2014年江西省南昌市中考试题(word版含答案)

2014年江西南昌中考数学(满分120分，时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项)1．(2014江西省南昌市，1,3分)下列四个数中，最小的数是( ) A ．－12B ．0C ．－2D ．2 2．(2014江西省南昌市，2,3分)据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点建议任务．5.78万可用科学记数法表示为( )A ．5.78×103B ．57.8×103C ．0.578×104D ．5.78×1043．(2014江西省南昌市，3,3分)某市6月份某周气温(单位：℃)为23，25，28，25，28，31，28，则这组数据的众数和中位数分别是( )A ．25，25B ．28，28C ．25，28D ．28，31 4．(2014江西省南昌市，4,3分)下列运算正确的是( ) A ．a 2＋a 3＝a 5 B ．(－2a 2)3＝－6a 6 C ．(2a ＋1)(2a －1)＝2a 2－1 D ．(2a 3－a 2)÷a 2＝2a －15．(2014江西省南昌市，5,3分)如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适．以下裁剪示意图中，正确的是( )6．(2014江西省南昌市，6,3分)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支中性笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支中性笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x 元和每盒笔芯y 元，根据题意所列方程组正确的是( )A ．22056,2328x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．20256,2328x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．20228,2356x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2228,20356x y x y +=⎧⎨+=⎩7．(2014江西省南昌市，7,3分)如图，AB ∥DE ，AC ∥DF ，AC ＝DF ，下列条件中，不能判断△ABC ≌△DEF 的是( )A ．AB ＝DE B ．∠B ＝∠EC ．EF ＝BCD ．EF ∥BC(第5题)A ．B ．C ．D ．FEBCD A (第7题)(第8题)8．(2014江西省南昌市，8,3分)如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．55°9．(2014江西省南昌市，9,3分)若α，β是方程x 2－2x －3＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为( )A ．10B ．9C ．7D ．510．(2014江西省南昌市，10,3分)如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移，得到△A ′B ′C ′，再将绕点A ′逆时针旋转一定角度后，点B ′恰好与点C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别( ) A ．4，30° B ．2，60° C ．1，30° D ．3，60°11．(2014江西省南昌市，11,3分)如图1，将一个边长为a 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为( )A ．2a －3bB ．4a －8bC ．2a －4bD ．4a －10b12．(2014江西省南昌市，12,3分)已知反比例函数y ＝k x的图象如图所示，则二次函数y ＝2kx 2－4x ＋k 2的图象大致为( )二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13．(2014江西省南昌市，13，3分)______．(第12题)A BC A ′B ′C ′ (第10题)baa 图1 图2 图3(第11题)14．(2014江西省南昌市，14，3分)不等式组210,1(2)02x x ->⎧⎪⎨-+<⎪⎩的解集是______．15．(2014江西省南昌市，15，3分))如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD ＝60°，AB ＝2，则图中阴影部分的面积为______． 16．(2014江西省南昌市，16，3分)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，有一个锐角为60°，BC ＝6．若点P 在直线AC 上(不与点A ，C 重合)，且∠ABP ＝30°，则CP 的长为______．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17．(2014江西省南昌市，17，6分)计算：(1x x -－1x )÷22x x x--．18．(2014江西省南昌市，18，6分))已知梯形ABCD ，请使用无刻度直尺画图． (1)在图1中画一个与梯形ABCD 面积相等，且以CD 为边的三角形； (2)在图2中画一个与梯形ABCD 面积相等，且以AB 为边的平行四边形．19．(2014江西省南昌市，19，6分)有六张完全相同的卡片，分A ，B 两组，每组三张，在A 组的卡片上分别画上“√，×，√”，B 组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1所示． (1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率(请用“树形图法”或“列表法”求解)． (2)若把A ，B 两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片．．．．，其正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？②若揭开盖子，看到的卡片下面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．A BCDA B CD 图1 图2(第18题)(第15题)C20．(2014江西省南昌市，20，6分)如图，在平面直角坐标系中，Rt △PBD 的斜边PB 落在y 轴上，tan ∠BPD ＝12．延长BD 交x 轴于点C ，过点D 作DA ⊥x 轴，垂足为A ，OA ＝4，OB ＝3．(1)求点C 的坐标； (2)若点D 在反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象上，求反比例函数的解析式．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21．((2014江西省南昌市，21，8分)某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查．依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：(第20题) √ × √A 组 √ × ×B 组√ × √正面 √ × ×反面① ② ③ 图1 图2(第19题)(1)求样本容量及表格中a ，b ，c 的值，并补全统计图；(2)若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数； (3)①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议； ②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？