过点C(0,6)的直线AC与直线OA相交于点A(4,2).(1)求直线AC的表达式;(2)求△OAC的面积;(3)动点M在线段OA和射线AC上运动,是否存在点M,使△OMC的面积是△OAC 的面积的?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.28.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=x+1与x轴交于点A,直线l2:y=3x ﹣3与x轴交于点B,与l1相交于点C.(1)请直接写出点A、点B、点C的坐标:A__________,B__________,C__________.(2)如图2,动直线x=t分别与直线l1,l2交于P,Q两点.①若PQ=2,求t的值.②若存在S△AQC=2S△ABC,求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.解:①以A为直角顶点,可过A作直线垂直于AB,与y轴交于一点,这一点符合点P 的要求;②以B为直角顶点,可过B作直线垂直于AB,与y轴交于一点,这一点也符合P点的要求;③以P为直角顶点,与y轴共有2个交点.所以满足条件的点P共有4个.故选:B.2.解:过A作AB⊥直线y=2x﹣4,垂足为B,过B作BD⊥x轴,令y=0,得到x=2,即C(2,0),设B(a,2a﹣4)(a>0),即BD=|2a﹣4|,|OD|=a,∵∠ABD+∠BAD=90°,∠ABD+∠DBC=90°,∴∠BAD=∠DBC,∵∠BDC=∠ADB=90°,∴a=或a=2(不合题意,舍去),则B(,﹣).故选:D.3.解:设长方形的AB边的长为a,则BC边的长度为2a,B点的纵坐标是a,把点B的纵坐标代入直线y=2x的解析式得:x=,则点B的坐标为(,a),点C的坐标为(+2a,a),把点C的坐标代入y=kx中得,a=k(+2a),解得:k=.故选:B.4.解:对于直线y=﹣x+8,令x=0,求出y=8;令y=0求出x=6,∴A(6,0),B(0,8),即OA=6,OB=8,根据勾股定理得:AB=10,在x轴上取一点B′,使AB=AB′,连接MB′,∵AM为∠BAO的平分线,∴∠BAM=∠B′AM,∵在△ABM和△AB′M中,,∴△ABM≌△AB′M(SAS),∴BM=B′M,设BM=B′M=x,则OM=OB﹣BM=8﹣x,在Rt△B′OM中,B′O=AB′﹣OA=10﹣6=4,根据勾股定理得:x2=42+(8﹣x)2,解得:x=5,∴OM=3,即M(0,3),设直线AM解析式为y=kx+b,将A与M坐标代入得:,解得:,则直线AM解析式为y=﹣x+3.故选:B.5.解:∵一次函数y=﹣x+3中,令x=0得:y=3;令y=0,解得x=4,∴B的坐标是(0,3),A的坐标是(4,0).如图,作CD⊥x轴于点D.∵∠BAC=90°,∴∠OAB+∠CAD=90°,又∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠BAO.在△ABO与△CAD中,,∴△ABO≌△CAD(AAS),∴OB=AD=3,OA=CD=4,OD=OA+AD=7.则C的坐标是(7,4).设直线BC的解析式是y=kx+b,根据题意得:,解得,∴直线BC的解析式是y=x+3.故选:A.6.解:作A关于x轴对称点C,连接BC并延长交x轴于点P,∵A(1,1),∴C的坐标为(1,﹣1),连接BC,设直线BC的解析式为:y=kx+b,∴,解得:,∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+1,当y=0时,x=,∴点P的坐标为:(,0),∵当B,C,P不共线时,根据三角形三边的关系可得:|P A﹣PB|=|PC﹣PB|<BC,∴此时|P A﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值.故选:A.7.解:过点P作PC⊥AB,∵解析式y=x+b过点P(4,2),∴2=×4+b,∴b=﹣,∴A(1,0),又∵P(4,2),∴AC=3,∵P A=PB,∴BC=3,∴点B的坐标是(7,0).故选:C.8.解:当点E在y轴右侧时,如图1,连接AE,∵∠EAB=∠ABO,∴AE∥OB,∵A(0,8),∴E点纵坐标为8,又E点在直线y=x+4上,把y=8代入可求得x=4,∴E点坐标为(4,8);当点E在y轴左侧时,过A、E作直线交x轴于点C,如图2,设E点坐标为(a,a+4),设直线AE的解析式为y=kx+b,把A、E坐标代入可得,解得,∴直线AE的解析式为y=x+8,令y=0可得x+8=0,解得x=,∴C点坐标为(,0),∴AC2=OC2+OA2,即AC2=()2+82,∵B(4,0),∴BC2=(4﹣)2=()2﹣+16,∵∠EAB=∠ABO,∴AC=BC,∴AC2=BC2,即()2+82=()2﹣+16,解得a=﹣12,则a+4=﹣8,∴E点坐标为(﹣12,﹣8).方法二:设C(m,0),∵∠ACB=∠CBA,∴AC=BC,∴(4﹣m)2=m2+82,解得m=﹣6,∴直线AE的解析式为y=x+8,由,解得.∴E(﹣12,﹣8).综上可知,E点坐标为(4,8)或(﹣12,﹣8).故答案为:(4,8)或(﹣12,﹣8).9.解:(1)∵由,得,∴C(2,2);(2)如图1,当∠CQO=90°,CQ=OQ,∵C(2,2),∴OQ=CQ=2,∴t=2,②如图2,当∠OCQ=90°,OC=CQ,过C作CM⊥OA于M,∵C(2,2),∴CM=OM=2,∴QM=OM=2,∴t=2+2=4,即t的值为2或4,故答案为:2或4;(3)令﹣x+3=0,得x=6,由题意:Q(3,0),设直线CQ的解析式是y=kx+b,把C(2,2),Q(3,0)代入得:,解得:k=﹣2,b=6,∴直线CQ对应的函数关系式为:y=﹣2x+6.故答案为:(1)(2,2);(3)y=﹣2x+6.10.解:①如图,作AG⊥EF交EF于点G,连接AE,∵AF平分∠DFE,∴DA=AG=2,在RT△ADF和RT△AGF中,,∴RT△ADF≌RT△AGF(HL),∴DF=FG,∵点E是BC边的中点,∴BE=CE=1,∴AE==,∴GE==1,∴在RT△FCE中,EF2=FC2+CE2,即(DF+1)2=(2﹣DF)2+1,解得DF=,∴点F(,2),把点F的坐标代入y=kx得:2=k,解得k=3;②当点F与点C重合时,∵四边形ABCD是正方形,∴AF平分∠DFE,∴F(2,2),把点F的坐标代入y=kx得:2=2k,解得k=1.故答案为:1或3.11.解:∵将矩形OABC分成面积相等的两部分,∴直线经过矩形的中心,∵B点坐标为B(12,5),∴矩形中心的坐标为(6,),∴×6+b=,解得b=1.故答案为:1.12.解:在y=kx﹣3中,令y=﹣1,解得x=;令y=3,x=;当k<0时,四边形的面积是:[(1﹣)+(1﹣)]×4=12,解得k=﹣2;当k>0时,可得[(﹣1)+(﹣1)]×4=12,解得k=1.即k的值为﹣2或1;故答案为:﹣2或1.13.解:∵点B1的坐标为(1,1),点B2的坐标为(3,2),∴点B3的坐标为(7,4),∴Bn的横坐标是:2n﹣1,纵坐标是:2n﹣1.则B n的坐标是(2n﹣1,2n﹣1).∴B5的坐标是(25﹣1,24).即:B5的坐标是(31,16).故答案为:(31,16).14.解:先过点A作AB′⊥OB,垂足为点B′,由垂线段最短可知,当B′与点B重合时AB最短,∵点B在直线y=x上运动,∴△AOB′是等腰直角三角形,过B′作B′C⊥x轴,垂足为C,∴△B′CO为等腰直角三角形,∵点A的坐标为(﹣1,0),∴OC=CB′=OA=×1=,∴B′坐标为(﹣,﹣),即当线段AB最短时,点B的坐标为(﹣,﹣).故答案为:(﹣,﹣).15.解:当x=0时,y=k;当y=0时,x=.∴直线y=﹣2x+k与两坐标轴的交点坐标为A(0,k),B(,0),∴S△AOB==9,∴k=±6.故填空答案:±6.16.解:如图,连接AB、AB′∵A(0,2),B(3,4)∴AB==∵点B与B′关于直线AP对称∴AB′=AB=,在Rt△AOB′中,B′O==3∴B′点坐标为(﹣3,0)或(3,0),∵A(0,2),点B(3,4)关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上,∴点B(3,4)关于直线y=2的对称点B′(3,0),∴B′点坐标为(3,0)不合题意舍去,设直线BB′方程为y=kx+b将B(3,4),B′(﹣3,0)代入得:,解得k=,b=2∴直线BB′的解析式为:y=x+2,∴直线AP的解析式为:y=﹣x+2,当y AP=0时,﹣x+2=0,解得:x=,∴点P的坐标为:();故答案为:().17.解:当x=0时,y=4,当y=0时,x=﹣3,即A(﹣3,0),B(0,4),OA=3,OB=4,由勾股定理得:AB=5,有三种情况:①以A为圆心,以AB为半径交x轴于两点,此时AC=AB=5,C的坐标是(2,0)和(﹣8,0);②以B为圆心,以AB为半径交x轴于一点(A除外),此时AB=BC,OA=OC=3,C的坐标是(3,0);③作AB的垂直平分线交x轴于C,设C的坐标是(a,0),A(﹣3,0),B(0,4),∵AC=BC,由勾股定理得:(a+3)2=a2+42,解得:a=,∴C的坐标是(,0),故答案为:(﹣8,0)(3,0)(2,0)(,0).18.解:设直线AB与x轴交于B(x,0),依题意,得×(x+2)×3=4,解得x=,∴B(,0),设直线AB:y=kx+b,则,解得,∴直线AB:y=x﹣.故答案为:y=x﹣.19.解:∵四边形ABCD是矩形,点B的坐标为(3,4),∴BC=OA=3,OC=AB=4,∴C(0,4),∵BD=BE,∴∠BDE=∠BED,∵∠OCE=∠BED,∠CDO=∠BDE,∴∠OCD=∠ODC,∴OD=OC=4,∵OB==5,∴BD=BE=1,∴E(3,3),∴直线CE的解析式:y=﹣,直线OB的解析式:y=x,解得,∴D(,),故答案为:(,).20.解:由折叠的性质得:△ADB≌△ADC,∴AB=AC,BD=CD,对于直线y=﹣x+3,令x=0,得到y=3;令y=0,得到x=4,∴OA=4,OB=3,在Rt△AOB中,根据勾股定理得:AB=5,∴OC=AC﹣OA=AB﹣OA=5﹣4=1,即C(﹣1,0);在Rt△COD中,设CD=BD=x,则OD=3﹣x,根据勾股定理得:x2=(3﹣x)2+1,解得:x=,∴OD=,即D(0,).故答案为:(﹣1,0);(0,)21.解:(1)∵点C(﹣2,m)在直线y=﹣x+2上,∴m=﹣(﹣2)+2=2+2=4,∴点C(﹣2,4),∵函数y=x+b的图象过点C(﹣2,4),∴4=×(﹣2)+b,得b=,即m的值是4,b的值是;(2)①∵函数y=﹣x+2的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,∴点A(2,0),点B(0,2),∵函数y=x+的图象与x轴交于点D,∴点D的坐标为(﹣14,0),∴AD=16,由题意可得,DE=2t,则AE=16﹣2t,由,得,则点C的坐标为(﹣2,4),∵△ACE的面积为12,∴=12,解得,t=5.即当△ACE的面积为12时,t的值是5;②当t=4或t=6时,△ACE是直角三角形,理由:当∠ACE=90°时,AC⊥CE,∵点A(2,0),点B(0,2),点C(﹣2,4),点D(﹣14,0),∴OA=OB,AC=4,∴∠BAO=45°,∴∠CAE=45°,∴∠CEA=45°,∴CA=CE=4,∴AE=8,∵AE=16﹣2t,∴8=16﹣2t,解得,t=4;当∠CEA=90°时,∵AC=4,∠CAE=45°,∴AE=4,∵AE=16﹣2t,∴4=16﹣2t,解得,t=6;由上可得,当t=4或t=6时,△ACE是直角三角形.22.解:(1)BP=4t,OQ=3t.(2)∵OC⊥AB,∴∠CAO+∠COA=90°.又∵∠CAO+∠B=90°,∴∠COA=∠B.∵直线AB:y=﹣x+4,∴直线与x轴交点A(3,0),B(0,4).Rt△ABO中,OA=3,OB=4,AB=5.∴∠BOP=∠QAO.∴∠AHO=∠POA+∠QAO=∠POA+∠BOP=90°.∴AH⊥OP.(3)当△APH为等腰直角三角形时,∠CAQ=45°,△QCA也为等腰直角三角形.Rt△ABO中,OA=3,OB=4,AB=5.∵.∴OC=.∴OQ=3t=.即t=.23.解:(1)∵长方形OABC,∴BC=OA,∵OA=10,∴BC=10,∵△CBM沿CM翻折,∴B′C=BC=10,在Rt△B′OC中,B′C=10,OC=6,∴B′O==8,∴B′(8,0),故答案为:(8,0);(2)设AM=x,则BM=AB﹣AM=6﹣x,∵OA=10,B′O=8,∴B′A=2,∵△CBM沿CM翻折,∴B′M=BM=6﹣x,在Rt△AB′M中,B′A2+AM2=B′M2,∴22+x2=(6﹣x)2,解得x=,∴M(10,),设CM所在直线的解析式为y=kx+b,将C(0,6)、M(10,)代入得:,解得k=﹣,b=6,∴CM所在直线的解析式为y=﹣x+6;(3)∵△B'CP的面积为12,∴B′P•OC=12,∴B′P×6=12,∴B′P=4,∵B′(8,0),∴P(12,0)或P(4,0).24.解:(1)设直线l1的解析式为y=kx+b(k≠0),∵B(0,3)、点C(2,﹣3)在直线l1上,∴,解之得,,∴直线l1的表达式为y=﹣3x+3;(2)∵直线y=﹣3x+3交x轴于D,∴D(1,0),∵A(7,0),∴AD=6,过点C作CE⊥x轴于E,∵C(2,﹣3),∴CE=3,∴,∴,∴S△DPC=3,设点P(x,0),∴,∴x=3或x=﹣1,∴P的坐标(3,0)或(﹣1,0);(3)如图,过点C作CE⊥AO于E,∵x1>x2时,有y1<y2,∴直线l1的图象从左向右成下降趋势,∴m<2.25.解:根据题意可画出图形,如图所示,∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,∴A(2,0),B(0,2),∴OA=OB=2,∴∠OAB=∠OBA=45°,∴.(1)当线段PC与线段AB平行时,可画出图形,设PC所在直线为:y=﹣x+m,∵C(1,0),∴﹣1+m=0,解得,m=1,∴PC所在直线的解析式为:y=﹣x+1,∴P(0,1);此时,,∴.故答案为:P(0,1);△POC的面积与△AOB的面积的比值为.(2)由题意可知,点C是线段OA的中点,当△AOB被线段PC分成的两部分面积相等时,点P与点B重合,此时P(0,2),设PC所在直线的解析式为:y=kx+b,∴,解得,,∴线段PC所在直线的解析式为:y=﹣2x+2.(3)根据题意,需要分类讨论:①当点P在线段AB上时,如图所示,此时,过点P作PD⊥x轴于点D,∴S△APC==,解得PD=,∴AD=PD=,∴OD=OA﹣AD=2﹣=,∴P(,),设线段PC所在直线的解析式:y=k1x+b1,∴,解得,,∴线段PC所在直线的解析式:y=2x﹣2;②当点P在线段OB上时,如图所示,此时,∴=,解得,OP=,∴P(0,),设线段PC所在直线的解析式:y=k2x+b2,∴,解得,,∴线段PC所在直线的解析式:y=﹣x+;综上可知,线段PC所在直线的解析式为:y=2x﹣2或y=﹣x+.26.解:(1)设直线n的解析式为:y=kx+b,∵直线n:y=kx+b过点A(0,﹣2)、点B(3,2),∴,解得:,∴直线n的函数表达式为:y=x﹣2;(2)∵△ABC的面积为9,∴9=•AC•3,∴AC=6,∵OA=2,∴OC=6﹣2=4或OC=6+2=8,∴C(0,4)或(0,﹣8);(3)分四种情况:①如图1,当AB=AC时,∵A(0,﹣2),B(3,2),∴AB==5,∴AC=5,∵OA=2,∴OC=3,∴C(0,3),设直线l的解析式为:y=mx+n,把B(3,2)和C(0,3)代入得:,解得:,∴直线l的函数表达式为:y=﹣x+3;②如图2,AB=AC=5,∴C(0,﹣7),同理可得直线l的解析式为:y=3x﹣7;③如图3,AB=BC,过点B作BD⊥y轴于点D,∴CD=AD=4,∴C(0,6),同理可得直线l的解析式为:y=﹣x+6;④如图4,AC=BC,过点B作BD⊥y轴于D,设AC=a,则BC=a,CD=4﹣a,根据勾股定理得:BD2+CD2=BC2,∴32+(4﹣a)2=a2,解得:a=,∴OC=﹣2=,∴C(0,),同理可得直线l的解析式为:y=x+;综上,直线l的解析式为:y=﹣x+3或y=3x﹣7或y=﹣x+6或y=x+.27.解:(1)设直线AC的解析式是y=kx+b,根据题意得:,解得:.则直线AC的解析式是:y=﹣x+6;(2)∵C(0,6),A(4,2),∴OC=6,∴S△OAC=×6×4=12;(3)设OA的解析式是y=mx,则4m=2,解得:m=.则直线的解析式是:y=x,∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时,∴M到y轴的距离是×4=2,∴点M的横坐标为2或﹣2;当M的横坐标是2时,在y=x中,当x=2时,y=1,则M的坐标是(2,1);在y=﹣x+6中,x=2则y=4,则M的坐标是(2,4).则M的坐标是:M1(2,1)或M2(2,4).当M的横坐标是﹣2时,在y=﹣x+6中,当x=﹣2时,y=8,则M的坐标是(﹣2,8).综上所述:M的坐标是:M1(2,1)或M2(2,4)或M3(﹣2,8).28.解:(1)对于直线l2:y=3x﹣3①,令y=3x﹣3=0,解得x=1,故点B(1,0),对于l1:y=x+1,同理可得:点A(﹣1,0),则,解得,故点C的坐标为(2,3),故答案为:(﹣1,0)、(1,0)、(2,3);(2)①点P在直线l1上,则设点P(t,t+1),同理点Q(t,3t﹣3),则PQ=|t+1﹣3t+3|=2,解得t=1或3;②当点Q在x轴下方时,如下图,设直线l1交y轴于点K,过点B作直线n∥AC交y轴于点N,在y轴负半轴取点M使NM=2NK,过点M作直线m∥AC交l2于点Q,则点Q为所求点,理由:∵M、Q在直线m上,且m∥AC,则S△MAC=S△QAC,同理S△NAC=S△BAC,而MN=2KN,则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离,故S△AQC=2S△ABC,由直线l1的表达式知点K(0,1),设直线n的表达式为y=x+b,将点B的坐标代入上式并解得b=﹣1,故点N(0,﹣1),则NK=1﹣(﹣1)=2,则MN=2NK=4,故点M(0,﹣3),在直线m的表达式为y=x﹣3②,联立①②并解得,故点Q(0,﹣3);②当点M在x轴上方时,同理可得点M(0,5),同理可得,过点M且平行于AC的直线表达式为y=x+5③,联立①③并解得,故点Q的坐标为(4,9);综上,点Q的坐标为(0,﹣3)或(4,9)。
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二(含答案解析)类型一与三角形有关1.(2022·天津)如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x 轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是()A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO,利用勾股定理得到OC=4,即可求解.【详解】解:∵AB⊥x轴,∴∠ACO=∠BCO=90°,∵OA=OB,OC=OC,∴△ACO≌△BCO(HL),∴AC=BC=12AB=3,∵OA=5,∴=4,∴点A的坐标是(4,3),故选:D.【点睛】本题考查了坐标与图形,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.2.(2020·宁夏中考真题)如图,直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ,则点1A的坐标是_____.【答案】(4,125)【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标,A 1的横坐标等于OB ,而纵坐标等于OB-OA ,即可得出答案.【详解】解:在542y x =+中,令x=0得,y=4,令y=0,得5042x =+,解得x=8-5,∴A (8-5,0),B (0,4),由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ,∠ABA 1=90°,∴∠ABO=∠A 1BO 1,∠BO 1A 1=∠AOB=90°,OA=O 1A 1=85,OB=O 1B=4,∴∠OBO 1=90°,∴O 1B ∥x 轴,∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长,即为48-5=125;横坐标为O 1B=OB=4,故点A 1的坐标是(4,125),故答案为:(4,125).【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题,利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键.3.(2021·广西贺州市·中考真题)如图,一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,点P ,C 分别是线段AB ,OB 上的点,且45OPC ∠=︒,PC PO =,则点P 的标为________.【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ,先求出A ,B 的坐标,得∠ABO=∠OAB=45°,再证明△PCB ≌△OPA ,从而求出BD =,OD =,进而即可求解.【详解】如图所示,过P 作PD ⊥OC 于D ,∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,∴A(-4,0),B(0,4),即:OA=OB ,∴∠ABO=∠OAB=45°,∴△BDP 是等腰直角三角形,∵∠PBC=∠CPO=∠OAP=45°,∴∠PCB+∠BPC=135°=∠OPA+∠BPC,∴∠PCB=∠OPA,又∵PC=OP,∴△PCB≌△OPA(AAS),∴AO=BP=4,∴Rt△BDP中,BD=PD=2=2,∴OD=OB−BD=2,∴P(2,2).故答案是:P(2,2).【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质,结合等腰三角形的性质,判定全等三角形是解决问题的关键.4.(2022·湖北黄冈)如图1,在△ABC中,∠B=36°,动点P从点A出发,沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s,设点P的运动时间为t(s),AP的长度为y(cm),y与t的函数图象如图2所示.当AP恰好平分∠BAC时,t的值为________.【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ,作∠BAC 的平分线AD ,∠B =36°可得∠B =∠DAC =36°,进而得到ADC BAC △△,由相似求出BD 的长即可.【详解】根据函数图像可得AB=4,AB+BC=8,∴BC=AB=4,∵∠B =36°,∴72BCA BAC ∠∠︒==,作∠BAC 的平分线AD ,∴∠BAD =∠DAC =36°=∠B ,∴AD=BD ,72BCA DAC ∠∠︒==,∴AD=BD=CD ,设AD BD CD x ===,∵∠DAC =∠B =36°,∴ADC BAC △△,∴AC DC BC AC =,∴x 4x 4x-=,解得:1225x =-+,225x =--,∴252AD BD CD ===,此时521AB BD t +==(s),故答案为:52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程,关键是证明ADC BAC △△.5.(2020·四川内江?中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点A (-2,0),直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ,以AB 为边作等边1ABA ∆,过点1A 作11//A B x 轴,交直线l 于点1B ,以11A B 为边作等边112A B A ∆,过点2A 作22//A B x 轴,交直线l 于点2B ,以22A B 为边作等边223A B A ∆,以此类推……,则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图,过A 1作A 1C ⊥AB 与C ,过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1,过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2,先根据直线方程与x 轴交于点B (-1,0),且与x 轴夹角为30º,则有AB=1,然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质,分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标,进而得到A n 的纵坐标,据此可得A 2020的纵坐标,即可解答.【详解】如图,过A 1作A 1C ⊥AB 与C ,过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1,过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2,先根据直线方程与x 轴交于点B (-1,0),与y 轴交于点D (0,33),∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得:∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º,∴AB=1,A 1B 1=2A 1B=21,A 2B 2=2A 2B 1=22,A 3B 3=2A 3B 2=23,…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1,A 1纵坐标为32×1=13(21)2-;A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯,A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-;A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-;…由此规律可得:A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -,∴A 2020=20203(21)2-,故答案为:20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究,涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质,数字型规律等知识,解答的关键是认真审题,观察图象,结合基本图形的有关性质,找到坐标变化规律.6.