第4章 频率域图像增强

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2. Butterworth低通滤波器(BLPF)
通常在H(u, v)=0.5时的D(u, v)=D0规定为截止频率(见第一个公式)。当阶数为1 时没有“振铃”现象，为2时较轻微，大于2时较严重。
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
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1 ] = F (u M / 2, v N / 2); F (0, 0) = MN
∑∑ f ( x, y)
x =0 y =0
M
N
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
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4.3 低频滤波器的类型
按功能分：高通、低通、带通、带阻和陷波器等等。 按方法常用的有：高斯、Butterworth等，此外还有梯形、指数等。 1. 理想低通滤波器(ILPF)
1, if D(u , v) ≤ D0 H (u , v) = 0, if D(u , v) > D0
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频域与空域滤波的比较：
1. 对具有同样大小的空域和频率滤波器：h(x,y), H(u,v)，频域计算(由于FFT)往 往更有效(尤其是图像尺寸比较大时）。但对在空域中用尺寸较小的模板就能解 决的问题，则往往在空域中直接操作。 2. 频域滤波虽然更直接，但如果可以使用较小的滤波器，还是在空域计算为好。 因为省去了计算傅立叶变换及反变换等步骤。 3. 由于更多的直观性，频率滤波器设计往往作为空域滤波器设计的向导。
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
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W.Heisenberg的时间－带宽不确定性原理（1927）：
任何信号，其时间持续期和频率持续期（带宽）二者不能同时变得任意窄，二者 的乘积满足一个不确定式（反比）：
第4章 频率域图像增强
不对Fourier变换（FT）和图像的频率域处理技术有所了解，就不 可能完全理解图像增强这个最基本的图像处理任务。 频域增强指在图像的频率域内，对图像的变换系数（频率成分） 直接进行运算，然后通过Fourier逆变换以获得图像的增强效果。 一般来说，图像的边缘和噪声对应Fourier变换中的高频部分，所 以低通滤波能够平滑图像、去除噪声。 图像灰度发生聚变的部分与频谱的高频分量对应，所以采用高频 滤波器衰减或抑制低频分量，能够对图像进行锐化处理。 注意本章各种增强技术与第三章的空域技术之间的对应和并行性。
T 2 = σ 2 = ∫ (t t ) 2 s (t ) dt
2 2 B 2 = σ w = ∫ ( w w ) 2 S ( w) dw 2
TB ≥
1 2
离散情况下时域分辨率和频率分辨率的关系： 1 1 u = ; v = M x N y 傅立叶谱的直流分量和中心化
[ f ( x, y )(1)
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4.2 频域滤波及基本属性
基本属性：
所谓频域，就是由图像f(x,y)的二维傅立叶变换和相应的频率变量(u,v)的值所组 成的空间。在空间域图像强度的变化模式（或规律）可以直接在该空间得到反 应。F(0,0)是频域中的原点，反应图像的平均灰度级，即图像中的直流成分；低 频反映图像灰度发生缓慢变化的部分；而高频对应图像中灰度发生更快速变化 的部分，如边缘、噪声等。但频域不能反应图像的空间信息。
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相同截止频率、不同阶数的Butterworth低通滤波器比较：
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f ( x, y ) h( x, y ) F (u , v) H (u , v); f ( x, y )h( x, y ) F (u , v) H (u , v)
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M
N
∑∑ f ( x, y)δ (0, 0) = f (0, 0)
x=0 y =0
冲激函数响应：
1 M 1 N 1 f ( x, y ) h ( x , y ) = ∑0 ∑ δ (m, n)h( x m, y n) MN m = n =0 1 = h( x, y ) MN
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4.1 Fourier Transform
Joseph Fourier (born in 1768): The analytic Theory of Heat Fourier Transform
任何函数，即使是非周期的，只要其曲线所包含的面积是有限的，均可以表示 成一个加权函数和正弦/余弦函数乘积的积分。
Fast FT(FFT)(1950s) 二维离散傅里叶变换对
