立体图形与路径最短讲解
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A
B
C
思维分析
B’
圆锥的侧面展开 图如图所示，连接 BB‘，则BB’为蚂蚁 爬行的最短路径.
A
B
C
问题解决
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’,
连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线，
∵ 圆锥底面半径为1,
∴ 弧BB’的长度即为底面 B’
圆的周长2 π，
∴ ∠BAB’=
2π 4
∴ △ABB’是直角三角形
∠行3B的A∴∴最D∠=B短D6∴∴B0路=A∠°B,D线AD23B=B=A是=36D23303=°..在3630.°R.在tΔR答A∴∴答答tBB：ΔB：DBC：A它D中D它B它=爬C23=爬，23中行爬行23∠3，的3行的B最∠3最的A短BD短最A路=路答 D短线6=线B：0是路D°6是,它230A线23°,爬B323A是.3=行B. 2333=的. 33最.
A
4
∴ BB’= 42 42 4 2
B
C
1
答:蚂蚁爬行的最短路线为 4 . 2
问题情境二
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3， 一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆 锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC 上，问它爬行的最短路线是多少？
A
B
C
问题解决
将圆锥沿AB展开成扇形ABB’
=r锥B×B6沿′03，°6∠垂解A.在则0B°B：足展R=点A∠垂解t将为1BΔC开2B′：足A是D圆=0A成B°.将为BBrl锥CB扇′×D圆中=′的沿3.形rl锥，6A中×A0沿B∠°3B点展=6BAB0，1′B开，°A2展垂解=过∴∴∠∠D0垂解垂解则成B1°：足开点∠=B2A∠：足BB：足点扇将 B0A为AB6成BA将为°BB0将DA为作DC圆B形′扇DA°圆=D.′是,r锥lBDA圆.=D=Arl锥6形DB.B×沿0=6Br3l锥沿BA⊥0B36A.×=在6°6′B0′A，.B沿的在003B3ABR展°°6.展′A则CR=t.，中在01开t，1BΔA°2开垂 解 点2则点展0成R=AB0B成：足 BC°tC1点，扇ΔA开中BC2扇是将 B为 A中形AC0过，成形B°D是BA，圆D点ACBB扇∠rBlB锥 BB.中′的B6BBA形B，0沿作′，D′3，的A中A则6.AD在则B∠0中B
可能出现2种情况：①在侧面爬行②沿A向上 再沿上底面直径爬行到B
情况一解决
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示， 连接AB，则AB为爬行的最短路径.
B
A
2 最短路径：AB 2 2 4 2
情况二解决
B
如图，展开上底面，沿
AB爬行是此种情况的最短
B
路径.
最短路径为：4
A
比较选择最短路径
知识准备
1、什么是线段公理？ 两点之间，线段最短
2、勾股定理 在Rt△ABC中，两直角边为a、b,斜边为c，则 a2+b2=c2.
问题情境一
在底面半径为1、高
为2的圆柱体的左下角A
处有一只蚂蚁，欲从圆柱
B
体的侧面爬行去吃右上角
B处的食物，问怎样爬行
路径最短，最短路径是多
少？
A
问题解决
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示， 连接AB，则AB为爬行的最短路径.
两个最短路径 4 2 和4哪一个最小呢？
比较大小： 4 2 4
因此最短路径为侧面爬行的 4 2
是否所有的情况下都是侧面爬行路径最短吗？ 高和底面半径换一些数据试一试.
延伸问题四
在底面半径为r、高
为h的圆柱体的左下角A
处有一只蚂蚁，欲爬行去
B
吃右上角B处的食物，问
怎样爬行路径最短，最短
B
A
2 最短路径：AB 2 2 4 2
问题情境二
在底面半径为1、高 为2的圆柱体的左下角A 处有一只蚂蚁，欲从圆柱 B 体的侧面如图迂回爬行去 吃左上角B处的食物，问 怎样爬行路径最短，最短 路径是多少？
A
问题解决
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示， 连接AB，则AB为爬行的最短路径.
B
A
最短路径： AB 22（ 2）2 4 4 2 2 1 2
问题情境三
在底面半径为1、高
为2的圆柱体的左下角A
处有一只蚂蚁，欲爬行去
B
吃右上角B处的食物，问
怎样爬行路径最短，最短
路径是多少？
A
思维分析
1、问题一和问题三的区别在哪儿？ 问题一指明在侧面爬行；问题三没有说明.
