新高考总复习 数学 第1节 直线与方程习题

多维层次练44

[A 级 基础巩固]

1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3

C ．－ 3

D ．－33 解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33

. 答案：A

2．(2019·北京海淀区模拟)过点(2，1)且倾斜角比直线y ＝－x －1

的倾斜角小π4

的直线方程是( ) A ．x ＝2

B ．y ＝1

C ．x ＝1

D ．y ＝2

解析：因为直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4

，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2

， 所以斜率不存在，所以过点(2，1)的直线方程为x ＝2.

答案：A

3．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )

解析：当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合．

答案：B

4.图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )

A ．k 1

B ．k 3

C ．k 3

D ．k 1

解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0

答案：D

5．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A

>0，在y 轴上的截距－C B

>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．

答案：C

6．直线MN 的斜率为2，其中点N (1，－1)，点M 在直线y ＝x ＋1上，则( )

A ．M (5，7)

B ．M (4，5)

C ．M (2，1)

D ．M (2，3)

解析：设M 的坐标为(a ，b )，若点M 在直线y ＝x ＋1上， 则有b ＝a ＋1.①

若直线MN 的斜率为2，则有b ＋1

a －1＝2.②

联立①②可得a ＝4，b ＝5，

即M 的坐标为(4，5)．

答案：B

7．过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有(

) A ．1条 B ．2条

C ．3条

D ．4条

解析：①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，

设该直线的方程为x ＋y ＝a ，

把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，

则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0；

②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，

设该直线的方程为y ＝kx ，

把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13，

则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0.

综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0.

答案：B

8．已知过定点P (2，0)的直线l 与曲线y ＝2

－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )

A ．150°

B ．135°

C ．120°

D ．不存在 解析：由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．

显然直线l 的斜率存在，

设过点P (2，0)的直线l 为y ＝k (x －2)，

则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |

1＋k 2，

弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭

⎪⎫|－2k |1＋k 22＝2 2－2k 21＋k 2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k

2×2 2－2k 21＋k 2≤（2k ）2＋2－2k 22（1＋k 2）＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13

时等号成立， 由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭

⎪⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.

答案：A

9．已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．

解析：BC 边的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，所以BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532

＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 答案：x ＋13y ＋5＝0

10．不论实数m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________．

解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，

因为m ∈R ，所以⎩⎨⎧x ＋2＝0，－y ＋1＝0，

所以x ＝－2，y ＝1， 所以直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2，1)．

答案：(－2，1)

11．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．

解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，

如图所示，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值，

所以b 的取值范围是[－2，2]．