专题17 均值不等式及其应用(解析版)
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提升训练2.7 均值不等式及其应用
一、选择题
1．已知x ＞0，函数9
y x x
=+的最小值是（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C 【解析】 ∵x ＞0， ∴函数99
6y x x x x
=+
≥⋅=，当且仅当x=3时取等号， ∴y 的最小值是6． 故选：C ．
2．已知1(0,4
x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．
14
B ．
16
C ．
18
D ．
110
【答案】C 【解析】
因为1(0,)4
x ∈，所以40,140x x >->，
所以2
114141
(14)=4(14)44216
x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪
⎝⎭， 当且仅当414x x =-时，即1
8
x =，等号成立. 故答案选C .
3．()2
301x x y x x
++=>+的最小值是( )
A ．23
B ．231
C ．231
D ．232
【答案】B 【解析】
1,10x x >-∴+>，
2
31x x y x
++∴==+331123111x x x x +=++--++， 当且仅当
3
11x x
=++，即31x =-时等号成立， 所以()2
301x x y x x
++=>+的最小值是231-，故选B.
4．已知a ，b 都为正实数，21a b ，则ab 的最大值是( )
A ．
29
B ．
18 C ．
14
D ．
12
【答案】B 【解析】
因为a ，b 都为正实数，21a
b ，
所以2
2121
2228
ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，
当且仅当2a b ，即11,42a b ==时，ab 取最大值18
.
故选B
5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ．
C ．2
D ．4
【答案】D 【解析】 ∵ab=a+b≥2，
≥2
，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab 的最小值为4，
故选：D ．
6．若0,0,31x y x y >>+=，则
11
3x y
+的最小值为（ ） A ．2 B ．1
2
x x
C ．4
D ．3【答案】C 【解析】
111133()(3)22243333y x y x
x y x y x y x y x y
+=++=++≥+⋅=,当且仅当132x y ==时取等号，故
11
3x y
+的最小值为4，选C. 7．若正数,m n 满足21m n +=，则11
m n
+的最小值为（ ） A ．322+ B ．32+ C ．222+ D ．3
【答案】A 【解析】
由题意，因为21m n +=， 则
111122()(2)332322n m n m m n m n m n m n m n
+=+⋅+=++≥+⋅=+， 当且仅当
2n m
m n =，即2n m =时等号成立， 所以11
m n
+的最小值为322+，故选A.
8．若两个正实数x ，y 满足21
1x y
+=，则2x+y 的最小值为（ ）
A ．9
B ．7
C ．5
D ．3
【答案】A 【解析】
两个正实数x y ，满足21
1x y
+=，
则()2122222241529y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+=
⎪⎝⎭
，
当且仅当22y x
x y
=，即3x y ==时取等号， 故2x y +的最小值为9. 故选A ． 9．若正实数
满足
，则（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最小值
D．有最大值
【答案】D
【解析】
对于A，取，则，故A错误；
对于B，取，则，故B错误；
对于C，取，则，故C错误；
对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.
10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.
所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，
∴，即.
故选:B
11．若正数a，b满足11
1
a b
+=，则
19
11
a b
+
--
的最小值为（）
A．6B．9C．12D．15【答案】A
【解析】
由11
1
a b
+=得：
111
1
a
b a a
-
=-=，即：
1
a
b
a
=
-0
b>，0
a>10
a
∴->