第5章 一元一次方程 章末复习(课件)--知识点汇总
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初中数学专题第五章一元一次方程章末复习课件(16张PPT)
例1：已知（a+1）x2-（a-1）x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式60 （2x+2a）（x-a）+208的值
解：由（a+1）x2-（a-1）x+8=0是关于x的一元一次 方程， 可得a+1=，解得a=-1， 此时方程变化2x+8=0，解得x=-4， 把a=-1，x=-4代入代数式得 60（2x+2a）（x-a）+208 =60×[2×（-4）+2×（-1）][-4-（-1）]+208 =60×（-10）×（-3）+208 =2008．
典例精析
例2：某商品的售价780元，为了薄利多销，按售价的9折销售再返还30元 礼券，此时仍获利20%，此商品的进价是多少元？
解：设该商品的进价为x元． 根据题意得：780×90%-30-x=20%x． 解得：x=560元，即该商品的进价为560 元．
典例精析
例3：某明星演唱会组委会公布的门票价格是：一等席600元；二等席400元；三 等席250元．某服装公司在促销活动中组织获前三等奖的36名顾客去观看比赛， 计划买两种门票10050元，你能设计几种购买价方案供该公司选择？并说明理 由． 解：①设购买一等席x张，二等席（36-x）张． 根据题意得：600x+400（36-x）=10050． 解得：x=-21.75（不合题意）． ②设购买一等席x张，三等席（36-x）张． 根据题意得：600x+250（36-x）=10050． 解得：x=3． ∴可购买一等席3张，二等席位33张． ③设购买二等席x张，三等席（36-x）张． 根据题意得：400x+250（36-x）=10050． 解得：x=7． ∴可购买二等席7张，二等席位29张．
七年级数学上册 第五章 一元一次方程章末复习课件
章末复习(fùxí)
第一页，共十六页。
知识回顾
方程(fāngchéng)的有关概念
在一个方程中，只含有一个未知数，而且方 程中的代数式都是整式，未知数的指数都是 1，
这样的方程叫做一元(yī yuán)一次方程.
第二页，共十六页。
等式的基本性质：
等式两边同时(tóngshí)加上（或减）同一个代数式
审 分析题中已知什么,求什么?有哪些事物(shìwù)在什么
方面产生关系?
找 一个相等关系(guān xì).（和/倍/不同方案间不变量的相等）
设 设未知数(直接设，间接设),包括单位名称. 列 把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程. 解 解方程,求出未知数的值（x = a），代入方程检验. 答 检验所求解是否符合题意，写出答案.
地选择上网方式.
（2）某用户有 120 元钱用于上网（ 1 个月）， 选用哪种上网方式比较合算？
第十四页，共十六页。
解：（1）设上网时间(shíjiān)为 x 小时，则 A 收费 （3 + 1）x，B 收费 60 + x， 令（3 + 1）x = 60 + x，解得 x = 20， 当上网时间小于 20 小时，选择 A. 计时制； 当上网时间等于 20 小时，两种方案收费一样； 当上网时间大于 20 小时，选择 B. 包月制.
第五页，共十六页。
实(shíjì)问题
抽象 寻找等量关系
数学问题(wèntí) （一元一次方程）
解释
实际问题的解
解方程
验证
数学问题的解 （一元(yī yuán)一次方程的解）
第六页，共十六页。
小练笔(liàn bǐ)
随堂演练
1. 下列式子中是一元(yī yuán)一次方程的有（B ）.
第一页，共十六页。
知识回顾
方程(fāngchéng)的有关概念
在一个方程中，只含有一个未知数，而且方 程中的代数式都是整式，未知数的指数都是 1，
这样的方程叫做一元(yī yuán)一次方程.
第二页，共十六页。
等式的基本性质：
等式两边同时(tóngshí)加上（或减）同一个代数式
审 分析题中已知什么,求什么?有哪些事物(shìwù)在什么
方面产生关系?