f ( x, y ) F (u.v) 1 M 1 N 1 ux vy f ( x, y ) exp j 2π ( + ) 正变换 F (u , v) = ∑∑ MN x = 0 y =0 M N u = 0,1, 2, , M 1 v = 0,1, 2, , N 1 M 1 N 1 ux vy 反变换 f ( x, y ) = F (u , v) exp j 2π ( + ) ∑∑ M N u =0 v =0 x = 0,1, 2, , M 1 y = 0,1, 2, , N 1
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附：LPF在机器感知（字符识别）、印刷行业、卫星和航天图像处理的三个 例子请见教材p178
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4.4 高频（锐化）滤波器的类型
H hp (u , v) = 1 H lp (u , v)
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空域和频域滤波间的对应关系
卷积定理是空域和频域滤波的最基本联系纽带。二维卷积定理：
1 f ( x, y ) h ( x, y ) = MN
基本计算过程：
M 1 N 1 m=0 n =0
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两点说明： 1. 该图像的信息主要包含 在低频段，而包含大部 分细节的高频段大约只 占图像总功率的8％。 2. ILPT的模糊和振铃响应 特性
α =100[∑∑ P(u, v) / PT ]
u v
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例：高斯滤波器（为易懂性和简单性，这里仅用一维的情况说明）
低通：
H (u ) = Ae
u 2 / 2σ 2
; h( x) = 2πσ Ae
2πσ 2 x 2
高通：H (u )
= Ae
2 u 2 / 2σ 1
be
2 u 2 / 2σ 2
; A > B and σ 1 > σ 2
2 2πσ 2 x 2
h( x) = 2πσ 1 Ae
2 2πσ1 x 2
2πσ 2 Be
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冲激（脉冲）函数及筛选属性：
冲激函数的傅立叶变换：
1 F (u , v) = MN
筛选属性：
∑∑ δ ( x, y)e j 2π (ux / M +vy / N ) =
x =0 y =0
M
N
1 MN
∑∑ f ( x, y) Aδ ( x x , y y ) = Af ( x , y )
x=0 y =0 M N 0 0 0 0
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ILPF振铃特性的解释
振环中心分量的半径及其他 同心分量的数目与ILPF的截 止频率成反比。 滤波器截止频率越小，即越 狭窄，则振铃现象越严重。
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3. Gaussian低通滤波器(GLPF)
传递函数：
H (u, v) = e
H (u , v) = e
D 2 ( u , v ) / 2σ 2
如令σ＝D0,将可以表示成如下更熟悉的形式：
2 D 2 ( u , v ) / 2 D0
这里，在截止频率处，H(u, v)下降到最大值的0.607倍。 GLPF没有振铃现象，但与阶数为2的BLPF相比，其通带要宽些，这样 对应的空间滤波器的灰度级轮廓更窄些，因而平滑效果要差些。 以上三种滤波器，振铃现象从严重到无，但平滑效果从好到差，BPLF 可以看成ILPF和BLPF的过渡，阶为1时与GPLF差不多，阶越高越接近 BPLG.
其中，D0是一个具体的非负值，叫截止频率，D是频率矩形平面上的点到频率 原点(M/2, N/2)的欧氏距离：
D(u , v) = [(u M / 2) 2 + (v N / 2) 2 ]1/ 2
理想滤波器实际上是不可实现的，但在计算机中可以仿真实现，但可以帮助我 们理解滤波器的行为和特征。为研究其行为与截止频率的关系，可以采用求百 分功率的办法：
∑ ∑ f (m, n)h( x m, y n)
1. 取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n) 2. 对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n) 3. 对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和 4. 位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两个函数：f(m,n)和 h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。 傅立叶变换是空域和频域的桥梁，关于两个域滤波的傅立叶变换对：
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频域滤波的基本步骤：
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
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具体地： 1. 为使变换后的图像处于频域的中心，首先把输入图像乘(－1)x+y 2. 计算经过第1步中心化处理后图像的DFT,即F(u,v) 3. 把F(u,v)与滤波器传递函数H(u,v)相乘 4. 对第3步的结果计算逆DFT 5. 取第4步结果的实部 6. 用(－1)x+y第5步的结果以还原滤波后图像的中心点到左上角。