复数和实数域上的多项式.
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由归纳假设，
f1 ( x )在C中有n 1个根 2 , 3 ,
f ( x )在C中有n个根1 , 2 ,
推论 1
, n . 因 此 ，
（证毕）
, n .
1） 任意一个 n( n 0)多项式 f ( x )在C [ x ]
中都能分解成一次因式的乘积；
2）C [ x ]中的不可约多项式只有一次的.
*1）可用归纳法证；2）用 1）来证 2）
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这样， 任意一个 n( n 0) 多项式 f ( x ) 在 C [ x ] 中的典型分解式为以下形式：
f ( x ) a( x a1 )k1 ( x a2 )k2
其中 k1 k2
kt n.
( x a t ) kt ,
a4 5 ( 2) 3 3 90.
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所以
例2
f ( x ) x 4 9 x 3 17 x 2 33 x 90, 或
试求 3 次多项式
f ( x ) ax 4 9ax 3 17ax 2 33ax 90a (a 0).
f ( x ) 2 x 3 6 x 2 3 x 4 的根是α ，β ，γ ，
数域 a F , F 是任意数域。 ）
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二、实数域上多项式
1、实系数多项式非复根的重要性质
定理 4.8.3 设 f ( x ) R[ x ]，非实复数
是f ( x )的根，则 的共轭复数
是f ( x )的根，并且 与 有相同的重数。
证
设f ( x ) a0 x n a1 x n1
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根据上面韦达定理，由根1 , 2 , n ，可以求出
1 , 2。
解 a1 (5 2 3 3) 9,
a2 5 ( 2) 5 3 ( 2) 3 ( 2) 3 3 3 17, a3 [5 ( 2) 3 5 ( 2) 3 5 3 3 ( 2) 3 3] 33,
4.8
复数和实数域上的多项式
授课题目：4.8复数和实数域上的多项式
教学目标：掌握复数域和实数域上多项式因式 分解定理 授课时数：2学时 教学重点：复数域上多项式因式分解定理、根与 系数的关系。实数域上的多项式因式分解定理。 教学难点：复系数多项式根与系数关系的应用
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教学过程：
一. 复数域上多项式
求以 α + β ，β +γ ，α +γ 为根的多项式。
（也可设所求多项式 f ( x ) x 3 a1 x 2 a2 x a3
3 利用α + β +γ =3， , 2 2 求出 a1 , a2 , a3 最后乘上 a (a 0, a 指定数域， 没指定
2）非首1多项式的根与系数的关系
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设
f ( x ) a0 x n a1 x n1 a2 x n 2
an1 x an
a0 0, 而1 , 2 , n是f ( x )在C中的n个根,
因
f ( x ) a0 f1 ( x )，其中 a1 n1 a2 n 2 n f1 ( x ) x x x a0 a0
a n 1 an x a0 a0
所以：
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a1 a ( 1 2 n ), 0 a2 a (1 2 1 3 1 n 2 3 n1 n ), 0 a3 n 2 n1 n ), ( 1 2 3 1 2 4 a0 a n 1 n 1 ( 1) ( 1 2 n1 1 3 n 2 3 n ), a 0 an n ( 1) 1 2 n . a 0
假 定 任 意 n 1( n 1 0) 次 多 项 式 在
C中有n 1个根.
令设f ( x )是n次多项式, f ( x ) C [ x ]. 由代数基
本定理， f ( x )在C中至少有一个根1 , 于是存在
f1 ( x ) C[ x ], ( f1 ( x )) n 1, 使 f ( x ) ( x 1 ) f1 ( x ).
1.代数基本定理及推论
定理 4.8.1 （代数基本定理） 任何 n( n 0)次 多项式在复数域中至少有一个根. 定理 4.8.2 任何次 n( n 0)多项式在复数
域中有 n个根（k 重根按 k 个计算）.
证
对多项式次数n, 用数学归纳法证明.
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当n 1时, C[ x ]中任何一次多项式ax b显然在C中有一个根, 即 b / a , 故结论成立.
2. 根与系数的关系（韦达定理） 1) 首1多项式的根与系数的关系
设 f ( x ) x n a1 x n1 a2 x n 2 在 C 中首 n个根1 , 2 ,
, n , 那么
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an1 x an
a1 (1 2 n ), a ( ), 2 1 2 1 3 1 n 2 3 n 1 n a3 (1 2 3 1 2 4 n 2 n1 n ), an1 ( 1)n1 (1 2 n1 1 3 n 2 3 n ), n a ( 1) 1 2 n . n
由归纳假设，
f1 ( x )在C中有n 1个根 2 , 3 ,
f ( x )在C中有n个根1 , 2 ,
推论 1
, n . 因 此 ，
（证毕）
, n .