找 一个相等关系(guān xì).（和/倍/不同方案间不变量的相等）
设 设未知数(直接设，间接设),包括单位名称. 列 把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程. 解 解方程,求出未知数的值（x = a），代入方程检验. 答 检验所求解是否符合题意，写出答案.
地选择上网方式.
（2）某用户有 120 元钱用于上网（ 1 个月）， 选用哪种上网方式比较合算？
第十四页，共十六页。
解：（1）设上网时间(shíjiān)为 x 小时，则 A 收费 （3 + 1）x，B 收费 60 + x， 令（3 + 1）x = 60 + x，解得 x = 20， 当上网时间小于 20 小时，选择 A. 计时制； 当上网时间等于 20 小时，两种方案收费一样； 当上网时间大于 20 小时，选择 B. 包月制.
第五页，共十六页。
实(shíjì)问题
抽象 寻找等量关系
数学问题(wèntí) （一元一次方程）
解释
实际问题的解
解方程
验证
数学问题的解 （一元(yī yuán)一次方程的解）
第六页，共十六页。
小练笔(liàn bǐ)
随堂演练
1. 下列式子中是一元(yī yuán)一次方程的有（B ）.
2024-2025学年度北师版七上数学-总复习-期末复习课(五)【课件】
新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个
方程为“美好方程”.例如：方程4 x ＝8和 x ＋1＝0为“美好方
程”.
（1）若关于 x 的一元一次方程3 x ＋ m ＝0与4 x －2＝ x ＋10是
“美好方程”，求 m 的值；
返1）由3 x ＋ m ＝0，解得 x ＝－ .
0.3−0.2
0.02+0.1
4
（2）
－
＝－ .
0. 5
0.03
3
3−2
2+10
4
解：（2）整理，得
－
＝－ .
5
3
3
去分母，得3（3 x －2）－5（2＋10 x ）＝－20.
去括号，得9 x －6－10－50 x ＝－20.
移项、合并同类项，得－41 x ＝－4.
4
系数化为1，得 x ＝ .
解下列方程：
5+4
−1
5−5
（1）
＋
＝2－
；
3
4
12
解：（1）去分母，得4（5 y ＋4）＋3（ y －1）＝24－（5 y －
5）.
去括号，得20 y ＋16＋3 y －3＝24－5 y ＋5.
移项、合并同类项，得28 y ＝16.
4
系数化为1，得 y ＝ .
7
返回目录
数学 七年级上册 BS版
程，则 n ＝ －1 .
返回目录
数学 七年级上册 BS版
类型二 一元一次方程的解法
解下列方程：
2−1
10+1
2+1
（1）
－
＝
－1；
3
6
北师大版七年级上册第五章一元一次方程章末复习课件(31)
D.1 784.45
5. 如果关于m的方程2m+b=m-1的解是-4,那么b的值为（A ）
A.3
B.5
C.-5
D.-13
考点对接
6. 已知方程(m+1)x |m| +3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是（ B ） A.±1 B.1 C.-1 D.0或1 分析：方程(m+1)x |m| +3=0是关于x的一元一次方程，则m+1≠0，|m|=1， 所以m=1.答案：B 7. 方程 2x 1 x+1 =1 ，去分母，得（ B ）
4x=8
x=2
当x＜0时,原式化为
5x-（-x）=8
6x=8
x=
4 3
（不满足x<0的条件，所以不符合要求，应舍去）
方程的解为x=2
考点对接
13. 已知x 2m-3 +6=m是关于x的一元一次方程，试求代数式(m-3) 2 006 的值.
