常用统计量及其应用

第四章常用统计量及其应用

第一节平均数与标准差的概念

一、平均数

反映一组性质相同的观测值的平均水平或集中趋势的统计量，其数学定义为

x丄X i

n i 4

平均数在一定程度上代表一组数据的整体水平，体育工作中，常用这一概念来反映事物

的某些特征。

例如，某中学的体育平均达标率，学生的平均身高，年龄某地区高考体育加试平均分数—、标准差

样本平均数描述数据的集中趋势，反映样本数据的平均水平。但是，平均数对整体的代

表性是有条件的。

例如，吉斯莫先生经营一家工厂，规模不大，现欲招聘一名工人，汤姆先生参加面试，

老板告诉他，本厂全体人员的工资入平均每人每周300元，汤姆一听，欣然接受，上班一天

后，来找老板，声称受骗，老板算了一笔帐，汤姆听了无话可说。

平均工资300元/周

说明：该厂平均工资尽管较高，但由于各个工资相差太大，平均数对整体的代表性较差。这就说明在实际应用中，仅有平均数是不够的，还要考虑到数据的离散程度。在数据相对比

较集中时，平均数才具有代表性。

反映样本离散程度的统计量，称之为标准差

设样本观测值为x,,x2…x n,平均数为X，看看如何来定量计算标准差？

样本的离散程度自然是相对平均数x而言的为此构造出

n

'' (X i -x)

i m

但上式各项有正有负，正负抵消

7 (X j - x) = 0

i 4

所以要反映离散程度的大小可以让上式各项加以绝对值或求平方， 但带绝对值后不便于 处理，所

以，选择后者从而有

n

'

(X i -X)1 2

i 丄

上式与样本含量的大小有关，所以，求平均的

1 n

—' (X i-X)2 n i 4

在实际应用中，上式对总体离散程度的估计往往偏小若以自由度( 是无偏的因此，构

造

n

' (X i -X)2 ?s 2

i 4

S 称为标准差，反映样本的离散程度。

结束语：

样本平均数反映样本数据的整体水平，

但是要结合标准差，标准差反映样本数据的离散

程度对于运动成绩，表现为成绩的稳定性。

第6次课(3学时)

教学目的： 通过本次课的教学， 使学生了解平均数和标准差在体育中的具体应用，

掌握利用

平均数和标准差制定评分评价标准的方法。

教学内容: 平均数和标准差在体育中的应用 教学难点：累进计分法

教学内容的组织安排： 标准百分和累进计分是体育统计的重要内容，

在体育评分和评价中有

重要应用，为了让学生在实际工作中能正确地运用，

教学中重点讲授

1 •标准百分

2 •累进计分

3. 离差法制定评价标准

4. 在制定离差评价表中的应用

教学重点：1 •标准百分和累进计分的计分思想

2 .离差评价表的制定过程

n 一1 )代替n ,则 1

n -1 上式中s 2称为样本方差，还原成原来的量纲

则有

(X i -X)2

n

i =1

计分思想，让学生掌握两种计分方法的实质。教学方法上，采用“探

索式”教学教师提出想法，启发学生积极思维，探索出计分公式。

离差法制定评分价标准，主要借助于正态分布的概率计算，前面已学过，举一个例子讲

解说明即可。

离差评价表的制定，纯属应用内容，简单、直观、举一个例子说明制表过程，学生即可接受。

需要强调，以上计分和评价方法的应用条件和各自的优点及缺点。

开始语

平均数和标准差是体育统计中两个重要的统计量，上次课学习了计算方法，本次课介绍

它们在体育领域里的应用。

第二节平均数和标准差在体育中的应用

平均数和标准差在体育中的应用很广，这里列举7个主要方面，分别加以介绍

一、标准百分（T分）在体育工作中，人们得到的数据资料往往是体育项目的成绩，不便于对个体进行评价。

加之，体育项目种类繁多，各项目的性质也相差较大，这给综合评价带来很大的不便。于是产生了体育计分方法，标准百分计分法就是其中的一种。

（一）标准百分的计分思想

设随机变量x服从正态分布N（u,；「2），则由正态分布的知识可知

P（u 一1.96；「：：x ::: u 1.96二）=95%

P（u -2.58；「:: x :: u 2.58；「）=99%

即: r v x落在区间u _2.58二内的概率99%换句话说，来自总体的样本观测值

（X i,X2…X n ）中绝大部分都落在u 一3二范围内，因此计分范围可以取u—3二，其中u和

二未知，可用样本平均数x和标准差S代替，从而计分范围可定为x -3S （定为x - 4S或

x — 5S也行、但太大了不妥，也没有必要）

标准百分的计分方法是在范围x_3S内均匀计分，两端点分别计零分或满分x点计50

分

（二）标准百分的计分公式

100

由上可知，区间x -3S内单位长度的分值为

6S

从而对于某个观测值x 1其标准百分为

田赛：

100 100 x — x

T = 50 (x - x) =50

6S 6 S 径赛： 100 100 x —x

T =50 _(x _x )-

=50 - 6S 6 S

若计分范围定为x _5S ，则标准百分为 田赛：—50处勺

S

径赛： ^50

-

10（X x ）

S

需要注意，原始变量必须是正态分布

例4.4已知某年级男生跳远成绩 x =5.20m,S = 0.40m ，其中甲成绩为 5.85m 乙成绩 为4.48m 试求他们的标准百分。

x ~ N （u,二2）， u 和二分别用X 和S 代替，则可认为

根据上面计分公式，可的

100X-X ” 100 (5.85 -5.20)

T 甲=50

50 77.08 6 S

T 乙 乂0 100(4.48

一

5.

20

)=20

二、累进计分

（一）累进计分的思想

标准百分有简单、直观、使用方便的优点。但由于该计分方法采用均匀计分， 分值处理

一样，没有与项目的难度联系起来，因此，不利于应用。在体育领域内，难度越大处分值应 当越高，即分数随成绩的提高呈曲线上升，这就是累进计分的基本思想。 通常采用二次曲线

2

y 二 ax b

（二）累进计分公式

由于体育项目多种多样， 田赛和径赛项目情况不同， 为了统一起见，将原始变量进行处

理。

设原始变量服从正态分布，

样本平均数和标准差分别 x 和S ，先对原变量x 作如下变换

田赛：

x —x u 二

S 径赛：

X -X u 二 S

以上u 值有正有负，为了克服负值的干扰，再作变换

D =5 • u （解释原因）

解：跳远成绩服从正态分布记为 该年级男生的跳远成绩几乎都落在

X

二3S 范围内，所以，在区间

x _ 3S 内计分。

6 0.40

6 0.40