实验 10 双因素方差分析
双因素试验的方差分析
i 1
j 1
要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 :1 2 a 0
H02 : 1 2 b 0
H03 : ij 0 i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b
➢ 总离差平方和的分解定理 仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a
Ti.2
b,
i1
p T 2 ab ,
DB
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
机器 B 工人 A
ⅠⅡ
Ⅲ
甲
50 63 52
乙
47 54 42
丙
47 57 41
F值
F 值临介值
因素A 因素B
SS A SSB
df A
MS A
SS A df A
FA
MS A MSE
df B
MSB
Байду номын сангаас
SSB df B
FB
MSB MSE
F (a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
ab n 1)
A B
误差 总和
SS AB
SSE SST
df AB df E dfT
MS AB SS AB
F0.01 3,6 9.78 F0.05 3,6 4.76 F0.01 2,6 10.92
FB F0.01 2,6
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。
该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。
双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。
使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。
2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。
3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。
4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。
5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。
双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。
2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。
3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。
4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
双因素试验的方差分析
双因素试验的方差分析（一）摘要：实际问题中往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响，此时即使用双因素方差分析。
主要方法为建立合适的假设，并对分析已有数据的各部分方差平方和、自由度、均方，求得F 比后利用检验方法判断原假设是否成立。
双因素试验的方差分析可分为无重复试验和等重复试验两部分讨论，无重复试验只需检验两个因素对实验结果有无显著影响，等重复试验还要考虑两个因素的交互作用对实验结果有无显著影响。
（二）关键词：双因素 方差分析 EXCEL 应用（三）引言：在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。
每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。
有些因素影响较大，有些较小，为了优化生产过程，通过进行试验找出对产品质量有显著影响的那些因素。
根据试验结果进行分析，鉴别各个有关因素对实验结果影响的有效方法即为方差分析。
本文双因素方差分析同时考虑两个因素的影响，涉及因素间的交互作用，在实际生产实践中较为实用。
（四）算法原理：双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的结合会产生出一种新的效应。
（一）双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标。
因素A 有r 个水平,,...,,21r A A A 因素B 有s 个水平.,...,21s B B B 现对因素A,B 的水平的没对组合（j i B A ,），i=1,2,...r,j=1,2,...,s 都作(t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如下表的结果。
因 素A 因素B1B 2B......s B 1AtX X X 11112111...,,,tX X X 12122121...,,,...... sts s X X X 12111...,,,2A t X X X 21212211...,,,t X X X 22222221...,,,...... st s s X X X 22212...,,,........................s Atr r r X X X 11211...,,,tr r r X X X 22221...,,,...... rstrs rs X X X ...,,,21并设),(~2σμij ijk N X ，r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=;t k ,...,2,1=,各ijk X 独立。
论文—双因素试验的方差分析
X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ijk i = ijk ， 即 有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2）， 各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2， ，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号： ， i , j , i , j , 易见
i 1
r
i 0 ，
