简谐运动的合成与分解
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x A1 y A2
2 A2
仍为谐振动， 但是振动方向 改变了！
x A 1 y A2
y
2 A1
x 质点的轨迹曲线
20 10
2
x2 y2 2 1 2 A1 A2
x
A1 A2 轨迹为圆
提问：若y方 向振动落后x 方向，则结 果如何？
y
右旋！
画合运动的轨迹：可在x、y方向分别选一旋转矢量如图。把小 点按顺序用曲线联起来，即可得所求合运运动的轨迹。
位 移 x
1 2 2 1 2 A cos t cos 2 2
振幅周期性变化
分振动2
t
合振动 分振动1
2 21
3T 2
o
T 2
T
2T
t
为一复杂振动
着重研究1 , 2相近情况
即 1- 2 << 1 or 2
——拍现象（Beat)
总结：
两个同方向频率相同的简谐振动的合成仍为简谐振动。 合振幅与两振动的相位差有关，可用旋转矢量图求得。 两个同方向频率相近的简谐振动的合成
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
1
1
x
同方向不同频率两个简谐振动的合成 ------为一复杂运动
设两振动振幅相同，并以它们的初相位都为零时为 计时起点 x A cos t x2 A cos2t 1 1
差频 和频
x x1 x2
2
共振
（1）位移共振（图1） 在一定条件下，振幅出现 极大值，振动剧烈的现象。
2 共振 0 2 2
A
（2）速度共振（图2）
一定条件下，速度幅 A 极大的现象。
共振 0
0
vm
即速度共振时，速度与策动力同相， 一周期内策动力总作正功，此时向 系统输入的能量最大。
0
1 2
A1 A2 A
2 2 1 3
O
A1
例: N个同方向，同频率的谐振动，若它们相位依次 为， 2，…,试求它们的合振幅;并证明当N=2k 时的合振幅为零。 解：合振幅A
由OPa可看出
N sin 2 A A0 sin 2
N A 2 R si n 2
5
2
t 在生产实际中根据不同要 求控制阻尼大小。
受迫振动
运动方程
k 2 0 , 令m
驱动力
F F0 cos t
m
d2 x dx m 2 kx F0 cos t dt dt
2
频率为外力频率， 与振动系统固有频 A cos( t 0 ) 率无关！
2 x A0e t cos( 0 2 t )
稳态振动后，方程的解为
x A cos(t 0 )
注意:稳态时的受迫振动与无阻尼自由振动实质有所不同。 对于一定的振动系统，当 F0 一定时，位移振幅A随频率 而改变。 F0
A m ( 0 2 ) 2 4 2 2
着重研究1 , 2相近情况
即 1- 2 << 1 or 2
——拍现象（Beat)
x
x
o
2 1 2 A cos t 2
1 2 cos t 2
振幅随时间的变化非常缓慢
振幅调制因子Amplitude modulation factor
三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
y2 A2 cos(t 20 )
消去 t 得到轨道方程 （椭圆方程）
x2 y2 xy 2 2 cos( ) sin (20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2 20 10 20 10 0
a0 x( t ) an cos nt bn si nt 2 n 1
x( t ) A0 An cosnt 0
n 1
各系数可由公式得
2 a0 T
t0 T
t0
x ( t )dt
2 an T
2 bn T
其中：
An
t 0 T
x20
10
0
A1
t o
x0
.P
x10
x
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例 (1)两个振动同相 20 10 2k , k 0,1,2,... 由 A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
A
2 A12 A2 2 A1 A2 A1 A2
x A0e t cos( ' t 0 ' )
x A0e t cos( ' t 0 ' )
式中 ' 02 2 . 阻尼振动的特点：
A A0 e t
称为阻尼振动振幅。
x
1.振幅特点:振幅A(t) = A0
来自百度文库
e- t
O
t
振幅随t衰减(因为振动能量不断损耗) 2.周期特点: 严格讲，阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动， 因为位移x(t)不是t的周期函数。但阻尼振动有某种重 复性。
拍现象是一种很重要的物理现象。
手风琴的中音簧：
键盘式手风琴（ Accordion) 的两排中音簧的频 率大概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍” 频。而俄罗斯的“巴扬”---纽扣式手风琴则是单 簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。
利用拍频测速
从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效 应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波 所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种 方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测 速装置中。
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
x
合成振动
o
T 2
T
3T 2
2T
t
(2)两个振动反相 x 20 10 (2k 1) , k o,1,2,...
