圆锥曲线二轮复习全部题型总结

圆锥曲线

一、圆锥曲线的定义

1、几何定义：

用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)。

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。

6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。

7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。思考：

【做】例1、（14年3月13校联考14题）设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且

B C αA α，则点的轨迹为（ ）1

sin 2

ABC ∠=

A （A ）圆或椭圆 （

B ）抛物线或双曲线 （

C ）椭圆或双曲线 （

D ）以上均有可能

4、书本上基本的定义在平面内

1)圆：到定点的距离等于定长；

2)椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；

3)双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；4)抛物线：到定点与定直线距离相等.（定点不在定直线上）.

二、轨迹方程

1、求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.

2、求动点轨迹方程的几种方法

(1)直接法：(2)定义法：(3)代入法：(4) 参数法：（5）点差法：典型例题一：直接法

此类问题重在寻找数量关系。

例1： 一条线段AB 的长等于,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？

a 2二：定义法

例1：已知的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C

为动点，且满足

ABC ∆求点C 的轨迹。,sin 4

5

sin sin C A B =

+2:一动圆与圆O ：外切，而与圆C ：内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：12

2=+y x 0862

2=+-+x y x A ：抛物线B ：圆 C ：椭圆 D ：双曲线一支

三：参数法

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。

例1．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

四：代入法

例1.点B 是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程.

122

22=+b

y a x )0,2(a A AB M 五、点差法

例1直线（是参数）与抛物线的相交弦是，求弦的中点轨迹():50l ax y a --+=a ()2

1y x =+AB AB 方程.

三、方程识别

1、平面直角坐标方程

2、参数方程（1）圆

（2）椭圆

（3）双曲线

（4）抛物线

{cos sin x a r y b r θθ

=+=+{cos sin x a y b θ

θ

=={sec tan x a y b θθ

=={

2

22x pt y pt

==经典例题

例1、当m,n 满足什么条件时，方程 分别表示圆、椭圆、双曲线？

12

2=+n

y

m x

【做】例2、（2013年上海徐汇区一模18）【理】对于直角坐标平面内的点(不是原点),

xOy (,)A x y 的“对偶点”是指：满足且在射线上的那个点. 若是在同一直线上的

A B 1OA OB =OA ,,,P Q R S 四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”（ ）''''

,,,P Q R S ．一定共线； ．一定共圆；

A B

．要么共线，要么共圆； ．既不共线，也不共圆．

C D 4、圆锥曲线的概念与几何性质

注：与共渐近线的双曲线方程－（）;

22221x y a b -=22

a

x 22y b λ=0λ≠经典例题

例1．椭圆的一个焦点是（0，2），那么k= 。

5522=+ky x 变式：1．与椭圆共焦点，且过点（3，-2）的椭圆标准方程是 。

14

922

=+y x

2．双曲线的渐近线为 ; 两渐近线夹角为 。

14

92

2=-x y 3．过点（-6，3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线的双曲线方程为

4.若双曲线的一个焦点是（0，3），则k 的值是 。

8822=-ky kx 例2.给出问题：F 1、F 2是双曲线=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的20

162

2y x -

距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由

||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. .

五、点与圆锥曲线位置关系、最值问题

1、位置关系

①几何方法 ②代数方法 ③利用进行范围锁定x y 、2、最值问题

①一定一动（动点在圆锥曲线上）：利用两点间的距离公式.（圆可用加减半径求解）

②两定一动（其中一定为焦点、动点在圆锥曲线上）：利用焦点转化（抛物线利用焦点与准线转换）经典例题

例1. 某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为

、短轴长为的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 ，且两个导航灯在海平面上的

a 2

b 2、1h 2h 投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是

21θθ、