数据的相关性-课件

i xi yi
x iy i
12345 482 383 421 364 362 78 65 71 64 61 375 248 298 232 220 96 95 91 96 82
∴ x ＝20512， y ＝3539，
S
2 x
＝2033.04，sxy＝269.28.
b＝
S xy
S
2 x
＝2206393.2.084≈0.132452，
所以回归方程为 y＝0.8136x＋0.0043.
考点三 利用回归方程对总体进行估计
利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直 线方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为：y ＝bx0＋a.
例3 某5名学生总成绩和数学成绩(单位：分) 如下表所示：
学生 A B C D E 总成绩(x) 482 383 421 364 362 数学成绩(y) 78 65 71 64 61
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021 10:31:24 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/12021/3/12021/3/1M ar-211- Mar-21
a＝ y －b x ≈3539－0.132452×20512≈14.501315.
∴回归方程为 y＝0.132452x＋14.501315.
(3)当 x＝450 时，y≈74，
即当一个学生的总成绩为 450 分时，他的数学
成绩约为 74 分．
【名师点评】 (1)回归分析是寻找相关关系 中非确定性关系的某种确定性； (2)求回归直线方程，关键在于正确地求出系 数a，b，由于a，b的计算量大，计算时要仔 细，避免计算失误． 变式训练3 一台机器由于使用时间较长， 生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产 出来的零件有缺损的统计数据如下表：
房屋面积 x(m2)
115 110 80 135 105
销售价格y(万 24.
元)
8
21. 6
19. 4
29. 2
22
(1)画出数据对应的散点图； (2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是 否具有相关关系？如果有相关关系，是正相 关还是负相关？ 【思路点拨】 先建立直角坐标系，画出散 点图，再判断相关关系．
，sxy；
(2)计算
b＝
S xy
S
2 x
，a＝
y
－b
x
；
பைடு நூலகம்
(3)写出方程 y＝bx＋a.
变式训练2 随着我国经济的快速发展， 城乡居民的生活水平不断提高，为研究某 市家庭平均收入与月平均生活支出的关系， 该市统计部门随机调查10个家庭，得数据 如下表：
家庭编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
施化肥 量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产 量y
330
34 5
365
40 5
445
45 0
455
施化肥量x和水稻产量y是否具有相关关系？
解：作出散点图进行分析．散点图如下：
从散点图可以看出施化肥量x和水稻产量y的 确存在一定相关关系，大体上随着施化肥量 的增加，水稻的产量也在增加．
考点二 求回归直线方程
提示：假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)，记 x ＝n1(x1＋x2＋…＋xn)， y ＝n1(y1 ＋y2＋…＋yn)，则( x ，y )为样本点的中心，回 归直线一定过这一点，对于单变量样本数据而 言，平均数是样本数据的中心，类似地，对于 双变量样本点而言，回归直线是样本点的中 心．
12.4 数据的相关性 12.4.1 相关性 12.4.2 回归直线
12.4.2
回 归 直 线
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标 1.理解两个变量的相关关系的概念； 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变 量之间是否具有相关关系； 3．会求回归直线方程．
课前自主学案
温故夯基
1．用样本估计总体主要有：用样本的 __频__率__分_布______ 估 计 总 体 的 频 率 分 布 ； 用 样 本 的数__字__特__征_______估计总体的数字特征． 2 ． 样 本 的 数 字 特 征 主 平要均有数______众__数_ 、 ____中__位__数 、 __方__差______ 标、准差__．______ 及 ____________ 3．在确现定实生活中两个变量之间的函数关系是一 种_______的关系．
5 60 62 3720 3600
x
＝70，
y
＝66，sxy＝18，
S
2 x
＝50
设所求回归方程为 y＝bx＋a，
则由上表可得
b＝
S xy
S
2 x
＝295＝0.36，
a＝ y －b x ＝40.8.
∴所求回归方程为
y＝0.36x＋40.8.
【名师点评】 求回归方程的步骤：
(1)计算
x
，
y
，
S
2 x
【解】 (1)数据对应的散点图如图所示． (2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新 房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关 关系，且是正相关．
【名师点评】 两个随机变量x和y相关关系 的确定方法： (1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布 是否存在一定规律，直观地判断； (2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行 判断； (3)经验法：借助积累的经验进行分析判断． 变式训练1 某地农业技术指导站的技术员， 经过在7块并排大小相同的试验田上进行施 化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表 所示的一组数据：(单位：千克)
(1)作出散点图； (2)求数学成绩y对总成绩x的回归方程； (3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测 这个学生的数学成绩． 【思路点拨】 进行线性回归分析的关键是 求出线性回归直线方程．由于求回归系数a、 b的运算量很大，故可用列表法并借助计算 器求解．
【解】 (1)散点图如图所示：
(2)列表：
xi(收入)/千 元
0.8
1.1
1.3
1.5
1.5
1.8
2.0
2.2
2.4
2.8
yi(支出)/千 元
0.7
1.0
1.2
1.0
1.3
1.5
1.3
1.7
2.0
2.5
(1)判断家庭平均收入与月平均生活支出是否 相关； (2)若二者线性相关，求回归直线方程．
解：(1)作出散点图： 观察发现各个数据对应的点都在一条直线附 近，所以二者有线性相关关系
(3)令 0.73x－0.875≤10，解得 x≤14.9≈15.