解：由已知x 2m-3 +6=m是关于x的一元一次方程， 得2m-3=1； 解之，得m=2； 从而(m-3) 2 006
A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米
考点对接
5. 甲、乙两人从同一地点出发前往某地，若乙先走1小时，甲从后面追赶，
当甲追上乙时，不成立的是（ C ）
A.乙比甲先走1小时
B.甲、乙两人行程之和等于出发地和相遇地两点距离的2倍
C.乙走的路程比甲多
D.甲、乙两人所走的路程相等
6. 教室里有40套课桌椅，共计2 800元，每把椅子20元，问每张桌子多少
等式基本性质2 去括号法则、分配律
等式基本性质1 合并同类项法则
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得x=b/a
人教版七年级数学上册 5.1方程(第五章 一元一次方程 自学、复习、上课课件)
感悟新知
知2－练
(2)有一块长方形空地，长为20 m，宽为15 m. 在内部分割出一块小 正方形地用来放置杂物，其余部分种植草坪. 已知草坪的面积为 200 m2，求小正方形地的边长.
解题秘方：设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系， 即得方程. 解：设小正方形地的边长为x m，那么草坪的面积为( 20×15 － x2)m2 . 根据“草坪的面积为200 m2”，列得方程20×15 －x2=200 .
感悟新知
特别提醒 1. ①②③是一元一次方程的三个基本特征，
其中特征①③是把方程化简后进行判断， 特征②是通过化简前的方程进行判断， 即必须满足分母中不能含有字母. 2. 判断一元一次方程的步骤：
5×2－2 =8，右边=7＋2×2 =11 .
因为左边≠右边，所以x=2 不是方程5x－2 =7＋2x 的解.
(2)x=3 .
将x=3 分别代入方程的左边和右边， 得左边=5×3 －2 =13 ，右边=7＋2×3 =13 . 因为左边= 右边，所以x=3 是方程5x－2 =7＋2x 的解.
感悟新知
感悟新知
知3－练
例 3 [母题 教材P114 例2]检验下列各未知数的值是不是方 程5x－2=7＋2x 的解，并写出检验过程. 解题秘方：紧扣方程的解的定义，将未知数的值代 入方程左右两边，看方程左右两边的值是否相等进 行检验.
感悟新知
(1)x=2；
知3－练
解：将x=2 分别代入方程的左边和右边，得左边=
方法点拨：检验一个数是不是方程的解的方法： 把这个数分别代入方程的左右两边，当左边= 右边时， 这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数不是方 程的解.
感悟新知
3-1.下列方程中解为x=2 的是( D )
第五章一元一次方程章末复习课件北师大版七年级数学上册
知识技能
1.解方程
5 （1）12
x
–
x 4
1 3
；
解：去分母，得 5x – 3x = 4
合并同类项，得
2x = 4
方程两边都除以2，得
x=2
复习题
（2）2 – 8x 3 – 1 x ；
3
2
（3）0.5x – 0.7 = 6.5 – 1.3x；
解：移项，合并同类项，得 1.8x = 7.2
方程两边都除以1.8，得 x=4
答：人数为9人，鸡价为70
今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六. 问：人数、鸡价各几何？
方程方法： 设人数为x，由题意，得
9x-11=6x+16
解得
x=9
9x-11=70
答：人数为9人，鸡价为70.
问题解决 5．把100 写成两个数的和，使第一个数加3与第二个数减3
的结果相等. 这两个数分别是多少？
14．某文艺团体为公益募捐组织了一场义演，成人票每张 80元，学生票每张50元，共售出1000张票，所得票款可能是 69300元吗？为什么？可能是69320元吗？如果可能，那么成人 票比学生票多售出多少张？
15．把99写成四个数的和，使第一个数加2，第二个数减2， 第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等. 这四个数分 别是多少？
用字母可以表示 如果a=b，那么 a+c=b+c ， a-c=b-c； 如果a=b，那么 ac=bc ，
等式的基本性质 下列等式变形正确的是（ B ）.
解一元一次方程
步骤
解一元一次方程的步骤 根据
注意事项
去分母
等式的基本性质2
①不漏乘不含分母的项； ②注意给分子添括号、去括号
北师大版(2012)数学七年级上册第5章《一元一次方程》单元复习课件
原售价打8折（即按原售价的80%）：原售价×80%
1. 用一元一次方程解决实际问题的关键:
(1) 仔细审题.