2、问题三没有指明侧面会发生什么变化？
h
24 r
4
当h 2 4 r时，沿侧面爬行路径最 短 4
当h 2 4 r时，两种路径情况一样 4
当h 2 4 r时，沿 A向上再沿上底直径爬行 最短 4
问题情境一
如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一 只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面 爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多 少?
路径是多少？
A
情况一
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示， 连接AB，则AB为爬行的最短路径.
B
A
h r 最短路径： AB 2 2 2
情况二解决
B
如图，展开上底面，沿
AB爬行是此种情况的最短
B
路径.
最短路径为：h+2r
A
比较与总结
比较 h r 2 2 2 和 h+2r的大小
h r 2 2 2 =h+2r
问题情境一
在棱长为1的立方体 的右下角A处有一只蚂蚁，
B
欲从立方体的外表面爬行
去吃右上角B处的食物，
问怎样爬行路径最短，最
短路径是多少？它有几种
爬行方法？（注：每一个
面均能爬行）
A
思维点拨
1、在立体图形中，怎样利用线段公理解 决路径最短问题？
2、怎样展开立方体的表面？展开哪几 个面呢？
3、和A相连的面有哪几个？和B相连的面 有哪几个？
ห้องสมุดไป่ตู้
1、展开左面和后面 则AB4为最短路径 由勾股定理得
4、最短路径要走几个面？怎么走？
标注六个表面
左面
后面
B
上面
前面
A
下面
思维方法和过程
前面
后面
A点 左面
右面
B点
下面
上面
从A到B走最短路径要走几个面？ ①前面和右面；②前面和上面；③左面和上面；
④左面和后面；⑤下面和右面；⑥下面和后面.
方法一
1、展开前面和右面
2、连接AB1
则AB1为最短路径
由勾股定理得
前面
AB1= 22 12 5
A
B B1
右面
方法二
1、展开前面和上面 2、连接AB2 则AB2为最短路径 由勾股定理得
AB2= 22 12 5
上面
前面 A
B2 B
方法三
1、展开左面和上面 2、连接A1B3 则A1B3为最短路径 左面
由勾股定理得
A1
2 1 A1B3= 2 2 5
B3 上面
方法四
B
C
思维分析
B’
圆锥的侧面展开 图如图所示，连接 BB‘，则BB’为蚂蚁 爬行的最短路径.
A
B
C
问题解决
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’,
连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线，
∵ 圆锥底面半径为1,
∴ 弧BB’的长度即为底面 B’
圆的周长2 π，
∴ ∠BAB’=
2π 4
∴ △ABB’是直角三角形
∠行3B的A∴∴最D∠=B短D6∴∴B0路=A∠°B,D线AD23B=B=A是=36D23303=°..在3630.°R.在tΔR答A∴∴答答tBB：ΔB：DBC：A它D中D它B它=爬C23=爬，23中行爬行23∠3，的3行的B最∠3最的A短BD短最A路=路答 D短线6=线B：0是路D°6是,它230A线23°,爬B323A是.3=行B. 2333=的. 33最.
A
4
∴ BB’= 42 42 4 2
B
C
1
答:蚂蚁爬行的最短路线为 4 . 2
问题情境二
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3， 一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆 锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC 上，问它爬行的最短路线是多少？
A
B
C
问题解决
将圆锥沿AB展开成扇形ABB’
=r锥B×B6沿′03，°6∠垂解A.在则0B°B：足展R=点A∠垂解t将为1BΔC开2B′：足A是D圆=0A成B°.将为BBrl锥CB扇′×D圆中=′的沿3.形rl锥，6A中×A0沿B∠°3B点展=6BAB0，1′B开，°A2展垂解=过∴∴∠∠D0垂解垂解则成B1°：足开点∠=B2A∠：足BB：足点扇将 B0A为AB6成BA将为°BB0将DA为作DC圆B形′扇DA°圆=D.′是,r锥lBDA圆.=D=Arl锥6形DB.B×沿0=6Br3l锥沿BA⊥0B36A.×=在6°6′B0′A，.B沿的在003B3ABR展°°6.展′A则CR=t.，中在01开t，1BΔA°2开垂 解 点2则点展0成R=AB0B成：足 BC°tC1点，扇ΔA开中BC2扇是将 B为 A中形AC0过，成形B°D是BA，圆D点ACBB扇∠rBlB锥 BB.中′的B6BBA形B，0沿作′，D′3，的A中A则6.AD在则B∠0中B
可能出现2种情况：①在侧面爬行②沿A向上 再沿上底面直径爬行到B
情况一解决
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示， 连接AB，则AB为爬行的最短路径.
