稳定裕度
王划一-自动控制原理-5-3稳定裕度
= 37.4
当(g) = 180时
180 = arctang 180 2arctan0.1g
求得
arctang =2arctan0.1g g = 8.94
20 lg h
20 lg A(g )
20
lg
k g g2 12
9.03dB
因为 > 0，所以闭环系统是稳定旳。
0
0 20 40 60 80
能够看出，调整时间与相角裕度和幅值穿越频率都有 关系。假如两个二阶系统旳相同，则它们旳超调量也相同， 这时比较大旳系统，调整时间较短。
17
例5-19 一单位反馈控制系统，其开环传递函数
G(s)
7
s(0.087s 1)
试用相角裕度估算过渡过程指标p% 与ts。
解：系统开环伯德图如图示
33
四 、奈奎斯特稳定判据
内容 应用
5.5 稳定裕度
根据奈氏判据，系统开环幅相曲线临界点附近旳形状，
对闭环稳定性影响很大。
Im
Im
Im
-1
Re 0
-1
Re 0
-1
Re 0
两个表征系统稳定程度旳指标：相角裕度 和幅值裕度h。
1
（1）幅值裕度h ：令相角为180时相应旳频率为g （相角穿越频率），频率为g 时相应旳幅值A(g)旳倒数，
定义为幅值裕度h ，即 h 1 A(g )
10 11.5
0
1
20
40dB/dec
()/()
0
90
180
19
2) 高阶系统
近似旳关系式
p
0.16 0.4( 1
稳定裕度
Nyquist稳定性判据是根据开环传递函数 G(jw)H(jw) 曲线是否包围GH平面 上的临界点( -1, 0 ) 判断闭环稳定性的。那末，能否根据函数 G(jw)H(jw) 曲 线离开( -1, 0 ) 判断闭环系统的相对稳定性呢？这就是本节的内容。 s 平面上的等 s 线和等 w 线在GH 平面上的映象见图。S 平面上，s = 0线 在 GH 平面的映象若穿过( -1, 0 ) ，意味着闭环有极点在虚轴上。若某–s 线穿过( -1, 0 ) 点，则意味着闭环有极点在–s 线上。用同样方法，也可以 解释等 w 线映象的意义。因此，GH平面上， ( -1, 0 ) 点在“映象网格”中 的位置就反映了闭环极点在s 平面上的位置，体现了其相对稳定性。 为了简便，实际中不进行等 s 线和等 w 线的网格映射，而直接采用GH平 面上( -1, 0 )到 G(jw)H(jw) 曲线的距离来判断闭环的相对稳定性。
习题5、 系统的开环传递函数为 KTT K G( s) H ( s) = , 1 2 1 s(T1s 1)(T2 s 1) T1 T2 试用乃奎斯特稳定判据判断系统的稳定性 K (T1 T2 ) G( jw) H ( jw) = 1 w 2 (T12 T22 ) w 4T12T22
)(1 j ) 0.01 5
w
) 0.1
w
w
20lg K 20lg 1 (
K 10 =1 100 1
1 2 1 2 1 ) 20lg 1 ( ) 20lg 1 ( ) 2 = 20lg1 0.1 0.01 5 10(1 10s) G ( s ) = K = 10 s(1 100s)(1 0.2s)
（3）幅值裕度在Bode 图中的等价表述
(自动控制原理)稳定裕度
2 干扰和噪声
外部干扰和噪声会降低系统的稳定裕度。
3 参数变化
系统参数的变化会对稳定裕度产生影响。
提高稳定裕度的方法和技巧
1
参数调整
通过调整系统参数来增加稳定器类型和参数来提高稳定裕度。
3
滤波器应用
通过滤波器来减少干扰和噪声对系统稳定裕度的影响。
结论和总结
稳定裕度是评估系统稳定性的重要指标，它能够确保系统在面对干扰和参数变化时保持稳定。了解稳定 裕度的定义、计算方法和影响因素，以及提高稳定裕度的方法和技巧，对于优化系统设计和提高系统可 靠性至关重要。
(自动控制原理)稳定裕度
稳定裕度是评估系统稳定性的重要指标。它衡量系统在面对干扰时的能力， 是确保系统可靠运行的关键。
定义稳定裕度
稳定裕度可以定义为系统离稳定界限的距离。它衡量了系统在存在不确定因素或参数变化时仍然保持稳 定的能力。
稳定裕度的公式和计算方法
稳定裕度公式
常见的稳定裕度公式是： 稳定裕度 = 1 / (1 + G(s))
计算方法
计算稳定裕度时，需要确定系统的传递函数， 并对其进行频率响应分析。
