大学物理第一章 机械振动
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第四部分振动、波动和波动光学
第1章机械振动
一.基本要求
1.掌握简谐振动的定义和特征,以及描述简谐振动的三个特征量:振幅、圆频率和初相位,学会简谐振动的判断方法。
2.掌握简谐振动的三种描述方法——解析法、曲线法以及旋转矢量法,并能从这些描述中确定简谐振动的特征量,能用旋转矢量法分析有关问题。
3.了解简谐振动的能量特点。
4.掌握两个同方向、同频率简谐振动的合成,能计算合成振动的振幅和初相位。
5.理解两个同方向、不同频率简谐振动的合成,了解“拍”的定义。
6.了解受迫振动和共振。
7.了解非线性振动的基本概念。
二.内容提要和学习指导
(一)简谐振动的定义(简谐振动的判据)
1.简谐振动的运动学定义:物体离开平衡位置的位移满足
0cos()x A t ωϕ=+
2.简谐振动的动力学定义:物体受到的合外力满足 kx F -= (k 常数)
3.用运动微分方程定义:0222=+x dt
x
d ω
由这一定义可以推广简谐振动的概念:一个物理量x (可以是力学量、电学量、磁学量等)如果满足上述微分方程,就可称物理量x 作简谐振动.
(二)简谐振动的三个特征量
1.振幅A :物体离开平衡位置的最大位移的绝对值,其值由振动的初始条件
(即0t =时物体的位移0x 和速度0v )决定 2
020⎪⎭
⎫
⎝⎛+=ωv x A ;
2.频率ν(圆频率ω、周期T ):表征物体振动的快慢,由振动系统的固有性质决
定,三者之间的关系为 2,2T π
ωνω
π
=
=
3.相位0t ϕωϕ=+(初相位0ϕ)
①相位完备地描述质点的振动状态.振动状态和相位之间一一对应,也就是说知道了任一时刻质点振动的相位,就知道了这一时刻质点的位置、速度和加速度.关于这一点可从位移、速度和加速度的表达式中看出:
0cos()x A t ωϕ=+,0sin()v A t ωωϕ=-+,
20cos()a A t ωωϕ=-+;
其中初相0ϕ由初始条件决定 0
00
arctan(
)v x ϕω-=。 ②相位可用来比较两个同频率简谐振动的步调。设有两个简谐振动
111cos()x A t ωϕ=+, 222cos()x A t ωϕ=+, 则两者间的相位差与步调的关系为
(三)简谐振动的描述方法
当采用某种方法描述简谐振动时,此方法必须能很好地体现简谐振动的三个特征量.
1.解析法:0cos()x A t ωϕ=+ 2.曲线法(x t -曲线)
如图1.1所示,x -t 曲线的峰值表示振幅;运动状态完全相同的最邻近两点之间的时间间隔表示周期;t =0时,0x 以及0v 的正负可以确定初相位。
3.旋转矢量法
表示方法如图1.2所示.在旋转矢量法中很
直观地体现了简谐振动的三个特征量:旋转矢量A 的模表示振幅A ;任意t 时刻,旋转矢量A 与x 轴的夹角0t ωϕ+表示t 时刻的相位;旋转角速度ω表示圆频率.
注意:用旋转矢量法能够很方便地判断振动的相位,关于这一点将在习题解答与分析中加以说明,请务必掌握.
(四)简谐振动的能量特征 1.振子的动能 2222011
sin ()22k E mv m A t ωωϕ=
=+ 2.振子的势能 222011cos ()
2
2
p E kx kA t ωϕ==
+
o
0t ωϕ+
x
ω
A
图1.2
3.振子的总能 22
1kA E E E p k =+=
结论:①振动系统的动能和势能是时间的周期函数,其周期为位移周期的一半。②在振动过程中,系统的动能和势能相互转换:动能最大时,势能最小;动能最小时,势能最大.在整个过程中系统的机械能守恒.
(五)简谐振动的合成
1.同方向、同频率简谐振动的合成:1110cos()x A t ωϕ=+,
2220cos()x A t ωϕ=+;
合振动:0cos()x A t ωϕ=+(仍为简谐振动,且与分振动的频率相同)
其中
A =,
1
110220
0110220
sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ-+=+;
2.同方向、不同频率简谐振动的合成
1110cos()x A t ωϕ=+ , 2220cos()x A t ωϕ=+, 合振动: 2010
2010
21
21
2cos(
)cos(
)2
2
2
2
x A t t ϕϕϕϕωωωω-+-+=+
+
① 合振动不是简谐振动;
② 若21ωω≈,即1212ωωωω->>+,合振幅
2010
21()2cos(
)22
A t A t ϕϕωω--=+; 合振动是振幅随时间缓变的准简谐振动——拍振动.拍频为
12ννν-=。
3.相互垂直的同频率简谐振动的合成
110cos()x A t ωϕ=+ , 220cos()y A t ωϕ=+,
合运动的轨道方程:
222
20102010221212
2cos()sin ()x y xy A A A A ϕϕϕϕ+--=-