角动量守恒的推导复习过程

摘要：在有心力的作用下，一个物体绕某一点转动。如果采用极坐标，物体在切
向的加速度为零，利用微积分的知识，可以从另一方面推导出角动量守恒关系。
前言：
科组在教学过程中，有人提出对于匀速圆周的物体，如果提供向心力的力增大或
减小（如图 1 所示，增加或减小 M 的质量），但该力始终指向原来的圆心，物体
会如何运动的问题。众所周知，力减小，物体做离心运动；力增大，物体做近心
运动，但最终能否稳定在某一轨道上做匀速圆周运动，则成为讨论的重点。笔者
在此问题上提出自己的看法。
内容：
因为是旋转问题，所以旋转极坐标来研究是比较方
便的。设远离半径方向单位向量 ，切线方向单位向
量为 。则物体的位移为： 对①求导：
……①
图 1 光滑水平面上物体 m 做 匀速圆周运动
即径向速度大小：
仅供学习与参考
即合外力大于所需向心力，m 在最远处后只可能是近心运动。 但究竟是不是椭圆轨道呢？如果 m 受力与行星受力相似，即与距离的平方 成反比或者径向加速度大小与距离的平方成正比的话，这就有很大可能性了。 当半径为 时，速度为 ，根据能量守恒定律，可得：
角动量守恒定律，可得：
(2)代入（1），并求导化简，得：
，角速度速度 ，线速度为 （注：此时
）。
由能量守恒定律得：
角动量守恒：
由⑨、⑩可以求出
，此时如果满足：
仅供学习与参考
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则之后稳定为匀速圆周运动。 如果不满足，m 就应该接下来应该是近心运动。能近到什么程度呢？假设最 小半径小于原来的 ，根据角动量守恒可知，在 m 运动到半径为 时，此时的切 向速度显然等于 ，但由于还有径向速度，所以系统能量是不守恒的。同理可以 推出最小半径不可能大于 。由此可以推测，最小半径还是是 。可以猜想，m 的最终轨道可能是一个圆，也可能是椭圆（该模型与行星运动相似，所以猜测第 二种的可能性更大）。事实上最终的轨道不可能是圆。推理如下： 由⑨、⑩联立，消去 ，可得：
仅供学习与参考
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再次整理，得到：
由上式，得：
对于同一物体（或系统）而言，其
Baidu Nhomakorabea。（I 为转
动惯量）即一个在有心力场中运动的质点，始终受到一个通过力心的有心力作用，
因有心力对力心的力矩为零，所以根据角动量定理，该质点对力心的角动量守恒。
因此，质点轨迹是平面曲线，且质点对力心的矢径在相等的时间内扫过相等的面
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有心力场的角动量守恒
law of conservation of angular momentum in central-force field 肖云剑†
（广东省中山市华侨中学高中部，中山 528400）
Email: xyj198610@sina.cn 手机：13640492510
关键词：角动量 极坐标 有心力 椭圆轨道
……②
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……③ 切向速度大小（匀速圆周运动中的线速度大小）：
继续对②求导：
……④
可知：法向加速度大小： 切向加速度大小：
……⑤ ……⑥
……⑦
如果是圆周运动，半径大小不变，即
，由⑥可知，向心加速度大
小是 ，方向指向圆心。
显然本处物体不再做圆周运动，但是切向加速度始终为零。由⑦，得：
整理可得：
积分，得：
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由此可知，径向加速度： 显然 并不是与 成反比，小球不是像行星在圆周轨道上运动时，加速就能
进入椭圆轨道那样。 结语：可以继续猜想，小球的运动可能具有对称性，会在“近日点”、“远日
点”来回转动，下面的物体也就是上下运动。只是小球运动的轨道有些复杂。
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积。如果把太阳看成力心，行星看成质点，则上述结论就是开普勒行星运动三定
律之一的开普勒第二定律。
利用角动量守恒，可以简单处理上面的问题。这里就简单介绍下如果 m 原
来做匀速圆周运动，瞬间增大速度（方向不变），此时半径设为 ，角度 ，线
速度 （注：此时
）。物体肯定远离圆心，绳子拉力对 m 做负功，所以
m 不可能无限扩张。在某一时刻，m 径向速度为零，不再远离圆心，设此时半径