1. 确定幅值裕度和相位裕度的要求。 2. 绘制系统的频率响应曲线。 3. 根据要求的裕度计算稳定裕度。
稳定裕度的意义和重要性
1 系统可靠性
稳定裕度能够确保系统在面对干扰或参数变化时保持稳定性。
2 容错能力
稳定裕度增加系统的容错能力，即使出现不确定情况也能维持系统的稳定。
3 稳定边界
通过评估稳定裕度，可以确定系统的稳定边界，并提前采取措施来避免系统不稳定。
常见的稳定裕度指标
相位裕度 幅值裕度 增益裕度
系统响应相位与稳定边界相差的角度值。 系统响应幅值与稳定边界之间的比例关系。 系统传递函数增益与单位增益相差的值。
控制系统稳定裕度设计
控制系统稳定裕度设计控制系统的稳定性是系统工程中至关重要的一环。
稳定裕度是控制系统在面对外部扰动时能保持稳定的能力。
本文将讨论控制系统稳定裕度的概念、影响因素以及设计原则。
一、稳定裕度的概念稳定裕度是指控制系统在满足性能要求的同时，对于内外部扰动能够保持稳定的能力。
通常用裕度指标来描述系统的稳定性，例如相位裕度和增益裕度。
相位裕度是指系统的相位与临界相位的差值，增益裕度是指系统增益与临界增益的差值。
二、影响因素1. 系统动态特性：系统的动态特性直接影响稳定裕度。
例如，系统的阻尼比、谐振频率以及过冲量等参数都会对稳定裕度产生影响。
2. 控制器设计参数：控制器的设计参数会直接影响稳定裕度。
例如，比例系数和积分时间常数的选择都会对稳定裕度产生影响。
3. 系统外部扰动：外部扰动的大小和频率对系统的稳定性有直接影响。
稳定裕度设计需要考虑外部扰动的影响。
三、稳定裕度设计原则1. 设定合适的相位裕度：相位裕度是决定系统稳定性的重要指标。
通常，相位裕度应大于一定阈值，以确保系统不会产生不稳定的振荡。
2. 提高增益裕度：增益裕度是指系统增益与临界增益的差值，也是保证系统稳定性的关键因素。
增益裕度的提高可以通过合适的控制器设计参数以及系统结构的良好调整来实现。
3. 引入补偿网络：通过引入补偿网络可以改善系统的稳定裕度。
常用的补偿网络包括PID控制器、滤波器等。
4. 考虑外部扰动：稳定裕度设计需要充分考虑外部扰动对系统稳定性的影响。
可以采用滤波器、增加机械结构等手段来减小外部扰动的影响。
四、结论控制系统稳定裕度的设计是确保系统稳定性的关键步骤。
通过正确选择相位裕度和增益裕度，优化控制器设计参数以及考虑外部扰动的影响，可以提高系统的稳定性。
这将有助于系统的性能优化，提高工程的可靠性和稳定性。
在控制系统中，稳定裕度的合理设计对于保证系统稳定性和性能具有重要作用。
我们应该深入理解稳定裕度的概念、影响因素以及设计原则，并根据具体系统的特点和需求进行相应的设计和优化。
稳定裕度
m
(1 ij )
j
(1 T j )
闭环传递函数和频率特性可表示为：
GK ( s ) ( s) 1 GK ( s ) K (1 i s ) s
m i 1 j
(1 T s) K (1 s)
j 1 i 1 i m
n
|M(j|下降到
[0, b ]称为系统带宽。
2 M 0 时，对应的频率 b 称为带宽频率。频率范围 2
5.8 闭环系统性能分析
16
一、稳态性能指标分析：
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v（即积分环节的个数） 和开环放大系数 K 的话，则可求得系统的稳态误差。（见3.6 稳态误差分析） 在波德图上，低频渐近线的斜率 和 的关系如下： 由 20 (dB / Dec),可求得 值； 也可由
|M(j|下降到
② 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率。
tp 2 d n 1z
d%e
z
1z 2
100%
4 z ，当Δ 2时 n ts 3 ，当Δ 5时 z n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -90 -120 -150 -180 -210 -240
10
K=30 K=3 K=0.3
－20dB/dec
当K=3，c=1.583， 23.3° 当K=30， －40dB/dec c=5.12， 16° －60dB/dec