(2022·陕西)如图,ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----,,,,,.将ABC 平移后得到A B C '''V ,且点A 的对应点是(23)A ',,点B 、C 的对应点分别是B C '',.(1)点A 、A '之间的距离是__________;(2)请在图中画出A B C '''V .【答案】(1)4(2)见解析【分析】(1)由(23)A -,,(23)A ',得,A 、A '之间的距离是2-(-2)=4;(2)根据题意找出平移规律,求出103-1B C ''(,),(,),进而画图即可.(1)解:由(23)A -,,(23)A ',得,A 、A '之间的距离是2-(-2)=4.故答案为:4.(2)解:由题意,得103-1B C ''(,),(,),如图,A B C '''V 即为所求.【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图,题目相对较简单,掌握平移规律是解决问题的关键.7.(2021·贵州毕节市·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点()11,1N 在直线:l y x =上,过点1N 作11N M l ⊥,交x 轴于点1M ;过点1M 作12M N x ⊥轴,交直线l 于点2N ;过点2N 作22N M l ⊥,交x 轴于点2M ;过点2M 作23M N x ⊥轴,交直线l 于点3N ;…;按此作法进行下去,则点2021M 的坐标为_____________.【答案】(20212,0).【分析】根据题目所给的解析式,求出对应的1M 坐标,然后根据规律求出n M 的坐标,最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解:如图,过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==,MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为(2,0)同理可以求出2M 的坐标为(4,0)同理可以求出3M 的坐标为(8,0)同理可以求出n M 的坐标为(2n ,0)∴2021M 的坐标为(20212,0)故答案为:(20212,0).【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系,解题的关键在于能够发现规律.8.(2020·湖南湘西?中考真题)在平面直角坐标系中,O 为原点,点(6,0)A ,点B 在y 轴的正半轴上,30ABO ∠=︒.矩形CODE 的顶点D ,E ,C 分别在,,OA AB OB 上,2OD =.将矩形CODE 沿x 轴向右平移,当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时,则矩形CODE 向右平移的距离为___________.【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标(0,3),得到直线AB 的解析式为:33y =+,根据点D 的坐标求出OC 的长度,利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=,再利用一次函数关系式求出OD '=4,即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ,∴OA=6,在Rt △AOB 中,30ABO ∠=︒,∴63tan 30OA OB ==∴B (0,63),∴直线AB 的解析式为:33y =+,当x=2时,y=43∴E (2,3,即DE=3∵四边形CODE 是矩形,∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E '''',D E ''交AB 于点G ,∴D E ''∥OB ,∴△AD G '∽△AOB ,∴∠AGD '=∠AOB=30°,∴∠EGE '=∠AGD '=30°,∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为,∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=,故答案为:2.【点睛】此题考查了锐角三角函数,求一次函数的解析式,矩形的性质,图形平移的性质,是一道综合多个知识点的综合题型,且较为基础的题型.9.(2021·浙江金华市·中考真题)在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(,点B 在直线8:3l y x =上,过点B 作AB 的垂线,过原点O 作直线l 的垂线,两垂线相交于点C .(1)如图,点B ,C 分别在第三、二象限内,BC 与AO 相交于点D .①若BA BO =,求证:CD CO =.②若45CBO ∠=︒,求四边形ABOC 的面积.(2)是否存在点B ,使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似?若存在,求OB 的长;若不存在,请说明理由.【答案】(1)①见解析;②552;(2)存在,44+-4,9,1【分析】(1)①等腰三角形等角对等边,则BAD AOB ∠=∠,根据等角的余角相等和对顶角相等,得到CDO COD ∠=∠,根据等角对等边,即可证明CD CO =;②添加辅助线,过点A 作AH OB ⊥于点H ,根据直线l 的解析式和角的关系,分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长,则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形;(2)分多钟情况进行讨论:①当点C 在第二象限内,ACB CBO ∠=∠时;②当点C 在第二象限内,ACB BCO ∠=∠时;③当点C 在第四象限内,ACB CBO ∠=∠时.【详解】解:(1)①证明:如图1,∵BA BO =,∴12∠=∠.∴BA BC ⊥,∴2590∠+∠=︒.而45∠=∠,∴2490∠+∠=︒.∵OB OC ⊥,∴1390∠+∠=︒.∴34∠=∠,∴CD CO =.②如图1,过点A 作AH OB ⊥于点H .由题意可知3tan 18∠=,在Rt AHO 中,3tan 18AH OH ∠==.设3m AH =,8m OH =.∵222AH OH OA +=,∴()()22238m m +=,解得1m =.∴38AH OH ==,.∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒,,∴45ABH ∠=︒,∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=.∵45OB OC CBO ⊥∠=︒,,∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒,∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ,112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= :∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形.(2)过点A 作AH OB ⊥于点H ,则有38AH OH ==,.①如图2,当点C 在第二象限内,ACB CBO ∠=∠时,设OB t=∵ACB CBO ∠=∠,∴//AC OB .又∵AH OB OC OB ⊥⊥,,∴3AH OC ==.∵AH OB AB BC ⊥⊥,,∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒,,∴13∠=∠,∴AHB BOC ∽,∴AH HB BO OC=,∴383t t -=,整理得2890t t -+=,解得4t =±∴4OB =±②如图3,当点C 在第二象限内,ACB BCO ∠=∠时,延长AB CO ,交于点G ,则ACB GCB ≌,∴AB GB =.又∵AH OB OC OB ⊥⊥,,∴90AHB GOB ∠=∠=︒,而ABH GBO ∠=∠,∴ABH GBO ≌,∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内,ACB CBO ∠=∠时,AC 与OB 相交于点E ,则有BE CE =.(a)如图4,点B 在第三象限内.在Rt ABC 中,1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==,又∵,AH OB OC OB ⊥⊥,∴90AHE COE ∠=∠=︒,而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌,∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=,∴5BE =,∴9OB BE OE =+=(b)如图5,点B 在第一象限内.在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠,∴AE BE CE ==.又∵,AH OB OC OB ⊥⊥,∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠,∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==,∴5BE =,∴1OB BE OE =-=综上所述,OB 的长为44+4,9,1.【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识,综合性较强.在题中已知两个三角形相似时,要分情况考虑.10.(2020·河南中考真题)小亮在学习中遇到这样一个问题:如图,点D 是弧BC 上一动点,线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点,过点C 作//CF BD ,交DA 的延长线于点F .当DCF ∆为等腰三角形时,求线段BD 的长度.小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题,请将下面的探究过程补充完整:()1根据点D 在弧BC 上的不同位置,画出相应的图形,测量线段,,BD CD FD 的长度,得到下表的几组对应值.操作中发现:①"当点D 为弧BC 的中点时, 5.0BD cm =".则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到".请简要说明理由;()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数,分别记为CD y 和FD y ,并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象,如图所示.请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象;()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当DCF ∆为等腰三角形时,线段BD 长度的近似值.(结果保留一位小数).【答案】(1)①5.0;②见解析;(2)图象见解析;(3)图象见解析;3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ;【解析】【分析】(1)①点D 为弧BC 的中点时,△ABD ≌△ACD ,即可得到CD=BD ;②由题意得△ACF ≌△ABD ,即可得到CF=BD ;(2)根据表格数据运用描点法即可画出函数图象;(3)画出CF y 的图象,当DCF ∆为等腰三角形时,分情况讨论,任意两边分别相等时,即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值.【详解】解:(1)①点D 为弧BC 的中点时,由圆的性质可得:AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD ≌△ACD ,∴CD=BD=5.0,∴ 5.0a =;②∵//CF BD ,∴BDA CFA ∠=∠,∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACF ≌△ABD ,∴CF=BD ,∴线段CF 的长度无需测量即可得到;(2)函数CD y的图象如图所示:(3)由(1)知=CF BD x =,画出CF y 的图象,如上图所示,当DCF ∆为等腰三角形时,①CF CD =,BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标,即BD=5.0cm ;②CF DF =,BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标,即BD=6.3cm ;③CD DF =,BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标,即BD=3.5cm ;综上:当DCF ∆为等腰三角形时,线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm .【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用,学会用描点法画出函数图象,熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键.11.(2020·河北中考真题)如图1和图2,在ABC ∆中,AB AC =,8BC =,3tan 4C =.点K 在AC 边上,点M ,N 分别在AB ,BC 上,且2AM CN ==.点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始终保持APQ B∠=∠.(1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;(2)若点P在MB上,且PQ将ABC∆的面积分成上下4:5两部分时,求MP的长;(3)设点P移动的路程为x,当03x≤≤及39x≤≤时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角APQ∠扫描APQ∆区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒.若94AK=,请直接..写出点K被扫描到的总时长.【答案】(1)3;(2)43MP=;(3)当03x≤≤时,24482525d x=+;当39x≤≤时,33355d x=-+;(4)23t s=【解析】【分析】(1)根据当点P在BC上时,PA⊥BC时PA最小,即可求出答案;(2)过A点向BC边作垂线,交BC于点E,证明△APQ∽△ABC,可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,可得23APAB=,求出AB=5,即可解出MP;(3)先讨论当0≤x≤3时,P在BM上运动,P到AC的距离:d=PQ·sinC,求解即可,再讨论当3≤x≤9时,P在BN上运动,BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x,根据d=CP·sinC即可得出答案;(4)先求出移动的速度=936=14,然后先求出从Q 平移到K 耗时,再求出不能被扫描的时间段即可求出时间.【详解】(1)当点P 在BC 上时,PA ⊥BC 时PA 最小,∵AB=AC ,△ABC 为等腰三角形,∴PA min =tanC·2BC =34×4=3;(2)过A 点向BC 边作垂线,交BC 于点E,S 上=S △APQ ,S 下=S 四边形BPQC ,∵APQ B ∠=∠,∴PQ ∥BC ,∴△APQ ∽△ABC ,∴AP AD PQ AB AC BC==,∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,当S S 上下=45时,24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴23AP AB =,AE=2BC ·tan 3C =,根据勾股定理可得AB=5,∴2253AP MP AB +==,解得MP=43;(3)当0≤x≤3时,P 在BM 上运动,P 到AC 的距离:d=PQ·sinC ,由(2)可知sinC=35,∴d=35PQ ,∵AP=x+2,∴25AP x PQ AB BC+==,∴PQ=285x +⨯,∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +,当3≤x≤9时,P 在BN 上运动,BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x ,d=CP·sinC=35(11-x )=-35x+335,综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩;(4)AM=2<AQ=94,移动的速度=936=14,①从Q 平移到K ,耗时:92414-=1秒,②P 在BC 上时,K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114,∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ,APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ,又∵∠B=∠C ,∴△ABP ∽△PCQ ,设BP=y ,CP=8-y ,AB BP PC CQ =,即51184y y =-,整理得y 2-8y=554-,(y-4)2=94,解得y 1=52,y 2=112,52÷14=10秒,112÷14=22秒,∴点K 被扫描到的总时长36-(22-10)-1=23秒.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,一次函数的应用,结合知识点灵活运用是解题关键.12.(2020·湖南衡阳?中考真题)如图1,平面直角坐标系xOy 中,等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上,8BC =,顶点A 在y 的正半轴上,2OA =,一动点E 从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动,到达OB 的中点停止.另一动点F 从点C 出发,以相同的速度沿CB 向左运动,到达点O 停止.已知点E 、F 同时出发,以EF 为边作正方形EFGH ,使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧.设运动的时间为t 秒(0t ≥).(1)当点H 落在AC 边上时,求t 的值;(2)设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ,请问是存在t 值,使得9136S =若存在,求出t 值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,取AC 的中点D ,连结OD ,当点E 、F 开始运动时,点M 从点O 出发,以每秒OD DC CD DO ---运动,到达点O 停止运动.请问在点E 的整个运动过程中,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界)吗?如果可能,求出点M 在正方形EFGH 内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.【答案】(1)t=1;(2)存在,143t =,理由见解析;(3)可能,3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】(1)用待定系数法求出直线AC 的解析式,根据题意用t 表示出点H 的坐标,代入求解即可;(2)根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式,求出点H 落在BC 边上时的t 值,求出此时重叠面积为169﹤9136,进一步求出重叠面积关于t 的表达式,代入解t 的方程即可解得t 值;(3)由已知求得点D (2,1),AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长.【详解】(1)由题意,A(0,2),B(-4,0),C(4,0),设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ,将点A 、C 坐标代入,得:402k b b +=⎧⎨=⎩,解得:122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+,当点H 落在AC 边上时,点E(3-t ,0),点H (3-t ,1),将点H 代入122y x =-+,得:11(3)22t =--+,解得:t=1;(2)存在,143t =,使得9136S =.根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4,设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ,将点A 、B 坐标代入,得:402m n n -+=⎧⎨=⎩,解得:122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴直线AC 的函数解析式为122y x =+,当t ﹥4时,点E (3-t ,0)点H (3-t ,t-3),G(0,t-3),当点H 落在AB 边上时,将点H 代入122y x =+,得:13(3)22t t -=-+,解得:133t =;此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=,∵169﹤9136,∴133﹤t ﹤5,如图1,设GH 交AB 于S ,EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得:1322t x -=+,解得:x=2t-10,∴点S(2t-10,t-3),将x=3-t 代入122y x =+得:11(3)2(7)22y t t =-+=-,∴点T 1(3,(7))2t t --,∴AG=5-t ,SG=10-2t ,BE=7-t ,ET=1(7)2t -,211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-,由2527133424t t -+-=9136得:1143t =,29215t =﹥5(舍去),∴143t =;(3)可能,35≤t≤1或t=4.∵点D 为AC 的中点,且OA=2,OC=4,∴点D (2,1),AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动;当0﹤t ﹤12时,M 在线段OD 上,H 未到达D 点,所以M 与正方形不相遇;当12﹤t ﹤1时,12+12÷(1+4)=35秒,∴t =35时M 与正方形相遇,经过1÷(1+4)=15秒后,M 点不在正方行内部,则3455t ≤≤;当t=1时,由(1)知,点F 运动到原E 点处,M 点到达C 处;当1≤t≤2时,当t=1+1÷(4-1)=43秒时,点M 追上G 点,经过1÷(4-1)=13秒,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),4533t ≤≤当t=2时,点M 运动返回到点O 处停止运动,当t=3时,点E 运动返回到点O 处,当t=4时,点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),综上,当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界).【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合,涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.13.(2020·黑龙江哈尔滨?中考真题)已知,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的负半轴交于点B ,OA OB =,过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ,直线OC 的解析式为34y x =,过点C 作CM y ⊥轴,垂足为,9M OM =.(1)如图1,求直线AB 的解析式;(2)如图2,点N 在线段MC 上,连接ON ,点P 在线段ON 上,过P 点作PD x ⊥轴,垂足为D ,交OC 于点E ,若NC OM =,求PE OD的值;(3)如图3,在(2)的条件下,点F 为线段AB 上一点,连接OF ,过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ,连接BQ ,过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ,连接PF 交x 轴于点H ,连接EH ,若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=,求点P 的坐标.【答案】(1)12y x =-;(2)94;(3)1236(,)55P .【解析】【分析】(1)根据题意求出A ,B 的坐标即可求出直线AB 的解析式;(2)求出N (3,9),以及ON 的解析式为y=3x ,设P (a ,3a ),表达出PE 及OD 即可解答;(3)如图,设直线GF 交CA 延长线于点R ,交y 轴于点S ,过点F 作FT ⊥x 轴于点T ,先证明四边形OSRA 为矩形,再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ,得到SF=QR ,进而证明△BSG ≌△QRG ,得到SG=RG=6,设FR=m ,根据GQ FG -=,以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值,得到FS=8,AR=4,证明四边形OSFT 为矩形,得到OT=FS=8,根据∠DHE=∠DPH ,利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=,从而得到DH=32a ,根据∠PHD=∠FHT ,得到HT=2,再根据OT=OD+DH+HT ,列出关于a 的方程即可求出a 的值,从而得到点P 的坐标.