高等数学基础例题讲解

第1章 函数的极限与连续

例1．求

lim

x x x

→．

解：当0>x 时，

00

lim lim lim 11x x x x x

x x +

+

+→→→===，

当0

00lim lim lim (1)1x x x x x

x x -

--

→→→==-=--，

由极限定义可知，

x

x x 0

lim

→不存在（如图）．

例2．求x mx

x sin lim

0→（m 是非零常数）．

解：令u mx =，显然当0x →时0u →，于是

m

u u

m mx mx m x mx u x x ==⋅=→→→sin lim sin lim sin lim

000．

例3．求x

x x )2

1(lim +∞

→． 解：令

2x

t =

，当x →∞时，有t →∞，

原式2

2222])1

1(lim [])11[(lim )21(lim e t t x t t t t x

x =+=+=+=∞→∞→⋅∞→

例4．求x x x x +-+→11lim

20．

解：

2220011lim lim (11)x x x x x x x x →→+-+=+++201lim 211x x x

→==-+++

例5．求x a x x 1lim

0-→．

解：令t a x

=-1，则log (1)a x t =+，0x →时0t →，于是

0001lim lim lim ln log (1)

ln x x t t a a t t a t x t a →→→-===+

第2章 一元函数微分及其应用

例1．讨论函数3

2)(x x f =在0=x 处的可导性与连续性．

解：3

2)(x x f =为初等函数，在其定义域),(+∞-∞上连续，

所以在0=x 处连续．又

0(0)(0)

(0)lim

h f h f f h →+-'=3020lim h h h →-=

3

2

02lim

h h

→==+∞

)0(f '不存在．所以函数32)(x x f =在0=x 处连续，但不可导．事

实上，曲线

32)(x x f =在)0,0(点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具

有垂直于x 轴的切线0=x （如图）．

例2．求x y sin =的各阶导数．

解：

)

2sin(cos π

+=='x x y ， )

22sin(]2)2sin[()2cos(π

πππ⋅+=++=+=''x x x y ， )23sin(]2)22sin[()22cos(π

πππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y ，

…….

)

2sin()(π

⋅+=n x y n ，

所以：

()(sin )sin()

2n x x n π

=+⋅． 例3

．求

4

5

)(1)x y x -=

+的导数．

解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算． 此函数的定义域为[2,1)(1,)--⋃-+∞

当1x >-时，0y >，函数式两边取对数得：

1

ln ln(2)4ln(3)5ln(1)2y x x x =

++--+

因此上式两边对x 求导，得 11

5

3142

121+--++='x x x y y 整理后得，

]15

34)2(21[)1()3(25

4+--+++-+=

'x x x x x x y 当21x -<<-时可得同样结论．

例4．11

ln 1lim

1--

→x x x ．

解：这是“∞-∞”型，通分即可化为“00

”型．

111

1

1111ln lim lim lim 1ln 1(1)ln ln x x x x x x x x x x x x x →→→-

---==---+

1

1111

lim

lim ln 1ln 112x x x x x x x →→-===

+-++．

例5．求内接于半径为R 的球内的圆柱体的最大体积．

解：设圆柱的底半径为r ，高为h 则体积2

v r h π=，

而222

()2h

r R +=

2223()(/4)(/4)v h h R h R h h ππ=-=-（02h R ≤≤），

故题转化为求函数()v h 的最大值．

问

由223()()0

4v h R h π'=-=得驻点3h R =（负值不合题意舍去）．

根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大

值的，而最大值显然不能在端点0h =，2h R =处取得，故只在唯一驻点

3h R =

处取得．即当3h R =，6r R =时圆柱体的体积最大，最

大体积

3max 43

v R π=

．

第3章 一元函数的积分学

例1．

⎰

-dx

a

x 2

2

1（0>a ）．

解：当a x >时，设t a x sec =(

02t π

<<

)，tdt t a dx tan sec =代入有：

原

式

2

2

sec tan (sec )a t tdt

a t a

=⋅-⎰

sec ln(sec tan )tdt t t C

==++⎰．

为将变量t 还原为x ，借助如图的直角三角形（或利用三角恒等式）有

a x

t =

sec ，

22

2

tan sec 1x a t t a -=-=从而：2222

ln()dx x x a C x a =+-+-⎰．

当a x -<时，令u x -=，则a u >，由上，我们有：