20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 0.01 0.1 1 10 100 1000
电力系统的稳定裕度分析
电力系统的稳定裕度分析电力系统是现代社会不可或缺的基础设施之一，它为各行各业提供稳定可靠的电力供应。
然而，电力系统的稳定性一直是电力工程师们关注的重要问题之一。
稳定裕度分析是评估电力系统稳定性的一种方法，它能够帮助工程师们更好地了解系统的稳定性状况，为系统的设计和运行提供指导。
稳定裕度是指电力系统在扰动或故障发生时，能够保持稳定运行的能力。
电力系统中的稳定性问题主要包括动态稳定性和静态稳定性。
动态稳定性是指系统在大幅度扰动下的恢复能力，而静态稳定性则是指系统在小扰动下的稳定性。
稳定裕度分析主要关注系统的动态稳定性。
稳定裕度分析的核心是对系统的动态响应进行评估。
在分析过程中，首先需要建立系统的数学模型，其中包括发电机、变压器、线路、负载等元件。
然后，通过对模型进行求解，可以获得系统的动态响应。
最后，通过对响应结果的分析，可以评估系统的稳定裕度。
稳定裕度分析需要考虑多种扰动条件，包括短路故障、发电机失去同步、负载突变等。
这些扰动条件可能导致系统的频率、电压和功率等参数发生变化，进而影响系统的稳定性。
通过对这些扰动条件的分析，可以确定系统的稳定裕度，并提出相应的改进措施。
在稳定裕度分析中，还需要考虑系统的各种保护装置和控制策略。
保护装置可以及时检测并切除故障元件，以保护系统的安全运行。
控制策略可以通过调节发电机的输出功率和电压等参数，来维持系统的稳定性。
稳定裕度分析可以帮助工程师们评估这些保护装置和控制策略的有效性，并提出改进建议。
稳定裕度分析在电力系统的设计和运行中具有重要的意义。
通过对系统的稳定性进行评估，可以帮助工程师们优化系统的设计，提高系统的可靠性和稳定性。
同时，在系统运行中，稳定裕度分析可以帮助工程师们及时发现并解决潜在的稳定性问题，保证系统的安全运行。
总之，电力系统的稳定裕度分析是评估系统稳定性的重要方法。
它能够帮助工程师们更好地了解系统的稳定性状况，为系统的设计和运行提供指导。
通过对系统的动态响应进行评估，可以确定系统的稳定裕度，并提出相应的改进措施。
飞机稳定裕度计算
飞机稳定裕度计算
飞机的稳定裕度通常以飞机的焦点到重心的距离占机翼平均空气动力弦长的百分比来表示，且焦点位于重心之后为正，反之为负。
早期，战斗机的纵向稳定裕度为正5%左右，运输机的纵向稳定裕度一般为正5%-10%。
飞机的纵向稳定性条件也适用于羽毛球、纸飞机、毽子等体育、娱乐用品。
除纵向稳定性外，飞机还有横向稳定性和方向稳定性问题，三者大体类似，不再逐一展开。
飞机的稳定裕度是一个重要的参数，它可以帮助设计者评估飞机的稳定性，并优化飞机的设计。
稳定裕度专题知识讲座
G( j0) = K j0
G( j) = 0 j0
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
T1 = 1,T2 = 2,T3 = 3, K = 2
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
T1 = 1,T2 = 2,T3 = 3, K = 2
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
G( jw) =
K
[T1T2 ( jw)2 T2 jw 1](T3 jw 1)
展开
？与负实
轴旳交点
=
K
T1T2T3 ( jw)3 (T1T2 T2T3 )( jw)2 (T2 T3 ) jw 1
=
K
1 T2 (T1 T3 )w 2 (T2 T3 T1T2T3w 2 ) jw
为了得到满意旳性能，相位裕度应该在 30与60 之间，
增益裕度应该不小于6分贝。
【例5-5-1】研究经典二阶系统旳相角裕度。
（1）写出开环频率特征
G( jw) =
w
2 n
=
jw( jw 2wn ) w
w
2 n
w 2 4
w2 2 n
arctg
w 2w n
90
（2）根据定义拟定截止频率
G( jwc ) = 1
在 GH 平面旳映象若穿过( -1, 0 ) ，意味着闭环有极点在虚轴上。若某–s 线穿过( -1, 0 ) 点，则意味着闭环有极点在–s 线上。用一样措施，也能够