故机器的运转速度应控制在 15 转/秒内．
方法感悟
1．在研究两个变量是否存在某种关系时，必须 从散点图入手，对于散点图，可以做出如下判 断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线 上，那么就用该函数来描述变量之间的关系， 即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本 点都落在某一函数曲线附近，那么变量之间具 有相关关系；(3)如果所有的样本点都落在某一 直线附近，那么变量之间具有线性相关关系．
②负相关：散点图中的点散布在从 __左__上__角____到_右__下__角_____的区域． 3．回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体 上 看 大 致 在 _一__条__直__线_____ 附 近 ， 就 称 这 两 个 变 量 之 间 具 有 _线__性__相__关_______ 关 系 ， 这
条直线叫做回归直线． (2)回归方程：___回__归__直_线_____对应的方程叫
回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归直线方程y＝bx＋a，其中
b是回归方程的斜率，a是截距．
4．最小二乘估计
n
(yi－bxi－a)2
我们可以求Q(a，b)＝_i_＝1_______________
的最小值，如果常数a，b使Q(a，b)达到最
知新益能
1．相关关系 与 函 数 关 系 不 同 ， 相 关 关 系非是确一定种 _________性关系． 2．两个变量的线性相关 (1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝ 1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图 形． (2)正相关与负相关 ①正相关：散点图中的点散布在从__左__下__角__ 到__右__上__角_____的区域．
课堂互动讲练
考点一
考点突破 相关关系的判断
在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判 断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的 作用．由于变量间的相关关系带有不确定性， 这就需要通过收集大量的数据，对数据进行统 计分析，发现规律，从而作出科学的判断．
例1 以下是在某地搜集到的不同楼盘新房 屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单 位：m2)的数据：
小，就称直线l：y＝bx＋a为{xi}与{yi}的回
归直线，回归直线中的a、b分别是固有值a0、
b0的最小二乘估计．
问题探究
1．相关关系与函数关系有什么不同？ 提示：函数关系是一种确定的关系，相关关 系是一种非确定的关系．函数关系是一种因 果关系，而相关关系不一定是因果关系，也 可能是伴随关系． 2．回归直线通过样本点的中心，对照平均 数与样本数据之间的关系，你能说说回归直 线与散点图中各点之间的关系吗？
【解】 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理 成绩，可得到相应的散点图如图所示．
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且 为线性相关． 列表，计算
i
xi yi x iy i
x2i
1 80 70 5600 6400
2 75 66 4950 5625
34 70 65 68 64 4760 4160 4900 4225
据最小二乘估计思想的公式，用待定系数法求 出a，b，从而确定回归直线方程．
例2 5个学生的数学和物理成绩(单位：分) 如下表：
学生 学科
数学 物理
ABCDE
80 75 70 65 60 70 66 68 64 62
画出散点图，判断它们是否具有相关关 系，若相关，求出回归方程．
【思路点拨】 作散点图 → 判断 → 求a，b → 回归方程
(2) x ＝110(0.8＋1.1＋1.3＋1.5＋1.5＋1.8＋2.0＋
2.2＋2.4＋2.8)＝1.74，
y ＝110(0.7＋1.0＋1.2＋1.0＋1.3＋1.5＋1.3＋1.7
＋2.0＋2.5)＝1.42，
b＝
S xy
S
2 x
≈0.8136，
a＝1.42－1.74×0.8136≈0.0043，
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/12021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月1日星期 一2021/3/12021/3/12021/3/1
i 1 2 34 xi 16 14 12 8 yi 11 9 8 5 xiyi 176 126 96 40
x
＝12.5，
y
＝8.25，
S
2 x
＝6.375，sxy＝8.75，
∴b＝
S xy
S
2 x
＝68..37755≈0.73，
a＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，
∴y＝0.73x－0.875.
转速x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产缺损 零件数y(件)
11 9
8
5
(1)作出散点图； (2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程； (3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损 的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应 控制在什么范围？
解：(1)根据表中的数据画出散点图如图：
(2)设回归直线方程为：y＝bx＋a，并列表如 下：
3．“回归直线”方程能否按解析几何中求直 线方程的方法来求？ 提示：不能．求回归直线方程的方法是用最小 二乘估计．因为所有数据点都分布在一条直线 附近时，这样的直线可画出许多条，而“回归 直线”是这些直线中“最贴近”已知数据的， 但并不一定过数据中的某个点，故一般不按解 析几何中求直线方程的方法来求．
2．知道x与y呈线性相关关系，无需进行相 关性检验，否则，应首先进行相关性检验， 如果本身两个变量不具备相关关系，或者说， 它们之间相关关系不显著，即使求出回归直 线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预 测的量也是不可信的. 3．利用回归方程估计总体，只是反映了x与 y的一种近似的相关关系，即y值并不一定是 真实值．