利用单调性解不等式
运用函数单调性与奇偶性解不等式
1．已知奇函数)(x f 在[-1，1]上为减函数，解不等式012>-+）（）（x f x
f
2、已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在区间[2,0]-内单调递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．
解：∵()f x 的定义域为[2,2]-，∴有2212212m m -≤-≤??
-≤-≤?，解得1m -≤≤① 由2(1)(1)0f m f m -+-<∴2(1)(1)f m f m -<--
又由()f x 为奇函数，得22(1)(1)f m f m --=-
∴2(1)(1)f m f m -<-，又()f x 为奇函数，且在[2,0]-上单调递减，
∴()f x 在[2,2]-上单调递减． ∴211m m ->-.
即21m -<< ② 综合①②，可知11m -≤<.
3、已知偶函数在区间单调增加，则满足＜1()3
f 的x 取值范围是
4、已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是. )3,1(-.
5、函数()()0f x x ≠是奇函数，且当()x ∈+∞0，时是增函数，若()10f =，求不等式102f x ??-< ??
?的解集。 6、设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集是______
7、设f （x ）设为奇函数，且在（-∞，0）内是减函数，f （-3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为______．
8.已知函数，则不等式的解集是 （ ）A ． B ．
C ．
D ． 9、设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且f （2a 2+a+1）＜f （2a 2-2a+3），
求a 的取值范围．a>2/3
10、已知偶函数在上为增函数，且，求的取值范围
11、已知偶函数在上是增函数，则满足的实数的取值范围是__________
X>1,x<-3
12、已知f (x )＝??? x 2＋4x x ≥0，4x －x 2
x ＜0，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值
范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案：C
13、设定义在[－2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减，若，求实数的取值范围．
答案：。
解抽象不等式
1、设是定义在（0，+∞）上的减函数 = +
（1）求的值（2）若解不等式+>3
2、已知f(x)是定义在(0, ＋∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1) 求f(4)与f(8)的值;(2)解不等式f(x)-f(x-2)>3;
3．若函数是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足，则不等式的解集为__ ．
4、已知函数在定义域上为增函数，且满足, .
(Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 解不等式
0 5、函数对任意的a ，b ∈R ，都有，并且当时，，若，解不等式。答案：。 6、已知函数的定义域为, 对任意都有, 且当时, . （Ⅰ）求证: ; （Ⅱ）求证: 在上是增函数; （Ⅲ）若 求不等式的解集．． . 7、已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且()()11f x g x x +=-，求()()f x g x 与的表达式。 1、已知定义域为R 的函数为奇函数。 ⑴ 求的值；⑵ 用单调性定义证明函数为R 上的减函数； （3） 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 单调性与几个重要不等式 [摘要] 本文利用单调性或函数的凹凸性证明不等式,并由此给出了詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式等几个重要的不等式。 [关键词] 单调性詹生(Jensen)不等式杨氏不等式Holder不等式不等式 [Abstract] An effective method which is used constantly on proving inequalities in advanced mathematics has been introduced in the paper.And we also gave some important inequalities such as Jensen Inequality, Yang-Inequality, Holder Inequality, andInequality. [Key words] Monotone Jensen Inequality Yang-Inequality Holder InequalityInequality 在高等数学中,利用函数的单调性证明不等式的具有普遍的意义。本文通过利用函数的单调性证明数学中几个重要的不等式: 詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式。以期对高等数学的教学有一定的启发和帮助。 引理1:设在区间有可导,且,,则。 引理2 设在区间有二阶导数,且,则对任意的,下面不等式成立 (1) 证无妨设, 对任意取定的,令 则 当时,有。又因为,所以由引理1知严格递增,于是有,因此严格递减,从而有,即 。 在引理2的条件下,假设 ,利用数学归纳法可以证明如下詹生(Jensen)不等式,即 且等号仅在时成立。 证明:由引理2有 构造函数法证明不等式的八种方法 利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 1、从条件特征入手构造函数证明 【例1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ， 求证：．a )(a f >b )(b f 【变式1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式)(x f >)(x f '，且1)(-=x f y 为奇函数. 求不等式)(x f 考研数学：如何用单调性和凹凸性证明不等式 纵观考研数学多年来的考试大纲和考试真题试卷，总体上讲变化不大。每年的考试范围和知识点基本相同或相近，考试题型的变化幅度也不是很大，其中有一些重要题型是年年考或经常考，如果考生能完全掌握这些重要题型的解题思路和方法，并能熟练地解答这些题型，则对于顺利地通过考研数学考试将有极大帮助。为了帮助各位考生学会并提高解答数学重要题型的水平，文都老师针对历年考研数学中的重要题型进行深入解剖，分析提炼出各种常考重要题型及方法，供考生们参考。下面分析高等数学中如何用单调性和凹凸性证明不等式这类问题。 