华东师范大学硕士研究生数学分析试题解答

华东师大数学分析2001年试卷

一、（30分）简单计算题

（1） 验证当x →∞时，202x

t x e dt ⎰与2

x e 为等价无穷大量. （2） 求不定积分2ln(1)x dx x +⎰.

（3） 求曲线积分2

(cos )sin OA I y y dx x ydy =

-+⎰,其中有向曲线OA 为沿着正弦曲线sin y x =从O （0,0）到点A (,0)π.

（4） 设f 为可微函数，222()u f x y z =++，并有方程 23326x y z xyz ++=，试对以下两种情形分别计算u x

∂∂在点0(1,1,1)P 处的值； 1) 由方程确定了隐函数(,)z z x y =;

2) 由方程确定了隐函数(,)z z z x =;

二、（12分）求椭球2222221x y z a b c ++=与锥面222

2220x y z a b c

+-=(0)z ≥所围成的立体. 三、（12分）证明：若函数()f x 在有限区域(,)a b 内可导，但无界，则其导函数'()f x 在(,)a b 内必无界.

四、（12分）证明：若1n n a

∞=∑绝对收敛，则121()n n n a a a a ∞=+++∑亦必绝对收敛。

五、（17分）设()f x 在[0,1]上连续，(1)0f =，证明：

1.

{}n x 在[0,1]上不一致收敛； 2. {}()n

f x x 在[0,1]上一致收敛； 六、（17分）设函数()f x 在闭区间[],a b 上无界，证明：

1.

{}[],n x a b ∃⊂，使得lim ();n n f x →∞=∞ 2. {}[],c a b ∃⊂，使得0,(),f x c δδδ∀>+在(c-)[a,b]上无界.

（此题鼓励多）

2001年华东师范大学硕士研究生招生考试

<数学分析>试题解答

一、⑴用洛必达法则验证：

22222

222lim 2lim 00x x x t x x x t x xe xe dt e e dt e x +=⎰⎰+∞→+∞→

1lim 220+=⎰+∞→x x

t x xe

dt

e 1)21(lim 222++=+∞→x e e x x x

110=+=

⑵ ⎰⎰-+=+)1()1l n ()1l n (2x

d x dx x x ⎰+++-=)

1()1ln(1x x dx x x C x x x x ++++-

=1ln )1ln(1 ⑶2π

-=I ⑷第一种情况：).22)(('222x zz x z y x f x

u +++=∂∂ xy z yz xy z yz z x 221636322---=---

= .0)1,1,1(=∂∂x u

第二种情况：FOR xz y yz y x 6463---

= SO ，).3(')22)((')1,1,1(222)1,1,1(f yy x z y x f x u

x -=+++=∂∂

二、设立方体在xy 平面的投影区域为：

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧≤+=21),(2222b y a x y x D 。 ⎰⎰⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+---=D dxdy b y a x c b y a x c V 222222221。 令2

1:',,sin ,cos 2≤===r D abr J ar y ar x θθ。

⎰⎰--=πθ202

1

22)1(abrdr r r c d V ⎰--=21022)1(2dr r r r abc

π abc π3

22-=。 三、（反证法）：若)('x f 在),(b a 上有界，设M x f ≤)('。则对任意取定),(b a c ∈，对一

切),(b a x ∈有)()(')()()()(c f c x f c f c f x f x f x +-⋅≤+-≤ξ

*=+-≤M c f a b M )()(

导致与)(x f 在),(b a x ∈上无界的条件矛盾，故证得)('x f 在),(b a x ∈上必定无

界。

四、 因为∑∞=1n n a

收敛，所以存在0>M ，使

M a a a n ≤+++ 21，

n n n a M a a a a ≤+++⇒)(21 。

又因为

∑∑∞=∞==11n n n n a M a M 收敛，故由优级数列判别法推得∑∞=+++121)(n n n a a a a

也收敛。

五、

⑴⎩

⎨⎧=∈=∞→1,1)1,0(,0lim x x n 。 由于)(01)0(sup 1

0∞→→/=-<≤n x n x ，因此{}n x 在)1,0[不一致收敛，故在[0，1]上更

不一致收敛。

⑵由于0)1(=f ，因此

]1,0[,0)(lim ∈∀=∞→x x x f n

n 0>∀ε，因f 在1=x 左连续，故0>∃δ，当]1,1(δ-∈x 时，满足

ε<=-)()1()(x f f x f

于是当]1,1(δ-∈x 时，有

+∈∀<≤-N n x f x x f n ,)(0)(ε，

说明{}n x x f )(在]1,1(δ-∈x 上一致连续。

又在]1,0[δ-∈x 上，因为)(x f 在[0，1]上连续，故存在最大值0>M （若

M=0，则0)(≡x f ，结论显然成立）。此时有

)(0)1(0)(sup 10∞→→-≤--≤≤n M x x f n

n x δδ，

所以{}n x x f )(在]1,0[δ-∈x 上一致连续。

综上证得{}n x

x f )(在[0，1]上一致连续。

六、 ⑴ 因为f 在],[b a 上无界，故],[,0b a x M ∈∃>∀，使M x f >)(。

现取),2,1( ==n n M ，相应地),2,1](,[ =∈∃n b a x n ，使得n x f n >)(， 故∞=∞

→)(lim n n x f 。 ⑵证明：（利用致密性原理）

因为⑴中所得的{}],[b a x n ⊂，故存在收敛子列，设为

],[lim b a c x k n k ∈=∞

→ 0,01>∃>∀K δ，当1K k >时，

],[);(b a c x k n ⋂∈δ 。

另一方面。因为∞=∞

→)(lim n n x f ，故0,02>∃>∀K M ，当2K k >时 使M n f k >)(。

综上，当{}21,m ax K K K k =>时，同时有

],[);(b a c x k n ⋂∈δ ，M n f k >)(，

于是f 在],[);(b a c ⋂δ上无界。

说明：利用有限覆盖原理亦可以完成证明。