22．(2014江西省南昌市，22，8分)图象中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2所示．在图2中，每个菱形的边长为10cm ，锐角为60°．(1)连接CE ，EB ，猜想它们的位置关系并加以证明；(2)求A ，B 两点之间的距离(结果取整数，可以使用计算器)．1.411.732.45)图1AC30°30°30°EBD图2(第22题)某校初中生阅读数学教科书情况统计图表重视 一般 不重视 说不清楚a 57b 90.3 0.38 c 0.06类别 人数 占总人 数比例23．(2014江西省南昌市，23，8分)如图1，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分．．．．的一个动点，连接OP ，CP ． (1)求△OPC 的最大面积； (2)求∠OCP 的最大度数；(3)如图2，延长PO 交⊙O于点D ，连接DB ．当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24．(2014江西省南昌市，24，12分)如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上(不与点A ，B 重合)，点F 在BC 边上(不与点B ，C 重合)．第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依此操作下去…(1)图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为________，求此时线段EF 的长； (2)若经过三次操作可得到四边形EFGH ．①请判断四边形EFGH 的形状为________，此时此刻AE 与BF 的数量关系是________； ②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围．E A B FCD EE 图1 图2 备用图(第24题)AOBCPD图7A AOBC P D图1 图2(第23题)25．(2014江西省南昌市，25，12分)如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的顶点为M ，直线y ＝m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为抛物线对应的准碟形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离为碟高． (1)抛物线y ＝12x 2对应的碟宽为______；抛物线y ＝4x 2对应的碟宽为______；抛物线y ＝ax 2(a＞0)对应的碟宽为______；抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)对应的碟宽为______； (2)若抛物线y ＝ax 2－4ax －53(a ＞0)对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值； (3)将抛物线y n ＝a n x 2＋n bx ＋c n (a n ＞0)的对应准碟形记为F n (n ＝1，2，3，…)，定义F 1，F 2，…，F n 为相似准碟形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n －1的相似比为12，且F n的碟顶是F n －1碟宽的中点，现将(2)中求得的抛物线记为y 1，其对应的准碟形记为F 1． ①求抛物线y 2的表达式；②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…，F n 的碟高为h n ，则h n ＝______，F n 的碟宽右端点横坐标为______；F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．xO yB准碟形AMB图1 备用图(第#题)m2014年江西南昌中考数学(满分120分，时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项)1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13．【答案】314．【答案】x＞1 215．【答案】12－16．【答案】 6三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17．(2014江西省南昌市，17，6分)计算：(1xx-－1x)÷22xx x--．解：(1xx-－1x)÷22xx x--x 2x -＝x －1． ······························································································································ 6分 18．(2014江西省南昌市，18，6分))已知梯形ABCD ，请使用无刻度直尺画图． (1)在图1中画一个与梯形ABCD 面积相等，且以CD 为边的三角形； (2)在图2中画一个与梯形ABCD 面积相等，且以AB 为边的平行四边形．解：(1)如图1所示，△CDE 即为所求(答案不唯一)． ····················································· 3分 (1)如图2所示，平行四边形ABFE 即为所求(答案不唯一)． ··········································· 6分19．(2014江西省南昌市，19，6分)有六张完全相同的卡片，分A ，B 两组，每组三张，在A 组的卡片上分别画上“√，×，√”，B 组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1所示． (1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率(请用“树形图法”或“列表法”求解)． (2)若把A ，B 两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片．．．．，其正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？②若揭开盖子，看到的卡片下面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．解：(1)解法一：根据题意可画出如下树形图：从树形图可以看出，所有可能结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种．√ √ × × A 组B 组 × √ × × √ √ × ×√ × √A 组 √ × ×B 组 √ × √正面 √ × ×反面① ② ③ 图1 图2(第19题)A BC D EF 图2A BC D E图1A BCDA B CD 图1 图2(第18题)9解法二：根据题意，可列表如下：√××(√，√) (√，×) (√，×) × (×，√) (×，×) (×，×) √(√，√) (√，×) (√，×)从上表可以看出，所有可能结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是“√”的结果有2种． ∴P(两张都是“√”)＝29． ······························································································ 4分 (2)①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√，×，√”， ∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率为23． ······································ 5分 ②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”和“×”． ∴猜对反面也是“√”的概率为12． ················································································ 6分 20．