一次函数与几何综合——中考专题复习

一次函数与几何综合——中考专题复习
数学知识的应用，不仅包括把数学知识应用到实际中，用数学知识解决实际问题，还包括运用已经学过的数学知识解决数学内部的问题，这与课程标准中十大核心理念中的“应用意识”有些不大一样。

一次函数与几何知识的综合，是结合函数的图像利用简单几何图形主要是三角形、四边形的相关知识解决一些问题。

专题示例：
【例题精讲】
例1：(2018模拟题改编)
如图，直线交x轴于A点，将一个等腰直角三角纸板的直角顶点置于原点0，它的另两个顶点M、N恰好落在直线上，若N点在第二象限内，请求出tan∠AON的值
解：过0作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N 在直线y=43x+3上，
∴设N 的坐标是(x ，43
x+3)，
则DN=43x+3，OD=-x ， y=43x+3,
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A(-4,0),B(0,3),
即OA=4，OB=3
在△AOB 中，由勾股定理得:AB=5，
∵在△AOB 中，由三角形的面积公式得:AO ×OB=AB ×OC
3x4=5OC, OC=5
12, ∵在Rt △NOM 中，OM=ON ，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°=ON OC =ON
512
∴ON=5
212 在Rt △NDO 中，由勾股定理得:ND 2+D02=ON 2
即(43x+3)2+(-x)2=(
5212)2 解得:x 1=-84,x 2=
2512 ∵N 在第二象限，
∴x 只能是25
84 43x+3=25
12 即ND=2512,OD=25
84 tan ∠AON=OD ND =7
1 专题解析：
解坐标几何问题应准确把握点的坐标的意义和特殊位置点的坐标的特征:
1.点的坐标可以转化为线段长度，从而表示图形中其他线段，反过来通过作x 轴、y 轴垂线，线段的长度也可以转化为点的坐标，注意它们之间的数与形的相互转化;
2.点在函数图像上→点的坐标满足函数解析式，求函数交点→联立解析式→解方程组→方程组的解即交点坐标
此类问题的解题步骤一般分为三步:1.设点:用未知数表示点的坐标(为了运算简单通常设一个未知数，且从坐标轴上较小的点开始);2.标其他点:根据图形或函数特征用未知数表示其他关键点并标在图上;3.列方程:利用勾股定理，函数解析式、相似、锐角三角函数等列出关于未知数的方程，请通过此例细细体会这三个步骤.
例2:(2018,24题)如图，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴上，顶点B 的坐标为(6，8)，直线CD 交AB 于点D(6，3)，交x 轴于点C(12，0)
(1)求直线CD 的函数表达式;
(2)动点P 在x 轴上从点(-10，0)出发，以每秒1个单位的速度向x 轴
正方向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t.
①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B?若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由;
②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ， 使得以OB 为一边，O ，B ，M ，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时 t 的值.
解:(1)设直线CD 的解析式为y=kx+b
则有{0
1236=+=+b k b k 解得{216-==k b
∴直线CD 的解析式为y=-21x+6 (2)①如图1中，作DP ∥OB ，则∠PDA=∠B
∵DP//OB,∴AB AD AO PA
=,∴83
6=PA
∴PA=49
,∴OP=6-49=415,∴P (415
,0),
根据对称性可知，当AP=AP ＇时，P ＇(439
，0),
∴满足条件的点P 坐标为(415，0)或(439，0)。

②如图2中，当OP=OB=10时，作PQ ∥OB 交CD 于Q, ∵直线OB 的解析式为y=3
4x ∴直线PQ 的解析式为y=34x+3
40 由⎩⎨⎧+=+=34034
621x y x y ，解得{48-==x y ，
∴Q(-4,8),∴PO=2286+=10,∴PO=OB.
∴PO ∥OB ，∴四边形 OBQP
是平行四边形 ∵OB=OP ，∴四边形OBQP 是菱形，
此时点M 与点Q 重合，满足条件，t=0。

如图3中，当OQ=OB 时，设Q(m ，-2
1
m+6)
则有m 2+(-21m+6)2=102，解得m=
58912± ∴点O 的構坐标为58912+或5
8912- 设点M 的横坐标为a ，则有：
26
589
12
20+
+
=
+
a或
26
589
12
20+
-
=
+
a,
∴a=
589
42+或
589
42-
∴满足条件的t的值为
589
92+或
589
92-
专题解析：
探索特殊四边形的存在问题可转化为三角形问题解决，例如平行四边形问題可转化为线段平移、三角形全等或中点等解决，菱形问题转化为等腰三角形存在性问题，矩形转化为直角三角形存在性问题等一般有几何方法和代数方法两大类，其中代数方法多用两点间距离公式、中点公式等列方程求解，列出的方程求解可能较复杂;
几何方法基本思路如下:
(1)假设特殊四边形存在;
(2)明确四边形中四个关键点哪些是定点哪些是动点，以定点确定的已知线段为基础画出可能的特殊四边形;
(3)利用特殊四边形的几何特征、特殊三角形等列方程求解。

专题挑战练习：
1.(2018达州)在平面直角坐标系内，以原点O为原心，1为半径作圆，
点P在直线y=3x+23上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为( )
A.3
B.2
C.3
D.2
3x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，C 2.(2018)如图，直线y=-
3
是OB的中点，D是AB上一点，四边形0EDC是菱形，请求出△0AE的面积。

3.如图，直线y=kx+4（k≠0)与x轴，y轴分别交于点B，A，直线y=-2x+1
3
与y轴交于点C，与直线y=kx+4交于点D，△ACD的面积为
2
(1)求直线AB的表达式；
(2)设点E在直线AB上，当△ACE是直角三角形时，请求出点E的坐标。

4.如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(6，0)，与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C(a，4)
(1)求点C的坐标及直线AB的表达式
(2)如图2，在(1)的条件下，过点E作直线1⊥x轴于点E，交直线y= 2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若点E的坐标是(4，0)
①求△CGF的面积
②直线1上是否存在点P，使OP+BP的值最小?若存在，直接写出点P 的坐标;若不存在，说明理由;
(3)若(2)中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m(m＞0).当点E在x轴上运动时，探究下列问题:
①当m取何值时，直线1上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等?请直接写出相应的m的值.
②当△BFG是等腰三角形时直接写出m的值.
5.(2017绍兴)如图1，已知□ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为(1，-4)点D的坐标为(-3，4)，点B在第四象限，点P是□ABCD边上一个动点.
(1)若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标.
(2)若点P在边AB、AD上，点P关于坐标对称的点Q，落在直线y=x-1上，求点P的坐标.
(3)若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标(直接写出答案).。