概率论2018年答案
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i 1
由
d ln L() d
n [ xi i 1
1] 0 ˆMLE
x【6 分】。又因为
X~P()，所以 E(X ) E(X ) ，即 ˆMLE
为 的无偏估计。【2 分】
（2）令 E(X ) X ，又 E(X )
xf (x)dx
0
6x2 3
(
x)dx
2
，于是 ˆM
2X 【5 分】
0,
,
0 x 1, y 0 其它
，
FZ (z) P(Z z) P(X Y z) f (x, y)dxdy x yz
1
0，
z
dx
zx eydy z 1 ez ,
0
1
dx
0
0
zx e ydy
0
1 e(z 1)
ez,
z0
(e 1)ez， z 1
0
z
1
fZ (z)
1
6x
2
(1
x)dx
1/
2
，E(
X
2
)Leabharlann Baidu
0
x2
f
X
(
x)dx
16x3(1 x)dx 3/10
0
E(Y)
yfY ( y)dy
1
3
y3dy
3
/
4
，
E(Y
2
)
0
y2
fY
(
y)dy
1
3
y4dy
3
/
5
，
0
D(X ) E(X 2) E2(X ) 1/20， D(Y ) E(Y 2) E2(Y ) 3/ 80
1 ez,
0 z 1
0,
z0
z 1
或者利用公式 fZ (z)
f (z y, y)dy
f X (z y) fY ( y)dy 直接计算也可。
六、（本题满分 13 分） （1）L()
n i 1
P{X i
xi}
n i 1
xi e xi!
ln L()
n
[xi ln ln(xi!)] ，
当1 y 2 时， FY (y) P(Y y) P(Y y, X 1) P(Y y,1 X 2) P(Y y, X 1)
P(Y y,1 X 2) P(X 2) y 1 x2dx 19 y3 18 。【5 分】
19
27 27 27
（2） P(X Y) P(X Y) P(X Y) P(X 1) P(1 X 2) P(0 X 2) 21 x2dx 8
七、（本题满分 14 分）（1）总体 X ~ N(, 2 ) ，且 未知，所以 2 的置信度为1 的置信区间
为
(n 1)S 2 ( 2 / 2 (n 1)
,
(n 1)S 2 12 / 2 (n 1) )
，
又
n=31 ， S 2 64 ， 0.05 ， 所 以 02.025(30) 46.979 ，
“从乙袋中取出白球”。则 B1, B2 构成一个完备事件组，则由全概率公式
P( A)
P(B1)P(A |
B1)
P(B2 )P(A |
B2 )
2 3
2 4
1 3
1 4
5 12
【5
分】
P(B1
|
A)
P(B1)P(A | P( A)
B1)
4 /12 5 /12
4 5
，
P(B2
|
A)
P(B2 )P(A | P( A)
x
0, f (x)dx F (x) x3,
1,
x0 0 x 1【3 分】
x 1
(3) P{1 X 1} 1 F(1) 7 【3 分】
2
28
（4） E(X 2 ) 1 x23x2dx 3 ，故 DX 3 3 2 3 【3 分】
0
5
5 4 80
四、（本题满分 13 分）（1） f X (x)
E(XY)
xyf (x, y)dxdy
1
dx
16x2 ydy 2 / 5 ， Cov(X ,Y) E(XY) E(X )E(Y) 1/ 40
0x
所以 XY
Cov(X ,Y ) 3 【4 分】 D(X ) D(Y ) 3
五 、（ 本 题 满 分
8
分）联合密度为
f
(
x,
y)
e y
河海大学 2018-2019 学年第一学期《概率论与数理统计》(理工类)参考解答（A）
一、填空题（每小题 3 分，本题满分 21 分）