(2) 找等量关系.
(3) 解方程并验证结果.
2.理解打折、利润、利润率, 提价、降价等概念的含义.
结论：在实际问题中，方程的解是有实际意义的，
因此应将解带入原方程看是否符合题意.
检验，看这个值能否使方程的两边相等.
利用等式的基本性质解一元一次方程的一般步骤：
(1)利用等式的基本性质1，把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常
数项移到方程的右边，即把方程变形为ax=b(a≠0)的形式；
(2)利用等式的基本性质2，在方程两边同时除以未知数的系数，使未知数
的系数化为1．
概念： 把原方程中的某一项改变________后，从
防止忘记变号.
多种方法解一元一次方程
解方程：-2(x-1)=4
解法一：去括号，得-2x+2=4.
移项，得 -2x= 4-2.
化简，得 -2x=2.
系数化为1，得 x=-1.
解法二：方程两边同时除以-2，得x-1=-2
移项，得x=-2+1
化简，得x=-1
:
解
一
元
一
次
方
程
的
一
般
步
骤
步骤
去分母
去括号
移项
进价：购进商品时的价格.（有时也叫成本价）
售价：在销售商品时的售出价.
标价：在销售商品时标出的价格.（有时也称原价）
利润：在销售商品过程中的纯收入.
利润=售价-成本价
利润率：利润占成本的百分比.
利润率=利润÷成本×100％ =(售价-成本) ÷成本×100％
人教版七年级数学上册 5.2解一元一次方程(第五章 一元一次方程 自学、复习、上课课件)
知1－练
(2)－2x－7x＋8x=－15×2－6×3 .
解：－2 x－7x＋8x =－15×2－ 6×3，
(－2－7＋8)x =－48 .
合并同类项
－ x =－48 .
x =48 .
系数化为1
感悟新知
1-1.解下列方程： (1)4x－3x=1；
解：等号左边合并同类项，得x＝1. (2)－x＋4x=6－1；
知3－练
感悟新知
知识点 4 解一元一次方程——去分母
知4－讲
1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的
最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母. ••••• 2. 解一元一次方程的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
感悟新知
特别解读 1. 去分母的依据是等式的性质2. 2. 去分母的目的是将分数系数化为整数系数. 3. 去分母时，(1)不要漏乘不含分母的项；
合并同类项，得 3x＝5. 系数化为 1，得 x＝53.
知1－练
感悟新知
(3)x2－x3= －2； 解：合并同类项，得x6＝－2. 系数化为 1，得 x＝－12.
(4)－2x＋0.5x=1.
合并同类项，得－1.5x＝1. 系数化为 1，得 x＝－23.
知1－练
感悟新知
知识点 2 解一元一次方程——移项
感悟新知
知1－练
例 1 解下列一元一次方程： 解题秘方：利用合并同类项的法则，在方程左右两 边同时合并同类项，然后将未知数的系数化为1 .
感悟新知
(1)x－12x=3 －5；
解：x－12x =3 －5，
合并同类项
(1－12)x =－2 .
12x =－2 . x =－4 .
数学北师大版七年级上册第五章一元一次方程 综合复习 课件
—— 第五章 一元一次方程 ——
综合复习
本章知识结构
通过完成导学任务，请同学展示本章的知识结构图.
规则： 1. 先分享自己的知识结构图再小组讨论优化完成本组结构图 +2分 2.以小组形式展示解说知识结构图 +3分 3.认真倾听 +1分 4.补充质疑 +2分
本章知识结构
一元一次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的 指数都是1的整式方程
解决实际问题
✮ 等积变形/等长变形：体积、面积不变/周长不变.
✮ 盈不足：物品总数相等或物品总价相等.
✮ 行程问题：路程=速度×时间.
✮ 和差倍分问题：增长量=原有量×增长率.
✮ 利润问题：商品利润=商品售价-商品进价.
✮ 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量.
✮ 银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数.