用单调性和凹凸性证明不等式的基本思路： 大部分不等式的证明题，往往需要根据条件作辅助函数，然后由导数判断函数的单调性、凹凸性，再由单调性、凹凸性得出要证的不等式。 根据单调性证明： 若函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()(),()()f a g a f x g x ''≥≥，则在(,)a b 上，()()f x g x ≥；若将上面的“≥”都改成“>”（或“≤”，或“<”），则不等式亦成立。 根据凹凸性证明： 若在区间I 上()<0f x ''，则()f x 是凸函数，12,x x I ?∈，恒有1212()()( )22x x f x f x f ++> ；对凹函数则相反，若()0f x ''>，则1212()()( )<22x x f x f x f ++ 。 典型例题： 例1.设()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0f x ''>，证明：对于(,)a b 内任意两点12x x 、及01t ≤≤，有1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 证：不妨设12x x <，令11()(1)()()[(1)]g x t f x tf x f t x tx =-+--+，12x x x ≤≤，记1(1)u t x t x =-+，则 1()0g x =，()()()()()0,g x tf x tf u tf x u u x ξξ'''''=-=-≥<<，故()g x 单调不减，于是1()()0g x g x ≥=，取2x x =，得2()0g x ≥，1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 注：1）此题是用单调性证明凹函数的一个重要特性。 2）此题结论的几何意义：凹函数图形上任意两点之间的连线都在其图形之上。 函数单调性的应用 一、比较大小 例1 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小. 解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2， ∴f (－1)＝f (5). ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (2) (3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错. 三、求参数的值或取值范围 例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围. 解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1 利用函数单调性证明积分不等式 黄道增 浙江省台州学院 （浙江 317000） 摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。 关键词：函数单调性 积分不等式 辅助函数 中图分类号 O172.2 积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。 1 利用被积函数的单调性 证明方法根据----定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两个可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤，则dx x g dx x f b a b a ??≤)()(. 例1 设)(x f 为]1,0[上非负单调递减函数， 证明：对于10<<<βα，有?? >βααβαdx x f dx x f )()(0 证明：由)(x f 的单调递减性得： 若10<≤<αx ，有)()(αf x f ≥ 所以)()()(00αααα αf dx f dx x f =≥?? （1） 同理有 )()()()(ααβαβαβ αf dx f dx x f -=≤?? （2） 由（1）（2）得： dx x f f dx x f ??-≥≥β αα αβαα)(1)()(10 （3） 将（3）式两边同乘以β αβα)(-，有 dx x f dx x f ??≥-βαα βαβα β)()(0 因为1<-β αβ，所以??>βααβαdx x f dx x f )()(0 例2 试证：dx x x dx x x ??-≥-1021021sin 1cos . 分析：不等式两边的积分是瑕积分。在两边的积分中分别作变换x t arccos =与 微积分中不等式的证明方法讨论 不等式的证明题经常出现在考研题中，虽然题目各种各样，但方法无非以下几种： 1.利用函数的单调性证明不等式 若在),(b a 上总有0)(>'x f ，则)(x f 在),(b a 单调增加；若在),(b a 上总有0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 单调减少。 注：考研题的难点是，构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对),(b a 进行分割，分别在小区间上讨论。 例１：证明：当0a b π<<<时， sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时）， 故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即 sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值）。 例2：设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 2 22a b e a b ->-. 【分析】即证a e a b e b 2 222 4ln 4ln ->- 证明： 设x e x x 224ln )(-=?，则 24ln 2)(e x x x -='?， 2ln 12)(x x x -=''?, 所以当x>e 时，,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少，从而当2 e x e <<时， 教学容概要 教学容 【知识精讲】 一、常见的抽象函数模型： ① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。 ② 幂函数模型：()2 x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ?=；() ()y f x f y x f =??? ? ??。 ③ 指数函数模型：()x a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ?=+；()()() y f x f y x f = -。 ④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=??? ? ??。 ⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()() y f x f y f x f y x f ?-+= +1。 如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。 