【详解】解:(1)∵CM ⊥y 轴,OM=9,∴当y=9时,394x =,解得:x=12,∴C (12,9),∵CA ⊥x 轴,则A (12,0),∴OB=OA=12,则B (0,-12),设直线AB 的解析式为y=kx+b ,∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩,解得:112k b =⎧⎨=-⎩,∴12y x =-;(2)由题意可得,∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°,∴四边形MOAC 为矩形,∴MC=OA=12,∵NC=OM ,∴NC=9,则MN=MC-NC=3,∴N (3,9)设直线ON 的解析式为1y k x =,将N (3,9)代入得:193k =,解得:13k =,∴y=3x ,设P (a ,3a )∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ,交x 轴于点D ,∴3(,)4E a a ,(a,0)D ,∴PE=39344a a a -=,OD=a ,∴9944a PE OD a ==;(3)如图,设直线GF 交CA 延长线于点R ,交y 轴于点S ,过点F 作FT ⊥x 轴于点T ,∵GF ∥x 轴,∴∠OSR=∠MOA=90°,∠CAO=∠R=90°,∠BOA=∠BSG=90°,∠OAB=∠AFR ,∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°,则四边形OSRA为矩形,∴OS=AR,SR=OA=12,∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=45°,∴∠FAR=90°-∠AFR=45°,∴∠FAR=∠AFR,∴FR=AR=OS,∵QF⊥OF,∴∠OFQ=90°,∴∠OFS+∠QFR=90°,∵∠SOF+∠OFS=90°,∴∠SOF=∠QFR,∴△OFS≌△FQR,∴SF=QR,∵∠SFB=∠AFR=45°,∴∠SBF=∠SFB,∴BS=SF=QR,∵∠SGB=∠RGQ,∴△BSG≌△QRG,∴SG=RG=6,设FR=m,则AR=m,∴QR=SF=12-m,∴=,-=,∵GQ FG∴66m m +-=+,∵QG 2=GR 2+QR 2,即222(6)6(12)m m +=+-,解得:m=4,∴FS=8,AR=4,∵∠OAB=∠FAR ,FT ⊥OA ,FR ⊥AR ,∴FT=FR=AR=4,∠OTF=90°,∴四边形OSFT 为矩形,∴OT=FS=8,∵∠DHE=∠DPH ,∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ,∴DE DH DH PD=,由(2)可知,DE=34a ,PD=3a ,∴343a DH DH a=,解得:DH=32a ,∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==,∵∠PHD=∠FHT ,∴tan ∠FHT=2TF HT =,∴HT=2,∵OT=OD+DH+HT ,∴3282a a ++=,∴a=125,∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题,涉及了一次函数解析式的求法,矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点,第(3)问难度较大,解题的关键是正确做出辅助线,熟悉几何的基本知识,综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答.类型二与平行四边形有关14.(2022·山东泰安)如图,四边形ABCD 为平行四边形,则点B 的坐标为________.【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论.【详解】解: 四边形ABCD 为平行四边形,∴DA CB ∥,即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致,将D 点平移到A 的过程是::134x --=-(向左平移4各单位长度);:220y -=(上下无平移);∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --,即()2,1B --,故答案为:()2,1--.【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移,掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键.15.(2022·甘肃武威)如图1,在菱形ABCD 中,60A ∠=︒,动点P 从点A 出发,沿折线AD DC CB →→方向匀速运动,运动到点B 停止.设点P 的运动路程为x ,APB △的面积为y ,y 与x 的函数图象如图2所示,则AB 的长为()AB .C .D .【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形,它的面积为【详解】解:在菱形ABCD 中,∠A=60°,∴△ABD 为等边三角形,设AB=a ,由图2可知,△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得:a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,根据菱形的性质和函数图象,能根据图形得出正确信息是解此题的关键.16.(2020·黑龙江牡丹江?中考真题)如图,已知直线AB 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根,12OB OA =.请解答下列问题:(1)求点A ,B 的坐标;(2)直线EF 交x 轴负半轴于点E ,交y 轴正半轴于点F ,交直线AB 于点C .若C 是EF 的中点,6OE =,反比例函数k y x=图象的一支经过点C ,求k 的值;(3)在(2)的条件下,过点C 作CD OE ⊥,垂足为D ,点M 在直线AB 上,点N 在直线CD 上.坐标平面内是否存在点P ,使以D ,M ,N ,P 为顶点的四边形是正方形?若存在,请写出点P 的个数,并直接写出其中两个点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)A (9,0),B (0,92);(2)-18;(3)存在5个,(9,12)或(9,-12)或(1,0)或(-7,4)或(-15,0).【解析】【分析】(1)解一元二次方程,得到点A 的坐标,再根据12OB OA =可得点B 坐标;(2)利用待定系数法求出直线AB 的表达式,根据点C 是EF 的中点,得到点C 横坐标,代入可得点C 坐标,根据点C 在反比例函数图像上求出k 值;(3)画出图形,可得点P 共有5个位置,分别求解即可.【详解】解:(1)∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根,解得:x=9或-2(舍),而点A 在x 轴正半轴,∴A (9,0),∵12OB OA =,∴B (0,92);(2)∵6OE =,∴E (-6,0),设直线AB 的表达式为y=kx+b ,将A 和B 代入,得:0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩,解得:1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴AB 的表达式为:1922y x =-+,∵点C 是EF 的中点,∴点C 的横坐标为-3,代入AB 中,y=6,则C (-3,6),∵反比例函数k y x=经过点C ,则k=-3×6=-18;(3)存在点P ,使以D ,M ,N ,P 为顶点的四边形是正方形,如图,共有5种情况,在四边形DM 1P 1N 1中,M 1和点A 重合,∴M 1(9,0),此时P 1(9,12);在四边形DP 3BN 3中,点B 和M 重合,可知M 在直线y=x+3上,联立:31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得:14x y =⎧⎨=⎩,∴M (1,4),∴P 3(1,0),同理可得:P 2(9,-12),P 4(-7,4),P 5(-15,0).故存在点P 使以D ,M ,N ,P 为顶点的四边形是正方形,点P 的坐标为P 1(9,12),P 2(9,-12),P 3(1,0),P 4(-7,4),P 5(-15,0).【点睛】本题考查了解一元二次方程,一次函数表达式,正方形的性质,反比例函数表达式,难度较大,解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.(2020·江苏宿迁?中考真题)如图,在平面直角坐标系中,Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点,将Q绕点P(1,0)顺时针旋转90°,得到点Q',连接OQ',则OQ'的最小值为()A.455B C.523D.655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形,求出旋转后Q′的坐标,然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】解:作QM⊥x轴于点M,Q′N⊥x轴于N,设Q(m,122m-+),则PM=1m﹣,QM=122m-+,∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°,∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′,∴∠QPM=∠PQ′N ,在△PQM 和△Q′PN 中,'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PQM ≌△Q′PN(AAS),∴PN=QM=122m -+,Q′N=PM=1m ﹣,∴ON=1+PN=132m -,∴Q′(132m -,1m ﹣),∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5,当m=2时,OQ′2有最小值为5,∴OQ′故选:B .【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,一次函数的性质,三角形全等的判定和性质,坐标与图形的变换-旋转,二次函数的性质,勾股定理,表示出点的坐标是解题的关键18.(2020·湖南永州?中考真题)已知点()00,P x y 和直线y kx b =+,求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1,半径为1,直线l 的表达式为26y x =-+,P 是直线l 上的动点,Q 是C 上的动点,则PQ 的最小值是()A .355B .3515-C .6515-D .2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线,交C 于点Q ,交直线l 于点P ,此时PQ 的值最小,利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线,交C 于点Q ,交直线l 于点P ,此时PQ 的值最小,如图,∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-,C 半径为1,∴PQ 的最小值是3515-,故选:B.【点睛】此题考查公式的运用,垂线段最短的性质,正确理解公式中的各字母的含义,确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-,在x19.(2020·辽宁鞍山?中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知(3,6),(2,2)CD=,线段CD在x轴上平移,当轴上取两点C,D(点C在点D左侧),且始终保持1+的值最小时,点C的坐标为________.AD BC【答案】(-1,0)【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′,将B′向右平移1个单位得到B″,连接AB″,与x轴交于点D,过点B′作AB″的平行线,与x轴交于点C,得到此时AD+BC的值最小,求出直线AB″,得到点D坐标,从而可得点C坐标.【详解】解:如图,作点B关于x轴的对称点B′,将B′向右平移1个单位得到B″,连接AB″,与x轴交于点D,过点B′作AB″的平行线,与x轴交于点C,可知四边形B′B″DC为平行四边形,则B′C=B″D,由对称性质可得:BC=B′C,∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″,则此时AB″最小,即AD+BC最小,∵A(3,6),B(-2,2),∴B′(-2,-2),∴B″(-1,-2),设直线AB″的表达式为:y=kx+b,则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩,解得:2kb=⎧⎨=⎩,∴直线AB″的表达式为:y=2x,令y=0,解得:x=0,即点D坐标为(0,0),∴点C坐标为(-1,0),故答案为:(-1,0).【点睛】本题考查了轴对称的性质,最短路径问题,一次函数表达式,解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.(2020•连云港)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A,点B是⊙O上一动点,点C为弦AB的中点,直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E,则△CDE面积的最小值为.【分析】如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.求出MN,当点C与C′重合时,△C′DE的面积最小.【解析】如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.∵AC=CB,AM=OM,∴MC=12OB=1,∴点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E,∴D(4,0),E(0,﹣3),∴OD =4,OE =3,∴DE =32+42=5,∵∠MDN =∠ODE ,∠MND =∠DOE ,∴△DNM ∽△DOE ,∴MN OE=DM DE,∴MN 3=35,∴MN =95,当点C 与C′重合时,△C′DE 的面积最小,最小值=12×5×(95−1)=2,故答案为2.21.(2020·江苏连云港?中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ,点B 是O 上一动点,点C 为弦AB 的中点,直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ,则CDE △面积的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】如图,连接OB ,取OA 的中点M ,连接CM ,过点M 作MN ⊥DE 于N .首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心,1为半径的⊙M ,设⊙M 交MN 于C′.求出MN ,当点C 与C′重合时,△C′DE的面积最小.【详解】解:如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.∵AC=CB,AM=OM,∴MC=12OB=1,∴点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E,∴D(4,0),E(0,-3),∴OD=4,OE=3,∴5 DE===,∵∠MDN=∠ODE,∠MND=∠DOE,∴△DNM∽△DOE,∴MN DM OE DE=,∴3 35 MN=,∴95 MN=,当点C 与C′重合时,△C′DE 的面积最小,△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭,故答案为2.【点睛】本题考查三角形的中位线定理,三角形的面积,一次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造三角形的中位线解决问题,属于中考常考题型.22.(2020·北京中考真题)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1,A ,B 为⊙O 外两点,AB=1.给出如下定义:平移线段AB ,得到⊙O 的弦A B ''(,A B ''分别为点A ,B 的对应点),线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”.(1)如图,平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ,则这两条弦的位置关系是;在点1234,,,P P P P 中,连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”;(2)若点A ,B 都在直线y =+上,记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ,求1d 的最小值;(3)若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ,直接写出2d 的取值范围.【答案】(1)平行,P 3;(2)32;(3)233922d ≤≤。
中考数学专题《一次函数与几何综合》高分必刷含答案解析

(培优特训)专项19.3 一一次函数与几何综合高分必刷1.(2023春•普兰店区期中)已知△ABC中,∠C=90°,AC=3,CD=4,BD=AD.点F从点A出发,沿AC﹣CD运动,速度为1cm/s,同时点E从点B出发,沿BD﹣DA运动,运动速度为1cm/s,一个点到达终点,另一点也停止运动.(1)求BD的长;(2)设△AEF的面积为S,点P、Q运动时间为t,求S与的函数关系式,并写出的取值范围.【答案】(1)5cm;(2)S=.【解答】解:(1)在Rt△ACD中,∠C=90°,AC=3cm,CD=4cm,∴AD===5(cm),又∵BD=AD,∴BD=5cm;(2)3÷1=3(s),5÷1=5(s),(3+4)÷1=7(s),(5+5)÷1=10(s).当0≤t≤3时,如图1所示,AF=tcm,BE=tcm,∴CE=BC﹣BE=4+5﹣t=(9﹣t)cm,∴S=AF•CE=t(9﹣t)=(﹣t2+t)cm2;当3<t≤5时,如图2所示,CF=(t﹣3)cm,BE=tcm,∴EF=BC﹣CF﹣BE=4+5﹣(t﹣3)﹣t=(12﹣2t)cm,∴S=AC•EF=×3(12﹣2t)=(﹣3t+18)cm2;当5<t<7时,如图3所示,过点E作EM⊥BC于点M,则△DEM∽△DAC.∵CQ=(t﹣3)cm,BD=5cm,DP=(t﹣5)cm,=,∴DQ=BC﹣CQ﹣BD=4+5﹣(t﹣3)﹣5=(7﹣t)cm,PM==cm,∴S=DQ•AC﹣DQ•PM=×3(7﹣t)﹣(7﹣t)=(t2﹣t+21)cm2.综上所述,S与t的函数关系式为S=.2.(2023春•鼓楼区期中)如图1,已知直线l1:y=ax﹣6a交x轴于点A,交轴y于点B,直线l2:y=bx﹣18a交x轴于点C,交y轴于点D,交直线l1于点E.(1)求点A的坐标;(2)若点B为线段AE的中点,求证:EC=EA;(3)如图2,已知P(0,m),将线段PA绕点P逆时针方向旋转90°至PF,连接OF,求证:点F在某条直线上运动,并求OF的最小值.【答案】(1)点A(6,0);(2)证明见解答;(3)证明见解答,OF的最小值为:3.【解答】(1)解:令y=ax﹣6a=0,解得:x=6,则点A(6,0);(2)证明:对于y=ax﹣6a,令x=0,则y=﹣6a,则点B(0,﹣6a),∵点B为线段AE的中点,则点E(﹣6,﹣12a),将点E的坐标代入y=bx﹣18a得:﹣12a=﹣6b﹣18a,解得:b=﹣a,则直线l2:y=﹣ax﹣18a,则点C(0,﹣18),由点A、C的坐标知,其中点坐标为(﹣6,0),改点和点E的横坐标相同,即点E在AC的中垂线上,∴EC=EA;(3)证明:过点F作FT⊥y轴于点T,∵线段PA绕点P逆时针方向旋转90°至PF,则PA=PF,∠FPA=90°,∴∠TPF+∠TFP=90°,∠TPF+∠APO=90°,∴∠TFP=∠APO,∵∠AOP=∠PTF=90°,PA=PF,∴△AOP≌△PTF(AAS),∴PT=OA=6,FT=OP=m,则点F的坐标为:(m,m+6),则点F在直线y=x+6上,则OF2=m2+(m+6)2=2(m+3)2+18≥18,∴OF的最小值为:3.3.(2023春•苍南县期中)如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A落在x轴上,点B的坐标为(7,4),AB=2,点D是OC的中点,点E是线段AD 上一动点,EF⊥BC于点F,连结DF.(1)求点A、C的坐标.(2)求直线AD的函数表达式.(3)若△DEF是等腰三角形,求CF的长.【答案】(1)点A、C的坐标分别为:(5,0)、(2,4);(2)y=﹣x+;(3)CF=或或3.【解答】解:(1)过点B作BT⊥x轴于点T,则BT=4,则AT===2,则OA=OT﹣AT=7﹣2=5=BC,则点A的坐标为:(5,0),则x C=x B﹣BC=7﹣5=2,点C的坐标为:(2,4),即点A、C的坐标分别为:(5,0)、(2,4);(2)直线AD的表达式为:y=kx+b,则,解得:,故直线AD的表达式为:y=﹣x+;(3)当DE=DF时,则点E在A处,则CF=5﹣2=3;当DE=EF时,延长FE交x轴于点H,过点D作DM⊥x轴于点M,作EN⊥DM于点N,设点E(a,﹣a+),则N(1,﹣a+),则DN=a﹣,NE=a﹣1,EF=a+,则(a﹣1)2+(a﹣)2=(a+)2,解得:a=2+(负值已舍去);则CF=;当DF=EF时,过点D作DK⊥EF于点K,则FK=2,DF2=(a﹣1)2+22,则(a﹣1)2+(a﹣)2=(a﹣1)2+22,解得:a=1(舍去)或,则CF=﹣2=,综上,CF=或或3.4.(2023•佳木斯一模)如图,将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中,O为坐标原点.点A在y轴上,点C在x轴上,OA,OB的长是x2﹣16x+60=0的两个根,P是边AB上的一点,将△OAP沿OP折叠,使点A落在OB上的点Q处.(1)求点B的坐标;(2)求直线PQ的解析式;(3)点M在直线OP上,点N在直线PQ上,是否存在点M,N,使以A,C.M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)B(8,6);(2)直线PQ解析式为y=﹣x+10;(3)存在点M,N,使以A,C.M,N为顶点的四边形是平行四边形,N的坐标为(6,2)或(﹣,)或(,﹣).【解答】解:(1)由x2﹣16x+60=0得x=6或x=10,∵OA<OB,∵四边形OABC是矩形,∴∠OAB=90°,在Rt△AOB中,AB===8,∴B(8,6);(2)过Q作QG⊥AB于G,交OC于H,如图:∵将△OAP沿OP折叠,使点A落在OB上的点Q处,∴∠OQP=∠OAP=90°=∠BQP,AP=QP,OQ=OA=6,∴BQ=OB﹣OQ=10﹣6=4,设AP=QP=x,则BP=AB﹣AP=8﹣x,在Rt△BPQ中,PQ2+BQ2=BP2,∴x2+42=(8﹣x)2,解得x=3,∴AP=PQ=3,BP=8﹣x=5,∴P(3,6),∵2S△BPQ=BP•QG=PQ•BQ,∴QG===,∴PG===,∴AG=AP+PG=,∵∠HGB=∠ABC=∠BCO=90°,∴四边形GBCH是矩形,∴GH=BC=OA=6,∠GHC=90°,∴QH=GH﹣QG=6﹣=,设直线PQ解析式为y=kx+b,把P(3,6),Q(,)代入得:,解得,∴直线PQ解析式为y=﹣x+10;(3)存在点M,N,使以A,C.M,N为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:由(2)得P(3,6),直线PQ解析式为y=﹣x+10,∴直线OP解析式为y=2x,设M(m,2m),N(n,﹣n+10),又A(0,6),C(8,0),①若MN,AC为对角线,则MN,AC的中点重合,∴,解得,∴N(6,2);②若MA,NC为对角线,则MA,NC的中点重合,∴,解得;∴N(﹣,);③若MC,NA为对角线,则MC,NA的中点重合,∴,解得,∴N(,﹣);综上所述,N的坐标为(6,2)或(﹣,)或(,﹣).5.(2023春•顺德区校级月考)如图,请根据图象所提供的信息解答下列问题:(1)当x 时,kx+b≥mx﹣n;(2)不等式kx+b<0的解集是 ;(3)求两个一次函数表达式;(4)若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A,直线l2分别交x轴、y轴于点B、N,求点M的坐标和四边形OMPN的面积.【答案】(1)x≤1;(2)x>3;(3)直线l1的解析式为y=2x﹣1,直线l2的解析式为;(4)M点的坐标为;四边形OMPN的面积=1.【解答】解:(1)当x≤1时,kx﹣b≥mx﹣n;故填:x≤1;(2)由图象可知:不等式kx+b<0的解集为x>3;故填:x>3;(3)把A(0,﹣1),P(1,1)分别代入y=mx﹣n,得,解得,所以直线l1的解析式为y=2x﹣1,把P(1,1)、B(3,0)分别代入y=kx+b,得,解得,所以直线l2的解析式为,(4)当y=2x﹣1=0时,解得,所以M点的坐标为;当x=0时,,则N点坐标为,所以四边形OMPN的面积=S△ONB﹣S△PMB==1.6.(2023春•北碚区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x﹣2与x 轴、y轴分别交于点A、点B,与直线CD:y=kx+b(k≠0)交于点P,OC=OD=4OA.