x1
T 2
x2
合成振动
T
由A A A 2 A1 A2 cos( 20 10 )
2 1 2 2
o
3T 2
2T
A A A 2 A1 A2 A1 A2
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： 1 x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
A
A2 A2
20
x2 A2 cos(t 20 )
A
x x1 x2 x A cos(t 0 )
A
2 2 A1 A2 2 A1 A2 cos( 20 10 )
A1
M
A sin 10 A2 sin 20 tg 0 1 A1 cos10 A2 cos 20
x1
x2
x x1 x2
t
x
2 1 2 A cos t 2
1 2 cos t 2
2 1 | 振幅变化缓慢 | 2
x
x1 x2
x x1 x2
一个强弱变化所需的时间
o
一个拍
t
合振幅变化的频率即拍频 2 1 拍 | || 2 1 | 2
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
两个互相垂直不同振幅同频率简谐振动的合成 3 0 2 4 4
20 10
2 A2
2 A1
5 4
与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为 相互垂直的两个简谐振动。
3 2
7 4
2
9 4
四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成
如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们 的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只 讨论简单的情形。
先看一个倍频谐振动的 例子。下图，两种虚线代表 两份振动，频率之比为3:1， 实线代表它们的合振动，图 （a),(b), (c)分别表示三种不 同的初相位所对应的合振动。 三种不同情况，和振动各有 不同形式，它们不再是简谐 振动，但仍然是周期运动， 而且合振动的频率与分振动 中的最低频率（基频）相等.
P
R
A0 2 R sin
2
/2
N
Q
A合
请大家自行练习！
b a C A0 B
分析： 当N=2k 时的合振幅为零。
O
X
当=2k 时的合振幅为最大。
请记住这个结论！ 做笔记！
二.同方向不同频率两个简谐振动的合成
同方向同频率两个简谐振动的合成 ------仍为简谐振动
A
A2
2 1 2 2
t
如果 A1 A2
则 A=0
一般情况 为其他任意值，则：
A1 A2 A ( A1 A2 )
x
T 2
合成振动
3T 2
o
T
2 T
t
上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着 重要作用。
例: 两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动 合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两 个振动的相位差。 A2 A 解： A A A
不同乐器奏出的统一音调的音色 各不相同，就是由于各种乐器所 包含的谐频振动的振幅不同所致。 下图表示小提琴和钢琴同奏基频 为440Hz(A调）的振动曲线和相 应的频谱：
近年来，配备有数字电子计算机的专用仪器相继问 世，如频率分析仪、快速傅立叶变换处理机、信号 处理机等， 使用这类仪器可以在很短的时间内完成 频谱分析。
设T '为物体相继两次通过极大(或极小)位置所经时间 2 2 2 T' T0 2 2 ' 0 0
阻尼、临界阻尼和过阻尼：
x
图中曲线1,2为 阻尼振动 ( 0 )
曲线３为 临界阻尼 ( 0 ) 曲线４,５为 过阻尼振动( 0 )
1 3
4
两振动的频率只有很小的差异
则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在 缓慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按上 图所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成 椭圆再变成直线等等。
如果两振动的频率相差较 大，但有简单的整数比
则合成运动又具有稳定的 封闭的运动轨迹。这种图 称为李萨如图。
如果已知一个振动的周期，就 可以根据李萨如图形求出另一 个振动的周期，这是一种比较 方便也是比较常用的测定频率 的方法。
阻尼振动（摩擦阻尼，辐射阻尼）
对于摩擦阻尼， 当 不太大时 （ 称为阻尼系数） 由牛顿第二定律
k 2 0 ; 令 m
略讲自学
dx Ft dt
2 m
d2 x dx m 2 kx dt dt
代入上式（ 称为阻尼因子）
在阻尼较小时， < 0，
本讲主要内容：
一、同方向同频率两个简谐振动的合成
二、同方向不同频率两个简谐振动的合成
三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成 四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成 五、谐振分析和频谱 研究方法： 采用振动描述的三种方法来分析简谐 振动的合成。
一、同方向同频率两个简谐振动的合成
x1 A1 cos( t 10 )
2 A2
仍为谐振动， 但是振动方向 改变了！
x A 1 y A2
y
2 A1
x 质点的轨迹曲线
20 10
2