二、奇偶函数的性质： 奇函数：（1）()()f x f x -=-； （2）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =； （3）图像关于原点对称； （4）y 轴左右两侧的单调性相同； 偶函数：（1）()()f x f x -=； （3）图像关于y 轴对称； （4）y 轴左右两侧的单调性相反； 三、函数单调性的逆用： 若()f x 在区间D 上递增，则1212()()f x f x x x .(1x 2,x D ∈). 四、不等式恒成立问题的解法 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 通过上面的等价转化，转换为函数求最值的问题。 【经典例题】 1 利用函数的奇偶性和单调性解不等式 函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质，同时它也能应用到解决实际问题中去，今天我们就来看用这两种性质解不等式.要注意，当我们遇到的不等式中，没有给出函数解析式，或者解析式很复杂时，就可以考虑借助函数的性质来辅助解题. 先看例题： 例：已知定义在R 上的偶函数，f (x )在[0,)+∞单调递增，且f (1)=0，则不等式(2)0f x -≥的解集是______. 所以不等式的解集为：{|31}x x x ≥≤或 练：已知函数2 1()ln(1||)1f x x x =+-+，若()(21)f x f x >-，则实数x 的取值范围是( ) 首先通过观察函数含有绝对值和平方，应该是一个偶函数， 所以f (x )在[0,)+∞单调递增；由偶函数的性质将原不等式转化为： (||)(|21|)f x f x >- 等价于解不等式|||21|x x >- 两边平方得：22441x x x >-+ 整理得：23410x x -+< (31)(1)0x x --< 所以x 的取值范围是1 (,1)3 练：已知函数f (x )是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，f (-3)=0，则()0x f x <的解集是( ) 解：同上面的题目，函数是抽象函数，且为奇函数 由已知f (-3)=0，则原不等式等价于 0()0(3)x f x f =-?或 0()0(3)x f x f >??<=-? 2 再根据函数的单调性， 30x -<< 03x << 所以解集为(3,0)(0,3)- 练习： 1.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足 |1|(2)(a f f ->,则a 的取值范围是________. 2.已知f (x )是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,f (x )=x 2－4x ,那么,不等式f (x +2)<5的解集是________. 用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法 指数不等式、对数不等式的解法·例题 例5-3-7 解不等式： 解(1)原不等式可化为 x2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为 注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。 解[法一] 原不等式同解于 所以原不等式的解为x＞3。 [法二] 原不等式同解于 log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1) 所以原不等式的解为x＞3。 注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。 解原不等式可化为 22x-6×2x-16＜0 令2x=t(t＞0)，则得 t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8 又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。 注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。 解原不等式可化为 解得t＜-2或0＜t＜1，即 注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。 例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式 解原不等式可化为 令log a x=t，则得 当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。 例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有 f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。 分析由题设条件容易联想到f(x)是指数型函数，又a2=f(1)·f(1)=f(2)，故原不等式同解于f(x2+x-4)＞f(2)。于是，问题归结为先确定f(x)的单调性，再解一个二次不等式。 =0，否则，对任意x∈R，有 f(x)=f((x-x0)+x0)=f(x-x0)f(x0)=0 与已知矛盾，所以对任意x∈R，有f(x)＞0。 现设x，y∈R，且y=x+δ(δ＞0)。则 f(y)-f(x)=f(x+δ)-f(x)=f(x)f(δ)-f(x) =f(x)[f(δ)-1]＞0(∵δ＞0，∴f(δ)＞1)。 故f(x)在R内是增函数。于是原不等式同解于 x2+x-4＞2 x2+x-6＞0 x＜-3或x＞2 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--= 2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈ 3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性. 复合函数的单调性与不等式恒成立问题 班级 学号 姓名 1、对于（0，3）上的一切实数x ,不等式()122-<-x m x 恒成立，则实数m 的取值范围是 。 2、不等式a 220x ax ++≥对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为 ． 3、不等式022 ≥-+ax ax 的解集为φ，则a 的取值范围为 ． 4、当[]1,3x ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则a 的范围为 ． 5、当[]1,3a ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则x 的范围为 ． 6、已知函数36,2(),63,2x x y f x x x +≥-?==?--<-? 若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 . 6．若二次函数()()22 42221f x x p x p p =----+在区间[－1，1]内至少存在一实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围 （ ） A ．