高中数学 含参集合分类讨论问题

含参集合分类讨论问题
重点知识梳理
1．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．
2．用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：
(1)明确讨论的对象；
(2)进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则：
①分类应按同一标准进行；
②分类应当没有遗漏；
③分类应是没有重复的；
(3)逐类讨论，分级进行；
(4)归纳并作出结论．
3．集合中引起分类讨论的原因：
(1)由元素的特性引起的讨论；
(2)由空集引起的讨论；
(3)由方程的有解性引起的讨论．
典型例题剖析
例1同时满足：(1)M⊆{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则(6－a)∈M的非空集合M有多少个？并写出这些集合．
【解析】按集合M中元素个数分类讨论：
M中只有1个元素时，若3∈M，则6－a＝6－3＝3∈M，所以M＝{3}；
M中有2个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,5}，M＝{2,4}；
M中有3个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,3,5}，M＝{2,3,4}；
M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：M＝{1,2,4,5}；
M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：M＝{1,2,3,4,5}，
所以适合条件的集合M共有7个．
变式训练已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值为()
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】∵M∩N＝{－3}，∴－3∈N＝{a－3,2a－1，a2＋1}，
若a－3＝－3，则a＝0，此时M＝{0,1，－3}，N＝{－3，－1，1}，则M∩N＝{－3,1}，
故不适合．
若2a－1＝－3，则a＝－1，此时M＝{1,0，－3}，N＝{－4，－3,2}，M∩N＝{－3}，
满足题意．
若a2＋1＝－3，此方程无实数解．
故选A.
【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性．
例2已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【解析】A＝{0，－4}．
①B＝∅时，Δ＝a2－4a<0，即0<a<4.
②B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}或B＝{－4,0}．
当B＝{0}时，a＝0满足题意；
－4或B＝{－4,0}时，均不满足题意．
当B＝{}
综上所述，a 的取值范围是{a |0≤a ＜4}．
变式训练 已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．
【解析】(1)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0化为－3x ＋2＝0，解集非空； 当a ≠0时，要使A 是空集，则Δ＝(－3)2－8a ＜0， 解得a ＞9
8
.
∴使A 是空集的a 的取值范围是{a |a >9
8}．
(2)当a ＝0时，集合A 中有一个元素；
当a ≠0时，若A 中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a ＞0，解得a ＜9
8.
综上，使A 中至多只有一个元素的a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥9
8}．
例3 已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m >2m 2m ≤11－m ≥3
，
得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}． (2)由A ∩B ＝∅得：
①若2m ≥1－m 即m ≥1
3，B ＝∅，符合题意；
②若2m <1－m 即m <1
3
，需⎩⎪⎨⎪⎧ m <131－m ≤1
或⎩⎪⎨⎪⎧
m <132m ≥3
得0≤m <13或∅，即0≤m <1
3
.
综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为{m |m ≥0}． 变式训练 设集合P ＝{}x |x 2－x －6＜0， Q ＝{}x |2a ≤x ≤a ＋3.
(1)若P ∪Q ＝P ，求实数a 的取值范围； (2)若P ∩Q ＝∅，求实数a 的取值范围； 【解析】(1)由题意知P ＝{}x |－2＜x ＜3， ∵P ∪Q ＝P ，∴Q ⊆P .
①当Q ＝∅时，得2a ＞a ＋3，解得a ＞3；
②当Q ≠∅时，得－2＜2a ≤a ＋3＜3，解得－1＜a ＜0. 综上，实数a 的取值范围是{a |－1<a <0或a >3}． (2)①当Q ＝∅时，得2a ＞a ＋3，解得a ＞3；
②当Q ≠∅时，得⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ≤a ＋3
a ＋3≤－2或2a ≥3，
解得a ≤－5或3
2
≤a ≤3.
综上，实数a 的取值范围是{a |a ≤－5或a ≥3
2
}．
跟踪训练
1．由实数a ，－a ，|a |所组成的集合里，所含元素个数最多有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
2．在集合A ＝{1，a 2－a －1，a 2－2a ＋2}中，a 的值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2
3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为( )
A．0 B．1 C．0或1 D．－1
4．设P、Q为两个非空实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是()
A．6 B．7 C．8 D．9
5．集合M＝{1,2}，N＝{1,2,3}，P＝{x|x＝ab，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为()
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
7．设集合A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2,4}，定义集合S＝{(a，b)|a∈A，b∈B，a＋b＞ab}，则集合S中元素的个数是()
A．5 B．6 C．8 D．9
8．已知集合A＝{a，a2＋2a－2,3}，且1∈A，则a＝______.
9．若集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＝1}，且B⊆A，则实数a取值的集合为________．
10．设集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，则实数a的值为______．
11．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的取值集合．
12．已知A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}，
(1)若A⊆B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
13．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
参考答案1．C根据题意，分三种情况讨论：
①a＝0，有a＝－a＝|a|，组成的集合中有一个元素；
②a＞0，有a＝|a|，组成的集合中有两个元素；
③a＜0，有－a＝|a|，组成的集合中有两个元素．
故在其组成的集合里，所含元素个数最多有2个．
选C.