（1）1/6，5/12【对 1 个给 2 分】；（2）D；（3）C；（4）1/6；（5）B；（6） 2018 ；（7）F(n1 1, n2 1)
二、（本题满分 10 分）设 B1 “从甲袋中取出的是白球”， B2 “从甲袋中取出的是黑球”， A
B2 )
3 / 12 5 /12
3 5
【4
分】
所以白球可能性大【1 分】。
三、（本题满分 13 分）（1）由1
f (x)dx
1 kx dx
k
， 0.75 EX 1 xkxadx
k
。
0
a 1
0
a2
∴
k
3, a
2 ，故
f
(x)
3x 2 , 0,
0 x 1 其它
【4 分】
(2) F(x)
02.975(30)
16.791，
(
(n 2 /
1)S 2 2 (n 1)
,
(n 12
1)S 2 ) / 2 (n 1)
=
(40.869,114.347)
【7
分】
（2）根据题意须检验假设 H0 : 75, H1 : 75 ，由于 X ~ N(, 2) ，且 2 未知，令检验统计
量t
X 75 H0 ~
S/ n
t(n 1)
，由
P(H1
|
H0)
得拒绝域为 | t
| t / 2(n 1)
，又
X
73 ，
0.05 ，
t0.025(30) 2.0423，所以 | t |1.392 2.0423，接受 H0，即赞同这位老师的说法。【7 分】
八、（本题满分 8 分）（1） FY ( y) P(Y y) 。当 y 1时， FY ( y) 0 ；当 y 2 时， FY ( y) 1。
f (x, y)dy
1
6xdy 6x(1 x),
x
0 x 1；
0,
其他
fY (y)
f
(x,
y)dx
y
6xdx
0
3y2,
0 y 1 【6 分】
0,
其他
（2）由于 f X (x) fY ( y) f (x, y) ，所以 X 与 Y 不相互独立【3 分】
（3）E(X )
xfX (x)dx
09
27
【3 分】
河海大学 2018-2019 学年第一学期《概率论与数理统计》参考解答（B） 一、填空题（每小题 3 分，本题满分 21 分） （1）1/6，5/12【对 1 个给 2 分】；（2）B；（3）C；（4）B；（5）1/6；（6） 2018 ；（7）F(n1 1, n2 1)
2
由
d ln L() d
n [ xi i 1
1] 0 ˆMLE
x【6 分】。又因为
X~P()，所以 E(X ) E(X ) ，即 ˆMLE
为 的无偏估计。【2 分】
（2）令 E(X ) X ，又 E(X )
xf (x)dx
0
6x2 3
(
x)dx
2
，于是 ˆM
2X 【5 分】
0,
,
0 x 1, y 0 其它
，
FZ (z) P(Z z) P(X Y z) f (x, y)dxdy x yz
1
0，
z
dx
zx eydy z 1 ez ,
0
1
dx
0
0
zx e ydy
0
1 e(z 1)
ez,
z0
(e 1)ez， z 1
0
z
1
fZ (z)
1
6x
2
(1
x)dx
1/
2
，E(
X
2
)Leabharlann Baidu
0
x2
f
X
(
x)dx
16x3(1 x)dx 3/10
0
E(Y)
yfY ( y)dy
1
3
y3dy
3
/
4
，
E(Y
2
)
0
y2
fY
(
y)dy
1
3
y4dy
3
/
5
，
0
D(X ) E(X 2) E2(X ) 1/20， D(Y ) E(Y 2) E2(Y ) 3/ 80
1 ez,
0 z 1
0,
z0
z 1
或者利用公式 fZ (z)
f (z y, y)dy
f X (z y) fY ( y)dy 直接计算也可。
六、（本题满分 13 分） （1）L()
n i 1
P{X i
xi}
n i 1
xi e xi!