(2014江西省南昌市，20，6分)如图，在平面直角坐标系中，Rt △PBD 的斜边PB 落在y 轴上，tan ∠BPD ＝12．延长BD 交x 轴于点C ，过点D 作DA ⊥x 轴，垂足为A ，OA ＝4，OB ＝3．(1)求点C 的坐标； (2)若点D 在反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象上，求反比例函数的解析式．解：(1)∵PB 是Rt △PBD 的斜边，∴∠BDP ＝∠BOC ＝90°．∴∠BCO ＝∠BPD ． ∴tan ∠BCO ＝tan ∠BPD ＝12． 又∵OB ＝3，∴OC ＝tan OB BCO ＝3÷12＝6． ∴点C 的坐标为(6，0)． ···································································································· 3分(2)由(1)知OC ＝6，又OA ＝4，∴AC ＝2． ∵在Rt △DAC 中，tan ∠DCA ＝12， (第20题)∴AD ＝AC ·tan ∠DCA ＝2×12＝1．················································································· 5分∴点D 的坐标为(4，1)．∴k ＝4． ∴反比例函数的解析式为y ＝4x． ····················································································· 6分 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21．((2014江西省南昌市，21，8分)某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查．依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：(1)求样本容量及表格中a ，b ，c 的值，并补全统计图；(2)若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数； (3)①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议； ②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？ 解：(1)由统计表可知，样本容量为57÷0.38＝150． ∴a ＝150×0.3＝45，c ＝1－0.3－0.38－0.06＝0.26， b ＝150×0.26＝39． ··········································································································· 2分 补全统计图如图4所示． ··································································································· 4分(2)2300×0.26＝598，∴可估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数约为598人． ··························· 6分 (3)①从该校初中生重视阅读数学教科书的人数比例来看，该校初中生对阅读数学教科书的重视程度不够，建议数学教师在课内外加强引导学生阅读数学教科书，逐步提高学生数学阅读能力，重视数学教材在数学学习过程中的作用；②考虑到样本具有的随机性、代表性和广泛性，要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，图4某校初中生阅读数学教科书情况统计图表重视 一般 不重视 说不清楚a 57b 90.3 0.38 c 0.06类别 人数占总人数比例抽样时要选择城市、乡镇不同层次的学校． ····································································· 8分 (只要给出合理建议即可给分)22．(2014江西省南昌市，22，8分)图象中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2所示．在图2中，每个菱形的边长为10cm ，锐角为60°．(1)连接CE ，EB ，猜想它们的位置关系并加以证明；(2)求A ，B 两点之间的距离(结果取整数，可以使用计算器)．1.411.732.45)解：(1)CD ∥EB ．证明：连接AC ，DE ．∵四边形AGCH 是菱形，且∠GCH ＝60°， ∴∠1＝12∠GCH ＝30°．同理∠2＝30°． ∴∠ACD ＝90°． ················································································································· 2分 同理可得∠CDE ＝∠DEB ＝90°． ∴CD ∥EB ． ························································································································ 3分 (2)方法一：如图5，连接AD ，BD ． 由(1)知∠ACD ＝90°． ∵CA ＝CD ，∴∠CDA ＝∠CAD ＝45°． 同理∠EDB ＝∠EBD ＝45°，又由(1)知∠CDE ＝90°． ∴∠CDA ＋∠CDE ＋∠EDB ＝180°， 即点A ，D ，B 在同一直线上． ·························································································· 4分 连接GH 交AC 于点M ．由菱形的性质可知∠CMH ＝90°，CM ＝12AC ．在Rt △CMH 中，CM ＝CH ·cos ∠1＝10·cos30°＝图1AC30°30°30°EBD图2(第22题)∴CD ＝AC ＝2CM ＝······························································································ 6分 ∴在Rt △ACD 中，AD···························································· 7分 同理BD ＝∴AB ＝AD ＋DB ＝20×2.45＝49．答：A ，B 两点之间的距离约为49cm ． ············································································ 8分方法二：如图6，连接AB ，延长AC 交BE 的延长线于点F ． 