121<<-p B ．233<<-p C ．3-≤p D ．2 13-<<-p 8．若满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和同时成立的x 的值，使关于x 的不等式0 922<+-a x x 也成立，则 （ ） A ．9>a B ．9=a C ．90≤+p x px x 恒成立的x 的取值范围是 ． 7、已知a ax x x f -++=3)(2 ，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 例1.若函数bx x a x f 1)1()(2++=，且3)1(=f ，2 9)2(=f ⑴求b a ,的值，写出)(x f 的表达式 ； ⑵判断)(x f 在),1[+∞上的增减性，并加以证明。 例4.已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。 运用函数单调性与奇偶性解不等式 1．已知奇函数)(x f 在[-1，1]上为减函数，解不等式0 12 >-+）（）（x f x f 2、已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在区间[2,0]-内单调递减，求满足 2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围． 解：∵()f x 的定义域为[2,2]-，∴有2 212 212 m m -≤-≤?? -≤-≤?，解得1m -≤≤① 由2 (1)(1)0f m f m -+-<∴2 (1)(1)f m f m -<-- 又由()f x 为奇函数，得2 2 (1)(1)f m f m --=- ∴2 (1)(1)f m f m -<-，又()f x 为奇函数，且在[2,0]-上单调递减， ∴()f x 在[2,2]-上单调递减． ∴2 11m m ->-. 即21m -<< ② 综合①②，可知11m -≤<. 3、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 取值范围是 4、已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是. )3,1(-. 5、函数()()0f x x ≠是奇函数，且当()x ∈+∞0，时是增函数，若()10f =，求不等式 102f x ? ?-< ?? ?的解集。 6、设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0 的解集是______ 7、设f （x ）设为奇函数，且在（-∞，0）内是减函数，f （-3）=0，则不等式xf （x ）＜0 的解集为______． 专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题 1．设函数2()(1||)f x ln x x =++，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A ．1(,1)3 B ．1 (,) (1,)3-∞+∞ C ．11(,)33 - D ．1 1 (,) (,)3 3 -∞-+∞ 【解析】解：函数2()(1||)f x ln x x =++， 那么22()(1||)()(1||)()f x ln x x ln x x f x -=+-+-=++= 可知()f x 是偶函数， 当0x >，()f x 是递增函数， ()(21)f x f x ∴>-成立，等价于|||21|x x >-， 解得：1 13 x <<， 故选：A ． 2．设函数2 1 ()||2019f x x x =- +，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A ．1 (3，1) B ．(-∞，1 )(13?，)+∞ C ．1(3-，1)3 D ．(-∞，11 )(33 -?，)+∞ 【解析】解：()f x 是R 上的偶函数，0x 时，2 1 ()2019f x x x =-+， ()f x ∴在[0，)+∞上是增函数， ∴由()(21)f x f x >-得，(||)(|21|)f x f x >-， |||21|x x ∴>-， 22441x x x ∴>-+，解得1 13 x <<， x ∴的取值范围是1 (,1)3 ． 故选：A ． 3．函数21|| 2 1 ()log (1)12x f x x =+- -，则使得()(21)f x f x -成立的x 取值范围是( ) A ．(-∞，1] B ．111[,)(,1]322? C ．1 [,1]3 D ．1 (,][1,)3 -∞+∞ 【解析】解：()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减； 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0， 证明:2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析:主要考查利用导数证明不等式的能力。 证明:1ln )(+='x x g ，设)2 ( 2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2( 2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ， 即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ,又a b > ∴0)()(=>a F b F , 即0)2 ( 2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2(2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2 ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时,0)(' 运用函数单调性与奇偶性解抽象函数不等式 【典例1】函数()f x 是R 上的单调函数，满足()()21f f >，且()()2f m f m >-，求实数m 的取值范围； 【问题解决】 由已知函数()f x 是R 上的单调函数，且满足()()21f f >， 得函数是R 上的单调递增函数， 又()()2f m f m >-， 所以2m m >-，解得10m m <->或 所以实数m 的取值范围是10m m <->或； 【典例2】已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在区间[2,0]-内单调递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围． 【问题解决】 ∵()f x 的定义域为[2,2]-， ∴有2212212m m -≤-≤??-≤-≤?，解得1m -≤≤① 由2(1)(1)0f m f m -+-< ∴2(1)(1)f m f m -<-- 又由()f x 为奇函数，得22(1)(1)f m f m --=- ∴2(1)(1)f m f m -<- 又()f x 为奇函数，且在[2,0]-上单调递减， ∴()f x 在[2,2]-上单调递减．