B
A
2 最短路径：AB 2 2 4 2
情况二解决
B
如图，展开上底面，沿
AB爬行是此种情况的最短
B
路径.
最短路径为：4
A
比较选择最短路径
知识准备
1、什么是线段公理？ 两点之间，线段最短
2、勾股定理 在Rt△ABC中，两直角边为a、b,斜边为c，则 a2+b2=c2.
问题情境一
在底面半径为1、高
为2的圆柱体的左下角A
处有一只蚂蚁，欲从圆柱
B
体的侧面爬行去吃右上角
B处的食物，问怎样爬行
路径最短，最短路径是多
少？
A
问题解决
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示， 连接AB，则AB为爬行的最短路径.
两个最短路径 4 2 和4哪一个最小呢？
比较大小： 4 2 4
因此最短路径为侧面爬行的 4 2
是否所有的情况下都是侧面爬行路径最短吗？ 高和底面半径换一些数据试一试.
延伸问题四
在底面半径为r、高
为h的圆柱体的左下角A
处有一只蚂蚁，欲爬行去
B
吃右上角B处的食物，问
怎样爬行路径最短，最短
B
A
2 最短路径：AB 2 2 4 2
问题情境二
在底面半径为1、高 为2的圆柱体的左下角A 处有一只蚂蚁，欲从圆柱 B 体的侧面如图迂回爬行去 吃左上角B处的食物，问 怎样爬行路径最短，最短 路径是多少？
A
问题解决
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示， 连接AB，则AB为爬行的最短路径.
B
A
最短路径： AB 22（ 2）2 4 4 2 2 1 2
问题情境三
在底面半径为1、高
为2的圆柱体的左下角A
处有一只蚂蚁，欲爬行去
B
吃右上角B处的食物，问
怎样爬行路径最短，最短
路径是多少？
A
思维分析
1、问题一和问题三的区别在哪儿？ 问题一指明在侧面爬行；问题三没有说明.
2、问题三没有指明侧面会发生什么变化？
h
24 r
4
当h 2 4 r时，沿侧面爬行路径最 短 4
当h 2 4 r时，两种路径情况一样 4
当h 2 4 r时，沿 A向上再沿上底直径爬行 最短 4
问题情境一
如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一 只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面 爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多 少?
路径是多少？
A
情况一
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示， 连接AB，则AB为爬行的最短路径.
B
A
h r 最短路径： AB 2 2 2
情况二解决
B
如图，展开上底面，沿
AB爬行是此种情况的最短
B
路径.
最短路径为：h+2r
A
比较与总结
比较 h r 2 2 2 和 h+2r的大小
h r 2 2 2 =h+2r
问题情境一
在棱长为1的立方体 的右下角A处有一只蚂蚁，
B
欲从立方体的外表面爬行
去吃右上角B处的食物，
问怎样爬行路径最短，最
短路径是多少？它有几种
爬行方法？（注：每一个
面均能爬行）
A
思维点拨
1、在立体图形中，怎样利用线段公理解 决路径最短问题？
2、怎样展开立方体的表面？展开哪几 个面呢？
3、和A相连的面有哪几个？和B相连的面 有哪几个？
ห้องสมุดไป่ตู้
1、展开左面和后面 则AB4为最短路径 由勾股定理得
4、最短路径要走几个面？怎么走？
标注六个表面
左面
后面
B
上面
前面
A
下面
思维方法和过程
前面
后面
A点 左面
右面
B点
下面
上面
从A到B走最短路径要走几个面？ ①前面和右面；②前面和上面；③左面和上面；
④左面和后面；⑤下面和右面；⑥下面和后面.
方法一
1、展开前面和右面
2、连接AB1
则AB1为最短路径
由勾股定理得
前面
AB1= 22 12 5
A
B B1
右面
方法二
1、展开前面和上面 2、连接AB2 则AB2为最短路径 由勾股定理得
AB2= 22 12 5
上面
前面 A
B2 B
方法三
1、展开左面和上面 2、连接A1B3 则A1B3为最短路径 左面
由勾股定理得
A1
2 1 A1B3= 2 2 5
B3 上面
方法四