j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称 成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ） ，
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2， ，r，j=1，2， ，s， t k 1
t
X
i =
试 验 结 因 素 果 A 因 素 B
双因素方差分析结果解读
双因素方差分析结果解读双因素方差分析（Two-wayANOVA）是一种分析数据的统计方法，它可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
双因素方差分析的一个重要特点是它可以检验基于不同组别、不同资源或者不同情况下同一个总体上的差异。
它可以检验在多个组别之间存在差异、或者在不同组别之间存在偏差的情况。
本文将通过介绍双因素方差分析的原理、分析方法、结果解读方法，帮助读者更好地解读双因素方差分析的结果。
首先，双因素方差分析的原理是涉及两个不同的自变量，即因变量和一个或多个自变量。
因变量是一个连续的响应变量，而自变量则分为定类的自变量和定序的自变量，根据不同的实验需求采用不同的变量。
例如，定类的自变量可以用于比较基于性别或不同药物治疗后被试者的反应，定序的自变量则可用于比较基于疗程的不同反应。
其次，双因素方差分析需要构建一个双因素的实验单元，即一个自变量和一个因变量的实验设计，它可以确定每个组别之间的比较，比如在不同性别和不同处方药物治疗下被试者的反应。
双因素方差分析可以检验两个或多个因变量是否相对独立，以及独立或不独立的因变量是否存在差异。
最后，双因素方差分析的结果解读是比较重要的一步，它可以有效地解释出双因素实验单元下的差异或偏差，帮助研究者更好地做出他们的决策。
通常，根据双因素方差分析的结果可以检测出两个或多个自变量的差异，以及基于性别、时间、处方药物治疗等不同情况下的被试者的反应等。
只有当双因素方差分析的F值超过某一显著性水平的时候（通常为0.05或0.01），双因素方差分析的结果才被认为是显著的，可以通过结果解释和决策。
综上所述，双因素方差分析是一种非常有用的统计方法，可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
其中双因素方差分析原理，分析方法，以及结果解读方法都非常重要，有助于我们在解决实际问题时更好地解读双因素方差分析的结果，识别出不同组别，或者在不同组别之间存在的差异，从而发现新的实验结果，增加研究的学术价值。
双因素方差分析【最新】
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
双因素方差分析实例
❖ 因素“化验员”的平方和、自由度、均方、F值和sig。 值分别为0.028、2、0.014、0.548和0.587；因素“酒罐 号”的平方和、自由度、均方、F值和sig。值分别为 26.759、9、2.973、115.452和0.000。
❖ 因素“酒罐号”的sig.＜0.01，说明不同酒罐内的葡萄 酒酒精度存在极显著差异；因素“化验员”的sig.＞ 0.05，说明3个化验员的检验(jiǎnyàn)技术没有显著差 异。
精品文档
❖ B2与B5、B1与B9，B4与B3、B8与B4、B3、B10与B8差异不显著 (xiǎnzhù)；
❖ 不同贮酒罐内葡萄酒的酒精度均差异显著(xiǎnzhù)。
精品文档
双因素(yīn sù)方差分析（有重 复）
精品文档
为了提高某产品的得率，研究了 提取温度（A）和提取时间（B）对产 品得率的影响。提取温度（A）有3个 水平，A1为80℃、A2为90℃、A3为 100℃；提取时间B有3个水平，B1为 40min，B2为30min，B3为20min，共 组成9个水平处理组合，每个水平组 合含3个重复。实验(shíyàn)结果如 表所示，试分析提取温度和提取时间 对该产品得率的影响。
贮酒罐编号
化验
员
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
பைடு நூலகம்
B10
A1
11.71 10.81 12.39 12.56 10.64 13.26 13.34 12.67 11.27 12.68
A2
11.78 10.70 12.50 12.35 10.32 12.93 13.81 12.48 11.60 12.65
双因素试验方差分析
SS E df E
SST
注意
df E dfT df A f B , SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SS A DA p, SSB DB p
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij X i. T b i.
j 1
b
A1 ... Aa
a b i 1 j 1
1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
特性：
i 1
a
i
0;
j 1
b
j
0; ij ~ N 0,
双因素方差分析
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响 在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是 多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分 别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节 双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析 二、有交互作用的方差分析 三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指 标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方 差分析，就是 双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解 由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重 复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都 不显著．下面着重考察因素B.