综合能力提升
甲、乙两列火车的长分别为144 m和180 m，甲车比乙车每秒多 行4m，两列车相向而行，从相遇到完全错开需9 s. (1)甲、乙两列车的速度分别是多少? (2)若同向而行，从甲车的车头刚追上乙车的车尾到甲车完全超 过乙车，需要多少秒?
规则： 1.先独立思考再作答，再小组讨论交流 +2分 2.以小组形式讲题 +3分 3.补充质疑 +2分
解：(2)需要y s. 依题意，得20y-16y=180+144， 解得y=81. 答:需要81s.
综合能力提升
方法总结
火车行驶的行程问题：
火车行驶时，由于其长度较长，不能忽略不计.
火车过隧道问题 ： 行驶速度 × 过隧道时间=隧道长+车长 ， 行驶速度
综合复习
本章知识结构
通过完成导学任务，请同学展示本章的知识结构图.
规则： 1. 先分享自己的知识结构图再小组讨论优化完成本组结构图 +2分 2.以小组形式展示解说知识结构图 +3分 3.认真倾听 +1分 4.补充质疑 +2分
本章知识结构
一元一次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的 指数都是1的整式方程
解决实际问题
✮ 等积变形/等长变形：体积、面积不变/周长不变.
✮ 盈不足：物品总数相等或物品总价相等.
✮ 行程问题：路程=速度×时间.
✮ 和差倍分问题：增长量=原有量×增长率.
✮ 利润问题：商品利润=商品售价-商品进价.
✮ 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量.
✮ 银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数.
综合能力提升
甲、乙两列火车的长分别为144 m和180 m，甲车比乙车每秒多 行4m，两列车相向而行，从相遇到完全错开需9 s. (1)甲、乙两列车的速度分别是多少? (2)若同向而行，从甲车的车头刚追上乙车的车尾到甲车完全超 过乙车，需要多少秒?
规则： 1.先独立思考再作答，再小组讨论交流 +2分 2.以小组形式讲题 +3分 3.补充质疑 +2分
解：(2)需要y s. 依题意，得20y-16y=180+144， 解得y=81. 答:需要81s.
综合能力提升
方法总结
火车行驶的行程问题：
火车行驶时，由于其长度较长，不能忽略不计.
火车过隧道问题 ： 行驶速度 × 过隧道时间=隧道长+车长 ， 行驶速度
章末复习(五) 一元一次方程
14.（2022·定西期末）数轴上，两点分别表示−和90，两只蚂
蚁分别从，两点出发，分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的
20
速度匀速相向而行，经过____秒，两只蚂蚁相遇.
15.（2023·庆阳期末）庆阳市把足球运球作为中考体育
考试选考项目，而足球标志杆是足球运球项目的主要道
具，足球标志杆分为底座和杆两部分（如图），某学校
−
方程
−
)
= ，去分母，得 − − =
B. 方程 − = − − ，去括号，得 − = −
C. 方程 − = + ，移项，得 − = +
D.
方程
=
，未知数系数化为1，得
=
8.【创新意识】（2023·平凉崆峒区期末）我们规定，对于两个不相
采用手工传统工艺制作的粉条，是绿色无公害食品，深受群众喜爱，
成为人们日常生活中不可缺少的看家菜.小明同学到农贸市场为妈妈购
买粉条，店里标注粉条25元/千克，经过与老板议价，在大量购买的情
况下，老板同意按原价打八折卖给小明.称完质量后，老板告诉小明：
“你比上一位顾客多买了5千克，打折后你比他按原价购买还少花15元.”
解，则的值为( A
A. 3
)
B. 2
C. 1
D. 0.5
3.（2023·武威凉州区期末）如果方程( − ) − + = 是关于
−
的一元一次方程，那么的值是____.
4.【开放性问题】请任意写一个同时满足“①未知数项的系数为负数；
− + =
②方程左边只有两项且右边等于0”的一元一次方程：_______________
第五章+期末专题复习--解带括号的一元一次方程(课件)-2024-2025学年北师大版数学七年级上册
4. 解下列方程： (1) 3x－5(x－3)=9－(x+4)；
(2)
6
2 3
x
5
x
6
1 2
x
1 .