1） 任意一个 n( n 0)多项式 f ( x )在C [ x ]
中都能分解成一次因式的乘积；
2）C [ x ]中的不可约多项式只有一次的.
*1）可用归纳法证；2）用 1）来证 2）
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这样， 任意一个 n( n 0) 多项式 f ( x ) 在 C [ x ] 中的典型分解式为以下形式：
f ( x ) a( x a1 )k1 ( x a2 )k2
其中 k1 k2
kt n.
( x a t ) kt ,
a4 5 ( 2) 3 3 90.
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所以
例2
f ( x ) x 4 9 x 3 17 x 2 33 x 90, 或
试求 3 次多项式
f ( x ) ax 4 9ax 3 17ax 2 33ax 90a (a 0).
f ( x ) 2 x 3 6 x 2 3 x 4 的根是α ，β ，γ ，
数域 a F , F 是任意数域。 ）
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二、实数域上多项式
1、实系数多项式非复根的重要性质
定理 4.8.3 设 f ( x ) R[ x ]，非实复数
是f ( x )的根，则 的共轭复数
是f ( x )的根，并且 与 有相同的重数。
证
设f ( x ) a0 x n a1 x n1
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根据上面韦达定理，由根1 , 2 , n ，可以求出
1 , 2。
解 a1 (5 2 3 3) 9,
a2 5 ( 2) 5 3 ( 2) 3 ( 2) 3 3 3 17, a3 [5 ( 2) 3 5 ( 2) 3 5 3 3 ( 2) 3 3] 33,
4.8
复数和实数域上的多项式
授课题目：4.8复数和实数域上的多项式
教学目标：掌握复数域和实数域上多项式因式 分解定理 授课时数：2学时 教学重点：复数域上多项式因式分解定理、根与 系数的关系。实数域上的多项式因式分解定理。 教学难点：复系数多项式根与系数关系的应用
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教学过程：
一. 复数域上多项式
求以 α + β ，β +γ ，α +γ 为根的多项式。
（也可设所求多项式 f ( x ) x 3 a1 x 2 a2 x a3
3 利用α + β +γ =3， , 2 2 求出 a1 , a2 , a3 最后乘上 a (a 0, a 指定数域， 没指定
2）非首1多项式的根与系数的关系
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设
f ( x ) a0 x n a1 x n1 a2 x n 2
an1 x an
a0 0, 而1 , 2 , n是f ( x )在C中的n个根,
因
f ( x ) a0 f1 ( x )，其中 a1 n1 a2 n 2 n f1 ( x ) x x x a0 a0
a n 1 an x a0 a0
所以：
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a1 a ( 1 2 n ), 0 a2 a (1 2 1 3 1 n 2 3 n1 n ), 0 a3 n 2 n1 n ), ( 1 2 3 1 2 4 a0 a n 1 n 1 ( 1) ( 1 2 n1 1 3 n 2 3 n ), a 0 an n ( 1) 1 2 n . a 0
假 定 任 意 n 1( n 1 0) 次 多 项 式 在
C中有n 1个根.
令设f ( x )是n次多项式, f ( x ) C [ x ]. 由代数基
本定理， f ( x )在C中至少有一个根1 , 于是存在
f1 ( x ) C[ x ], ( f1 ( x )) n 1, 使 f ( x ) ( x 1 ) f1 ( x ).
1.代数基本定理及推论
定理 4.8.1 （代数基本定理） 任何 n( n 0)次 多项式在复数域中至少有一个根. 定理 4.8.2 任何次 n( n 0)多项式在复数
域中有 n个根（k 重根按 k 个计算）.
证
对多项式次数n, 用数学归纳法证明.
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当n 1时, C[ x ]中任何一次多项式ax b显然在C中有一个根, 即 b / a , 故结论成立.
2. 根与系数的关系（韦达定理） 1) 首1多项式的根与系数的关系
设 f ( x ) x n a1 x n1 a2 x n 2 在 C 中首 n个根1 , 2 ,
, n , 那么
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an1 x an
a1 (1 2 n ), a ( ), 2 1 2 1 3 1 n 2 3 n 1 n a3 (1 2 3 1 2 4 n 2 n1 n ), an1 ( 1)n1 (1 2 n1 1 3 n 2 3 n ), n a ( 1) 1 2 n . n