方差来源 平方和 自由度
A B 误差 总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用， 则只需要在各 个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在 各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．
实验双因素方差分析
实验10 双因素方差分析双因素方差分析是对样本观察值的差异进行分解，将两种因素下各组样本观察值之间可能存在的系统误差加以比较，据此推断总体之间是否存在显著性差异，根据两因素是否相互影响，双因素分析分为不存在交互作用的双因素方差分析和存在交互作用的双因素方差分析。
10.1 实验目的掌握使用SAS进行双因素方差分析的方法。
10.2 实验内容一、用INSIGHT作双因素方差分析二、用“分析家”作双因素方差分析三、用glm过程作双因素方差分析10.3 实验指导一、用INSIGHT作双因素方差分析【实验10-1】工厂订单的多少直接反映了工厂生产的产品的畅销程度，因此工厂订单数目的增减是经营者所关心的。
经营者为了研究产品的外形设计及销售地区对月订单数目的影响，记录了一个月中不同外形设计的该类产品在不同地区的订单数据如表10-1（sy10_1.xls）所示。
试用双因子方差分析检验该产品的外形设计与销售地区是否对订单的数量有所影响。
表10-1 不同外形设计的产品在不同地区的订单数据销售地区设计1 设计2 设计3地区1 700 450 560 地区2 597 357 420 地区3 697 552 720 地区4 543 302 515该问题即检验如下假设：H0A：不同的设计对订单数量无影响，H1A：不同的设计对订单数量有显著影响H0B：不同地区对订单数量无影响，H1B：不同地区对订单数量有显著影响具体步骤如下：1. 生成数据集将表10-1在Excel 中整理后导入成如图10-1左所示结构的数据集，存放在Mylib.sy10_1中，其中变量a 、b 、y 分别表示销售地区、外形设计、销售量。
图10-1 数据集mylib.sy10_1与分析变量的选择 2. 方差分析在INSIGHT 模块中打开数据集Mylib.sy10_1。
选择菜单“Analyze （分析）”→“Fit （拟合）”，在打开的“Fit(X Y)”对话框中选择数值型变量作因变量，分类型变量作自变量：选择变量y ，单击“Y ”按钮，选择变量a 和b ，单击“X ”按钮，分别将变量移到列表框中，如图10-1右所示。
双因素方差分析课件
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
《双因素方差分析》课件
同样地，因素B对因变量的影响也是显著的，表 明在不同水平下，因变量的均值存在显著差异。
3
交互作用
分析结果表明，因素A和因素B之间存在显著的 交互作用，这种交互作用对因变量产生了显著影 响。
对未来研究的建议
扩大样本量
为了更准确地评估双因素方差分析的结果，建议在未来研究中扩大样本量，以提高分析 的稳定性和可靠性。
数据筛选
检查数据是否满足方差分析的前提假设，如正 态分布、方差齐性等。
数据编码
对分类变量进行适当的编码，以便在分析中使用。
模型拟合
确定模型
根据研究目的和数据特征，选择合适的双因素方差分析模型。
拟合模型
使用统计软件（如SPSS、SAS等）进行模型拟合，得到估计参数和模型拟合指标。
假设检验
检验主效应
考虑其他影响因素
除了因素A和因素B外，可能还有其他未考虑的因素对因变量产生影响。因此，未来的 研究可以考虑纳入更多的变量，以更全面地了解因变量的影响因素。
深入研究交互作用
双因素方差分析结果表明因素A和因素B之间存在交互作用。为了更深入地了解这种交 互作用的机制和效果，建议进行更详细的研究和探讨。
实际应用价值
主效应和交互效应检验
使用双因素方差分析来检验两个实验因素的 主效应和它们之间的交互效应。
结果解释
根据分析结果，解释实验因素对因变量的影 响以及交互作用的存在与否。
05 结论与建议
研究结论
1 2
因素A对因变量的影响
通过双因素方差分析，发现因素A对因变量的影 响显著，说明在因素A的不同水平下，因变量的 均值存在显著差异。
双因素方差分析的数学模型
双因素方差分析涉及两个实验因素，通常表示为A和B。
双因素方差分析方法
(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作 的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.