(1)求直线CD的解析式;(2)连接OP、BC,若直线AB上存在一点Q,使得S△PQC=S四边形OBCP,求点Q的坐标;(3)将直线CD向下平移1个单位长度得到直线,直线l与x轴交于点E,点N为直线l上的一点,在平面直角坐标系中,是否存在点M,使以点O,E,N,M为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣x+4;(2)或;(3)(3,3)或.【解答】解:(1)∵直线y=2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B,∴令y=0,则x=1,∴点A为(1,0),∴OA=1,∵OC=OD=4OA=4,∴点C为(4,0),点D为(0,4),设直线CD的解析式为y=kx+b;∴,∴,∴直线CD的解析式为y=﹣x+4;(2)解:在y=2x﹣2中,令x=0,则y=﹣2,∴点B为(0,﹣2),∵,解得,∴点P的坐标为(2,2);∴;∵点Q在直线AB上,则设点Q为(x,2x﹣2),则当点Q在点B的下方时,如图:∵AC=3,点P的坐标为(2,2),∴,∵S△PQC=S四边形OBCP,∴,∴,解得:,∴,∴点Q的坐标为;当点Q在点P的上方时,如图:,∴,∴解得:,∴,∴点Q的坐标为;综合上述,点Q的坐标为或;(3)解:∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l,∴直线l为y=﹣x+3,令y=0,则x=3,∴点E的坐标为(3,0),即OE=3;当OE=3作为矩形OEMN的边时,如图:∴点N的坐标为(0,3),∴点M的坐标为(3,3);当OE=3作为矩形OEMN的对角线时,如图:∴点F的坐标为,∵tan∠OEN=|﹣1|=1,∴∠OEN=45°,∵ON⊥NE,∴△ONE是等腰直角三角形,∴ON=NE,∴四边形ONEM是正方形,∴MN⊥OE,MN=OE,∴,∴点M的坐标为;综合上述,则点M的坐标为(3,3)或;7.(2023春•宜兴市期中)如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,4),点B、C都在x轴上,BC=12,AD∥BC,CD所在直线的函数表达式为y=﹣x+9,E是BC的中点,点P是BC边上一个动点.(1)当PB= 时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形;(2)点P在BC边上运动过程中,以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形?试说明理由.【答案】(1)1或11;(2)以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形,理由见解析.【解答】解:(1)∵AD∥BC,点A坐标是(0,4),CD所在直线的函数关系式为y=﹣x+9,∴D点的纵坐标为4,y=4时,4=﹣x+9,x=5,∴D点的横坐标为5,∴D(5,4),∵CD所在直线的函数关系式为y=﹣x+9,y=0时,0=﹣x+9,x=9,∴C(9,0),∴OC=9,作DN⊥BC交于N,如图1所示,则四边形OADN为矩形,∴CN=OC﹣ON=OC﹣AD=9﹣5=4,DN=4,∴△DNC为等腰直角三角形,∴CD==4,若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形,则AD=PE=5,有两种情况:①当P在E的左边,∵E是BC的中点,∴BE=6,∴PB=BE﹣PE=6﹣5=1;②当P在E的右边,PB=BE+PE=6+5=11;故当PB=1或11时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形,故答案为:1或11;(2)点P在BC边上运动过程中,以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形,理由如下:①当BP=1时,此时CN=DN=4,NE=6﹣4=2,∴DE===2≠AD,故不能构成菱形.②当BP=11时,以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形,∴EP=AD=5,过D作DN⊥BC于N,如图2所示:由(1)得:DN=CN=4,∴NP=BP﹣BN=BP﹣(BC﹣CN)=11﹣(12﹣4)=3.∴DP===5,∴EP=DP=AD=5,故此时平行四边形PDAE是菱形,即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形.8.(2023春•工业园区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,点A、点B分别在x轴与y轴上,直线AB的解析式为,以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD.(1)如图1,若点C的坐标为(3,7),判断四边形ABCD的形状,并说明理由;(2)如图2,在(1)的条件下,P为CD边上的动点,点C关于直线BP的对称点是Q,连接PQ,BQ.①当∠CBP= °时,点Q位于线段AD的垂直平分线上;②连接AQ,DQ,设CP=x,设PQ的延长线交AD边于点E,当∠AQD=90°时,求证:QE=DE,并求出此时x的值.【答案】(1)四边形ABCD是正方形,理由见解答过程;(2)①30;②证明QE=DE见解答过程,x的值是.【解答】解:(1)四边形ABCD是正方形,理由如下:过C作CH⊥y轴于H,如图:在y=﹣x+3中,令x=0得y=3,令y=0得x=4,∴A(4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3,AB==5,。
函数与几何综合问题专练2023中考真题分类汇编(共25题)(解析版)

专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1.(2023·四川眉山·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为()86-,,过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为点C 、点A ,直线26y x =--与AB 交于点D .与y 轴交于点E .动点M 在线段BC 上,动点N 在直线26y x =--上,若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形,则点M 的坐标为【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】如图,由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形,可得N 在以AM 为直径的圆H 上,MN AN =,可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点,当,M B 重合时,符合题意,可得()8,6M -,当N 在AM 的上方时,如图,过N 作NJ y ⊥轴于J ,延长MB 交BJ 于K ,则90NJA MKN ∠=∠=︒,8JK AB ==,证明MNK NAJ ≌,设(),26N x x --,可得MK NJ x ==-,266212KN AJ x x ==---=--,而8KJ AB ==,则2128x x ---=,再解方程可得答案.【详解】解:如图,∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形,∴N 在以AM 为直径的圆H 上,MN AN =,∴N 是圆H 与直线26y x =--的交点,当,M B 重合时,∵()8,6B -,则()4,3H -,∴4MH AH NH ===,符合题意,∴()8,6M -,当N 在AM 的上方时,如图,过N 作NJ y ⊥轴于J ,延长MB 交BJ 于K ,则90NJA MKN ∠=∠=︒,8JK AB ==,∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒,【答案】392【分析】作出点()32C -,,作CD 直角三角形求得1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,利用待定系数法求得直线DG y ⊥轴于点G ,此时35BH +【详解】解:∵直线123y x =-+则2CP =,3OP =,∵CFP AFD ∠=∠,∴FCP FAD ∠=∠,∴tan tan FCP FAD ∠=∠,∴PF OB PC OA=,即226PF =,∴23PF =,则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,设直线CD 的解析式为y kx =+则321103k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得311k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD 的解析式为3y x =联立,311123y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,;过点D 作DG y ⊥轴于点G ,②如图2,直线BM过AC中点,直线BM解析式为1522y x=-+,AC中点坐标为910a=;③如图3,直线CM过AB中点,AB中点坐标为()3,0,5⑤如图5,直线ME ∥AC ,MN CO ∥,则EMN ACO∽∴12BE AB =,又4AB =,∴22BE =,∵53222BN =-=<,∴不成立;⑥如图6,直线ME ∥BC ,同理可得12AE AB =,∴22AE =,222NE =-,tan tan MEN CBO ∠∠=,∴155222a =-,解得212a +=;综上所述,910a =或225+或212+.【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,解直角三角形,相似三角形的性质与判定,熟练掌握以上知识,并分类讨论是解题的关键.二、解答题4.(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,ABCD Y 的顶点B ,C 在x 轴上,D(1)求点B 的坐标;(2)若:2:1OD OC =,直线y x b =-+分别交x DC 延长线于点N ,求tan MND ∠的值;(3)在(2)的条件下,点P 在y 轴上,在直线存在,请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点【答案】(1)()4,0B -(2)1tan 3MND ∠=(3)存在,等腰三角形的个数是8个,1652Q ⎛- ⎝【分析】(1)解方程得到OB ,OC 的长,从而得到点(2)由:2:1OD OC =,2OC =,得4OD =线y x b =-+中,求得b 的值,从而得到直线的解析式,进而求得点45FEO ∠=︒.过点C 作CH EN ⊥于H ,过点::2:1DO OC NK CK ==,进而得到2NK CK =EC CK =,由211EC OC OE =-=-=可得CK 得到22cos EK EN KEN ==∠,在Rt ECH △中,322NH EN EH =-=,最终可得结果tan MND ∠(3)分PN PQ =,PN NQ =,PQ NQ =三大类求解,共有【详解】(1)解方程2680x x -+=,得14x =OB OC > ,(3)解:由(2)知:直线EF 解析式为设()0,P p ,(),1Q q q -+,①当5PN QN ==时,()()2223025p -+--=,()23q -+解得6p =-或2p =,6522q +=或∴1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,2652Q ⎛+ ⎝如图,11PQ N 、12PQ N 、21P Q N ;②当5PQ QN ==时,由①知:1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,2652,2Q ⎛+ ⎝;③当5PN PQ ==时,由①知:()10,6P -,()20,2P ,当()10,6P -时,()()22061q q -+-+-解得13q =(舍去),24q =,∴()34,3Q -,如图,当()20,2P 时,()()220215q q -++-=解得13q =(舍去),24q =-,综上,等腰三角形的个数是8个,符合题意的Q 坐标为16525,2Q ⎛- ⎝【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质,一次函数与平行四边形,等腰三角形的综合问题,数形结合思想是解题的关键.5.(2023·湖南·统考中考真题)如图,点使得DBC CAB ∠=∠,点E 是弦AC 上一动点(不与点交BC 的延长线于点N ,交O 于点M (1)BD 是O 的切线吗?请作出你的判断并给出证明;(2)记BDC ABC ADB ,,的面积分别为(3)若O 的半径为1,设FM x =,FE 自变量x 的取值范围.【答案】(1)BD 是O 的切线,证明见解析(2)152+∴在Rt OFM △中,2OF OM =∴211BF BO OF x =+=+-,AF2②若a c=,则A、B关于y轴对称,以综上,以A,B,C,D为顶点的四边形能构成正方形,此时【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点,解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题.(1)当45QPB ∠=︒时,求四边形(2)当点P 在线段AB 上移动时,设【答案】(1)438+(2)23234312x S x =++【分析】(1)连接BD 、可得PBQ 为等腰直角三角形,则 四边形ABCD 为菱形,∠PB x=,23BQ=,PBQ(1)求点,A B 的坐标;(2)随着点E 在线段BC 上运动.①EDA ∠的大小是否发生变化?请说明理由;②线段BF 的长度是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由;(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时,【答案】(1)()20A ,,()13B ,;∵()2313y x =--+,∴抛物线对称轴为1x =,即1ON =,∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∵2OA OB AC BC ====,∴四边形OACB 是菱形,∴BC OA ∥,∵DH BN ⊥,AN BN ⊥,∴DH BC OA ∥∥,∴MBE MHD ∠∠=,MEB MDH ∠∠=∵DE 的中点为点M ,∴MD ME =,∴MBE MHD ≌,∴DH BE =,∵90ANM ∠=︒,∴1809090MBE ANM ∠∠=︒-︒=︒=,∵DE 的中点为点M ,DAE 是等边三角形,∴AM DE ⊥,∴90AME ∠=︒,∴180BME NMA ∠∠+=︒,∴BME NAM ∠∠=,(1)求点,,D E C 的坐标;(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <,连接,AF DF ①求证:DFC △是直角三角形;②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线坐标.【答案】(1)(3,1)C ,(0,2)D ,(6,0)E (2)①证明见解析,②点P 的坐标为(1,3)或(7,3【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可;(2)①设(,0),F m 然后利用勾股定理求解,m-①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ,当0x =时,1,y =.(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中,90AOF ∠=︒,由勾股定理得222AF OA OF +=,设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+,(6,0),E .6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-,2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=122,4m m ∴==,,OF EF < 2,m ∴=2OF ∴=,(2,0)F ∴.(0,2),D 2OD ∴=,OD OF ∴=.DOF ∴ 是等腰直角三角形,45OFD ∴∠=︒.过点C 作CG x ⊥轴,垂足为G .(3,1),C 1,3CG OG ∴==,1,GF OG OF =-= ,CG GF ∴=CGF ∴ 是等腰直角三角形,45,GFC ∴∠︒=90,DFC ∴∠=︒DFC ∴ 是直角三角形.②FK 平分,90,DFC DFC ∠∠=︒(1)BP 的长为__________,CM 的长为_________(2)求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围.(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时,直接写出x 【答案】(1)()4x -;x(2)()(241216024162x x y x x ⎧-+⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x =【分析】(1)根据正方形中心对称的性质得出OM ANP CQM ≌即可;(2)分02x <≤,2<两种情况分别画出图形,根据正方形的面积,以及平行四边形的性质即可求解;(3)根据(2)的图形,分类讨论即可求解.【详解】(1)解:依题意,1AP x x =⨯=()cm ,则∵四边形ABCD 是正方形,∴,90AD BC DAB ∠=∠=︒∥,∵点O 是正方形对角线的中点,∴,OM OP OQ ON ==,则四边形PQMN 是平行四边形,∴MQ PN =,MQ NP ∥∴PNQ MQN ∠=∠,又AD BC ∥,∴ANQ CQN ∠=∠,∴ANP MQC ∠=∠,在,ANP CQM 中,ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ANP CQM ≌,∴()cm MC AP x ==故答案为:()4x -;x .(2)解:当02x <≤时,点Q 在BC 上,由(1)可得ANP CQM ≌,同理可得PBQ MDN ≌,∵4,2,PB x QB x MC x =-==,42QC x =-,则222MCQ BPQy AB S S =-- ()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+;当24x <≤时,如图所示,则AP x =,224AN CQ x CB x ==-=-,()244PN AP AN x x x =-=--=-+,∴()44416y x x =-+⨯=-+;综上所述,()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩;当四边形PQMN 是菱形时,则∴()()2242x x x -+=解得:0x =(舍去)②如图所示,当PB =424x x -=-,解得x 当四边形PQMN 是菱形时,则综上所述,当四边形【点睛】本题考查了正方形的性质,动点问题,全等三角形的性质与判定,矩形的性质,平行四边形的性质与判定,菱形的性质,轴对称图形,熟练掌握以上知识是解题的关键.(1)当旋转角COF ∠为多少度时,OE OF =;(直接写出结果,不要求写解答过程)(2)若点(4,3)A ,求FC 的长;(3)如图3,对角线AC 交y 轴于点M ,交直线y x =于点N ,连接FN ,将OFN △1S 与2S ,设12S S S =-,AN n =,求S 关于n 的函数表达式.【答案】(1)22.5︒(2)154FC =(3)212S n =【分析】(1)根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出AOG ∠=45EOG ∠=︒,即可求解;(2)过点A 作AP x ⊥轴,根据勾股定理及点的坐标得出5OA =,再由相似三角形的判定和性质求解即可;(3)根据正方形的性质及四点共圆条件得出O 、C 、F 、N 四点共圆,再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN ON =,90FNO ∠=︒,过点N 作GQ BC ⊥于点G ,交OA 于点形的判定和性质得出,CG OQ CO QG ==,结合图形分别表示出1S ,2S ,得出(2)过点A 作AP x ⊥轴,如图所示:∵(4,3)A ,∴3,4AP OP ==,∴5OA =,∵正方形OABC ,∴5OC OA ==,90C ∠=∴90C APO ∠∠==︒,∵AOP COF ∠∠=,∴OCF OPA ∽ ,∴OC FC OP AP=即543FC =,∴154FC =;(3)∵正方形OABC ,∵BC OA ∥,∴GQ OA ⊥,∵90FNO ∠=︒,∴1290∠∠+=︒,∵1390∠∠+=︒,∴23∠∠=,∴(AAS)FGN NQO ≌ ∴,GN OQ FG QN ==,∵GQ BC ⊥,FCO COQ ∠∠=∴四边形COQG 为矩形,∴,CG OQ CO QG ==,∴(211S S ON OQ ===(1)直接写出结果;b =_____,c =_____,点A 的坐标为_____,tan ABC ∠=______(2)如图1,当2PCB OCA ∠=∠时,求点P 的坐标;(3)如图2,点D 在y 轴负半轴上,OD OB =,点Q 为抛物线上一点,90QBD ∠=︒,点的边,DQ DB 上的动点,QE DF =,记BE Q F +的最小值为m .①求m 的值;②设PCB 的面积为S ,若214S m k =-,请直接写出k 的取值范围.【答案】(1)32,2,()1,0-,12(2)()2,3(3)解:①如图2,作DH ⊥∵90BQD BDQ ︒∠+∠=,HDF ∠∴QD HDF ∠=∠,∵QE DF =,DH BQ =,∴(SAS)BQE HDF ≌,∴BE FH =,∴BE QF FH QF QH +=+≥,∴Q ,F ,H 共线时,BE Q F +②如图3,作PT y ∥轴,交设22,1T a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,,P a ⎛ ⎝则21132222S a a ⎛=-+++ ⎝∴04S <≤,∴21044m k <-≤,∴0174k <-≤,∴1317k ≤<.【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与(1)直接判断AOB 的形状:AOB 是_________三角形;(2)求证:AOE BOD △≌△;(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >.将经过B ,C 两点的抛物线21y ax =物线2y .①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点,求t 的值;②若抛物线2y 的顶点P 在直线EA 上,求t 的值;③将抛物线2y 再向下平移,22(1)t -个单位,得到抛物线3y .若点D 在抛物线【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①3t =;②6t =;③126,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)由(0,2),(2,0)A B 得到2OA OB ==,又由90AOB ∠=︒,即可得到结论;(2)由90EOD ∠=︒,90AOB ∠=︒得到AOE BOD ∠=∠,又有AO OB =AOE BOD △≌△;(3)①求出直线AC 的解析式和抛物线1y 的解析式,联立得()23x t -+22(3)43(3)0t t t ∆=+-⨯=-=即可得到t 的值;∵90EOD ∠=︒,90AOB ∠=︒,AOB AOD DOE ∴∠-∠=∠-∠AOE BOD ∴∠=∠,∵,AO OB OD OE ==,(SAS)AOE BOD ∴△≌△;(3)①设直线AC 的解析式为(0,2),(,0)A C t ,∴90EMO OND ∠=∠=︒,90DOE ∠=︒ ,∴EOM MEO EOM NOD ∠+∠=∠+∠∴MEO NOD ∠=∠,∵OD OE =,∴(AAS)ODN EOM ≌,∴,ON EM DN OM ==,∵OE 的解析式为2y x =-,∴设22EM OM m ==,∴DN OM m ==,EM x ⊥ 轴,∴OA EM ∥,∴~CAO CEM ,::OC CM OA EM ∴=,22t t m m∴=+,1t m t ∴=-,∴2221t EM ON OM m t ====-,DN 2,11t t D t t ⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭, 抛物线2y 再向下平移22(1)t -个单位,得到抛物线2222(2)y x t x(1)求S 关于x 的函数解析式;(2)当x 取何值时,S 的值最大?请求出最大值.【答案】(1)23232S x x =-+(2)当2x =时,S 的最大值为23∵顶点A 的坐标为()2,23,∴()222234OA =+=,2OG =,∴1cos 2OG AOG AO ∠==,①如图②,当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ,且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时,试用含有t 的式子表示S ,并直接写出t 的取值范围:②当2311334t ≤≤时,求S 的取值范围(直接写出结果即可).【答案】(1)()3,2,33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)①332t <≤;②3316S ≤≤【分析】(1)根据矩形及菱形的性质可进行求解;(2)①由题意易得3,1EF E F EH E H ''''====,然后可得60ABO ∠=︒,则有32EM =,进而根据割补∵四边形ABCD 是菱形,且(3,0),(0,1),(2A B D ∴()()2230012AB AD ==-+-=,AC BD ⊥∴2AC =,∴()3,2C ,故答案为()3,2,33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)解:①∵点10,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,点13,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭,点∴矩形EFGH 中,EF x ∥轴,EH x ⊥轴,EF ∴矩形E F G H ''''中,E F x ''∥轴,E H x ''⊥轴,由点()3,0A ,点()0,1B ,得3,1OA OB ==.在Rt ABO △中,tan 3OA ABO OB ∠==,得ABO ∠在Rt BME △中,由1tan 60,12EM EB EB =⋅︒=-此时面积S 最大,最大值为133S =⨯=当1134t =时,矩形E F G H ''''和菱形ABCD 由(1)可知B 、D 之间的水平距离为23,则有点由①可知:60D B ∠=∠=︒,(1)求CE的长和y关于x的函数表达式.(2)当PH PN<,且长度分别等于PH,PN,a的三条线段组成的三角形与(3)延长PN交半圆O于点Q,当1534NQ x=-时,求【答案】(1)165CE=,25412y x=-+(2)1615或2740或6041(3)17 8【分析】(1)如图1,连接OD,根据切线的性质得出出165CE=;证明四边形APMC是平行四边形,得出MN(2)根据BCE三边之比为3:4:5,可分为三种情况.当:3:4PH PN=时,分别列出比例式,进而即可求解.∵CD 切半圆O 于点D ,∴OD CE ⊥.∵32OA =,1AC =,∴52OC =,∴2CD =.∵BE CE ⊥,∴OD BE ∥,∴CD CO CE CB=,即5224CE =,∴165CE =.∵MN CB ∥,∴四边形APMC 是平行四边形,∴sin 1sin PH PH CM PA ===∠∵MN ME BC CE =,则90AQB AGQ ∠=∠=︒,∴QAB BQG ∠=∠.∵1534NQ x =-,PN y =。