ln L()
n
[xi ln ln(xi!)] ，
当1 y 2 时， FY (y) P(Y y) P(Y y, X 1) P(Y y,1 X 2) P(Y y, X 1)
P(Y y,1 X 2) P(X 2) y 1 x2dx 19 y3 18 。【5 分】
19
27 27 27
（2） P(X Y) P(X Y) P(X Y) P(X 1) P(1 X 2) P(0 X 2) 21 x2dx 8
七、（本题满分 14 分）（1）总体 X ~ N(, 2 ) ，且 未知，所以 2 的置信度为1 的置信区间
为
(n 1)S 2 ( 2 / 2 (n 1)
,
(n 1)S 2 12 / 2 (n 1) )
，
又
n=31 ， S 2 64 ， 0.05 ， 所 以 02.025(30) 46.979 ，
“从乙袋中取出白球”。则 B1, B2 构成一个完备事件组，则由全概率公式
P( A)
P(B1)P(A |
B1)
P(B2 )P(A |
B2 )
2 3
2 4
1 3
1 4
5 12
【5
分】
P(B1
|
A)
P(B1)P(A | P( A)
B1)
4 /12 5 /12
4 5
，
P(B2
|
A)
P(B2 )P(A | P( A)
x
0, f (x)dx F (x) x3,
1,
x0 0 x 1【3 分】
x 1
(3) P{1 X 1} 1 F(1) 7 【3 分】
2
28
（4） E(X 2 ) 1 x23x2dx 3 ，故 DX 3 3 2 3 【3 分】
0
5
5 4 80
四、（本题满分 13 分）（1） f X (x)
E(XY)
xyf (x, y)dxdy
1
dx
16x2 ydy 2 / 5 ， Cov(X ,Y) E(XY) E(X )E(Y) 1/ 40
0x
所以 XY
Cov(X ,Y ) 3 【4 分】 D(X ) D(Y ) 3
五 、（ 本 题 满 分
8
分）联合密度为
f
(
x,
y)
e y
河海大学 2018-2019 学年第一学期《概率论与数理统计》(理工类)参考解答（A）
一、填空题（每小题 3 分，本题满分 21 分）
（1）1/6，5/12【对 1 个给 2 分】；（2）D；（3）C；（4）1/6；（5）B；（6） 2018 ；（7）F(n1 1, n2 1)
二、（本题满分 10 分）设 B1 “从甲袋中取出的是白球”， B2 “从甲袋中取出的是黑球”， A
B2 )
3 / 12 5 /12
3 5
【4
分】
所以白球可能性大【1 分】。
三、（本题满分 13 分）（1）由1
f (x)dx
1 kx dx
k
， 0.75 EX 1 xkxadx
k
。
0
a 1
0
a2
∴
k
3, a
2 ，故
f
(x)
3x 2 , 0,
0 x 1 其它
【4 分】
(2) F(x)
02.975(30)
16.791，
(
(n 2 /
1)S 2 2 (n 1)
,
(n 12
1)S 2 ) / 2 (n 1)
=
(40.869,114.347)
【7
分】
（2）根据题意须检验假设 H0 : 75, H1 : 75 ，由于 X ~ N(, 2) ，且 2 未知，令检验统计
量t
X 75 H0 ~
S/ n
t(n 1)
，由
P(H1
|
H0)
得拒绝域为 | t
| t / 2(n 1)
，又
X
73 ，
0.05 ，
t0.025(30) 2.0423，所以 | t |1.392 2.0423，接受 H0，即赞同这位老师的说法。【7 分】
八、（本题满分 8 分）（1） FY ( y) P(Y y) 。当 y 1时， FY ( y) 0 ；当 y 2 时， FY ( y) 1。
f (x, y)dy
1
6xdy 6x(1 x),
x
0 x 1；
0,
其他
fY (y)
f
(x,
y)dx
y
6xdx
0
3y2,
0 y 1 【6 分】
0,
其他
（2）由于 f X (x) fY ( y) f (x, y) ，所以 X 与 Y 不相互独立【3 分】
（3）E(X )
xfX (x)dx
09
27
【3 分】
河海大学 2018-2019 学年第一学期《概率论与数理统计》参考解答（B） 一、填空题（每小题 3 分，本题满分 21 分） （1）1/6，5/12【对 1 个给 2 分】；（2）B；（3）C；（4）B；（5）1/6；（6） 2018 ；（7）F(n1 1, n2 1)
2