10.3(双因素方差分析)
10.3.1 无交互作用的双因素方差分析
计算F统计量 在单元格G15中输入公式： 中输入公式： 计算 统计量FB，在单元格 统计量 中输入公式 =F15/F16 计算F 中输入公式： 计算 A的P值，在单元格 值 在单元格H14中输入公式： 中输入公式 =FDIST(G14,D14,D16) 计算FB的P值，在单元格 中输入公式： 计算 值 在单元格H15中输入公式： 中输入公式 =FDIST(G15,D15,D16) 如图10.9所示． 所示． 如图 所示
平均值
x1..
x2..
xl..
10.3 双因素方差分析
10. 10.3.1 无交互作用的双因素方差分析
无交互作用的双因素方差分析的数学模型可以表示 为： xijk= µ + αi + τj + εijk
ε ijk ~ N (0, σ 2 ) , 且相互独立. 1≤i≤l, 1≤j≤m, 1≤k≤n 且相互独立
10.3.1 无交互作用的双因素方差分析
( 2) 计算 xi ..，在单元格 在单元格C10中输入公式： 中输入公式： 中输入公式 =AVERAGE(C4:C9) 并将单元格C10中公式复制到单元格区域 中公式复制到单元格区域D10:F10． 并将单元格 中公式复制到单元格区域 ． 在单元格G4中输入公式 中输入公式： 计算x. j . ，在单元格 中输入公式： =AVERAGE(C4:F5) 并将单元格G4中公式复制到单元格 、 中 并将单元格 中公式复制到单元格G6、G8中． 中公式复制到单元格 如图所示． 如图所示．
10.3 双因素方差分析 对于两因素问题，通常考虑等重复观测的情形， 对于两因素问题 ，通常考虑等重复观测的情形，若 第一个因素A有 个水平 第二个因素B有 个水平 个水平， 个水平． 第一个因素 有l个水平，第二个因素 有m个水平．在 因素A的第 个水平和因素B的第 个水平下均进行了n次 因素 的第i个水平和因素 的第j个水平下均进行了 次 的第 个水平和因素 的第 个水平下均进行了 观测，记为{x 观测，记为 ijk，1≤i≤l，1≤j≤m，1≤k≤n}． ， ， ． 其数据结构如表所示． 其数据结构如表所示．
双因素试验的方差分析
设：
X ijk ~ N ij , 2 , i 1,2,, r, j 1,2,, s, k 1,2,, t ,
各
X ijk
独立， ij , 2 均为未知参数。或写成：
2 ijk ~ N 0, , 各 ijk 独立 i 1,2,, r , j 1,2,, s, k 1,2,, t.
双因素试验的方差分析
影响试验结果的因素不止一个，要用双因素
或 多因素的方差分析；
确定哪些因素是主要的，它们对试验结果的
影响是否显著； 它们之间是否有交互作用。
（一）双因素等重复试验（有交互作用）的方差分析设有两个因
素A，B作用于试验的指标。 因素A有r个水平
因素B有s个水平
A1 , A2 ,, Ar
X . j.
1 r t X ijk , j 1,2,, s. rt i 1 k 1
总偏差平方和（称为总变差）
ST X ijk X .
2 i 1 j 1 k 1 r s t
ST写成：
S T X ijk X
i 1 j 1 k 1 s t r
1 1319 .82 2 2 2 S A B 110.8 91.9 90.1 2 24 S A S B 1768 .69250 , S E ST S A S B S A B 236.95000 .