电力系统稳定裕度分析
电力系统稳定裕度分析随着现代社会对电力的需求不断增加，电力系统的稳定性和可靠性成为了一个重要的问题。
电力系统稳定裕度分析是评估电力系统在各种异常工况下的稳定性能力，并通过分析和优化措施提高电力系统的稳定裕度。
一、电力系统稳定裕度的概念电力系统稳定裕度是指电力系统在正常和异常工况下，能够保持稳定运行的能力。
正常工况下，电力系统的负荷与发电容量平衡，电压、频率等参数保持稳定。
而在异常工况（如电力故障、突发负荷变化等）下，电力系统要能够迅速调整，恢复稳定运行。
因此，电力系统稳定裕度的分析和提高是保证电力供应可靠性的关键。
二、电力系统稳定分析方法电力系统稳定分析是通过建立数学模型来模拟电力系统的运行状态，预测电力系统在不同工况下的稳定性能。
常用的电力系统稳定分析方法有：1. 静态稳定分析：是在不考虑时间响应的前提下，分析电力系统在不同负荷水平和发电容量下的稳定性。
通过计算负荷流和潮流，评估电力系统的输电能力、电压稳定和短路能力等。
2. 动态稳定分析：是考虑时间响应的电力系统稳定分析方法，主要用于分析电力系统在发生故障后的稳定性。
通过对电力系统进行模拟，研究电力系统内部各个设备的响应过程和交互作用，确定系统的稳定边界和响应机制。
3. 大系统稳定分析：是针对复杂电力系统进行稳定分析的方法。
大系统稳定分析要考虑多个区域的相互作用以及大规模的复杂电力网络，通常采用数学模型和仿真方法进行分析。
三、电力系统稳定裕度的影响因素电力系统的稳定裕度受到多个因素的影响，包括：1. 发电调度和负荷调节：合理的发电调度和负荷调节可以减小电力系统的负荷不平衡、频率波动等问题，提高稳定裕度。
2. 发电容量和输电线路：足够的发电容量和合理的输电线路布局能够支持电力系统在紧急情况下的运行，提高稳定裕度。
3. 控制和保护系统：稳定控制和保护系统对于电力系统的故障响应和恢复起到关键作用，能够提高电力系统的稳定裕度。
4. 新能源接入：随着新能源的不断发展和接入，电力系统面临新的挑战。
稳定性分析与稳定裕度
稳定性分析与稳定裕度稳定性是指系统在受到内外部扰动时能否回到平衡状态的能力。
稳定裕度则是指系统能够容忍的扰动大小。
在工程领域中，稳定性分析和稳定裕度的研究对于保障系统的安全可靠性至关重要。
本文将介绍稳定性分析与稳定裕度的概念、计算方法以及其在不同领域的应用。
一、稳定性分析的概念稳定性分析是一种评估系统稳定性的方法。
它可以通过分析系统的特性和参数来判断系统在遭受外界扰动时是否能够保持平衡。
在稳定性分析中，常用的方法包括等效线性化、Bifurcation分析、Lyapunov稳定性分析等。
等效线性化是一种常见的稳定性分析方法。
它通过将非线性系统在某一特定工作点附近进行线性化处理，得到等效线性系统，并通过研究其特征根来判断系统的稳定性。
Bifurcation分析则是研究系统在参数变化过程中平衡点的分岔情况，以此来判断系统是否存在稳定性转变。
而Lyapunov稳定性分析则是利用Lyapunov函数的性质来评估系统的稳定性。
二、稳定裕度的计算稳定裕度是评估系统稳定性的指标之一。
它是指系统在遭受一定范围内的扰动时能够保持稳定的能力。
稳定裕度的计算通常涉及到系统的摄动响应和性能指标的定义。
摄动响应是指系统在受到扰动时的响应情况。
常见的稳定裕度指标包括幅值裕度和相位裕度。
幅值裕度是指系统在受到特定幅值的扰动时，输出信号的幅值与输入信号幅值之间的差值。
相位裕度则是指系统在受到特定相位的扰动时，输出信号相位与输入信号相位之间的差值。
稳定裕度的计算与系统的数学模型和特性密切相关。
在实际工程中，可以通过仿真实验或实际测试来获取系统的摄动响应，从而计算稳定裕度。
此外，还可以通过建立数学模型，利用控制理论和信号处理方法来计算稳定裕度。
三、稳定性分析与稳定裕度的应用稳定性分析与稳定裕度的研究在众多领域中都有广泛的应用。
以下是几个典型的应用案例：1.电力系统稳定性分析：电力系统中存在较大的复杂性和不确定性，稳定性分析可以帮助评估系统的动态响应和抗干扰能力，为电力系统的设计和运行提供指导。
第五部分稳定裕度
定裕度和幅值裕度
大约是8dB和21度。
因此系统在不稳定
21
之前，增益可以增
加8dB.