2023年中考数学考点总结+题型专训专题15 一次函数的应用与综合篇(原卷版)

知识回顾专题15一次函数的应用与综合1. 一次函数的图像与性质:一次函数与x 轴的交点坐标公式为:⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 ,k;与y轴的交点坐标公式为:()b ,0。
2. 一次函数的平移:①左右平移,自变量上进行加减。
左加右减。
即若()0≠+=k b kx y 向左移动了m 个单位,则平移后的函数解析式为:()()0≠++=k b m x k y ;若()0≠+=k b kx y 向右移动了m 个单位,则平移后的函数解析式为:()()0≠+-=k b m x k y 。
②上下平移,解析式整体后面进行加减。
上加下减。
k 的取值 b 的取值 所在象限y 随x 的变化情况大致图像0>k0>b (图像交于y 轴正半轴)一二三象限y 随x 增大而增大0<b (图像交于y 轴负半轴)一三四象限0<k0>b (图像交于y 轴正半轴)一二四象限y 随x 减小而减小0<b (图像交于y 轴负半轴)二三四象限即若()0≠+=k b kx y 向上移动了m 个单位,则平移后的函数解析式为:()0≠++=k m b kx y ;若()0≠+=k b kx y 向下移动了m 个单位,则平移后的函数解析式为:()0≠-+=k m b kx y 。
3. 一次函数的对称变换:①若一次函数关于x 轴对称,则自变量不变,函数值变为相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于x 轴的函数解析式为:()0≠+=-k b kx y ,即()0≠--=k b kx y 。
②若一次函数关于y 轴对称,则函数值不变,自变量变成相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于y 轴的函数解析式为:()()0≠+-=k b x k y ,即()0≠+-=k b kx y 。
③若一次函数关于原点对称,则自变量与函数值均变成相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于原点的函数解析式为:()()0≠+-=-k b x k y ,即()0≠-=k b kx y 。
中考数学重难点专题12 一次函数与几何综合问题(学生版)

中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)专题12一次函数与几何综合问题【典型例题】1.(2022·四川成都·九年级期末)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴正半轴上,AO=2BO,点C(3,0)(A点在C点的左侧),连接AB,过点A作AB的垂线,过点C作x轴的垂线,两条垂线交于点D,已知△ABO△△DAC,直线BD交x轴于点E.(1)求直线AD的解析式;(2)直线AD有一点F,设点F的横坐标为t,若△ACF与△ADE相似,求t的值;(3)如图2,在直线AD上找一点G,直线BD上找一点P,直线CD上找一点Q,使得四边形AQPG是菱形,求出G点的坐标.【专题训练】一、选择题1.(2022·山东龙口·七年级期末)对于函数y=-3x+1,下列结论正确的是()A.它的图象必经过点(1,3)B.y的值随x值的增大而增大C.当x>0时,y<0D.它的图象与x轴的交点坐标为(13,0)2.(2022·江苏溧阳·八年级期末)如图,直线122y x=-+与x轴、y轴交于A、B两点,在y轴上有一点C(0,4),动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动.当动到△COM与△AOB全等时,移的时间t是()A.2B.4C.2或4D.2或63.(2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末)数学课上,老师提出问题:“一次函数的图象经过点A(3,2),B(-1,-6),由此可求得哪些结论?”小明思考后求得下列4个结论:①该函数表达式为y=2x-4;②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大:③点P(2a,4a-4)在该函数图象上;④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8.其中错误的结论是()A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2022·江苏启东·八年级期末)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,点A,C,E的坐标分别为(0,4),(8,0),(8,2),点P,Q是OC边上的两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小,则点P的坐标为()A.(2,0)B.(3,0)C.(4,0)D.(5,0)二、填空题5.(2022·江苏滨湖·八年级期末)如图,直线y=﹣43x+8与坐标轴分别交于A、B两点,P是AB的中点,则OP的长为_____.6.(2021·山东济阳·八年级期中)如图,一次函数y =x +2的图像与坐标轴分别交于A ,B 两点,点P ,C 分别是线段AB ,OB 上的点,且△OPC =45°,PC =PO ,则点P 的坐标为______.7.(2021·湖北阳新·模拟预测)如图,直线AB 的解析式为y =﹣x +b 分别与x ,y 轴交于A ,B 两点,点A的坐标为(3,0),过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ,且31OB OC ::,在x 轴上方存在点D ,使以点A ,B ,D 为顶点的三角形与△ABC 全等,则点D 的坐标为_____.8.(2022·山东龙口·七年级期末)正方形A 1B 1C 1O ,A 2B 2C 2C 1,A 3B 3C 3C 2,…按如图所示放置,点A 1,A 2,A 3,和点C 1,C 2,C 3,…,分别在直线y =kx +b (k >0)和x 轴上,已知点B 1,B 2,B 3,B 4的坐标分别为(1,1),(3,2),(7,4),(15,8),则Bn 的坐标为_____三、解答题9.(2022·江苏海州·八年级期末)已知直线l 1经过点A (3,2)和点B (0,5),直线l 2:y =2x ﹣4经过点A 且与y 轴相交于点C .(1)求直线l 1的函数表达式;(2)已知点M 在直线l 1上,过点M 作MN //y 轴,交直线l 2于点N .若MN =6,请求出点M 的横坐标.10.(2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末)如图,已知一次函数y=kx+b的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,且与反比例函数y=mx在第一象限的图象交于点C,CD垂直于x轴,垂足为D.如果OA=OB=OD=1,求:(1)点A、B、C的坐标;(2)这个反比例函数的表达式;(3)这个一次函数的表达式.11.(2022·江苏溧阳·八年级期末)如图,在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0,8)、(10,0),点D是BC上一点,将△ACD沿直线AD翻折,使得点C落在OB上的点E处,点F是直线AD 与x轴的交点,连接CF.(1)点C坐标为____________;(2)求直线AD的函数表达式_______________________;(3)点P是直线AD上的一点,当△CFP是直角三角形时,请你直接写出点P的坐标.。
中考数学复习讲义资料-一次函数专题复习-一次函数与几何综合(Word解析版)

【例1】 如图所示,已知正比例函数y x =和3y x =,过点()20A ,作x 轴的垂线,与这两个正比例函数的图象分别交与B C ,两点,求三角形OBC 的面积(其中O 为坐标原点)。
【考点】一次函数与几何综合,坐标与面积 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】【解析】由题意,∵20A (,),AC x ⊥轴 ∴将2x =分别代入3y x y x ==、得,()()2226B C ,,, ∴624BC =-=∴1142422OBC S BC OA ∆=⋅⋅=⨯⨯=【答案】4【例2】 求一次函数32y x =+的图象与两坐标轴围成的三角形面积. 【考点】一次函数与几何综合,坐标与面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】在函数32y x =+中,令0x =,则2y =,因此图象交y 轴于点(0,2)例题精讲一次函数与几何综合令0y =,则320x +=,解得23x =-,因此图象交x 轴于点2(,0)3-∴函数32y x =+与两坐标轴围成的三角形面积1222233S ∆=⨯⨯=【答案】23【例3】 已知直线3y x =+的图象与x y 、轴交于A B 、两点,直线l 经过原点,与线段AB 交于点C ,把AOB ∆的面积分为2:1的两部分,求直线l 的解析式。
【考点】一次函数与几何综合,坐标与面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】由题意,得(30)A -,,(03)B ,设直线l 的解析式为k y x =,设(,3)C m m +∵直线l 把AOB △的面积分为2:1的两部分 ∴AOC AOB S :S 1:32:3∆∆=或当AOC AOB S :S 1:3∆∆=时,即AOC AOB 11S :S 3(m 3):(33)(m 3):31:322∆∆⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅=+=⎢⎥⎣⎦∴2m =-∴C -21(,),12k =-,12k =-,此时直线l 的解析式为12y x =- 当AOC AOB S :S 2:3∆∆=时,即AOC AOB 11S :S 3(m 3):(33)(m 3):32:322∆∆⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅=+=⎢⎥⎣⎦∴1m =-∴C -12(,),2k =-,2k =-,此时直线l 的解析式为2y x =- ∴直线l 的解析式为1-2y x =或2y x =-【答案】12y x =-或2y x =-【例4】 如图,在x 轴上有五个点,它们的横坐标依次为12345,,,,.分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ax =,()1y a x =+,()2y a x =+相交,其中0a >,则图中阴影部分的面积是_________.xx【考点】一次函数与几何综合,坐标与面积【难度】4星 【题型】解答【关键词】2009浙江省绍兴市中考 【答案】12.5【例5】 已知正比例函数y x =。
一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练

一次函数综合题通用的解题思路:(1)一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图,结合图形分析其中的几何图形,再求出面积.(2)一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围,进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值.(3)用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息,求出函数值、函数表达式,并解答相应的问题.1(2024•鼓楼区一模)如图,直线y =-3x +6与⊙O 相切,切点为P ,与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点.⊙O 与x 轴负半轴交于点C .(1)求⊙O 的半径;(2)求图中阴影部分的面积.【分析】(1)由OP =OA ⋅sin60°,即可求解;(2)由图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC ,即可求解.【解答】解:(1)对于直线y =-3x +6,令y =-3x +6=0,则x =23,即OA =23,由一次函数的表达式知,OB =6,则tan ∠BAC =OB AO =623=3,则∠BAC =60°连接OP ,则OP ⊥AB ,则OP =OA ⋅sin60°=23×32=3;(2)过点P 作PH ⊥AC 于点H ,∵∠POH =30°,则∠POC =150°,PH =12OP =32,则图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC =150°360°×π×32-12×3×32=15π-94.【点评】本题考查了一次函数和圆的综合运用,涉及到圆切线的和一次函数的性质,解直角三角形,面积的计算等,综合性强,难度适中.2(2023•宿豫区三模)如图①,在平面直角坐标系中,直线l 1:y =x +1与直线l 2:x =-2相交于点D ,点A 是直线l 2上的动点,过点A 作AB ⊥l 1于点B ,点C 的坐标为(0,3),连接AC ,BC .设点A 的纵坐标为t ,ΔABC 的面积为s .(1)当t =2时,求点B 的坐标;(2)s 关于t 的函数解析式为s =14t 2+bt -54t -1或t 5 a t +1 t -5 (-1<t <5),其图象如图②所示,结合图①、②的信息,求出a 与b 的值;(3)在直线l 2上是否存在点A ,使得∠ACB =90°,若存在,请求出此时点A 的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)解法一:先根据t =2可得点A (-2,2),因为B 在直线l 1上,所以设B (x ,x +1),利用y =0代入y =x +1可得G 点的坐标,在Rt ΔABG 中,利用勾股定理列方程可得点B 的坐标;解法二:根据可以使用y =x +1与x 轴正半轴夹角为45度来解答;(2)先把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中计算得b 的值,计算在-1<t <5范围内图象上一个点的坐标值:当t =2时,根据(1)中的数据可计算此时s =94,可得坐标2,94,代入s =a (t +1)(t -5)中可得a 的值;(3)存在,设B (x ,x +1),如图5和图6,分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答.【解答】解:(1)解法一:如图1,连接AG ,当t =2时,A (-2,2),设B (x ,x +1),在y =x +1中,当x =0时,y =1,∴G (0,1),∵AB ⊥l 1,∴∠ABG =90°,∴AB 2+BG 2=AG 2,即(x +2)2+(x +1-2)2+x 2+(x +1-1)2=(-2)2+(2-1)2,解得:x 1=0(舍),x 2=-12,∴B -12,12;解法二:如图1-1,过点B 作BE ⊥x 轴于E ,过点A 作AH ⊥BE 于H ,当x =0时,y =1,当y =0时,x +1=0,则x =-1,∴OF =OG =1,∵∠GOF =90°,∴∠OGF =∠OFG =45°,∴BE =EF ,∵∠ABD =90°,∴∠ABH =∠BAH =45°,∴ΔABH 是等腰直角三角形,∴AH =BH ,当t =2时,A (-2,2),设B (x ,x +1),∴x +2=2-(x +1),∴x =-12,∴B -12,12 ;(2)如图2可知:当t =7时,s =4,把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中得:494+7b -54=4,解得:b =-1,如图3,过B 作BH ⎳y 轴,交AC 于H ,由(1)知:当t =2时,A (-2,2),B -12,12 ,∵C (0,3),设AC 的解析式为:y =kx +n ,则-2k +n =2n =3 ,解得k =12n =3 ,∴AC 的解析式为:y =12x +3,∴H -12,114,∴BH =114-12=94,∴s=12BH⋅|x C-x A|=12×94×2=94,把2,9 4代入s=a(t+1)(t-5)得:a(2+1)(2-5)=94,解得:a=-1 4;(3)存在,设B(x,x+1),当∠ACB=90°时,如图5,∵∠ABD=90°,∠ADB=45°,∴ΔABD是等腰直角三角形,∴AB=BD,∵A(-2,t),D(-2,-1),∴(x+2)2+(x+1-t)2=(x+2)2+(x+1+1)2,(x+1-t)2=(x+2)2,x+1-t=x+2或x+1-t=-x-2,解得:t=-1(舍)或t=2x+3,RtΔACB中,AC2+BC2=AB2,即(-2)2+(t-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-t)2,把t=2x+3代入得:x2-3x=0,解得:x=0或3,当x=3时,如图5,则t=2×3+3=9,∴A(-2,9);当x=0时,如图6,此时,A(-2,3),综上,点A的坐标为:(-2,9)或(-2,3).【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.3(2023•溧阳市一模)如图1,将矩形AOBC放在平面直角坐标系中,点O是原点,点A坐标为(0,4),点B坐标为(5,0),点P是x轴正半轴上的动点,连接AP,ΔAQP是由ΔAOP沿AP翻折所得到的图形.(1)当点Q落在对角线OC上时,OP= 165 ;(2)当直线PQ经过点C时,求PQ所在的直线函数表达式;(3)如图2,点M是BC的中点,连接MP、MQ.①MQ的最小值为;②当ΔPMQ是以PM为腰的等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.【分析】(1)通过Q 点在OC 上,可以通过∠BOC 的三角函数和∠OAP 的三角函数来导出对应的边的关系,求得结果;(2)通过直角ΔAQC 中,得到QC 的长度,然后通过OP =PQ =x ,可以在Rt ΔBCP 中,得到对应的x 值然后求出结果;(3)通过QA =OA =4,可得出Q 点的运动轨迹,是以A 点为圆心,4为半径长度的圆弧,从而可知,MA 的连线上的Q 点为最短的MQ 长度,通过分类讨论,PM =PQ ,PM =QM ,PQ =QM 来求得对应的P 的坐标.【解答】解:(1)如图1,∵∠OAP +∠AOE =90°,∠BOC +∠AOE =90°,∴∠OAP =∠BOC ,又∵∠AOP =∠OBC =90°,∴ΔOAP ∽ΔBOC ,∴OP BC =OA OB ,即OP 4=45,∴OP =165,故答案为:165;(2)如图,∵AQ ⊥PQ ,∴∠AQC =90°,∴QC =AC 2-AQ 2=52-42=3,∵AQ =AO =4,设OP =PQ =x ,则CP =3+x ,PB =5-x ,∴CP 2=BP 2+BC 2,(3+x )2=(5-x )2+42,x =2,∴P 点的坐标为(2,0),将P (2,0)和C (5,4)代入y =kx +b 中,0=2k +b 4=5k +b ,解得:k =43b =-83,∴PQ 所在直线的表达式为:y =43x -83;(3)如图,①∵AQ =AO =4,∴Q 点的运动轨迹,是以A 为圆心,4为半径的圆弧,∴MQ 的最小值在AM 的连线上,如图,MQ ′即为所求,∵M 是BC 中点,CM =12BC =2,∴AM =52+22=29,MQ ′=MA -AQ ′=29-4,故答案为:29-4;②如图,设OP =PQ =x ,BP =5-x ,∴PM 2=(5-x )2+22=x 2-10x +29,当PM =PQ 时,PM 2=PQ 2,∴x 2-10x +29=x 2,x =2910,∴P 2910,0,当MP =MQ 时,如图,若点Q 在AC 上,则AQ =OA =4,∵MP =MQ ,MB =MC ,∠PBM =∠QCM ,∴ΔPMB ≅ΔQMC (HL ),∴PB =QC ,QC =AC -AQ =5-4=1,∴PB =1,∴OP =BO -PB =5-1=4,∴P (4,0);若点Q 在AC 上方时,由对称性可知OM =MQ ,∵MQ =MQ ,∴MO =MP ,∴P (10,0);当MQ =PQ 时,不符合题意,不成立,故P 点坐标为P 2910,0或P (4,0)或(10,0).【点评】本题考查一次函数的图象及应用,通过一次函数坐标图象的性质,三角函数的性质,全等三角形的性质和勾股定理,来求得对应的解.4(2022•启东市模拟)我们知道一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象关于y 轴对称,所以我们定义:函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)互为“M ”函数.(1)请直接写出函数y =2x +5的“M ”函数;(2)如果一对“M ”函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象交于点A ,且与x 轴交于B ,C 两点,如图所示,若∠BAC =90°,且ΔABC 的面积是8,求这对“M ”函数的解析式;(3)在(2)的条件下,若点D 是y 轴上的一个动点,当ΔABD 为等腰三角形时,请求出点D 的坐标.【分析】(1)根据互为“M ”函数的定义,直接写出函数y =2x +5的“M ”函数;(2)现根据已知条件判断ΔABC 为等腰直角三角形,再根据互为“M ”函数的图象关于y 轴对称,得出OA =OB =OC ,再根据函数解析式求出点A 、B 、C 的坐标,再根据ΔABC 的面积是8求出m 、n 的值,从而求出函数解析式;(3)ΔABD 为等腰三角形,分以A 为顶点,以B 为顶点,以D 为顶点三种情况讨论即可.【解答】(1)解:根据互为“M ”函数的定义,∴函数y =2x +5的“M ”函数为y =-2x +5;(2)解:根据题意,y =mx +n 和y =-mx +n 为一对“M 函数”.∴AB =AC ,又∵∠BAC =90°,∴ΔABC 为等腰直角三角形,∴∠ABC =∠ACB =45°,∵OB =OC ,∴∠BAO =∠CAO =45°,∴OA =OB =OC ,又∵S ΔABC =12×BC ×AO =8且BC =2AO ,∴AO =22,∵A 、B 、C 是一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象于坐标轴的交点,∴A (0,n ),B -n m ,0 ,C n m ,0,∵OA =OB =n ,∴n m=22,∴m =1,∴y =x +22和y =-x +22;(3)解:根据等腰三角形的性质,分情况,∵AO =BO =22,∴AB =4,由(2)知,A (0,22),B (-22,0),C (22,0),∴①以A 为顶点,则AB =AD ,当点D 在点A 上方时,AD =22+4,当点D 在点A 下方时,AD =22-4,∴D 1(0,22+4),D 2(0,22-4),②以B 为顶点,则BA =BD ,此时点D 在y 轴负半轴,∴D 3(0,-22),③以D 为顶点,则DA =DB ,此时D 为坐标原点,∴D 4(0,0).∴D 点坐标为D 1(0,22+4),D 2(0,22-4),D 3(0,-22),∴D 4(0,0).【点评】本题考查一次函数的综合应用,以及新定义、等腰三角形的性质等知识,关键是理解新定义,用新定义解题.5(2024•新北区校级模拟)如图①,动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发,以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动;同时,一动点Q 从点D 出发,以v 2的速度沿DC 向终点C 运动,当一个点到达终点时,另一个点也停止运动.点E 为CD 的中点,连接PE ,PQ ,记ΔEPQ 的面积为S ,点P 运动的时间为t ,其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②),已知,ON =4,NH =1,点G 的坐标为(8,0).(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为 85 ;AB AD的值为;(2)如果OM =15.①求线段NF 所在直线的函数表达式;②求FG 所在曲线的函数表达式;③是否存在某个时刻t ,使得S ≥154?若存在,求出t 的取值范围:若不存在,请说明理由.