得方差分析表如下：
表9.11 例1的方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值
A1 A2
X 121 , X 122, , X 12t
…
X 211 , X 212, X 221 , X 222, , X 21t , X 22t
双因素方差分析法
双因素方差分析法方差分析（ANOVA）是包括生物学、经济学和心理学在内的研究领域的一个关键统计测试，对于分析数据集非常有用。
它允许在三组或多组数据之间进行比较。
在这里，我们总结了这两种测试之间的主要区别，包括必须对每种类型的测试进行假设和假定。
常用的方差分析有两种类型，即单因素方差分析和双因素方差分析。
本文将探讨这一重要的统计测试以及这两种方差分析的区别。
单因素方差分析是一种统计测试，在只考虑一个自变量或因素的情况下，比较样本中各组平均值的差异。
它是一种基于假设的测试，这意味着它旨在评估关于我们数据的多种互斥理论。
在产生假设之前，我们需要有一个关于我们数据的问题，我们希望得到答案。
例如，研究海象种群的富有冒险精神的研究人员可能会问：「我们的海象在早期或晚期的交配季节体重更大吗？」在这里，自变量或因素（这两个词的意思相同）是」交配季节的月份」。
在方差分析中，我们的自变量被组织成分类组。
例如，如果研究人员观察海象在12月、1月、2月和3月的体重，就会有四个月的分析，因此有四个组的分析。
单因素方差分析对三个或三个以上的分类组进行比较，以确定它们之间是否存在差异。
在每个组内应该有三个或更多的观察值（这里指海象），并对样本的平均值进行比较。
什么是单因素方差分析假设？在单因素方差分析中，有两个可能的假设。
无效假设（H0）是：各组之间没有差异，各组平均值相等（海象在不同月份的体重相同）。
备选假设（H1）是：平均值和组间存在差异（海象在不同月份有不同的体重）。
单因素方差分析的假设和限制是什么？正态性：每个样本都是从正态分布的人群中抽取的样本独立性：每个样本都是独立于其他样本的。
方差相等：不同组中的数据方差应该是相同的因变量：这里是「体重」，应该是连续的，也就是说，在一个可以用增量进行细分的标尺上测量（即克、毫克）。
什么是双因素方差分析？因变量：这里是「体重」，应该是连续的--也就是说，在一个可以用增量进行细分的量表上测量（即克、毫克）。
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实验10 双因素方差分析双因素方差分析是对样本观察值的差异进行分解，将两种因素下各组样本观察值之间可能存在的系统误差加以比较，据此推断总体之间是否存在显著性差异，根据两因素是否相互影响，双因素分析分为不存在交互作用的双因素方差分析和存在交互作用的双因素方差分析。
10.1 实验目的掌握使用SAS进行双因素方差分析的方法。
10.2 实验内容一、用INSIGHT作双因素方差分析二、用“分析家”作双因素方差分析三、用glm过程作双因素方差分析10.3 实验指导一、用INSIGHT作双因素方差分析【实验10-1】工厂订单的多少直接反映了工厂生产的产品的畅销程度，因此工厂订单数目的增减是经营者所关心的。
经营者为了研究产品的外形设计及销售地区对月订单数目的影响，记录了一个月中不同外形设计的该类产品在不同地区的订单数据如表10-1（sy10_1.xls）所示。
试用双因子方差分析检验该产品的外形设计与销售地区是否对订单的数量有所影响。
表10-1 不同外形设计的产品在不同地区的订单数据销售地区设计1 设计2 设计3地区1 700 450 560 地区2 597 357 420 地区3 697 552 720 地区4 543 302 515该问题即检验如下假设：H0A：不同的设计对订单数量无影响，H1A：不同的设计对订单数量有显著影响H0B：不同地区对订单数量无影响，H1B：不同地区对订单数量有显著影响具体步骤如下：1. 生成数据集将表10-1在Excel 中整理后导入成如图10-1左所示结构的数据集，存放在Mylib.sy10_1中，其中变量a 、b 、y 分别表示销售地区、外形设计、销售量。
图10-1 数据集mylib.sy10_1与分析变量的选择 2. 方差分析在INSIGHT 模块中打开数据集Mylib.sy10_1。
选择菜单“Analyze （分析）”→“Fit （拟合）”，在打开的“Fit(X Y)”对话框中选择数值型变量作因变量，分类型变量作自变量：选择变量y ，单击“Y ”按钮，选择变量a 和b ，单击“X ”按钮，分别将变量移到列表框中，如图10-1右所示。