4
相位裕度和幅值裕度的计算：
相位裕度：先求穿越频率 c
A()
0.2k
2
(当k 10时)
| s | | s 1| | 0.2s 1| 1 2 1 0.04 2
在穿越频率处，A() 1 ，所以 2 (1 2 )(1 0.04 2 ) 4 ，解
生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的
稳定裕度。常用相角裕度。
[幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增
加 k g倍（奈氏图）或增加Lg分贝（波德图），则系统处于临界
状态。若增加的倍数大于
k
g倍（或
L
分贝），则系统变为不稳
g
定。
[相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率c 处将
相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳
定。
3
[例]设控制系统如下图所示 R(s)
k
C(s)
k=10和k=100时，试求系统 的相位稳定裕度和幅值裕度。
- s(s 1)(s 5)
[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。
当k=10时，开环系
统波德图如右所示。
8dB
这时系统的相位稳
kg
1
12
(g )
90
tg
1 g
tg10.2g
180
即：tg
1 g
tg10.2g
90
由三角函数关系得：g 0.2g 1, 解得：g 2.24
A(g ) g
2
0.33216
稳定裕度
第五章频率域方法稳定裕度设单位负反馈系统开环传递函数为)(s G ()C s ()R s )42()(2++=s s s Ks G 开环不稳定极点个数：P=0，开环增益K 的变化会引起稳定性的变化。
j=0ω+=0ω=+ω∞=8K 1−0j=0ω+=0ω=+ω∞8K >1−不稳定j=0ω+=0ω=+ω∞8K <1−稳定若系统的开环传递函数是最小相位的，且Nyquist 曲线恰好经过(-1,j0)点，则存在一个频率值，使得1ω上式表明系统有一对闭环极点位于虚轴上，此时系统处于临界稳定状态，称(-1,j0)点为临界点。
1s =j i ω±0j=0ω+=0ω=+ω∞8K <1−在不包围(-1,j0)点时，Nyquist 曲线靠近(-1,j0)点的程度，表征系统稳定的程度，越靠近(-1,j0)点，稳定的程度越低。
j=0ω+=0ω=+ω∞=8K 1−1=ωω111+()()0G j H j ωω=11()()1G j H j ωω=−或稳定裕度是衡量闭环系统稳定程度的指标，具体分为相稳定裕度和模稳定裕度。
设系统的开环传递函数是最小相位的，则相稳定裕度定义为()()=1c c G j H j ωω20lg ()()=0 (dB)c c G j H j ωω()()(180)c c G j H j γωω︒=∠−−其中，频率称为截止频率，满足以下条件：c ω或0γ>，系统稳定。
0γ<，系统不稳定。
GHL lg 20=ωGH∠γcω180−01−jγcω0()()G j H j ωωA设系统的开环传递函数是最小相位的，则模稳定裕度定义为|)()(|111ωωj H j G h =11(dB)20lg 20lg ()() h h G j H j ωω==−或其中，频率满足以下条件：1ω11()()180G j H j ωω∠=−︒1h >或系统稳定。
20lg 0 (dB)h >1h <或系统不稳定。
电力系统稳定裕度
电力系统稳定裕度电力系统稳定裕度是指电力系统在外部扰动或内部故障发生时，仍能保持稳定运行的能力。
稳定裕度是保障电力系统安全可靠运行的重要指标，对于电力系统的规划、设计和运行具有重要意义。
本文将介绍电力系统稳定裕度的概念、影响因素以及提高稳定裕度的方法。
一、概念电力系统稳定裕度是指电力系统在遭受外界扰动（如负荷突然增加或故障发生）时，仍能保持稳定运行的能力。
稳定裕度是电力系统各个部分（发电、输电、配电）协调运行的结果，主要包括功率稳定裕度和电压稳定裕度。
功率稳定裕度衡量了电力系统的发电能力和负荷需求之间的差距，电压稳定裕度则衡量了电力系统在负荷突变时电压波动的程度。
二、影响因素电力系统稳定裕度受多种因素的影响，主要包括以下几个方面：1. 发电能力：电力系统的稳定裕度与发电机组的容量和响应速度相关。