【分析】(1)由函数图象可知t =3时,Q 与E 重合,t =4时,P 与B 重合,t =6时,P 与C 重合,则Q 的速度v 2=DE 4,P 的速度v 1=AB 4,从而得出答案;(2)①当t =0时,P 与A 重合,Q 与D 重合,此时S ΔADE =2,可得AD =BC =DE =15,AB =CD =53AD =10,从而得出点P 与Q 的速度,即可得出点F 的坐标,利用待定系数法可得答案;②设FG 所在的曲线的数解析式为S =a (t -6)2+k (a ≠0),把F 5,154,G (8,0)代入解析式求得a ,k 值即可求解答;③利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式,当S =154时,可得t 的值,根据图象可得答案.【解答】解:(1)∵ON =4,NH =1,G (8,0),∴N (4,0),H (5,0),由图象可知:t =4时,Q 与E 重合,t =5时,P 与B 重合,t =8时,P 与C 重合,∴Q 的速度v 2=DE 4,P 的速度v 1=AB 5,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD ,AD =BC ,∵E 为CD 的中点,∴DE =12CD =12AB ,∴v 1v 2=AB5DE 4=AB 5⋅4DE =85,∵P 从A 到B 用了5秒,从B 到C 用了3秒,∴AB =5v 1,BC =3v 1,∴AB =53BC ,∴AB :AD 的值为53,故答案为:85,53;(2)①∵OM =15,∴M (0,15),由题知,t =0时,P 与A 重合,Q 与D 重合,∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =15,∵AB :AD =53,DE =12AB ,∴DE =56AD ,∴12AD ⋅56AD =15,∴AD =BC =6(舍去负值),∴AB =CD =53AD =10,∴v 2=DE 4=54,当t =5时,DQ =v 2t =54×5=254,∴QE =DQ -DE =254-5=54,此时P 与B重合,∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×54×6=154,∴F 5,154 ,设直线NF 的解析式为S =kt +b (k ≠0),将N (4,0)与F 5,154 代入得:4k +b =05k +b =154,∴k =154b =-15 ,∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =154t -15(4<t ≤5);②设FG所在的曲线的数解析式为S=1254t-5(16-2t)=-54t2+15t-40,∴FG所在的曲线的函数解析式为S=-54t2+15t-40(5≤t≤8);③存在,分情况讨论如下:当Q在DE上,P在AB上时,∵直线MN经过点M(0,15),N(4,0),可求得直线MN的解析式为S=-54t+15(0≤t≤4),当s=154时,-154t+15=154,∴x=3,∵s随x的增大而减小,∴当0≤x≤3时,S≥154,当Q在CE上,P在BC上时,直线NF的解析式为S=154t-15(4<t≤5);由F5,15 4知:当t=5时,S=154,当S=154时,-54t2+15t-40=154,∴t=7或5,由图象知:当5≤x≤7,x的取值范围为0≤t≤3或5≤t≤7.【点评】本题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,三角形的面积,矩形的性质等知识,理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键.6(2024•梁溪区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y =-ax 2+3ax +4a 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴正半轴交于点C ,直线y =12x 交于第一象限内的D 点,且ΔABC 的面积为10.(1)求二次函数的表达式;(2)点E 为x 轴上一点,过点E 作y 轴的平行线交线段OD 于点F ,交抛物线于点G ,当GF =5OF 时,求点G 的坐标;(3)已知点P (n ,0)是x 轴上的点,若点P 关于直线OD 的对称点Q 恰好落在二次函数的图象上,求n 的值.【分析】(1)在y =-ax 2+3ax +4a 中,令y =0得A (-1,0),B (4,0),根据ΔABC 的面积为10,即得OC =4,C (0,4),用待定系数法即得二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4;(2)设E (m ,0),则F m ,12m ,G (m ,-m 2+3m +4),由GF =5OF ,可得-m 2+52m +4=5×52m ,即可解得G (2,6);(3)连接PQ 交直线OD 于K ,过Q 作QT ⊥x 轴于T ,设Q (r ,s ),可得K n +r 2,s 2 ,即得s 2=12×n +r 2,n +r =2s ①,又r 2+s 2=n 2,(n +r )(n -r )=s 2②,可解得r =35n ,s =45n ,故Q 35n ,45n ,代入y =-x 2+3x +4得45n =-35n 2+3×35n +4,解得n =5或n =-209.【解答】解:(1)如图:在y =-ax 2+3ax +4a 中,令y =0得-ax 2+3ax +4a =0,解得x =4或x =-1,∴A (-1,0),B (4,0),∴AB =5,∵ΔABC 的面积为10,∴12AB ⋅OC =10,即12×5⋅OC =10,∴OC =4,∴C (0,4),把C (0,4)代入y =-ax 2+3ax +4a 得:4a =4,∴a =1,∴二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4;(2)如图:设E (m ,0),则F m ,12m ,G (m ,-m 2+3m +4),∴OF =m 2+12m 2=52m ,GF =-m 2+3m +4-12m =-m 2+52m +4,∵GF =5OF ,∴-m 2+52m +4=5×52m ,解得m =2或m =-2(舍去),∴G (2,6);(3)连接PQ 交直线OD 于K ,过Q 作QT ⊥x 轴于T ,如图:∵P (n ,0)关于直线对称点为Q ,∴OQ =OP =|n |,K 是PQ 中点,设Q (r ,s ),∴K n +r 2,s 2,∵K 在直线y =12x 上,∴s 2=12×n +r 2,整理得:n +r =2s ①,∵OT 2+QT 2=OQ 2,∴r 2+s 2=n 2,变形得:(n +r )(n -r )=s 2②,把①代入②得:2s (n -r )=s 2,∵s ≠0,∴n -r =s2③,由①③可得r =35n ,s =45n ,∴Q 35n ,45n ,∵Q 在抛物线y =-x 2+3x +4上,∴45n =-35n 2+3×35n +4,解得n =5或n =-209,答:n 的值为5或-209.【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用,涉及待定系数法,三角形面积,对称变换等知识,解题的关键是用含n 的代数式表示Q 的坐标.7(2023•邗江区校级一模)如图1,在平面直角坐标系中,直线l :y =-33x +43分别与x 轴、y 轴交于点A 点和B 点,过O 点作OD ⊥AB 于D 点,以OD 为边构造等边ΔEDF (F 点在x 轴的正半轴上).(1)求A 、B 点的坐标,以及OD 的长;(2)将等边ΔEDF ,从图1的位置沿x 轴的正方向以每秒1个单位的长度平移,移动的时间为t (s ),同时点P 从E 出发,以每秒2个单位的速度沿着折线ED -DF 运动(如图2所示),当P 点到F 点停止,ΔDEF 也随之停止.①t =3或6(s )时,直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点;②当点P 在线段DE 上运动,若DM =2PM ,求t 的值;③当点P 在线段DF 上运动时,若ΔPMN 的面积为3,求出t 的值.【分析】(1)把x =0,y =0分别代入y =-33x +43,即可求出点A 、B 的坐标,求出∠BAO =30°,根据直角三角形的性质,即可得出OD =12OA =6;(2)①当直线l 分别过DE 、DF 、EF 的中点,分三种情况进行讨论,得出t 的值,并注意点P 运动的最长时间;②分点P 在直线l 的下方和直线l 上方两种情况进行讨论,求出t 的值即可;③分点P 在DN 之间和点P 在NF 之间两种情况进行讨论,求出t 的值即可.【解答】解:(1)令x =0,则y =43,∴点B 的坐标为(0,43),令y =0,则-33x +43=0,解得x =12,∴点A 的坐标为(12,0),∵tan ∠BAO =OB OA=4312=33,∴∠BAO =30°,∵OD ⊥AB ,∴∠ODA =90°,∴ΔODA 为直角三角形,∴OD =12OA =6;(2)①当直线l 过DF 的中点G 时,∵ΔDEF 为等边三角形,∴∠DFE =60°,∵∠BAO =30°,∴∠FGA =60°-30°=30°,∴∠FGA =∠BAO ,∴FA =FG =12DF =3,∴OF =OA -FA =9,∴OE =OF -EF =9-6=3,∴t =3;当l 过DE 的中点时,∵DE ⊥l ,DG =EG ,∴直线l 为DE 的垂直平分线,∵ΔDEF 为等边三角形,∴此时点F 与点A 重合,∴t =12-61=6;当直线l 过EF 的中点时,运动时间为t =12-31=9;∵点P 从运动到停止用的时间为:6+62=6,∴此时不符合题意;综上所述,当t =3s 或6s 时,直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点,故答案为:3或6;②∵OE =t ,AE =12-t ,∠BAO =30°,∴ME =6-t2,∴DM =DE -EM =t2,∵EP =2t ,∴PD =6-2t ,当P 在直线l 的下方时,∵DM =23DP ,∴t 2=23(6-2t ),解得:t =2411;当P 在直线l 的上方时,∵DM =2DP ,∴t2=2(6-2t ),解得t =83;综上所述:t 的值为2411或83;③当3<t ≤6时,∵∠D =60°,∠DMN =90°,DM =t2,∴∠DNM =90°-60°=30°,∴MN =DM ×tan60°=32t ,DN =2DM =2×t2=t ,∵DP =2t -6,∴PN =DN -DP =t -(2t -6)=6-t ,∵∠DNM =30°,∴边MN 的高h =12PN =3-12t ,∵ΔPMN 的面积为3,∴12×32t 3-12t =3,整理得:t 2-6t +8=0,解得t =2(舍)或t =4当点P 在NF 之间时,∵∠D =60°,∠DMN =90°,DM =t2,∴∠DNM =90°-60°=30°,∴MN =DM ×tan60°=32t ,DN =2DM =2×t2=t ,∵DP =2t -6,∴PN =DP -DN =2t -6-t =t -6,∵∠DNM =30°,∴∠FNA =∠DNM =30°,∴边MN 的高h =12PN =12t -3,∵ΔPMN 的面积为3,∴12×32t 12t -3 =3,解得t =3+17(舍)或t =3-17(舍),综上所述,t 的值为4s .【点评】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形,熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键.8(2023•武进区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中,对于任意两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)的“非常距离”,给出如下定义:若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|,则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|;若|x 1-x 2|<|y 1-y 2|,则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|.例如:点P 1(1,2),点P 2(3,5),因为|1-3|<|2-5|,所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点).(1)已知点A -12,0,B 为y 轴上的一个动点,①若点A 与点B 的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B 的坐标;②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值;(2)已知C 是直线y =34x +3上的一个动点,①如图2,点D 的坐标是(0,1),求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标;②如图3,E 是以原点O 为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标.【分析】(1)①根据点B 位于y 轴上,可以设点B 的坐标为(0,y ).由“非常距离”的定义可以确定|0-y |=2,据此可以求得y 的值;②设点B 的坐标为(0,y ).因为-12-0 ≥|0-y |,所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为-12-0 =12;(2)①设点C 的坐标为x 0,34x 0+3 .根据材料“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|,则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”知,C 、D 两点的“非常距离”的最小值为-x 0=34x 0+2,据此可以求得点C 的坐标;②根据“非常距离”的定义,点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上,且C 与E 的横纵坐标差相等时,点C 与点E 的“非常距离”取最小值,据此求出C 与E 的坐标及“非常距离”的最小值.【解答】解:(1)①∵B 为y 轴上的一个动点,∴设点B 的坐标为(0,y ).∵-12-0 =12≠2,∴|0-y |=2,解得,y =2或y =-2;∴点B 的坐标是(0,2)或(0,-2);②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12.(2)①如图2,当点C 与点D 的“非常距离”取最小值时,需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|,则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答,此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|.即AC =AD ,∵C 是直线y =34x +3上的一个动点,点D 的坐标是(0,1),∴设点C 的坐标为x 0,34x 0+3 ,∴-x 0=34x 0+2,此时,x 0=-87,∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为:|x 0|=87,此时C -87,157;②如图3,当点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上,且CF =EF 时,点C 与点E 的“非常距离”最小,设E (x ,y )(点E 位于第二象限).则y x=-43x 2+y 2=1 ,解得x =-35y =45,故E -35,45.设点C 的坐标为x 0,34x 0+3 ,-35-x 0=34x 0+3-45,解得x0=-8 5,则点C的坐标为-8 5,95,点C与点E的“非常距离”的最小值为1.【点评】本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题,一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键.9(2023•海安市一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P,给出如下定义:F为图形W上任意一点,将P,F两点间距离的最小值记为m,最大值记为M,称M与m的差为点P到图形W的“差距离”,记作d(P,W),即d(P,W)=M-m,已知点A(2,1),B(-2,1)(1)求d(O,AB);(2)点C为直线y=-1上的一个动点,当d(C,AB)=1时,点C的横坐标是 (2-5)或(5-2,) ;(3)点D为函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点,当d(D,AB)≤2时,直接写出b的取值范围.【分析】(1)画出图形,根据点P到图形W的“差距离”的定义即可解决问题.(2)如图2中,设C(m,-1).由此构建方程即可解决问题.(3)如图3中,取特殊位置当b=6时,当b=-4时,分别求解即可解决问题.【解答】解:(1)如图1中,∵A(2,1),B(-2,1),∴AB⎳x轴,∴点O到线段AB的最小距离为1,最大距离为5,∴d(O,AB)=5-1.(2)如图2中,设C(m,-1).当点C在y轴的左侧时,由题意AC-2=1,∴AC=3,∴(2-m)2+22=9,∴m=2-5或2+5(舍弃),∴C(2-5,-1),当点C在y轴的右侧时,同法可得C(5-2,-1),综上所述,满足条件的点C的坐标为(2-5,-1)或(5-2,-1).故答案为:(2-5,-1)或(5-2,-1).(3)如图3中,当b=6时,线段EF:y=x+6(-2≤x≤2)上任意一点D,满足d(D,AB)≤2,当b=-4时,线段E′F′:y=x-4(-2≤x≤2)上任意一点D′,满足d(D′,AB)≤2,观察图象可知:当b≥6或b≤-4时,函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点,满足d(D,AB)≤2.【点评】本题属于一次函数综合题,考查了一次函数的性质,点P到图形W的“差距离”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数解决问题,学会寻找特殊位置解决问题,属于中考创新题型.10(2022•姑苏区校级模拟)平面直角坐标系xOy中,对于任意的三个点A、B、C,给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A,B,C三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A,B,C的“三点矩形”.在点A,B,C的所有“三点矩形”中,若存在面积最小的矩形,则称该矩形为点A,B,C的“最佳三点矩形”.如图1,矩形DEFG,矩形IJCH都是点A,B,C的“三点矩形”,矩形IJCH是点A,B,C的“最佳三点矩形”.如图2,已知M(4,1),N(-2,3),点P(m,n).(1)①若m=2,n=4,则点M,N,P的“最佳三点矩形”的周长为18,面积为;②若m=2,点M,N,P的“最佳三点矩形”的面积为24,求n的值;(2)若点P在直线y=-2x+5上.①求点M,N,P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围;②当点M,N,P的“最佳三点矩形”为正方形时,求点P的坐标;(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上,当且仅当点M,N,P的“最佳三点矩形”面积为12时,-2≤m≤-1或1≤m≤3,直接写出抛物线的解析式.【分析】(1)①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可,②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可;(2)①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12,②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6,分别将y=7,y=-3代入y=-2x+5,可得x分别为-1,5,点P的坐标为(-1,7)或(4,-3);(3)利用“最佳三点矩形”的定义画出图形,可分别求得解析式.【解答】解:(1)①如图,画出点M,N,P的“最佳三点矩形”,可知矩形的周长为6+6+3+3=18,面积为3×6=18;故答案为:18,18.②∵M(4,1),N(-2,3),∴|x M-x N|=6,|y M-y N|=2.又∵m=2,点M,N,P的“最佳三点矩形”的面积为24.∴此矩形的邻边长分别为6,4.∴n=-1或5.(2)如图,①由图象可得,点M,N,P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12;分别将y=3,y=1代入y=-2x+5,可得x分别为1,2;结合图象可知:1≤m≤2;②当点M,N,P的“最佳三点矩形”为正方形时,边长为6,分别将y=7,y=-3代入y=-2x+5,可得x分别为-1,4;∴点P的坐标为(-1,7)或(4,-3);(3)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,经过点(-1,1),(1,1),(3,3),∴a -b +c =1a +b +c =19a +3b +c =3,a =14b =0c =34,∴y =14x 2+34,同理抛物线经过点(-1,3),(1,3),(3,1),可求得抛物线的解析式为y =-14x 2+134,∴抛物线的解析式y =14x 2+34或y =-14x 2+134.【点评】本题主要考查了一次函数的综合题,涉及点的坐标,正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识,解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义.11(2022•太仓市模拟)如图①,动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发,以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动;同时,一动点Q 从点D 出发,以v 2的速度沿DC 向终点C 运动,当一个点到达终点时,另一个点也停止运动.点E 为CD 的中点,连接PE ,PQ ,记ΔEPQ 的面积为S ,点P 运动的时间为t ,其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②),已知,ON =3,NH =1,点G 的坐标为(6,0).(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为 32 ;AB :AD 的值为;(2)如果OM =2.①求线段NF 所在直线的函数表达式;②是否存在某个时刻t ,使得S ≥23?若存在,求出t 的取值范围;若不存在,请说明理由.【分析】(1)由函数图象可知t =3时,Q 与E 重合,t =4时,P 与B 重合,t =6时,P 与C 重合,则Q 的速度v 2=DE 3,P 的速度v 1=AB4,从而得出答案;(2)①当t =0时,P 与A 重合,Q 与D 重合,此时S ΔADE =2,可得AD =BC =DE =2,AB =CD =2AD =4,从而得出点P 与Q 的速度,即可得出点F 的坐标,利用待定系数法可得答案;②利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式,当S =23时,可得t 的值,根据图象可得答案.【解答】解:(1)∵ON =3,NH =1,G (6,0),∴N (3,0),H (4,0),由图象可知:t =3时,Q 与E 重合,t =4时,P 与B 重合,t =6时,P 与C 重合,∴Q 的速度v 2=DE 3,P 的速度v 1=AB4,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD ,AD =BC ,∵E 为CD 的中点,∴DE =12CD =12AB ,∴v 1v 2=AB4DE 3=AB 4⋅3DE =AB 4⋅312AB =32,∵P 从A 到B 用了4秒,从B 到C 用了2秒,∴AB =4v 1,BC =2v 1,∴AB =2BC ,∴AB :AD 的值为2,故答案为:32,2;(2)①∵OM =2,∴M (0,2),由题知,t =0时,P 与A 重合,Q 与D 重合,∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =2,∵AB :AD =2,∴AD =DE =12AB ,∴12AD 2=2,∴AD =BC =DE =2,AB =CD =2AD =4,∴v 2=DE 3=23,当t =4时,DQ =v 2t =23×4=83,∴QE =DQ -DE =83-2=23,此时P 与B 重合,∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×23×2=33,∴F 4,23,设直线NF 的解析式为S =kx +b (k ≠0),将N (3,0)与F 4,23 代入得:3k +b =04k +b =23 ,∴k =23b =-2,∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =23x -2(3<x ≤4);②存在,分情况讨论如下:当Q 在DE 上,P 在AB 上时,∵直线MN 经过点M (0,2),N (3,0),同理求得直线MN 的解析式为S =-23x +2(0≤x ≤3),当s =23时,-23x +2=2,∴x =2,∵s随x的增大而减小,∴当0≤x≤2时,S≥23,当Q在CE上,P在AB上时,直线NF的解析式为S=23x-2(3<x≤4),由F4,2 3知:当x=4时,S=23,当Q在CE上,P在BC上时,SΔEPQ=12EQ⋅CP,∵DQ=v2t=23t,∴EQ=DQ-DE=23t-2,∵v1=AB4=44=1,∴AB+BP=v1t=t,∵AB+BC=4+2=6,∴CP=6-t,∴S=1223t-2(6-t)=-13t2+3t-6(4<x≤6),当S=23时,-13t2+3t-6=23,∴t=4或5,由图象知:当4<x≤5时,S≥2 3,综上,S≥23时,x的取值范围为0≤x≤2或4≤x≤5.