x2 y2 2 1 2 A1 A2
x
A1 A2 轨迹为圆
提问：若y方 向振动落后x 方向，则结 果如何？
y
右旋！
画合运动的轨迹：可在x、y方向分别选一旋转矢量如图。把小 点按顺序用曲线联起来，即可得所求合运运动的轨迹。
位 移 x
1 2 2 1 2 A cos t cos 2 2
振幅周期性变化
分振动2
t
合振动 分振动1
2 21
3T 2
o
T 2
T
2T
t
为一复杂振动
着重研究1 , 2相近情况
即 1- 2 << 1 or 2
——拍现象（Beat)
总结：
两个同方向频率相同的简谐振动的合成仍为简谐振动。 合振幅与两振动的相位差有关，可用旋转矢量图求得。 两个同方向频率相近的简谐振动的合成
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
1
1
x
同方向不同频率两个简谐振动的合成 ------为一复杂运动
设两振动振幅相同，并以它们的初相位都为零时为 计时起点 x A cos t x2 A cos2t 1 1
差频 和频
x x1 x2
2
共振
（1）位移共振（图1） 在一定条件下，振幅出现 极大值，振动剧烈的现象。
2 共振 0 2 2
A
（2）速度共振（图2）
一定条件下，速度幅 A 极大的现象。
共振 0
0
vm
即速度共振时，速度与策动力同相， 一周期内策动力总作正功，此时向 系统输入的能量最大。
0
1 2
A1 A2 A
2 2 1 3
O
A1
例: N个同方向，同频率的谐振动，若它们相位依次 为， 2，…,试求它们的合振幅;并证明当N=2k 时的合振幅为零。 解：合振幅A
由OPa可看出
N sin 2 A A0 sin 2
N A 2 R si n 2
5
2
t 在生产实际中根据不同要 求控制阻尼大小。
受迫振动
运动方程
k 2 0 , 令m
驱动力
F F0 cos t
m
d2 x dx m 2 kx F0 cos t dt dt
2
频率为外力频率， 与振动系统固有频 A cos( t 0 ) 率无关！
2 x A0e t cos( 0 2 t )
稳态振动后，方程的解为
x A cos(t 0 )
注意:稳态时的受迫振动与无阻尼自由振动实质有所不同。 对于一定的振动系统，当 F0 一定时，位移振幅A随频率 而改变。 F0
A m ( 0 2 ) 2 4 2 2
着重研究1 , 2相近情况
即 1- 2 << 1 or 2
——拍现象（Beat)
x
x
o
2 1 2 A cos t 2
1 2 cos t 2
振幅随时间的变化非常缓慢
振幅调制因子Amplitude modulation factor
三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
y2 A2 cos(t 20 )
消去 t 得到轨道方程 （椭圆方程）
x2 y2 xy 2 2 cos( ) sin (20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2 20 10 20 10 0
a0 x( t ) an cos nt bn si nt 2 n 1
x( t ) A0 An cosnt 0
n 1
各系数可由公式得
2 a0 T
t0 T
t0
x ( t )dt
2 an T
2 bn T
其中：
An
t 0 T
x20
10
0
A1
t o
x0
.P
x10
x
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例 (1)两个振动同相 20 10 2k , k 0,1,2,... 由 A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
A
2 A12 A2 2 A1 A2 A1 A2
x A0e t cos( ' t 0 ' )
x A0e t cos( ' t 0 ' )
式中 ' 02 2 . 阻尼振动的特点：
A A0 e t
称为阻尼振动振幅。
x
1.振幅特点:振幅A(t) = A0
来自百度文库
e- t
O
t
振幅随t衰减(因为振动能量不断损耗) 2.周期特点: 严格讲，阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动， 因为位移x(t)不是t的周期函数。但阻尼振动有某种重 复性。
拍现象是一种很重要的物理现象。
手风琴的中音簧：
键盘式手风琴（ Accordion) 的两排中音簧的频 率大概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍” 频。而俄罗斯的“巴扬”---纽扣式手风琴则是单 簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。
利用拍频测速
从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效 应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波 所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种 方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测 速装置中。
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
x
合成振动
o
T 2
T
3T 2
2T
t
(2)两个振动反相 x 20 10 (2k 1) , k o,1,2,...
