第二讲 最优控制原理

()dt u y t F V T ,,0⎰=

()()A

o y u y t f y

==,,

12

..V Max ()t u ()t y

()t u y f y

,,= ()t u y g u ,,=

[].,,0dt t u y F V t ⎰=

y

1(),,p

p D Q d =,d s Q Q =()p

p D Q ,= ().,p

p R PQ R =≡

()()[].,p

p D C Q C C ==

()()[]()p p p p D c p

p R C R ,,,ππ=-=-≡ 10

().,100dt p p π⎰

[]10,010[]10,0*p 10

2()c U U =(),,L K Q Q =

()().,,K L K Q I L K Q c -=-= ()()[].,K

L K Q u c u -= ()[

].,0dt K L K Q u Max T -⎰

1

λu y ,λ().t λ

()()()()u y t f t u y t F u y t H ,,,,,,,λλ+=

().0=T λ 2

()λ,,,u y t MaxH [].,0T t ∈

λ

∂∂=H

y

y

H

∂∂-=λ

[]的运动方程λ ()0=T λ MaxH 0=∂∂u

H

[]c a ,

示汉密尔顿函数H 对控制变量u 在特定时刻y λ的一种可能曲线。

1于u 是可微的， MaxH 出现在 b u =处，内

2 MaxH 在c u =， 边界.0≠∂∂u

H

3 Max 在.a u = 边界.0≠∂∂u

H

域可能是一个闭集且具有边界解这一事实，的陈述.MaxH 。事实上，在最大值原理之下，H 函数关于u 可微。

.λ

∂∂=H

y

它正是最初设定的状态变量的运动方表述。

λ 状态变量y 对H 的偏导数的负值， .y

H

∂∂-=λ

3 值原理的经济学解释

家企业，它寻求最大化它在区间[]T ,0上的利状态变量资本存量K ，并有单个控制变量u ，

1

2

3

a

o

b

c

u

00k ().,,u k t πu k u k

()dt u k t Max T ,,0ππ⎰=

..t s ()u k t f k

,,= ()()T k k k ,00= λ

λ

t ()t λ

()()[]k

u k t f t -,,λ()()[]

u k t f k t ,,- λ Hamilton

()()()u k t f t u k t H ,,,,λπ+=

u

()u k t f ,,u k f ()t λ

u u

u

*u

u u πMax MaxH ()0=∂∂+∂∂=∂∂u

f

t u u H λπ

()u f t u ∂∂-=∂∂λπ u ∂∂πu

f

∂∂ *u

()k

f

t k k H ∂∂-∂∂-=∂∂-=λπλ

()()λλπλπλ

-∂∂-=∂∂∂∂+∂∂=-k f t k k f t k 或

k ∂∂π

k

f

∂∂λ

λ

-=∂∂k

H

()0=T λ

4

pt e -

().,,max dt e u y t G V pt T -︒

⎰= ().,,..u y t f y

t s = ()().,,,,u y t f e u y t G H pt λ+=-

m

pt e m λ=pt me -=λ隐含;Hc

()().,,,,u y t mf u y t G He Hc pt +=≡+

Hc pt c e H H -≡

.pt He Hc =pt e *u .Hc

u

MaxHc []T t ,0ε

().,,m

Hc

u y t f H ∂∂==∂∂λ m

Hc y ∂∂=

.y

H

∂∂-=λ

.pt e m λ= pt me -=λ

pt pt pme e m ---= λ

.pt Hce H -≡ .pt

e y

Hc y H -∂∂-=∂∂-

pm y

Hc

m

+∂∂-= pm y

H c

∂∂ρ ρ=+∂∂m m y

H c

/)(

()[]00=⇒==-T t pt me T λ ()0=⇒-pT e T m 5

,0Fdt ω⎰

.b .0dt Fe

pt -⎰ω

.00p

F

e

F Fe pt pt =⎰≤⎰--ωω