【点评】本题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,三角形的面积,矩形的性质等知识,理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键.12(2022•邗江区校级一模)在平面直角坐标系xOy中,对于点P和线段ST,我们定义点P关于线段ST的线段比k=PSST(PS<PT)PTST(PS≥PT) .(1)已知点A(0,1),B(1,0).①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k= 22 ;②点C(0,c)关于线段AB的线段比k=2,求c的值.(2)已知点M(m,0),点N(m+2,0),直线y=x+2与坐标轴分别交于E,F两点,若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤14,直接写出m的取值范围.【分析】(1)①求出QA、QB、AB,根据线段比定义即可得到答案;②方法同①,分c>0和c≤0讨论;(2)分两种情况,画出图象,根据线段比定义,分别在M(N)为“临界点”时列出不等式,即可得到答案.【解答】解:(1)①∵A(0,1),B(1,0),Q(2,0),∴AB=2,QA=5,QB=1,根据线段比定义点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=QBAB=22;故答案为:22;②∵A (0,1),B (1,0),C (0,c ),∴AB =2,AC =|1-c |,BC =1+c 2,AC 2=1+c 2-2c ,BC 2=1+c 2,当c >0时,AC 2<BC 2,即AC <BC ,由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得:|1-c |2=2,解得c =3或c =-1(舍去),∴c =3,当c ≤0时,AC 2≥BC 2,即AC ≥BC ,由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得:1+c 22=2,解得c =3(舍去)或c =-3,∴c =-3,综上所述,点C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2,c =3或c =-3;(2)∵直线y =x +2与坐标轴分别交于E ,F 两点,∴E (-2,0),F (0,2),∵点M (m ,0),点N (m +2,0),∴MN =2,N 在M 右边2个单位,当线段EF 上的点到N 距离较小时,分两种情况:①当M 、N 在点E 左侧时,如图:线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14,∴NE MN≤14,即-2-(m +2)2≤14,解得:m ≥-92,②当N 在E 右侧,M 在E 左侧时,过M 作MG ⊥EF 于G ,如图:线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14,∴GM MN ≤14,即GM 2≤14,∴GM ≤12,而E (-2,0),F (0,2),∴∠FEO =45°,∴ΔHEM 时等腰直角三角形,∴GM =22EM ,∴22EM ≤12,即22[(m +2)-(-2)]≤12,解得m ≤-4+22,∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14,线段EF 上的点到N 距离较小时,-92≤m ≤-4+22,当线段EF 上的点到M 距离较小时,也分两种情况:①当N 在E 右侧,M 在E 左侧时,如图:线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14,∴ME MN≤14,即-2-m 2≤14,解得m ≥-52,②当M 、N 在点E 右侧时,过M 作MH ⊥EF 于H ,如图:线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14,∴HM MN ≤14,即HM 2≤14,∴HM ≤12,而E (-2,0),F (0,2),∴∠FEO =45°,∴ΔHEM 时等腰直角三角形,∴HM =22EM ,∴22EM ≤12,即22[m -(-2)]≤12,解得:m ≤-2+22,∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14,线段EF 上的点到M 距离较小时,-52≤m ≤-2+22,综上所述,线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14,则-92≤m ≤-4+22或-52≤m ≤-2+22.【点评】本题考查一次函数应用,解题的关键是读懂线段比的定义,找出“临界点”列不等式.13(2022•泰州)定义:对于一次函数y 1=ax +b 、y 2=cx +d ,我们称函数y =m (ax +b )+n (cx +d )(ma +nc ≠0)为函数y 1、y 2的“组合函数”.(1)若m =3,n =1,试判断函数y =5x +2是否为函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”,并说明理由;(2)设函数y 1=x -p -2与y 2=-x +3p 的图像相交于点P .①若m +n >1,点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图像的上方,求p 的取值范围;②若p ≠1,函数y 1、y 2的“组合函数”图像经过点P .是否存在大小确定的m 值,对于不等于1的任意实数p ,都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变?若存在,请求出m 的值及此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)由y =5x +2=3(x +1)+(2x -1),可知函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”;(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得P (2p +1,p -1),当x =2p +1时,y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p-1)(m +n ),根据点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方,有p -1>(p -1)(m +n ),而m +n >1,可得p <1;②由函数y 1、y 2的“组合函数” y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ,知p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p ),即(p -1)(1-m -n )=0,而p ≠1,即得n =1-m ,可得y =(2m -1)x +3p -(4p +2)m ,令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0,即(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0,即可得m =34时,“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变,Q (3,0).【解答】解:(1)函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”,理由如下:∵3(x +1)+(2x -1)=3x +3+2x -1=5x +2,∴y =5x +2=3(x +1)+(2x -1),∴函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”;(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得x =2p +1y =p -1 ,∴P (2p +1,p -1),∵y 1、y 2的“组合函数”为y =m (x -p -2)+n (-x +3p ),∴x =2p +1时,y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p -1)(m +n ),∵点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方,∴p -1>(p -1)(m +n ),∴(p -1)(1-m -n )>0,∵m +n >1,∴1-m -n <0,∴p -1<0,∴p <1;②存在m =34时,对于不等于1的任意实数p ,都有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变,Q (3,0),理由如下:由①知,P (2p +1,p -1),∵函数y 1、y 2的“组合函数”y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ,∴p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p ),∴(p -1)(1-m -n )=0,∵p ≠1,∴1-m -n =0,有n =1-m ,∴y =m (x -p -2)+n (-x +3p )=m (x -p -2)+(1-m )(-x +3p )=(2m -1)x +3p -(4p +2)m ,令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0,变形整理得:(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0,∴当3-4m =0,即m =34时,12x -32=0,∴x =3,∴m =34时,“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变,Q (3,0).【点评】本题考查一次函数综合应用,涉及新定义,函数图象上点坐标的特征,一次函数与一次方程的关系等,解题的关键是读懂“组合函数“的定义.14(2024•钟楼区校级模拟)在同一平面内,具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形,我们称这两个三角形叫做“共边全等”.(1)下列图形中两个三角形不是“共边全等”是③;AB,点E、F分别在AC、BC边(2)如图1,在边长为6的等边三角形ABC中,点D在AB边上,且AD=13上,满足ΔBDF和ΔEDF为“共边全等”,求CF的长;(3)如图2,在平面直角坐标系中,直线y=-3x+12分别与直线y=x、x轴相交于A、B两点,点C是OB 的中点,P、Q在ΔAOB的边上,当以P、B、Q为顶点的三角形与ΔPCB“共边全等”时,请直接写出点Q 的坐标.【分析】(1)由于第③个图不符合共边要求,所以图③即为答案;(2)DF为两个全等三角形的公共边,由于F点在BC边上,E在AC边上,两个三角形的位置可以如图②,在公共边异侧,构成一个轴对称图形,也可以构成一个平行四边形(将图③的两条最长边重合形成),分两类讨论,画出图形,按照图②构图,会得到一个一线三等角模型,利用相似,列出方程来解决,按照平行四边形构图,直接得到ΔADE为等边三角形,计算边长即可求得;(3)由题目要求,可以知道两个全等三角形的公共边为PB边,由于要构成ΔPCB,所以P点只能在OA和OB边上,当P在OA边上,两个三角形可以在PB同侧,也可以在PB异侧,当在PB异侧构图时,可以得到图3和图4,在图3中,当在PB同侧构图时,可以得到图6,当P在OB边上时,Q只能落在OA上,得到图7,利用已知条件,解三角形,即可求出Q点坐标.【解答】解:(1)①②均符合共边全等的特点,只有③,没有公共边,所以③不符合条件,∴答案是③;(2)①如图1,当ΔBDF≅ΔEFD,且是共边全等时,∠BFD=∠EDF,∴DE⎳BC,∵ΔABC是等边三角形,∴ΔADE是等边三角形,AB=2,∵AD=13∴DE=AE=BF=2,∴CF=BC-BF=4,②如图2,当ΔBDF≅ΔEDF,且是共边全等时,BD=DE=6-AD=4,∠DEF=∠B=60°,EF=BF,∴∠AED+∠FEC=120°,又∠AED+∠EDA=120°,。
中考数学总复习《一次函数》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《一次函数》专项提升练习题(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________命题点1一次函数的图象与性质 1(2022株洲)在平面直角坐标系中,一次函数y=5x+1的图象与y 轴的交点的坐标为( )A.(0,-1)B.(-15,0) C.(15,0) D.(0,1) 2(2022凉山州)一次函数y=3x+b (b ≥0)的图象一定不经过 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D .第四象限3(2022广安)在平面直角坐标系中,将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度,所得的函数的解析式是( )A.y=3x+5B.y=3x-5C.y=3x+1D.y=3x-1 4(2022邵阳)在直角坐标系中,已知点A (32,m ),点B (√72,n )是直线y=kx+b (k<0)上的两点,则m ,n 的大小关系是( )A .m<nB .m>nC .m ≥nD .m ≤n5(2022抚顺)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的图象分别为直线l 1和直线l 2,下列结论正确的是( )A.k 1·k 2<0B.k 1+k 2<0C.b 1-b 2<0D.b 1·b 2<06(2022河南)请写出一个y 随x 的增大而增大的一次函数的表达式: . 7(2022德阳)如图,已知点A (-2,3),B (2,1),直线y=kx+k 经过点P (-1,0).试探究:直线与线段AB 有交点时k 的变化情况,猜想k 的取值范围是 .8(2022北京)在平面直角坐标系xOy 中,函数y=kx+b (k ≠0)的图象过点(4,3),(-2,0),且与y 轴交于点A.(1)求该函数的解析式及点A 的坐标;(2)当x>0时,对于x 的每一个值,函数y=x+n 的值大于函数y=kx+b (k ≠0)的值,直接写出n 的取值范围.命题点2一次函数与方程、不等式结合9(2022陕西)在同一平面直角坐标系中,直线y=-x+4与y=2x+m 相交于点P (3,n ),则关于x ,y 的方程组{x +y -4=0,2x -y +m =0的解为 ( )A.{x =−1,y =5B.{x =1,y =3C.{x =3,y =1D.{x =9,y =−5 10(2022鄂州)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,一次函数y=kx+b (k ,b 为常数,且k<0)的图象与直线y=13x 都经过点A (3,1),当kx+b<13x 时,根据图象可知,x 的取值范围是( )A.x>3B.x<3C.x<1D.x>111(2021嘉兴)已知点P (a ,b )在直线y=-3x-4上,且2a-5b ≤0,则下列不等式一定成立的是( )A.a b ≤52B.a b ≥52C.b a ≥25D.b a ≤25命题点3一次函数的实际应用 角度1行程问题12(2021陕西)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出发,1 min 后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“猫”抓着“鼠”沿原路返回.“鼠”“猫”距起点的距离y (m)与时间x (min)之间的关系如图所示.(1)在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是m/min;(2)求AB的函数表达式;(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.13(2022湖州)某校组织学生从学校出发,乘坐大巴前往基地进行研学活动.大巴出发1小时后,学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶.已知大巴行驶的速度是40千米/时,轿车行驶的速度是60千米/时.(1)轿车出发后多少小时追上大巴?此时,两车与学校相距多少千米?(2)如图,图中OB,AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时间t(小时)的函数关系的图象.试求点B的坐标和AB所在直线的解析式.(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶,轿车行驶了1.5小时追上大巴,求a的值.角度2方案选取问题14(2021宁波)某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案,如下表:A方案B方案C方案每月基本费用/元20 56 266每月免费使用流1 024 m无限量/兆超出后每兆收费/n n元A,B,C三种方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系如图所示.(1)请直接写出m,n的值.(2)在A方案中,当每月使用的流量不少于1 024兆时,求每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系式.(3)在这三种方案中,当每月使用的流量超过多少兆时,选择C方案最划算?角度3最值问题15(2022云南)某学校要购买甲、乙两种消毒液,用于预防新型冠状病毒.若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液,则一共需要615元;若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液,则一共需要780元.(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元?(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶,其中购买甲消毒液a桶,且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶,又不超过乙消毒液的数量的2倍,怎样购买,才能使总费用W最少?并求出最少费用.16(2022福建)在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中,八年级(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元,吊兰每盆6元.(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰, 问可购买绿萝和吊兰分别多少盆.(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案,请求出购买两种绿植总费用的最小值.17(2022南充)南充市被誉为中国绸都,本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种商品,它们的进价和售价如下表.用15 000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件.(利润=售价-进价)种类真丝衬衣真丝围巾进价/(元/件) a80售价/(元/件) 300 100(1)求真丝衬衣进价a的值.(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件,据市场销售分析,真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大?最大利润是多少元?(3)按(2)中最大利润方案进货与销售,在实际销售过程中,当真丝围巾销量达到一半时,为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%,衬衣售价不变,余下围巾降价销售,每件最多降价多少元?角度4其他问题18(2022哈尔滨)一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示,如果这辆汽车每千米的耗油量相同,当油箱中剩余的油量为35 L时,那么该汽车已行驶的路程为()A.150 kmB.165 kmC.125 kmD.350 km19(2022吉林)李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水,甲壶比乙壶加热速度快,在一段时间内,水温y(℃)与加热时间x(s)之间近似满足一次函数关系,根据记录的数据,画函数图象如图所示.(1)加热前水温是℃.(2)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式.(3)当甲壶中水温刚达到80 ℃时,乙壶中水温是℃.20(2022绍兴)一个深为6米的水池积存着少量水,现在打开水阀进水,下表记录了2小时内5个时刻的水位高度,其中x表示进水用时(单位:时),y表示水位高度(单位:米).x0 0.5 1 1.5 2y 1 1.5 2 2.5 3为了描述水池水位高度与进水用时的关系,现有以下三种函数模型供选(k≠0).择:y=kx+b(k≠0),y=ax2+bx+c(a≠0),y=kx(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,再选出最符合实际的函数模型,求出相应的函数表达式,并画出这个函数的图象.(2)当水位高度达到5米时,求进水用时x.命题点4一次函数与几何知识的综合21(2022泸州)如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10,4),四边形ABEF 是菱形,且tan ∠ABE=43.若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分,则直线l 的解析式为( )A.y=3xB.y=-34x+152 C.y=-2x+11 D .y=-2x+1222(2021扬州)如图,一次函数y=x+√2的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ,则线段AC 长为( )A .√6+√2B .3√2C .2+√3D .√3+√223(2021成都)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=√33x+2√33与☉O 相交于A ,B 两点,且点A 在x 轴上,则弦AB 的长为 .分类训练7 一次函数1.D 【解析】 当x=0时,y=5x+1=1,故该一次函数图象与y 轴的交点坐标为(0,1).2.D3.D4.A 【解析】 对于一次函数y=kx+b ,∵k<0,∴y 随x 的增大而减小.又∵32>√72,∴m<n.5.D 【解析】 由题图可得k 1>k 2>0,b 1>0>b 2,∴k 1·k 2>0,k 1+k 2>0,b 1-b 2>0,b 1·b 2<0,故选D .6.y=2x+3(答案不唯一)7.k ≤-3或k ≥13 【解析】 当直线y=kx+k 经过点A (-2,3)时,-2k+k=3,解得k=-3;当直线y=kx+k 经过点B (2,1)时,2k+k=1,解得k=13.分析可知,当直线与线段AB 有交点时,k ≤-3或k ≥13.8.【参考答案】 (1)把(4,3),(-2,0)分别代入y=kx+b 得{4k +b =3,-2k +b =0,解得{k =12,b =1,∴该函数的解析式为y=12x+1. 对于y=12x+1,当x=0时,y=1∴A (0,1). (2)n ≥1.解法提示:函数y=12x+1的图象如图所示,易知当直线y=x+n 与y 轴的交点与点A 重合或在点A 上方时符合题意,故n ≥1.9.C 【解析】 把(3,n )代入y=-x+4,可知n=1,故关于x ,y 的方程组{x +y -4=0,2x -y +m =0的解为{x =3,y =1.故选C .10.A11.D 【解析】 ∵点P (a ,b )在直线y=-3x-4上,∴-3a-4=b.又∵2a-5b ≤0,∴2a-5(-3a-4)≤0,解得a ≤-2017.易得a=b+4-3,∴b ≥-817.易知当b=0时,ab 无意义,故A,B 错误.∵2a-5b ≤0,∴2a -5b a≥0,即2-5·b a≥0,∴b a ≤25.故选D .12.【参考答案】 (1)1解法提示:由题图可知,“鼠”的平均速度为30÷6=5(m/min) “猫”的平均速度为30÷(6-1)=6(m/min)故“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是6-5=1(m/min).(2)设AB 的函数表达式为y=kx+b (k ≠0),则{30=7k +b ,18=10k +b ,解得{k =−4,b =58,∴y=-4x+58.(3)令y=0,则-4x+58=0,∴x=14.5. 14.5-1=13.5(min)∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5 min .13.【参考答案】 (1)设轿车行驶的时间为x 小时,则大巴行驶的时间为(x+1)小时. 根据题意,得60x=40(x+1) 解得x=2则60x=60×2=120.答:轿车出发2小时后追上大巴,此时两车与学校相距120千米. (2)∵轿车追上大巴时,大巴行驶了3小时∴点B 的坐标是(3,120).由题意,得点A 的坐标为(1,0).设AB 所在直线的解析式为s=kt+b则{3k +b =120,k +b =0,解得{k =60,b =−60,∴AB 所在直线的解析式为s=60t-60.(3)由题意,得40(a+1.5)=60×1.5解得a=34 ∴a 的值为34.14.【参考答案】 (1)m=3 072,n=0.3.(2)设函数关系式为y=kx+b (k ≠0)把(1 024,20),(1 144,56)代入y=kx+b得{20=1024k +b ,56=1144k +b ,解得{k =0.3,b =−287.2, ∴y 关于x 的函数表达式为y=0.3x-287.2(x ≥1 024).(注:x 的取值范围对考生不作要求)(3)3 072+(266-56)÷0.3=3 772(兆).由题中图象得,当每月使用的流量超过3 772兆时,选择C 方案最划算.15.