x1
T 2
x2
合成振动
T
由A A A 2 A1 A2 cos( 20 10 )
2 1 2 2
o
3T 2
2T
A A A 2 A1 A2 A1 A2
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： 1 x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
A
A2 A2
20
x2 A2 cos(t 20 )
A
x x1 x2 x A cos(t 0 )
A
2 2 A1 A2 2 A1 A2 cos( 20 10 )
A1
M
A sin 10 A2 sin 20 tg 0 1 A1 cos10 A2 cos 20
x1
x2
x x1 x2
t
x
2 1 2 A cos t 2
1 2 cos t 2
2 1 | 振幅变化缓慢 | 2
x
x1 x2
x x1 x2
一个强弱变化所需的时间
o
一个拍
t
合振幅变化的频率即拍频 2 1 拍 | || 2 1 | 2
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
两个互相垂直不同振幅同频率简谐振动的合成 3 0 2 4 4
20 10
2 A2
2 A1
5 4
与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为 相互垂直的两个简谐振动。
3 2
7 4
2
9 4
四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成
如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们 的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只 讨论简单的情形。
先看一个倍频谐振动的 例子。下图，两种虚线代表 两份振动，频率之比为3:1， 实线代表它们的合振动，图 （a),(b), (c)分别表示三种不 同的初相位所对应的合振动。 三种不同情况，和振动各有 不同形式，它们不再是简谐 振动，但仍然是周期运动， 而且合振动的频率与分振动 中的最低频率（基频）相等.
P
R
A0 2 R sin
2
/2
N
Q
A合
请大家自行练习！
b a C A0 B
分析： 当N=2k 时的合振幅为零。
O
X
当=2k 时的合振幅为最大。
请记住这个结论！ 做笔记！
二.同方向不同频率两个简谐振动的合成
同方向同频率两个简谐振动的合成 ------仍为简谐振动
A
A2
2 1 2 2
t
如果 A1 A2
则 A=0
一般情况 为其他任意值，则：
A1 A2 A ( A1 A2 )
x
T 2
合成振动
3T 2
o
T
2 T
t
上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着 重要作用。
例: 两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动 合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两 个振动的相位差。 A2 A 解： A A A
不同乐器奏出的统一音调的音色 各不相同，就是由于各种乐器所 包含的谐频振动的振幅不同所致。 下图表示小提琴和钢琴同奏基频 为440Hz(A调）的振动曲线和相 应的频谱：
近年来，配备有数字电子计算机的专用仪器相继问 世，如频率分析仪、快速傅立叶变换处理机、信号 处理机等， 使用这类仪器可以在很短的时间内完成 频谱分析。
设T '为物体相继两次通过极大(或极小)位置所经时间 2 2 2 T' T0 2 2 ' 0 0
阻尼、临界阻尼和过阻尼：
x
图中曲线1,2为 阻尼振动 ( 0 )
曲线３为 临界阻尼 ( 0 ) 曲线４,５为 过阻尼振动( 0 )
1 3
4
两振动的频率只有很小的差异
则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在 缓慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按上 图所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成 椭圆再变成直线等等。
如果两振动的频率相差较 大，但有简单的整数比
则合成运动又具有稳定的 封闭的运动轨迹。这种图 称为李萨如图。
如果已知一个振动的周期，就 可以根据李萨如图形求出另一 个振动的周期，这是一种比较 方便也是比较常用的测定频率 的方法。
阻尼振动（摩擦阻尼，辐射阻尼）
对于摩擦阻尼， 当 不太大时 （ 称为阻尼系数） 由牛顿第二定律
k 2 0 ; 令 m
略讲自学
dx Ft dt
2 m
d2 x dx m 2 kx dt dt
代入上式（ 称为阻尼因子）
在阻尼较小时， < 0，
本讲主要内容：
一、同方向同频率两个简谐振动的合成
二、同方向不同频率两个简谐振动的合成
三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成 四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成 五、谐振分析和频谱 研究方法： 采用振动描述的三种方法来分析简谐 振动的合成。
一、同方向同频率两个简谐振动的合成
x1 A1 cos( t 10 )