解：(1) x =10；(2) x=10.
5. 某羽毛球协会组织一些会员到现场观看羽毛球比赛. 已知该协会购买了价格分别为300元/张和400元/张
的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买 了这两种门票各多少张？
下课了!
感谢大家的聆听！
当堂练习
1. 对于方程 2( 2x－1 )－( x－3 ) =1 去括号正确的
是
(D)
A. 4x－1－x－3=1
B. 4x－1－x +3=1
C. 4x－2－x－3=1
D. 4x－2－x +3=1
当堂练习
2. 若关于x的方程 3x + ( 2a+1 ) = x－( 3a+2 ) 的解
为x = 0，则a的值等于
解带括号的一元一次方程
一 、创设情景、导入新课
我要1听果奶 饮料和4听可乐.
你给我10元，
找你3元.
1听可乐比1听
果奶饮料多0.5元。
1听果奶饮料多少钱呢？
探究活动1 列带有括号的一元一次方程
如果设1听果奶饮料x元,那么1听可乐 (x+0.5)元,由题意得
这个方程不同于前面所学习的方程， 它带有括号，怎么解这个方程呢?
移项，得x＝－2＋1.
即x＝－1.
讨论：比较上面两种解法，说说它们的区别.
四、课堂小结
1、知识方面： （1）学会解带有括号的一元一次方程； （2）去括号的依据是去括号法则或乘法分配律； （3）去括号应注意不漏乘及括号前是负数时符号要改变。 2、数学思想与核心素养： 数学思想：方程思想、整体化1思想、一题多解思想 数学核心素养：逻辑推理、数学建模、数学运算
第五章-一元一次方程-章末核心要点分类整合-(课件)人教版(2024)数学七年级上册
第五章 一元一次方程
章末核心要点分类整合
核心必读
1. 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含 有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 一般地，使方程左、右两 边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 一般地，如果方程中只 含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次 数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
链接中考 >> 解一元一次方程是本章的核心，也是本章的 关键，考查时，有时直接解一元一次方程，有时会根据一些数 量关系列出一元一次方程，然后再解方程. 在中考中以选择题、 填空题考查居多，在单元检测中为必考解答题.
知识必学
例 2 [新考法过程辨析法中考·衢州]小红在解方程73x= 4x－6 1＋1 时，第一步出现了错误： 解：2×7x=(4x－1)＋1， …
(1)m，n应满足的条件为m__≠_1_，n _＝__3_ ； (2)若此方程的解为整数，求整数m的值．
解：由(1)可知，方程为(m－1)x－3＝0，则 x＝m－3 1.
因为此方程的解为整数，所以m－3 1为整数． 因为 m 为整数，所以 m－1＝－3，－1，1 或 3. 所以 m＝－2 或 0 或 2 或 4.
方法必会
解：设小明出发x h 后追上小亮. 分析题意，可画出 图5-1，由图可列方程8x－6(x－1)=10 .
解得x=2 . 答：小明出发2 h 后追上小亮.
好题必解
类 型 1 方程的解
1 (1)[期末·宜春高安市]小明在解关于x的一元一次方程2a＋ x=9时，由于粗心，错把＋x 看成了－x，结果解得x= －3，则a的值为____3____．
方法必会
例 6 张琳的妈妈买了苹果、梨、柚子、橘子四种水果共 100 个，把苹果的个数加上4，梨的个数减去4，柚子 的个数乘4，橘子的个数除以4，最后四种水果的个数 相等，问原来四种水果各有多少个？ 解题秘方：变化以后的各种水果个数是定值，可设 为未知数，然后逆推出各种水果的实际个数列方程 求解.