发电能力越大，稳定裕度越高。
2. 负荷需求：负荷需求的增加会导致电力系统的稳定裕度下降。
高峰期时的负荷突增对电力系统的稳定性提出了较高要求。
3. 输电能力：输电线路的电阻、电感等参数会影响电力系统的稳定裕度。
电力系统的输电能力越强，稳定裕度越高。
4. 控制系统：电力系统的自动控制系统对电力系统的稳定裕度发挥着重要作用。
控制系统的快速响应性和准确性对提高稳定裕度至关重要。
5. 系统故障：电力系统中的故障（如短路故障）会对稳定裕度产生较大影响，因此需要及时发现并采取措施进行处理。
三、提高稳定裕度的方法为了提高电力系统的稳定裕度，可以采取以下措施：1. 增加发电容量：通过增加发电机组的容量或增设新的发电机组，提高电力系统的发电能力，从而增加稳定裕度。
2. 加强输电网建设：优化输电线路的布局和参数，提高输电网的输电能力，减少电力系统的功率损耗，增加稳定裕度。
3. 强化自动控制系统：采用先进的自动控制系统，提高控制系统的响应速度和准确性，及时调整发电和负荷的匹配关系，保持电力系统的稳定运行。
4. 完善故障监测与处理：建立完善的故障监测系统，及时发现和处理电力系统中的故障，减少故障对稳定裕度的影响。
6第六节稳定裕度
15
与增益裕量相对照，增益裕量所给出的是开环增益对闭环系 统稳定性影响的量度，而相角裕量表示只改变G(jω)H(jω)相 角的那些系统参数变化时对稳定性的影响。
对于广泛应用的开环稳定的反馈系统来说，要使它的幅相特 性曲线不包围(-1，j0)点以求得闭环稳定，则必须使其增益 裕量和相角裕量均为正值，而且两者都应该有一定的裕量， 这样，当系统参数在一定范围内变化时，由此而引起的附加 增益和附加相角迟后就不致影响系统的稳定性。
单位圆以内区域，对应于零分贝线以下的区域。
2、 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的－180°相位线。
奈氏图频率特性曲线在 (,1) 上的正负穿越在对数坐标图 上的对应关系：在对数坐标图上 L() 0 的范围内，当 增加时， 相频特性曲线从下向上穿过-180°相位线称为正穿越。因为相角 值增加了。反之称为负穿越。
20 lg K 20 lg 1 20 20 lg 100 20 lg 1 20 1 10
Friday, April 10, 2020
24
为满足条件(1),则：
20lg K 20lg 1 20lg K 20lg c 0 20lg K 20lg 1 0
K 10
为满足条件(2),则：
Friday, April 10, 2020
9
如果开环增益增大到使G(jω)H(jω)幅相特性曲线穿过(-1，j0) 点，G( jg )H( jg ) 1，则增益裕量为0dB。反之，如果系统的 G(jω)H(jω)特性曲线与负实轴不相交，G( jg )H( jg ) 0，则增益 裕量为无穷大。
Friday, April 10, 2020
奈氏图与Bode图的对应关系
1
四、在对数坐标图上判断系统的稳定性：
自动控制原理5第五节稳定裕度
Kg
1
A( g )
j AgΒιβλιοθήκη G(s平面在对数坐标图上，采用Lg表示Kg的分贝值
Lg 20 lg K g 20 lg A( g )
-1 g
c
→∞ 0
c
Lg称为对数幅值稳定裕度或增益稳定裕度，
由于Lg应用较多，通常直接被称为幅值稳
定裕度。
→0
定义：幅值穿越频率时的相频特性与－180°之差为相角稳定 裕度。即
手工绘制波德图步骤：
1、确定转折频率：10、40，
在(1,20log200)点画斜率为-20dB/dec的斜线至=10；
2、在=10~40之间画斜率为-40dB/dec的斜线；
3、 =40后画斜率为-60dB/dec的斜线。
19
ωc' g c
1 5 0 210
上图蓝线为原始波德图。(c ) 209 180 ,c 38 ，显然 闭环系统是不稳 定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放
-210
c＝1.583 2=23.3°
-240
-270
0.1
1
12
－40dB/dec
c＝5.12 1=-16°
g＝3.16
10
－60dB/dec
100