单击“OK ”按钮，得到分析结果。
3. 结果分析结果中表的含义与单因素方差分析相应的表的含义是类似的：(1) 第一张表提供了模型的一般信息；第二张表列举了作为分类变量的a 和b 的水平的信息；第三张参数信息表给出了标识变量P_i 的定义。
图10-2 多因素方差分析第1、2、3张表 其中，标识变量取值：，其他类似。
，其他，设计，，其他类似；，其他，地区，""⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==01b 1P_601a 1P_2(2) 第四张表给出了方差分析模型，利用参数信息表中标识变量P_i 的定义可以推算出在各个因素不同水平下变量y 均值的信息：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧======+==+==+==++==+==+==++==+==+==++=3,4472.66672,4138.5-472.66671,45.80472.66673,3203472.66672,3138.5-203472.66671,35.80203472.66673,26667.4472.66672,2138.5-6667.4472.66671,25.806667.4472.66673,1116.6667472.66672,1138.5-116.6667472.66671,15.80116.6667472.6667y 设计地区设计地区设计地区设计地区设计地区设计地区设计地区设计地区设计地区设计地区设计地区设计地区的均值b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a (3) 第五张拟合汇总表中给出变量y 的均值为534.4167，判定系数R 2为0.9220等，如图10-3。
图10-3 多因素方差分析第4、5张表(4) 在第六张方差分析表中，检验模型显著性的F 统计量为14.19，相应的p 值小于0.05 = α，所以拒绝a 和b 对分析变量y 无显著影响的假设，即模型是显著的。
在模型显著的情况下常需要进一步分析两个因素是否都有显著影响或者只有一个因素是显著的，这时就需要用到第七张表提供的信息。
在III 型检验表中，进一步将模型平方和分解为属于a 和b 的平方和。
在这里两个因素的p 值都小于0.05，说明了这两个因素对分析变量y 都有显著影响，如图10-4。
图10-4 多因素方差分析第6、7张表 (5) 第八张是模型的参数估计表（图10-5），表中给出了对各因素不同水平下的参数之差的估计值和检验结果。
图10-5 多因素方差分析第8张表结果表明，除a 因素中地区2与地区4的均值无显著差异，b 因素中设计1与设计3的均值无显著差异外，其余两个因素的各水平下的均值都有显著差异。
(6) 考察模型假定：在显示窗的底部有一个残差和预测值的散点图（如图10-6所示），可以像单因素分析一样考察残差分布的正态性假定。
图10-6 残差和预测值的散点图 二、用“分析家”作双因素方差分析【实验10-2】北京市房地产开发商想要了解本市商品房各类房型及户型在各地区的销售情况，搜集了房屋的销售量数据，如表10-2（sy10_2.xls ）所示。
试用有交互作用的双因子方差分析检验地区与房型对房屋销售是否存在交互作用。
表10-2 各种房型的销售套数三室两厅 两室两厅 复式房型 其他 1月份652 521 67 486 朝阳区 2月份711 548 59 338 1月份481 521 50 391 海淀区 2月份509 425 55 348 1月份397 561 28 147 大兴区 2月份314 570 24 184 1月份157 138 8 96 通州区 2月份164 194 5 57 1月份217 449 5 147 其他 2月份 145 492 8 1081. 生成数据集将表10-2在Excel 中整理后导入成如图10-7左所示结构的数据集，存放在Mylib.sy10_2中，其中a 、b 和sl 分别表示地区、户型和销售量。
在“分析家”中打开数据集Mylib.sy10_2。
2. 方差分析(1) 选择菜单“Statistics （统计）”→“ANOV A （方差分析）”→“Factorial ANOV A （因素方差分析）”，打开“Factorial ANOV A ”对话框。