章末核心要点分类整合
核心必读
1. 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含 有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 一般地，使方程左、右两 边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 一般地，如果方程中只 含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次 数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
链接中考 >> 解一元一次方程是本章的核心，也是本章的 关键，考查时，有时直接解一元一次方程，有时会根据一些数 量关系列出一元一次方程，然后再解方程. 在中考中以选择题、 填空题考查居多，在单元检测中为必考解答题.
知识必学
例 2 [新考法过程辨析法中考·衢州]小红在解方程73x= 4x－6 1＋1 时，第一步出现了错误： 解：2×7x=(4x－1)＋1， …
(1)m，n应满足的条件为m__≠_1_，n _＝__3_ ； (2)若此方程的解为整数，求整数m的值．
解：由(1)可知，方程为(m－1)x－3＝0，则 x＝m－3 1.
因为此方程的解为整数，所以m－3 1为整数． 因为 m 为整数，所以 m－1＝－3，－1，1 或 3. 所以 m＝－2 或 0 或 2 或 4.
方法必会
解：设小明出发x h 后追上小亮. 分析题意，可画出 图5-1，由图可列方程8x－6(x－1)=10 .
解得x=2 . 答：小明出发2 h 后追上小亮.
好题必解
类 型 1 方程的解
1 (1)[期末·宜春高安市]小明在解关于x的一元一次方程2a＋ x=9时，由于粗心，错把＋x 看成了－x，结果解得x= －3，则a的值为____3____．
方法必会
例 6 张琳的妈妈买了苹果、梨、柚子、橘子四种水果共 100 个，把苹果的个数加上4，梨的个数减去4，柚子 的个数乘4，橘子的个数除以4，最后四种水果的个数 相等，问原来四种水果各有多少个？ 解题秘方：变化以后的各种水果个数是定值，可设 为未知数，然后逆推出各种水果的实际个数列方程 求解.
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(1)移项得：－5x＋6x＝－5， 合并同类项得：x＝－5
(3)去括号得：4x－60+3x＝6x－63＋7x， 合并同类项得：7x-60＝13x-63， 移项得：6x＝3， 两边都除以 6 得：x＝1/2
能力点1
5 去分母得：2(5x－2)＝1＋3(3x－3)
正确解： 去分母得：2(5x－2)＝6＋3(3x－3)， 去括号得：10x－4＝6＋9x－9， 移项得：10x－9x＝6－9＋4， 合并同类项得：x＝1
（2）牢记面积、体积等各类等量公式
关系，一般可从以下几个方面
（3）从变化的关系中寻找不变的量
确定等量关系：
（如总路程不变，来回的速度及时间不同）
一元一次方程应用题(一) 和差倍分问题
1．某乡镇农民今年人均收入比去年提高20%，今年人均收入比 去年的1.5倍少1200元，这个乡镇农民去年人均收入是多少元？
分子、分母中含有小数的一元一次方程解法
0.4x0.90.0 30.0x 21
0.5
0.03
分子分母同时 乘以10
分子分母同时 乘以100
解：原方程 4x9 可 3化 2x为 1 53
去分母得：3(4x+9)-5(3+2x)=15， 去括号得：12x+27－15-10x=15， 移项合并同类项得：2x=3， 得：x＝2/3
能力提升
培优突破
若方2程 x3a2 3
若方程 a（ 3）xa220是一元一次方 a？ 程
41是一元一次方 a？ 程， 常见错则 解：
正确解答：由题意得，a 3 0①
3a 2 1 a1
3
a 21 解得： a 3
a 2 1② 解①得：a 3 解②得：a 3 所以，a的值应为 3
5.2 求解一元一次方程
（1）必须是整式（2）只含有一个未知数（3）未知数的次数为1
知识点2：等式的基本性质
基本性质1：等式两边同时加(减)同一个代数式,所得结果仍是等式
基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式
知识拓展：（1）两个等式的左、右两边分别对应相加（减），新的等式仍然成立
（2）两个等式的左、右两边分别对应相乘（除），新的等式仍然成立.