（要证明） ∴211m m ->-. 即21m -<< ② 综合①②，可知11m -≤<. 【牛刀小试】 1、已知函数f (x )＝??? x 2＋4x (x ≥0)，4x －x 2 (x ＜0)，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C 2、设定义在[－2,2]上的偶函数()f x 在区间[0,2]上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围． 答案：112 m -≤<。 3、函数()f x 对任意的a ，b ∈R ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时，()1f x >，若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<。 答案：413 m -<<。 4、如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,],()x x a b x x ∈≠，给出下列结论： （1）、2121 ()()0f x f x x x ->-， （2）、2121()(()())0x x f x f x -->， （3）、12()()()()f a f x f x f b <<<， （4）、21210()() x x f x f x ->-； 其中正确的是____________（将正确的序号都填上）； 答案：（1），（2），（4）； 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【绿色通道】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令11 1)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、直接作差构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方； 构造函数证明不等式的八种方法 一、移项法构造函数 例：1、已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，但有x x x ≤+≤+- )1ln(111 2、已知函数22 1)(x ae x f x -= （1）若)(x f 在R 上为增函数，求a 的取值范围。 （2）若a=1，求证：0>x 时，x x f +>1)( 二、作差法构造函数证明 例：1、已知函数x x x f ln 2 1)(2+=，求证：在区间),1(+∞上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象下方。 思想：抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题 2、已知函数x n x f ln )(+=的图象在点))(,(x f m P 处的切线方程为y=x ，设 x x n mx x g ln 2)(--=，（1）求证：当1≥x 时，0)(≥x g 恒成立；（2）试讨论关于x 的方程tx ex x x g x n mx +-=--232)(根的个数。 3、换元法构造函数证明 例：1、证明：对任意的正整数n ，不等式3211)11ln(n n n -> +，都成立。 2、证明：对任意的正整n ，不等式3211)11ln(n n n -> +都成立。 3、已知函数ax x x ax x f --++=23)1ln()(，（1）若3 2为)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（2）若)(x f y =在),1[+∞上增函数，求实数a 的取值范围。（3）若a=-1时，方程x b x x f =---3)1()1(有实根，求实数b 的取值范围。 利用单调性解不等式 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 运用函数单调性与奇偶性解不等式 1．已知奇函数)(x f 在[-1，1]上为减函数，解不等式012 >-+）（）（x f x f 2、已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在区间[2,0]-内单调递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围． 解：∵()f x 的定义域为[2,2]-，∴有2212212m m -≤-≤?? -≤-≤?，解得13m -≤≤ ① 由2(1)(1)0f m f m -+-<∴2(1)(1)f m f m -<-- 又由()f x 为奇函数，得22 (1)(1)f m f m --=- ∴2(1)(1)f m f m -<-，又()f x 为奇函数，且在[2,0]-上单调递减， ∴()f x 在[2,2]-上单调递减． ∴211m m ->-. 即21m -<< ② 综合①②，可知11m -≤<. 3、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3 f 的x 取值范围是 4、已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是. )3,1(-. 5、函数()()0f x x ≠是奇函数，且当()x ∈+∞0，时是增函数，若()10f =，求 不等式102f x ??-< ?? ?的解集。 6、设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式 ＜0的解集是______ 7、设f （x ）设为奇函数，且在（-∞，0）内是减函数，f （-3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为______． 8.已知函数31()3 f x x x =+，则不等式2(2)(21)0f x f x -++>的解集是 （ ）A ．()(),21 21,-∞---+∞ B ．()21,21--- C ．()(),13,-∞-+∞ D ．()1,3- 9、设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且f （2a 2+a+1）＜f （2a 2-2a+3），求a 的取值范围．a>2/3 10、已知偶函数 在上为增函数，且，求的取值范围 11、已知偶函数在上是增函数，则满足的实数的取值范围是__________ X>1,x<-3 12、已知f (x )＝??? x 2＋4x x ≥0，4x －x 2 x ＜0， 若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C 13、设定义在[－2,2]上的偶函数()f x 在区间[0,2]上单调递减，若 (1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围． 答案：112 m -≤<。 解抽象不等式 1、设()f x 是定义在（0，+∞）上的减函数()f xy =()f x +()f y单调性与几个重要不等式
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