(2) 选中变量A 、B ，单击“Independent （自变量）”按钮，将其移到“Independent ”框中；选中变量SL ，单击按钮“Dependent （因变量）”，将其移到“Dependent ”框中，如图10-7右所示。
图10-7 数据集Mylib.sy10_2与变量选择(3) 考虑因素间的交互作用：单击“Model”按钮，打开“Factorial ANOV A Model”对话框。
单击“Standard Models”按钮，在弹出的菜单中选择“Effects up to 2-wav interactions”项，表示交互作用的a*b加入了模型效应栏，如图10-8左所示，单击“OK”按钮返回。
图10-8 选择模型与图形(4) 绘制各因素不同水平下均值差异的连线图：单击“Plots”按钮，在打开的“Factorial ANOV A：Plots”对话框中，选中“Plot dependent means for two-way effects（双因素效应的因变量均值连线图）”复选框；并选择“Height of standard error (se) bars”中的“2 se”，附加上以均值为中心的二倍标准差为长度的竖线图，如图10-8右所示，单击“OK”返回。
再次单击“OK”按钮，系统按要求进行方差分析计算，方差分析的结果如图10-9所示。
3. 结果分析显示的结果包含方差分析表和汇总信息。
输出的方差分析表显示双因素考虑交互作用的方差分析模型是显著的（F=62.36，p < 0.0001），最下面一张表给出两个因素和交互作用的检验结果。
由最后一列“Pr > F”的三个p 值可以看出因素A、B及因素A与B的交互作用(A*B)对指标y的影响是高度显著的。
图10-9 方差分析结果在分析家窗口的项目管理器中双击选项“Means Plot of y by a and b ”，得到双因素不同水平下因变量均值的连线图如图10-10所示。
在因素A 的5个水平位置上（朝阳区、大兴区、海淀区、其他、通州区）有5条竖线，对应于因素B 的四个水平（复式房型、两室两厅、其他和三室两厅）有4条不同颜色的连线。
每条连线与竖线的交点纵坐标是在两因素相应水平下因变量y 的均值。
每条竖线上还标出因变量y 的均值的二倍标准差的位置。
图10-10 双因素不同水平下因变量均值差异的连线图 从因素B 的四个水平对应的连线可以看出：复式房型的销售量最低，且与所在地区关系不大；两室两厅的销售量比较均衡，需求量较多；三室两厅与其它房型的销量则与所在地区密切相关，在朝阳区、海淀区的销量较高，在大兴、通州及其他地区的销量则较低。
从因素A (地区)来看，通州区各种房形的销量都较低。
从两室两厅的连线与其他三条连线的交叉可直观地看出因素A 与因素B 有交互作用。
在市区销量最好的房型为三室两厅，在郊区销量最好的房型是两室两厅。
三、用glm 过程进行双因素方差分析【实验10-3】编程对表10-2中数据进行有交互作用的双因子方差分析。
执行如下代码：proc glm data=mylib.sy10_2;class a b;model sl = a b a*b;run;程序运行主要结果同实验10-2。
10.4 上机演练【练习10-1】某家上市公司有若干下属子公司，公司主要经营三种业务。
公司总裁为了解下属公司的经营状况，从下属公司中随机抽出了四家公司，并调查了每家公司在这三种主营业务上的连续两个季度的利润率，调查结果如表10-3（lx10_1.xls）所示。
表10-3 四家子公司的主营业务利润率(％)公司1 公司2 公司3 公司4 主营业务1季度1 10.35 -2.89 -5.04 5.29季度2 4.47 0.30 2.61 -3.44 主营业务2季度1 11.25 4.85 1.82 9.76季度2 7.92 5.12 0.56 1.93 主营业务3季度1 -6.55 -9.06 -9.67 -2.81季度2 -4.32 -3.48 -12.43 -4.08 试进行用双因素方差分析并回答以下问题：(1) 各子公司的利润率是否有显著的差异?(2) 各主营业务的利润率是否有显著的差异?(3) 不同子公司在各主营业务上的利润率是否有所差别?10.5 实验报告请按练习内容写出包括如下内容的实验报告：一、实验目的；二、实验内容、程序及结果分析；三、实验体会(问题、评价、感想与建议等)。