第4章 位错的弹性性质

E为正应变弹性模量，也叫杨氏模量：? ii ? E?ii
G为切应变弹性模量，也叫切变模量： ? ii ? G?ii
E 和G 之间存在如下关系： E =G/2(1-ν)，其中ν 是表示
纵横变形茉系的参量，称为泊松比
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5）应变与位移的关系
z
uz
?
?u z ?z
dz
F
?u x dz ?z
F'
E
dz A'
负面：外法向与坐标轴反向 x
4
2 应力分量
为了表达弹性体内部任意一点 M 的应力状态，利
用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过 M点截
取一个平行六面体单元 ,如图所示
? xy
该分量的指向
z
? zx
? zz ? zy? yz
? xz ? xy ? yx ? ? xx
yy
y
所在面的法向
? yy ?
?
yz
10
4.2 位错的应力场
位错中心部分畸变程度最为严重，超出了弹性应变范 围，不讨论。仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助 弹性连续介质模型。假设：晶体是各向同性的均匀连 续弹性介质，位错处在无限大的连续介质中。
优点
模型简单
缺 点 中心区不适用，忽略晶体结构的影响
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1）刃位错的应力场
① 应力场模型
?
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yy
?
D
y(x2 ? y2) (x2 ? y2 )2
? zz ? ? ( ? xx ? ? yy )
切应力：?
xy
?
?
yx
?
D
x(x2 ? y2 ) (x2 ? y2 )2
? xz ? ? zx ? ? yz ? ? zy ? 0
其中：D
?
?b 2 ? (1 ? ? )
同时存在着正应力与切应力; 刃型位错的应力场，对称于多余半原子面 ; 滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。 正刃型位错的滑移面上侧，在x方向的正应力为压应力; 滑移面下侧，在x方向上的正应力为拉应力 半原子面上或与滑移面成45°的晶面上，无切应力。 13
? A? 0 ? A
m-m 截面上P点的 切应力（剪应力）
?
? p
?
lim
?F
? A? 0 ? A
m-m 截面上P 点的全应力 3
1 单元体的概念
变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元
在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体
z
单元体是变形体
的最基本模型
y
z
x 单元体的三对表面：
y
正面：外法向与坐标轴同向
1
4.1 弹性力学基础知识
1）弹性连续介质
所谓弹性连续介质，是对晶体作了简化假设之后提 出的模型：
(1) 晶体是完全 弹性体，因此服从胡克定律； (2) 晶体是各向同性 的，因此其弹性常数（弹性模 量、泊松比等）不随方向而变化； (3) 晶体内部由 连续介质 组成，因此晶体中的应力、 应变、位移可用连续函数表示。
z
yx
?
?
zy
? xy
xx
? xz
? zx
y
x 两脚标相同 ——正应力 两脚标不同 ——切应力
x ? zz
5
应力的正负号
? yy z
Z
? zz
?zy
?zx
?xy
?yx
?yz
?xz
O
?xy
? xx
?zy
?zx
? xx
?xz ?yz ?yx
dz ? yy
Y
dx
OX
dy
? zz
y
x
正面正方向为正，负面负方向为正
2
物体在受力状态下，其内部不同部分之间互相产生作用
2）应力
力，这种作用力称为内力。作用在某点处的内力，在该
? 点的微面积上的集度p，叫该点处的应力。
?
?
FS
F
?
FN
?A
在 m-m 截面上P点处定义：
? ? lim ? FN
? A? 0 ? A
m-m 截面上P 点的正应力
?
?
p
?
?A
? ? lim ? FS
2）螺型位错的应力场
① 应力场模型与函数
沿xz平面剖开使之沿z轴产生相对位移b，然后再粘合。当然 也要挖去位错线附近的严重畸变区域。
?
xz
?
?
zx
?
?
?b 2?
? x2
y ?
y2
?
yz
??
zy
?
?b 2?
?x2
x ? y2
? xx ? ? yy ? ? zz ? ? xy ? ? yx ? 0
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正面负方向为负，负面正方向为负
6
圆柱坐标：用z轴、 ρ方向及θ角来描述 为表示任一点应力 状态也是取一个体 积元，其上的应力 分量也有9个，3个 正应力 ,6个切应力
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3）应变
正应变
棱边长度的改变量与原棱长之比 。以线段伸 长为正，线段缩短为负。
切应变
原来成直角的两棱之间角度的改变量。以角 度减小为正，以角度增大为负。
uz
A
C
z
dx
x ux
E'
?xx ?
?ux ?x
；? xy ?
?ux ?y
?
uy ?x
? ? ?
C'
?u z dx ?x
? yy
?
?u y ?y
；? yz ?
?u y ?z
? ?uz ?y
?? ? ?
x
?zz ?
?uz ?z
；? zx ?
?uz ?x
?
?ux ?z
? ???
ux
?
?ux ?x
dx
该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的 关系，称为几何方程，也称为柯西（ Augustin-Louis Cauchy）几何关系。
② 应力场的特点
只有切应力分量（ σθz、σz θ），而无正应力。 螺型位错的应力场，是对称于位错线的。所产生 的切应力大小只与 r的大小有关，即只与离位错 线的距离成反比，而与θ无关。
柱坐标表达 式
? ?z
? ? z?
?
? ???z
?
?b 2?r
? ?r ? ? r? ? ? zr ? ? rz ? 0
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4）泊松比
六个应力分量与六个应变分量之间，均遵循胡克定 律:σij=cijε。式中 cij为弹性模量，是量度材料抵抗 弹性变形能力的物理量。
一般情况下，任意一点存在 36个常数cij值。晶体的对称 性越强，独立的弹性常数数目越少。在弹性连续介质中， 只有2个独立的cij值，工程上分别用E、G标记:
? ?? ? ? rr ? ? zz ? 0
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4.3 位错的应变能
位错在周围晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，这 部分能量称为位错的应变能。
? 与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部 分：一是位错中心畸变能；二是位错中心以外的 能量即弹性应变能 。
? 根据点阵模型对位错中心能量的估算得：弹性应 变能占总能量的90%，所以位错中心畸变能可忽 略不计，即通常用弹性畸变能表示位错的应变能。
1. 在圆柱体中心挖出一 个半径为rO的小洞
2. 沿xoz平面从外部切 通至中心
3. 在切开的两面上加外 力，使其沿x轴作相 对位移b;再把切开的 面胶合起来
4. 撤去外力
这样的圆柱体与包含一个刃型位错的晶体相似。 12
② 应力场的特点
正应力：? xx
?
?D
y (3 x 2 ? y 2 ) (x2 ? y2)2