一般而言，当L()在c处的斜率处于－20dB/dec段时，系 统是稳定的；当L()在c处的斜率处于－40dB/dec段时，系统 可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕量 也是较小的； 当L()在c处的斜率处于－60dB/dec段时，系统是一般是不稳
(c ) (180 ) 180 (c )
6
j
L()
G(s平面
Ag
-1 g
稳定裕度的概念
稳定裕度的概念嘿，咱今儿来聊聊稳定裕度这个有意思的概念哈！你说这稳定裕度啊，就好比是咱走路时留的那一点点安全距离。
你想想，要是你走在路上，跟前面的人贴得紧紧的，稍微有点情况，是不是就容易撞上去呀？这稳定裕度就是给咱留的那点缓冲地带呢！比如说，你正在骑自行车，速度挺快的。
这时候前面突然出现个小坑，要是你没有足够的稳定裕度，那很可能就直接颠得飞出去了，搞不好还来个狗吃屎呢！但要是你有足够的稳定裕度，就能比较轻松地应对，不至于一下子就失控啦。
在很多事情上都有稳定裕度的影子呢！好比你做一项工作，你得给自己留一些时间上的稳定裕度吧。
要是卡着时间点去完成，万一中间有点小插曲，不就完蛋啦？就像考试的时候，你总不能说刚好把题目做完就交卷吧，总得留几分钟检查检查呀，这几分钟不就是你的稳定裕度嘛！再想想建房子，那根基得打得稳稳的吧，这其实也是一种稳定裕度呀。
要是根基不牢，稍微来点风吹雨打，房子不就摇摇晃晃啦？这可不行，咱得住得安心呀！还有人际关系呢！你和朋友相处，也得有点稳定裕度呀。
不能说今儿好得穿一条裤子，明儿就因为一点小事闹掰了。
得给彼此留一些空间，一些理解，这也是一种稳定裕度呢。
咱生活中到处都需要稳定裕度，它就像是我们的保护神一样。
没有它，很多事情都会变得岌岌可危呢。
你说要是没有稳定裕度，那这世界不就乱套啦？所以啊，咱得重视这个稳定裕度。
在做任何事情的时候，都要想想，我有没有给自己留够稳定裕度呀。
别总是冒冒失失的，到最后弄得一团糟。
咱可不能小瞧了这稳定裕度，它看似不起眼，实则作用大着呢！它能让我们的生活更有条理，更有保障。
就好比是那根定海神针，有了它，心里就踏实多啦！你说是不是这个理儿？咱都要学会给自己的生活加上稳定裕度这个保险，让我们的生活稳稳当当的，少一些波折，多一些顺利。
这样我们才能过得更开心，更自在呀！这稳定裕度，真的是太重要啦！。
稳定裕度
-6.0
0.33
0
0.67
0.7
-3.1
0.96
0
1.37
0.8
-1.9
1.78
0
2.22
1.0
0
∞
0
∞
1.2
1.6
-3.327
0
2.73
1.4
2.9
-2.40
0
1.46
1.6
4.1
-1.64
0
1.03
1.8
5.1
-1.46
0
0.80
2.0
6.0
-1.33
0
0.67
3.0
9.6
-1.13
0
0.38
M=1.2
2
2
若M≠1,上式变为:
P
M2 1 M
2
2
Q2
1
M M
2
2
这是一个圆的方程。圆心在
M2
( 1
M
2
,0)
，半径为
M 1 M 2
。
对于给定的M值，可算出圆心和半径，在G(s)平面上绘出一个圆
M 20lgM(dB) 圆心横坐标P 圆心纵坐标Q 圆半径
0.5
M ( ) F( j) P jQ P2 Q2
1 P jQ (1 P)2 Q2
上式两边平方，整理可得
P2 (1 M 2 ) 2M 2P M 2 (1 M 2 )Q2 0
若M=1,上式变为: P 1 ,这是通过 ( 1 , j0) 点平行于虚轴的直线
3．利用等M圆和等N圆求闭环系统频率特性
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程度来表示系统的相对稳定性。通常，这种接近程度是以相角裕度和幅值裕度来表的。 相角裕度和幅值裕度是系统开环频率指标，它们与闭环系统的动态性能密切相关。 1．相角裕度
A(ωc ) = ωc
2
=1≈
ωc 2 + 12
(ωc )2 + 12 5
ωc
2 ωc 2
=2 12 ωc 2
(0 < ωc < 2)
图 5-49 K = 2 时的 L(ω) 曲线
所以
ωc = 2
γ 1 = 180o + ∠G( jωc )
= 180o
− 90o
−
arctan ω c
−
arctan ωc 5
5.5.2 稳定裕度的计算