【参考答案】 (1)设每桶甲消毒液的价格为x 元,每桶乙消毒液的价格为y 元根据题意,得{9x +6y =615,8x +12y =780,解得{x =45,y =35.答:每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是45元、35元.(2)由题意,得W=45a+35(30-a )=10a+1 050. 根据题意,得{a ≥30−a +5,a ≤2(30−a ),解得17.5≤a ≤20 ∴a 的取值范围是17.5≤a ≤20,且a 是正整数.∵10>0,∴W 随a 的增大而增大∴当a=18时,W 的值最小,最小值为1 230此时30-a=12.答:当购买甲消毒液18桶、乙消毒液12桶时,总费用最少,最少费用是1 230元.16.【参考答案】 (1)设购买绿萝x 盆,吊兰y 盆.根据题意,得{x +y =46,9x +6y =390,解得{x =38,y =8.因为38>2×8,所以答案符合题意.答:可购买绿萝38盆,吊兰8盆.(2)设购买绿萝m盆,吊兰(46-m)盆,购买两种绿植的总费用为W元则W=9m+6(46-m)=3m+276.根据题意,得m≥2(46-m),解得m≥923.因为3>0,所以W随m的增大而增大.又m为整数,所以m取最小值31时,W的值最小.当m=31时,W=3×31+276=369.答:购买两种绿植总费用的最小值为369元.17.【参考答案】(1)根据题意,得50a+25×80=15 000.解得a=260.(2)设购进真丝衬衣x件,销售利润为y元,则购进真丝围巾(300-x)件.根据题意得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)化简得y=20x+6 000.∵300-x≥2x,x≥0,∴0≤x≤100.∵20>0,∴y随x的增大而增大∴当x=100时,y有最大值,为20×100+6 000=8 000.故购进真丝衬衣100件,真丝围巾200件时,获得的利润最大,最大利润为8 000元.(3)设余下围巾每件降价m元,根据题意得100×40+100×20+100×(20-m)≥8 000×90%解得m≤8故余下围巾每件最多降价8元.18.A【解析】设y与x的函数关系式为y=kx+b,将(0,50),(500,0)分别代入,得{b=50,500k+b=0,解得{b=50,k=−110,故y=-110x+50.当y=35时,-110x+50=35,解得x=150.故选A.一题多解500÷50=10(km/L),故该汽车每行驶10 km耗油1 L.由题可知汽车已耗油50-35=15(L),故该汽车已行驶的路程为15×10=150(km).19.【参考答案】(1)20(2)由甲壶比乙壶加热速度快,可知乙壶中水温y关于加热时间x的函数图象经过点(0,20),(160,80).设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=kx+b将(0,20),(160,80)分别代入得{b =20,160k +b =80,解得{k =38,b =20,故乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式为y=38x+20.(3)65解法提示:由甲壶中水温y 关于加热时间x 的函数图象经过点(0,20),(80,60) 易求得甲壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式为y=12x+20.令12x+20=80,解得x=120 将x=120代入y=38x+20中,得y=38×120+20=65.故当甲壶中水温刚达到80 ℃时,乙壶中水温是65 ℃.20. 【参考答案】 (1)画图略.选择y=kx+b ,将(0,1),(1,2)代入得{b =1,k +b =2,解得{k =1,b =1, ∴y=x+1(0≤x ≤5).(2)当y=5时,x+1=5∴x=4.答:当水位高度达到5米时,进水用时x 为4小时.21.D 【解析】 连接OB ,AC 交于点M ,连接AE ,BF 交于点N ,则直线MN 为符合条件的直线l ,如图.∵四边形OABC 是矩形,∴OM=BM.∵点B 的坐标为(10,4),∴M (5,2),AB=10,BC=4.∵四边形ABEF 为菱形,∴BE=AB=10.过点E 作EG ⊥AB 于点G.在Rt △BEG 中,∵tan ∠ABE=43,∴EG BG =43.设EG=4k ,则BG=3k ,∴BE=√EG 2+BG 2=5k ,∴5k=10,∴k=2,∴EG=8,BG=6,∴AG=4,∴E (4,12).又∵A (0,4),点N 为AE 的中点,∴N (2,8).设直线l 的解析式为y=ax+b ,则{5a +b =2,2a +b =8,解得{a =−2,b =12,∴直线l 的解析式为y=-2x+12.22.A 【解析】 当x=0时,y=√2;当y=0时,x=-√2.∴A (-√2,0),B (0,√2),∴OA=OB ,∴△OAB 为等腰直角三角形,∴∠ABO=∠BAO=45°,AB=√(√2)2+(√2)2=2.如图(1),过点C 作CD ⊥AB ,垂足为点D ,∵∠CAD=∠OAB=45°,∴△ACD 为等腰直角三角形.设CD=AD=m ,∴AC=√AD 2+CD 2=√2m.由旋转可知∠ABC=30°,∴BC=2CD=2m.在Rt △BCO 中,BC 2=OC 2+OB 2,即(2m )2=(√2+√2m )2+(√2)2,解得m=1+√3(负值不合题意,已舍去),∴AC=√2m=√2(√3+1)=√6+√2.故选A .图(1) 一题多解当x=0时,y=√2.当y=0时,x=-√2.∴A (-√2,0),B (0,√2),∴OA=OB ,∴△OAB 为等腰直角三角形,∴∠ABO=∠BAO=45°.由旋转可知,∠ABC=30°,∴∠BCO=15°.如图(2),作线段BC 的垂直平分线,交OC 于点E ,连接BE ,则BE =CE ,∴∠EBC=∠ECB=15°,∴∠BEO=30°,∴BE=2BO=2√2,OE=√3OB=√6,∴AC=CE+OE-OA=2√2+√6-√2=√6+√2.图(2)23.2√3 【解析】 如图,设☉O 与x 轴的另一个交点为点C ,AB 交y 轴于点D ,连接BC.对于y=√33x+2√33,当x=0时,y=2√33,当y=0时,x=-2,∴A (-2,0),D (0,2√33),∴AC=4,tan ∠OAD=OD OA =2√332=√33,∴∠OAD=30°.∵AC 为☉O 的直径,∴∠ABC=90°,∴AB=AC cos 30°=4×√32=2√3.。
中考数学专题复习《一次函数几何分类专题(平移问题)》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《一次函数几何分类专题(平移问题)》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1.将直线22y x =-向上平移3个单位长度 所得直线经过点()6,a - 则a 的值为( ) A .11- B .8- C .7 D .132.在平面直角坐标系中 已知()0,2A ()0,4B 若把直线2y x =-向上平移k 个单位长度后与线段AB 有交点 则k 的取值范围是( )A .46k ≤≤B .46k <≤C .35k ≤≤D .13k ≤≤3.将直线y =3x ﹣1向上平移2个单位长度 平移后的直线所对应的函数解析式为( ) A .y =3x +5 B .y =3x ﹣3 C .y =3x +1 D .y =3x +34.如图 直线13y x =-与双曲线(0,0)k y k x x =<<交于点A 将直线13y x =-向上平移2个单位长度后 与y 轴交于点C 与双曲线交于点B 若3OA BC = 则k 的值为( )A .274-B .7-C .658-D .2716- 5.在平面直角坐标系中 将函数21y x =-的图象向左平移1个单位长度 则平移后的图象与y 轴的交点坐标为( )A .()0,2B .()0,2-C .()0,1D .()0,1-6.在平面直角坐标系中 将函数1y x =-的图象向下平移4个单位 平移后的图象与函数2y x b =-+的图象的交点恰好在第四象限 则b 的最大整数值为( )A .8B .9C .10D .11 7.如图 直线122y x =-与x 轴交于点A 以OA 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形OAB 将直线沿x 轴向左平移 当点B 落在平移后的直线上时 则直线平移的距离是( )A .6B .5C .4D .38.在平面直角坐标系中 将直线1l :22y x =--平移后得到直线2l :24y x =-+ 则下列平移作法正确的是( )A .将1l 向左平移3个单位长度B .将1l 向右平移6个单位长度C .将1l 向上平移2个单位长度D .将1l 向上平移6个单位长度二 填空题9.如果将一次函数y x r =- 的图象沿y 轴向上平移1个单位 那么平移后所得图象的函数解析式为 .10.把函数21y x =+的图象沿y 轴向下平移5个单位后所得图象与y 轴的交点坐标是 . 11.一次函数21y x =+向下平移2个单位长度 得到新的一次函数表达式是 一次函数21y x =+经过平移过程 (填向上或向下平移几个单位长度)得到一个正比例函数. 12.在平面直角坐标系中 ABCO 的边OC 落在x 轴的正半轴上 且点()()5,0,8,4C B 直线21y x =+以每秒1个单位的速度向下平移 经过 秒 该直线平分ABCO 的面积.13.如图 点()2,2A 在双曲线(0)k y x x=>上 将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B 交双曲线于点C .若2BC = 则点C 的坐标是 .三解答题14.在平面直角坐标系xOy中已知点C(m+2 3m﹣1)直线l经过点A(2 2)B(1 3).(1)求直线l的解析式(2)若A B C三点共线求m的值(3)若将直线l先沿y轴向上平移2个单位再沿x轴向右平移3个单位后经过点C求点C 的坐标.15.如图将直线AO向上平移1个单位得到一个一次函数的图象1l.l的表达式(1)求直线1(2)求直线1l 与x 轴 y 轴的交点的坐标.16.已知正比例函数的图像如图所示.(1)求此正比例函数的解析式(2)若一次函数图像是由(1)中的正比例函数的图像平移得到的 且经过点()1,2 求此一次函数的解析式.17.已知直线12:l y kx +=经过点A 将直线1l 向右平移4个单位后 得到的直线2l 与y 轴相交于点B 且经过点()23C ,点P 为x 轴正半轴上的一个动点.(1)请求出直线1l 与2l 的函数表达式(2)当四边形ABCP 的周长最小时 求四边形ABCP 的面积(3)在直线l 2上是否存在一点Q 使得以A C P Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在 若不存在 请说明理由.18.如图 在平面直角坐标系中 直线1l :32y x m =+与直线2l 交于点()2,3A - 直线2l 与x 轴交于点()4,0C 与y 轴交于点B 将直线2l 向下平移5个单位长度得到直线3l 3l 与y 轴交于点D 与1l 交于点E 连接AD .(1)求直线2l 的解析式(2)求△ADE 的面积参考答案:1.A2.A3.C4.D5.C6.B7.A8.D9.1y x r =-+10.()0,4-11. 21y x =- 向下平移一个单位 12.713. 14.(1)直线l 的解析式为4y x =-+ (2)34m =(3)()4,515.(1)21y x =+(2)直线1l 与x 轴 y 轴的交点分别为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ ()0,116.(1)正比例函数的解析式为:2y x =-(2)一次函数的解析式为:24y x =-+.17.(1)直线1l 函数表达式为122y x =-+ 2l 函数表达式为142y x =-+ (2)225(3)存在 Q 的坐标为(2),5-或((10,1)-或(6,1)18.(1)122y x =-+ (2)454。
初中数学解题技巧专题---一次函数与几何图形的综合问题

第2页共3页
参考答案与解析 .1 16 解析:如图,∵点 ,A B 的坐标分别为(1,0),(4,0),∴AB=3.∵∠CAB=90°,
==BC24=x×-54,6=上∴16,在.即∴R线2t△x段-AB6B=CC扫4中,过,解的由得面勾x积股=为定5.即理16得O. AA′=C=5,∴BCC2C-′=AABA2=′=45,-∴1=A′C4.′=∴4S.▱∵BCC点′B′C=′在C直C′线·CAy
9
Hale Waihona Puke AP OP OA 2 AP OP OA 2
S△ABP
1 2AP·OB
1 2
9 2
3
27 4
S△ABP
1 2AP·OB
=12×32×3=94.综上所述,△ABP 的面积为247或94. 3.解:(1)∵点 P 在直线 y=-x+10 上,且点 P 在第一象限内,∴x>0 且 y>0,即-x
+10>0,解得 ∵点 0<x<10. A(8,0),∴OA=8,∴S=12OA·|yP|=12×8×(-x+10)=-4x+ . 40(0<x<10)
= ,∴ , , , , , … ∵ = - , = - , = - ,…∴ B2B3 8 B1(2 0) B2(6 0) B3(14 0) . 2 22 2 6 23 2 14 24 2
Bn
的横坐标为 - 故答案为 - 2n+1 2.
2n+1 2.
B直∴形3(线点2A217,ByB.=212C的(3x21--On坐-111是标),,上正为2…,n-方(2∴,,1形)点∴3,)点A,解∴2同B析的An1理:坐的B1∵可标坐=y得为标O=A点为(x21=-,(B21113n-,)的与.1,∴坐∵x2点标四轴n-为边交B11()形于4的.,点坐A72)B标A.21C,为∵2∴C(B11,1点是(210正A),.1方的2∵1形-坐C,1标1A)∴,为2∥AB(2x12B(,2轴21=0,,).A2点22∵C-1A四=12)边在2,,
中考重难点(几何直观) 一次函数与几何图形的综合

数学
解:(2)∵CE=6,∴E(6,12).
∵OD=7.5,∴D(0,7.5).
设直线 DE 的解析式为 y=mx+n,
∴
n6m=7+.n5=12,解得
m= 3 n= 145,
2
∴直线 DE 的解析式为 y=3x+15.
42
数学
(3)∵直线 y=kx+b 与 AE 所在的直线垂直,DE⊥AE,
∴直线 y=kx+b 与 DE 平行,∴直线为 y=3x+b,
即1×5×4=1×5×3 + 1×5h,解得 h=5.
2
2 22
Hale Waihona Puke 2①当 0≤t<5时,BP=BA-AP=5-2t,HM=OH-OM=3,
2
2
∴S=1BP·HM=1 ×3(5-2t)=-3t+15;
2
22
24
②当5<t≤5 时,BP=2t-5,h=5,
2
2
∴S=1BP·h=1 ×5(2t-5)=5t-25.
数学
(1)b= 8 ,k= 2 ; (2)设线段DE的长度为d(d>0),求d与t之间的函数关系式; (3)当正方形DEFG的边GF落在y轴上时,求出t的值.
数学
解:(2)∵直线 AB 的解析式为 y=-2x+8,直线 OC 的解析式为 y=2x, 在 y=-2x+8 中,令 x=0,得 y=8,∴B(0,8). 令 y=0,得 0=-2x+8,解得 x=4,∴A(4,0). ∵D(t,-2t+8),E(t,2t), ∴当 0≤t<2 时,d=-2t+8-2t=-4t+8; 当 2<t≤4 时,d=2t-(-2t+8)=4t-8.
中考数学压轴题讲解分析:一次函数与几何综合问题.doc

中考数学压轴题讲解分析:一次函数与几何综合问题下面我们先来看一道典型例题。
中考数学,一次函数与几何相关综合题,典型例题分析1:如图,已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=4x/3的图象交于点A,且与x轴交于点B.(1)求点A和点B的坐标;(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l∥y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O﹣C﹣A 的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA 或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.考点分析:一次函数综合题.题干分析:(1)根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可,再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标;(2)①利用S梯形ACOB-S△ACP-S△POR-S△ARB =8,表示出各部分的边长,整理出一元二次方程,求出即可;②根据一次函数与坐标轴的交点得出,∠OBN=∠ONB =45°,进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可。
解题反思:此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识,此题综合性较强,利用函数图象表示出各部分长度,再利用勾股定理求出是解决问题的关键。
动态综合问题一直是中考数学压轴题非常喜欢考查的内容,解决此类问题需要考生根据变量之间的关系,对动态几何中的“变量”进行分类讨论,如运动的点、运动的线等等。
考生要想正确解决此类问题,关键在于要抓住点与线的运动和变化,数量之间的关系也随之发生着变化,再把这些“变化”的几何问题就转化为函数问题。
中考数学,一次函数与几何相关综合题,典型例题分析2:如图,在平面直角坐标系中,以点B(0,8)为端点的射线BG∥x轴,点A是射线BG上的一个动点(点A与点B 不重合).在射线AG上取AD=OB,作线段AD的垂直平分线,垂足为E,且与x轴交于点F,过点A作AC⊥OA,交射线EF于点C.连接OC、CD,设点A的横坐标为t.(1)用含t的式子表示点E的坐标为_______;(2)当t为何值时,∠OCD=180°?(3)当点C与点F不重合时,设△OCF的面积为S,求S与t之间的函数解析式.考点分析:一次函数综合题;相似三角形的判定与性质.题干分析:(1)由点B坐标为(0,8),可知OB=8,根据线段垂直平分线的定义可知:AE=4,从而求得:BE=t+4,故此点E 的坐标为(t+4,8);(2)过点D作DH⊥OF,垂足为H.先证明△OBA∽△AEC,由相似三角形的性质可知,EC/AB=AE/OB可求得EC=t/2,从而得到点C的坐标为(t+4,8﹣t/2),因为∠OCD=180°,CF∥DH,可知,OF/OH=FC/DH即从(t+4)/(t+8)=(8﹣t/2)/8而可解得t的值;(3)三角形OCF的面积=OF•FC/2从而可得S与t的函数关系式.解题反思:本题主要考查的是相似三角形的性质和判定,用含字母t 的式子表示点C的坐标是解题的关键。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
一次函数与几何综合——中考专题复习
数学知识的应用,不仅包括把数学知识应用到实际中,用数学知识解决实际问题,还包括运用已经学过的数学知识解决数学内部的问题,这与课程标准中十大核心理念中的“应用意识”有些不大一样。
一次函数与几何知识的综合,是结合函数的图像利用简单几何图形主要是三角形、四边形的相关知识解决一些问题。
专题示例:
【例题精讲】
例1:(2018模拟题改编)
如图,直线交x轴于A点,将一个等腰直角三角纸板的直角顶点置于原点0,它的另两个顶点M、N恰好落在直线上,若N点在第二象限内,请求出tan∠AON的值
解:过0作OC⊥AB于C,过N作ND⊥OA于D,
∵N 在直线y=43x+3上,
∴设N 的坐标是(x ,43
x+3),
则DN=43x+3,OD=-x , y=43x+3,
当x=0时,y=3,
当y=0时,x=-4,
∴A(-4,0),B(0,3),
即OA=4,OB=3
在△AOB 中,由勾股定理得:AB=5,
∵在△AOB 中,由三角形的面积公式得:AO ×OB=AB ×OC
3x4=5OC, OC=5
12, ∵在Rt △NOM 中,OM=ON ,∠MON=90°,
∴∠MNO=45°,
∴sin45°=ON OC =ON
512
∴ON=5
212 在Rt △NDO 中,由勾股定理得:ND 2+D02=ON 2
即(43x+3)2+(-x)2=(
5212)2 解得:x 1=-84,x 2=
2512 ∵N 在第二象限,
∴x 只能是25
84 43x+3=25
12 即ND=2512,OD=25
84 tan ∠AON=OD ND =7
1 专题解析:
解坐标几何问题应准确把握点的坐标的意义和特殊位置点的坐标的特征:
1.点的坐标可以转化为线段长度,从而表示图形中其他线段,反过来通过作x 轴、y 轴垂线,线段的长度也可以转化为点的坐标,注意它们之间的数与形的相互转化;
2.点在函数图像上→点的坐标满足函数解析式,求函数交点→联立解析式→解方程组→方程组的解即交点坐标
此类问题的解题步骤一般分为三步:1.设点:用未知数表示点的坐标(为了运算简单通常设一个未知数,且从坐标轴上较小的点开始);2.标其他点:根据图形或函数特征用未知数表示其他关键点并标在图上;3.列方程:利用勾股定理,函数解析式、相似、锐角三角函数等列出关于未知数的方程,请通过此例细细体会这三个步骤.
例2:(2018,24题)如图,Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴上,顶点B 的坐标为(6,8),直线CD 交AB 于点D(6,3),交x 轴于点C(12,0)
(1)求直线CD 的函数表达式;
(2)动点P 在x 轴上从点(-10,0)出发,以每秒1个单位的速度向x 轴
正方向运动,过点P 作直线l 垂直于x 轴,设运动时间为t.
①点P 在运动过程中,是否存在某个位置,使得∠PDA=∠B?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
②请探索当t 为何值时,在直线l 上存在点M ,在直线CD 上存在点Q , 使得以OB 为一边,O ,B ,M ,Q 为顶点的四边形为菱形,并求出此时 t 的值.
解:(1)设直线CD 的解析式为y=kx+b
则有{0
1236=+=+b k b k 解得{216-==k b
∴直线CD 的解析式为y=-21x+6 (2)①如图1中,作DP ∥OB ,则∠PDA=∠B
∵DP//OB,∴AB AD AO PA
=,∴83
6=PA
∴PA=49
,∴OP=6-49=415,∴P (415
,0),
根据对称性可知,当AP=AP '时,P '(439
,0),
∴满足条件的点P 坐标为(415,0)或(439,0)。
②如图2中,当OP=OB=10时,作PQ ∥OB 交CD 于Q, ∵直线OB 的解析式为y=3
4x ∴直线PQ 的解析式为y=34x+3
40 由⎩⎨⎧+=+=34034
621x y x y ,解得{48-==x y ,
∴Q(-4,8),∴PO=2286+=10,∴PO=OB.
∴PO ∥OB ,∴四边形 OBQP
是平行四边形 ∵OB=OP ,∴四边形OBQP 是菱形,
此时点M 与点Q 重合,满足条件,t=0。
如图3中,当OQ=OB 时,设Q(m ,-2
1
m+6)
则有m 2+(-21m+6)2=102,解得m=
58912± ∴点O 的構坐标为58912+或5
8912- 设点M 的横坐标为a ,则有:
26
589
12
20+
+
=
+
a或
26
589
12
20+
-
=
+
a,
∴a=
589
42+或
589
42-
∴满足条件的t的值为
589
92+或
589
92-
专题解析:
探索特殊四边形的存在问题可转化为三角形问题解决,例如平行四边形问題可转化为线段平移、三角形全等或中点等解决,菱形问题转化为等腰三角形存在性问题,矩形转化为直角三角形存在性问题等一般有几何方法和代数方法两大类,其中代数方法多用两点间距离公式、中点公式等列方程求解,列出的方程求解可能较复杂;
几何方法基本思路如下:
(1)假设特殊四边形存在;
(2)明确四边形中四个关键点哪些是定点哪些是动点,以定点确定的已知线段为基础画出可能的特殊四边形;
(3)利用特殊四边形的几何特征、特殊三角形等列方程求解。
专题挑战练习:
1.(2018达州)在平面直角坐标系内,以原点O为原心,1为半径作圆,
点P在直线y=3x+23上运动,过点P作该圆的一条切线,切点为A,则PA的最小值为( )
A.3
B.2
C.3
D.2
3x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,C 2.(2018)如图,直线y=-
3
是OB的中点,D是AB上一点,四边形0EDC是菱形,请求出△0AE的面积。
3.如图,直线y=kx+4(k≠0)与x轴,y轴分别交于点B,A,直线y=-2x+1
3
与y轴交于点C,与直线y=kx+4交于点D,△ACD的面积为
2
(1)求直线AB的表达式;
(2)设点E在直线AB上,当△ACE是直角三角形时,请求出点E的坐标。
4.如图1,平面直角坐标系中,直线y=kx+b与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B,与直线y=2x交于点C(a,4)
(1)求点C的坐标及直线AB的表达式
(2)如图2,在(1)的条件下,过点E作直线1⊥x轴于点E,交直线y= 2x于点F,交直线y=kx+b于点G,若点E的坐标是(4,0)
①求△CGF的面积
②直线1上是否存在点P,使OP+BP的值最小?若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若(2)中的点E是x轴上的一个动点,点E的横坐标为m(m>0).当点E在x轴上运动时,探究下列问题:
①当m取何值时,直线1上存在点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形与△AOC全等?请直接写出相应的m的值.
②当△BFG是等腰三角形时直接写出m的值.
5.(2017绍兴)如图1,已知□ABCD,AB∥x轴,AB=6,点A的坐标为(1,-4)点D的坐标为(-3,4),点B在第四象限,点P是□ABCD边上一个动点.
(1)若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标.
(2)若点P在边AB、AD上,点P关于坐标对称的点Q,落在直线y=x-1上,求点P的坐标.
(3)若点P在边AB,AD,CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标(直接写出答案).。