由(1)知∠ACD ＝∠CDE ＝∠DEB ＝90°， ∴四边形CDEF 是矩形． ∵四个菱形全等，∴AC ＝CD ＝DE ＝EB ．∴四边形CDEF 是正方形． ······························································································· 4分 ∴CF ＝FE ＝CD 且∠F ＝90°． ∴AF ＝BF ＝2AC ． ·············································································································· 5分 在菱形AGCH 中，连接GH 交AC 于点M ， ∴AC ⊥GH ．在Rt △CMH 中，CM ＝CH ·cos ∠1＝10·cos30°＝············································· 6分 ∴AC ＝2CM ＝AF ＝BF ＝2AC ＝······························································ 7分 ∴在Rt △AFB 中，AB20×2.45＝49．答：A ，B 两点之间的距离约为49cm ． ············································································ 8分 23．(2014江西省南昌市，23，8分)如图1，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分．．．．的一个动点，连接OP ，CP ． (1)求△OPC 的最大面积； (2)求∠OCP 的最大度数；(3)如图2，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ．当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．H G CM 1230° 30°30°EB DF图6A HG CM 1 230° 30° 30°EBD图5A解：(1)∵△OPC 的边长OC 的是定值，∴当OP ⊥OC 时，OC 边上的高为最大值，此时△OPC 的面积最大． ·························· 1分 ∵AB ＝4，BC ＝2，∴OP ＝OB ＝2，OC ＝OB ＋BC ＝4． ∴S △OPC ＝12OC ·OP ＝12×4×2＝4． 即△OPC 的最大面积为4． ······························································································· 2分(2)当PC 与⊙O 相切即OP ⊥PC 时，∠OCP 的度数最大． ············································· 3分 在Rt △OPC 中，∠OPC ＝90°，OC ＝4，OP ＝2， ∴sin ∠OCP ＝OP OC ＝12．∴∠OCP ＝30°． ················································································································· 5分 (3)连接AP ，BP ．如图7， ∵∠AOP ＝∠DOP ， ∴AP ＝DB ． ························································································································ 6分 ∵CP ＝DB ， ∴AP ＝PC ． ∴∠A ＝∠C ． ∵∠A ＝∠D ， ∴∠C ＝∠D ． ····················································································································· 7分 ∵OC ＝PD ＝4，PC ＝DB ， ∴△OPC ≌△PBD ． ∴∠OPC ＝∠PBD ． ··········································································································· 8分 ∵PD 是⊙O 的直径， ∴∠PBD ＝90°． ∴∠OPC ＝90°． ∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径， ∴CP 是⊙O 的切线． ········································································································· 9分五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24．(2014江西省南昌市，24，12分)如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上(不与点A ，B 重合)，点F 在BC 边上(不与点B ，C 重合)．第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依此操作下去…A OBCPD图7 A AOBCPD图1 图2(第23题)(1)图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为________，求此时线段EF 的长； (2)若经过三次操作可得到四边形EFGH ．①请判断四边形EFGH 的形状为________，此时此刻AE 与BF 的数量关系是________； ②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围． 解：(1)等边三角形；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°． ∵DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △CDF ． ∴AE ＝CF ． ∴BE ＝BF ．∴△BEF 是等腰直角三角形． 设EF 长为x ，则BE，∴AE ＝4．∵在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2，DE ＝EF ， ∴x 2＝42＋(4)2．∴x 2＋－64＝0． ······································································································· 2分 解得x 1＝－＋x 2＝－不合题意，舍去)．∴EF ＝－＋····································································································· 3分 (2)①正方形(如图8)；AE ＝BF ； ························································································ 5分②∵AE ＝x ， BE ＝4－x ．A BFCD GH E图8E A B FCDEE 图1 图2 备用图(第24题)。