Ising 模型简介

Ising 模型简介

可以毫不夸张地说，Ising模型是统计物理中迄今为止唯一的一个同 时具备:表述简单、内涵丰富、应用广泛这三种优点的模型。 Ising模型的提出是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定 临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会 表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相 变（也叫二级相变）。
1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开 始引起人们广泛的关注。这次求解是相变理论发展上的一个重要进 展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在 热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而 Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。在此之后很多人又相继发表 Ising模型的各种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫‘Ising模型的第 399种解法’。但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。
Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针 只有上下两个方向（自旋）。
相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境 热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强， 小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的 磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对 宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系 统展现出磁性。而当系统处于临界温度的时候，Ising模型表现出一 系列幂律行为和自相似现象。
ISING模型简史 Ising模型最早的提出者是Wilhelm Lenz (1920)。后来， 他让他的学生Ernst Ising对一维的Ising模型进行求解，但是并没有发 现相变现象，因此也没有得到更多物理学家的关注。 随后，著名 的统计物理学家Lars Onsager于1944年对二维的ISING模型进行了解 析求解，并同时发现了二维ISING模型中的相变现象，从而引起了 更多学者的注意。 之后，随着物理学家Landau、Ginzburg等人的努 力，人们发现了Ising模型与量子场论之间的联系，并创立了平行的 “统计场论”
由于Ising模型的高度抽象，人们可以很容易地将它应用到其他领域 之中。例如，人们将每个小磁针比喻为某个村落中的村民，而将小
磁针上、下的两种状态比喻成个体所具备的两种政治观点（例如对 A,B两个不同候选人的选举），相邻小磁针之间的相互作用比喻成 村民之间观点的影响。环境的温度比喻成每个村民对自己意见不坚 持的程度。这样，整个Ising模型就可以建模该村落中不同政治见解 的动态演化（即观点动力学opinion dynamics）。
在社会科学中，人们已经将Ising模型应用于股票市场、种族隔离、 政治选择等不同的问题。另一方面，如果将小磁针比喻成神经元细
胞，向上向下的状态比喻成神经元的激活与抑制，小磁针的相互作 用比喻成神经元之间的信号传导，那么，Ising模型的变种还可以用 来建模神经网络系统，从而搭建可适应环境、不断学习的机器 （Hopfield网络或Boltzmann机）。