能力点2
带多层括号的一元一次方程解法
解：去大括号得
1（ x 1） 3 - 2 3 2
解方 3 2 2 3 程 1 2 （ x： 1 ） 3 3 3 去小括号，得
1 x 1 3-2 3 22
规律方法：一般按照“由内到外”的顺序
移项，得 1 x 1 3 2 3 22
去括号，即先“小”再“中”最后“大”；有时 可根据方程的特征，灵活选择去括号的顺 序，从而达到快速解题。
答：严重缺水城市有102座
4．奶奶用20元钱买了2斤橘子、3斤苹果、4斤海棠，已知橘子、 苹果、海棠的单价比是1∶2∶3，问若各买6斤时共要多少钱？
解：设橘子的单价为x， 列方程为：2x＋3×2x＋4×3x＝20， 解得： x＝1，6×1＋6×2＋6×3＝36元， 答：各买6斤时共要36元线
一元一次方程应用题(二) 工程问题
1．一件工程甲单独做要20小时，乙要12小时，现由甲先单独做4小 时，然后乙加入一起做，一共需合做几小时？
1．设一共需合做 x 小时，
？ 列方程为：210×4＋(210＋112)x＝ 1 ，
解得：x＝6， 答：一共需合做 6 小时
2．小明家装修一套新住房，若甲、乙装修公司合做要6周完成， 若甲公司独做需要10周完成．实际装修过程中甲公司先独做4周， 剩下的由乙公司独做，还要多少周完成？
1.一元一次方程的一般形式:ax+b=0(a≠0). 2.解一元一次方程的一般步骤: ①去分母; ②去括号; ③移项; ④合并同类项; ⑤系数化为1. 用解一元一次方程的一般步骤解方程时,要根据方程的结构 特点,并不是一成不变的
基础巩固
解下列方程： (1)－5x＋5＝－6x
4x－3(20－x)＝6x－7(9－x)
3．某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类： 暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数比 严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍， 求严重缺水城市有多少座？
解：设严重缺水城市有x座， 列方程为：4x－50＋2x＋x＝664，解得：x＝102，
解：设这个乡镇去年人均收入是x元， 列方程为：(1＋20%)x＝1.5x－1200， 解得：x＝4000， 答：这个乡镇去年人均收入是4000元
2．把一根长100 cm的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段 的2倍少5 cm，求分成的两段木棍各有多少 cm?
解：设另一段为x cm，则其中一段为(2x－5)cm， 列方程为：x＋2x－5＝100， 解得：x＝35，100－35＝65 cm， 答：分成的两段木棍各是35 cm和65 cm
北师大版（七上）数学
（知识点汇总）
5.1 认识一元一次方程
知识点1：方程及一元一次方程
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫做方程 2 x 1 0 ;x y 3 ;2 x 2 3 x 7 0 ; 1 x 0 2 x yy
（2）判断是否为一元一次方程的三个条件 首先把方程化成最简形式,然后需要同时满足
合并同类项，得
1 x 17 22
系数化为 1，得 x 17
5.3 一元一次方程应用题
等量关系的确定
（1）抓住问题中的关键词，确定等量
列方程解应用题的关键是， 找出能反映题意的一个等量关 系。对于复杂问题的等量关系， 可采用列表法分析数量之间的
关系。如，问题中的 “和”“差”“倍”“多”“少”“快 ”“慢”
注意：当应用除法运算时，分母不能为0 等式的性质是列方程和解方程的基础,是本章知识的基础.等式的基本性质在中考中经常 与后续的知识综合考查.
基础巩固
(1)已知5是关于x的方程3x - 2a=7的解,则a=？
〔解析〕 因为5是关于x的方程3x - 2a=7的解,所以3×5 - 2a=7,所以a=4.故填4.
2.设乙公司还要x周完成，
列方程为：110×4＋(16－110)x＝1， 解得：x＝9， 答：乙公司还要9周完成
3．整理一批图书，由一个人做要60小时，现在计划由一部分人先 做1小时，再增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工 作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？