代数插值与曲线拟合

第 五 章 代数插值

在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的。虽然其 函数关系

y=f(x)在某个区间［a ，b ］上是客观存在的，但是

却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a ，b ］上一些离散点上的函数值、导数值等， 因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希 望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。

在用插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的 选取，如多项式、有理式、三角函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被广泛采用。本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值.

第一节 插值多项式的存在唯一性

5.1.1 插值问题

设函数y=f(x)在区间［a,b ］上有定义n y y y ,...,,10且已知函数在区间［a,b ］上n+1个互异点n x x x ,...,10上的函数值，若存在一个简单函数y=p(x )，使其经

过y=f(x)上的 这n+1个已知点(00,y x ),(11,y x ),…，(n n y x ,)（图5-1），

即

p(i x )= i y ,

i=0,1,…,n

那么，函数p(x)称为插值函数，点n x x x ,...,10称为插节点， 点(00,y x ),(11,y x ),…，(n n y x ,)

称为插值点，包含插值节点的区间［a,b ］称为插值区间,求p (x)的方法称为插值法，f(x)称为被插函数。若p(x)是次数不超过n 的多项式,用P

n(x)表示，即

n n n x a x a x a a x p ++++=...)(2210

则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。

5-1

5.1.2 插值多项式的存在唯一性

定理 设节点n x x x ,...,10互异，则在次数不超过n 的多项式集合n H 中，满足条件（5.1.1）的插值多项式)(x p n 存在且唯一。

证 将

n n n x a x a x a a x p ++++=...)(2210代入式（1）得

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++n n n n n n

n n

n y x a x a a y x a x a a y x a x a a (101111000010)

这是关于n a a a ,...,10的n+1元线性方程组，其系数行列式

V(n x x x ,...,10)=n

n

n n

n

x x x x x x 1111100

是范得蒙(Vandermonde)行列式，故

V(n x x x ,...,10)=∏∏=-=-n

i i j j i x x 11

)(

由于n x x x ,...,10互异，所有因子

j

i x x -≠0(i ≠j)，于是 V(n x x x ,...,10)≠0

再由克莱姆法则，方程组（2）存在唯一的一组解n a a a ,...,10,即满足条件（1） 的插值多项式)(x p n 存在且唯一。

第二节 拉格朗日插值多项式

5.2.1基函数

由上一节的证明可以看到，要求插值多项式)(x p n ，可以通过求方程组（5.1.22）的解n a a a ,...,10得到，但这样不但计算复杂，且难于得到)(x p n 的简单表达式。

考虑简单的插值问题：设函数在区间［a ，b ］上n ＋1个互异节点n x x x ,...,10上的函数值为

⎩⎨

⎧≠===,,

0,1i j i

j y ij j δ j=0,1,…,n

求插值多项式)(x l i ，满足条件

ij

i x l δ=)( j=0,1,…n, i=0,1,…,n

由上式知，n i i x x x x x ,...,,,...,,1110+-是)(x l i 的根，且)(x l i ∈n H ，可令

i i A x l =)())...()()...()((1110n i i x x x x x x x x x x -----+-

再由1)(=i i x l 得

))...()()...()((1

1110n i i i i i i i i x x x x x x x x x x A +----=

+-

于是

))...()()...()(())...()()...()(()(11101110n i i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=

+-+-

n+1个n 次多项式)(),...,(),(10x l x l x l n 称为以为n x x x ,...,10节点的n 次插值基函数。

n=1时的一次基函数为（图5-2）：

.

,)(101

0x x x x x l --=

0101)(x x x x x l --=

n=2时的二次基函数为（图5-3）：

)

)(()

)(()())(()

)(()())(())(()(120210221012012010210x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l ----=

----=

----=

5-2

5-3

5.2.2 拉格朗日插值多项式

现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b ］上n+1个互异节点n

x x x ,...,10上的函数值分别为n y y y ,...,,10，求n 次插值多项式)(x p n ，满足条件

,

)(j j n y x p = j=0,1,…n

令

∑==+++=n

i i i n n n x l y x l y x l y x l y x L 0

1100)

()(...)()()(

（5.2.3）

其中)(),...,(),(10x l x l x l n 为以n x x x ,...,10为节点的n 次插值基函数，则)(x L n 是一次数不超过n 的多项式，且满足

j

j n y x L =)(， j=0，1，…，n