2．A当a＝0时，a2－a－1＝－1，a2－2a＋2＝2，当a＝1时，a2－a－1＝－1，a2－2a＋2＝1，
当a＝2时，a2－a－1＝1，a2－2a＋2＝2，
由集合中元素的互异性知选A.
3．C若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，
则方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个解．
当a＝0时，方程可化为2x＋1＝0，满足条件；
当a≠0时，二次方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个解，
则Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
故满足条件的a的值为0或1.
故选C.
4．C∵P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，∴当a＝0时，b∈Q，P＋Q＝{1,2,6}；
当a＝2时，b∈Q，P＋Q＝{3,4,8}；
当a＝5时，b∈Q，P＋Q＝{6,7,11}，
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．
故选C.
5．C当a＝1，b＝1时，x＝1；
当a＝1，b＝2时，x＝2；
当a＝1，b＝3时，x＝3；
当a＝2，b＝1时，x＝2；
当a＝2，b＝2时，x＝4；
当a＝2，b＝3时，x＝6，
根据集合的元素满足互异性，得P＝{1,2,3,4,6}，共5个元素．故选C.
6．B
解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．
7．C∵集合A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2,4}，a∈A，b∈B，
∴a可取1,2,3，b可取0,1,2,4.
(1)当a＝1时，
b＝0，由a＋b＝1，ab＝0，a＋b＞ab成立，数对(1,0)为S的一个元素；
b＝1，由a＋b＝2，ab＝1，a＋b＞ab成立，数对(1,1)为S的一个元素；
b＝2，由a＋b＝3，ab＝2，a＋b＞ab成立，数对(1,2)为S的一个元素；
b＝4，由a＋b＝5，ab＝4，a＋b＞ab成立，数对(1,4)为S的一个元素；
(2)当a＝2时，
b＝0，由a＋b＝2，ab＝0，a＋b＞ab成立，数对(2,0)为S的一个元素；
b＝1，由a＋b＝3，ab＝2，a＋b＞ab成立，数对(2,1)为S的一个元素；
b＝2，由a＋b＝4，ab＝4，a＋b＞ab不成立，数对(2,2)不是S的元素；
b＝4，由a＋b＝6，ab＝8，a＋b＞ab不成立，数对(2,4)不是S的元素；
(3)当a＝3时，
b＝0，由a＋b＝3，ab＝0，a＋b＞ab成立，数对(3,0)为S的一个元素；
b＝1，由a＋b＝4，ab＝3，a＋b＞ab成立，数对(3,1)为S的一个元素；
b＝2，由a＋b＝5，ab＝6，a＋b＞ab不成立，数对(3,2)不是S的元素；
b＝4，由a＋b＝7，ab＝12，a＋b＞ab不成立，数对(3,4)不是S的元素．
故S的元素有八个，分别为：(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)．
故答案为C.
8．－3
解析∵1∈A，
∴1＝a或1＝a2＋2a－2，
∴a＝1或a＝－3.
∴当a＝1时，a2＋2a－2＝1，不符合集合中元素的互异性，故a＝1应舍去；
当a＝－3时，a2＋2a－2＝1，满足题意，
∴a＝－3.
9．{－1,0,1}
10．－1
解析∵A＝{1,0，a}，若a2∈A，
则a2＝1或a2＝0或a2＝a，
解得a＝1或a＝－1或a＝0.
当a＝1时，A＝{1,0,1}，不成立．
当a＝－1时，A＝{1,0，－1}，成立．
当a＝0时，A＝{1,0,0}，不成立．
故a＝－1.
11．解析因为1∈A，所以
①若a＋2＝1，解得a＝－1，此时集合为{1,0,1}，元素重复，所以不成立，即a≠－1.
②若(a＋1)2＝1，解得a＝0或a＝－2，当a＝0时，集合为{2,1,3}，满足条件，即a＝0成立．
当a＝－2时，集合为{0,1,1}，元素重复，所以不成立，即a≠－2.
③若a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1或a＝－2，由①②知都不成立．
所以满足条件的实数a 的取值集合为{0}． 12．解析 A ＝{x |2<x <4}． 当a ＝0时，B ＝∅； 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }； 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }． (1)①当a ＝0时，B ＝∅，不合题意； ②当a >0时，∵A ⊆B ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤2，3a ≥4，∴⎩⎨⎧
a ≤2，a ≥43，
∴4
3
≤a ≤2； ③当a <0时，∵A ⊆B ，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
3a ≤2，a ≥4，∴⎩⎪
⎨⎪⎧
a ≤2
3，a ≥4，
无解．
综上，a 的取值范围是{a |4
3≤a ≤2}．
(2)①当a ＝0时，B ＝∅，满足题意； ②当a >0时，需a ≥4或3a ≤2， ∴a ≥4或0＜a ≤2
3
；
③当a <0时，需a ≤2或3a ≥4， ∴a <0.
综上，a 的取值范围是{a |a ≤2
3或a ≥4}．
13．解析 由题意知A ＝{0，－4}，又B ⊆A ， ∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}，
11 当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根， ∴Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，∴a <－1.
当B ＝{0}时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，a 2－1＝0
得a ＝－1. 当B ＝{－4}时，由⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0知无解． 当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.
综上所述，a 的取值范围为{a |a ＝1或a ≤－1}．。