计算三角函数值的几种常用方法

小专题(一) 计算三角函数值的几种常用方法

方法1 定义法

直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可.

1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5.

(1)求AB 的长；

(2)求两个锐角的三角函数值.

2.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长和tanA 的值.

方法2 参数法

若已知两边的比值或一个三角函数值，而不能直接求出三角函数相应边的长，则可采用设参数的方法，先用参数表示出三角函数相应边的长，再根据三角函数公式计算它们的比值，即可得出三角函数值.

3.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD∶CD＝3∶2，则

tanB ＝( )

A.32

B.23

C.62

D.63

4.(泸州中考)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是 ( )

A.24

B.14

C.13

D.23

5.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，点F 恰好是AB 的一个三等分点(AF ＞BF).

(1)求证：△ACE≌△AFE；

(2)求tan ∠CAE 的值.

方法3 等角转换法

若要求的角的三角函数值不容易求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直接求转化后的角的三角函数值.

6.如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋

转得到△AB′C′，则tanB ′的值为( )

A.12

B.13

C.14

D.24

7.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，

将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝( )

A.34

B.43

C.35

D.45

8.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF⊥DE 于F ，过点A 作AG∥CF 交DE 于点G.

(1)求证：△DCF≌△ADG；

(2)若点E 是AB 的中点，设∠DCF＝α，求sin α的值.

方法4 构造直角三角形

若要求的三角函数值的角不在直角三角形中，则需要我们根据已知条件构造直角三角形解决.

9.如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC 的顶点都是网格中的格点，则sin ∠BAC 的值( )

A.61365

B.51378

C.1313

D.51326

10.(绍兴中考)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°.以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A ，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是( )

A.

312 B.36 C.33 D.32

小专题(二) 解直角三角形的应用

类型1 单一直角三角形

【例1】如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D 与点C，B在同一条直线上，已知AC＝32米，CD＝16米，求荷塘宽BD为多少米.(取3≈1.73，结果保留整数)

1.(丽水中考)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝

2.70 m，∠BOD＝70°，OD⊥CD，求端点A到地面CD的距离.(精确到0.1m，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)

类型2 背靠背三角形

【例2】为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200 m，∠CAB＝54°，∠CBA＝30°，求隧道AB的长.(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，结果精确到个位)

2.(菏泽中考)南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕

鱼作业，如图，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C处，

为了防止某国巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北

偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A，C之间的距离.

3.清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶地说：“呀！这棵树真高！有60多米.”小阳却不以为然：“60多米？我看没有.”两人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是1.6米.

(1)请在指定区域内画出小红和小阳测量古松树高的示意图；

(2)通过计算说明小红和小阳谁的说法正确.(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)

类型3 母子三角形

【例3】(邵阳中考)如图，一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)

4.放风筝是大家喜爱的一项体育活动，星期天的上午小刚在市政府广场上放风筝，如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝线AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小刚迅速边收线边向前移动，到达了离A处10米的B处，此时所收回的风筝线的长度是多少米？(风筝线AD，BD均为线段，2≈1.414，3≈1.732，最后结果精确到1米)