根据式（5-69）,要计算相角裕度 γ ，首先要知道截止频率 ωc 。求 ωc 较方便的方法是 先由 G(s) 绘制 L(ω) 曲线，由 L(ω) 与 0dB 线的交点确定ωc 。而求幅值裕度 h ，则要先知 道相角交界频率 ωg 。对于阶数不太高的系统，直接解三角方程 ∠G( jωg ) = −180o 是求 ωg 较方便的方法。通常是将 G( jω) 写成虚部和实部，令虚部为零而解得 ωg 。
5.5 稳定裕度
5.5.1 稳定裕度的定义
控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念。而对一个稳定的系统而言，还有一个稳定的程 度，即相对稳定性的概念。相对稳定性与系统的动态性能指标有着密切的关系。在设计一个 控制系统时，不仅要求它必须是绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程度。只有 这样，才能不致因系统参数的小范围漂移而导致系统性能变差甚至不稳定。
= 90o − 54.7o −15.8o = 19.5o
又由
180° + ∠G( jωg ) = 180o − 90o − arctanωg − arctan(ωg 543; arctan(ωg 5) = 90o
等式两边取正切：
⎡ ⎢ωg ⎢
+
ωg 5
⎢ ⎢⎣
1
−
ωg 5
2
相角裕度是指开环幅相频率特性 G( jω) 的幅值 A(ω) = G( jω) = 1时的向量与负实轴 的夹角，常用希腊字母 γ 表示。
图 5-47 相角裕度和幅值裕度的定义
图 5-48 稳定裕度在 Bode 图上的表示
在 G 平面上画出以原点为圆心的单位圆，见图 5-47。G( jω) 曲线与单位圆相交，交点
（5-71）
即 h 的分贝值等于 L(ωg ) 与 0dB 之间的距离（ 0dB 下为正）。 相角裕度的物理意义在于：稳定系统在截止频率 ωc 处若相角再迟后一个 γ 角度，则系
统处于临界稳定状态；若相角滞后大于 γ ，则系统将变成不稳定的。 幅值裕度的物理意义在于：稳定系统的开环增益再增大 h 倍，则ω = ωg 处的幅值
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
tan
90o
→
∞
得 1 − ωg 2 5 = 0 ，即 ωg = 5 = 2.236 。
∴
h1 =
1 A(ωg )
ωg =
ωg2 +1
(ωg )2 +1
5
= 2.793 = 8.9dB
2
在实际工程设计中，必须先确定系统的稳定性。对于不稳定的系统，没有必要计算稳定裕度。
在稳定的前提下，只要绘出 L(ω) 曲线，可以直接在图上读 ωc ，不需太多计算。
例 5-14 某单位反馈系统的开环传递函数为
G(s) =
K0
s(s + 1)(s + 5)
试求 K0 = 10 时系统的相角裕度和幅值裕度。
解
G(s) =
K0 5
s(s + 1)(1 s + 1)
⎧K ⎩⎨υ
=K =1
0
5
5
绘制开环增益 K = K0 5 = 2 时的 L(ω) 曲线如图 5-49 所示。 当K = 2时
2．幅值裕度
G( jω) 曲线与负实轴交点处的频率 ωg 称为相角交界频率，此时幅相特性曲线的幅值为 A(ωg ) ，如图 5-47 所示。幅值裕度是 G( jω) 与负实轴交点至虚轴距离的倒数，即1 A(ωg ) ， 常用 h 表示，即
在对数坐标图上
h= 1 A(ωg )
（5-70）
20 lg h = −20 lg A(ωg ) = −L(ωg )
处的频率 ωc 称为截止频率，此时有 A(ωc ) = 1 。按相角裕度的定义
γ = 180o + ϕ(ωc )
（5-69）
由于 L(ωc ) = 20 lg A(ωc ) = 20 lg1 = 0 ，故在伯德图中，相角裕度表现为 L(ω) = 0dB
处的相角ϕ(ωc ) 与 −180o 水平线之间的角度差，如图 5-48 所示。上述两图中的 γ 均为正值。
A(ωg ) 等于 1，曲线正好通过点（ −1 , j0 ），系统处于临界稳定状态；若开环增益增大 h 倍
以上，则系统将变成不稳定的。
对于最小相角系统，要使系统稳定，要求相角裕度 γ > 0 ，幅值裕度 h > 0 dB 。为保证 系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度不能太小。在工程设计中，要求 γ > 30° （一般选 γ = 40o ~ 60o ）， h > 6 dB （一般选10 ~ 20 dB ）。