第二章流体力学控制方程及其分类

i 5,6
其中 1,2 对应新变量f,h，因此
定常不可压N-S方程为椭圆型。
5. 二维定常可压NS方程
采用降阶法分析：
1,2,3 0,
4
v u
,
5,6 i,
7,8 i
定常可压NS方程是双曲椭圆型。
6. 抛物化N-S方程
利用边界层流动的概念，设x方向为主流方向，
即考虑有：
2 x 2
A U B U 0 x y
U C U 0 x y
U
u v p
u 0 0
v 0 0
A
0
0
u 0
0 u
1
0
B
0 0
v 0
0 v
0
1
0 p 0 u
0 0 p v
v
u
C
A
1B
0
0
0
v u2 a
2
uv
u2 a2
0
va 2 u2 a
2
u u2 a2 a2 u2 a2
★必须反映物理问题的最基本的特征， 且方便于进行理论分析
例如动量方程：
V t
u V x
v V y
1
p
(
2V x 2
2V y 2
)
模型方程可以简化为：
u t
u
u x
2u x 2
Burgers方程。
（二）几个典型的模型方程
单波方程
u a u 0 t x
热传导方程 Burgers 方程
u t
u2
其中：U为n阶向量，
un
A 为n 阶矩阵
若：A的特征值为:
λi (i 1,2,...n), 即 A λI 0 的根
则有如下结论
⑴ n个特征值全部为复数时，称方程在 (t , xi ) 平面 上为纯椭圆型；
⑵n个特征值全部为互不相等的实数时，称方程在 (t , xi ), 平面上为纯双曲型；而当n个特征值全部为 实数，但有部分为相等的实数时，称方程(t , xi )在 平面上为双曲型；
)x
2 x xx 2
)
2
x3 3
代入(1)，则得:
[t xx ] 0
x
不妨设 为满足抛物方程的解 ，即：
t
xx
0
(3)
将 的解代入(2)式，即给出了Burger方程的解析
解的一般形式。
若 u(x,t) 的初始条件为: u(x,0) f (x) ，
则由(2)给出的对应于 (x,t) 的初始条件是：
u y
1
p x
2u ( x 2
2u y2 )
u v x
v
v y
1
p y
(
2v x 2
2v y 2
)
降阶法,令：
f u v x y
g u y
h v x
1
p x
(
2u x 2
2u y 2
)
uf
vg
1
p y
(
2v x 2
2v y 2
)
uh
vf
f g 0 y x
f h 0 x y
v
u u u2 a2
v
u(u2 a2 )
v (u2
1
a2
)
u
uv
u2 a2
求矩阵C的特征值得：
( v )2 [uv (u2 a2 )]2 a2 (u2 v2 ) a4 0
u
1,2
v u
3,4
uv
a u2 v2 u2 a2
a2
如果：
1）u2 v 2 a2 0 2）u2 v 2 a2 0
u f x v h x
f h 0 x y
g f 0 x y
h x
1
p y
f y
(uh vf
)
p h g (uf vg )
x
y
y
u f x
v h x
令 U f , g, h, p,u,vT
U A U F t y
矩阵A的特征值为：
1,2 0
i 3,4
即 u( x, t) 必定在 ( x(s),t(s) ) 点发生解的间断，
间断的位置由(5)式确定.
( x,0)
exp[
1
2
x
0
f
( )d ]
F(x)
由（3）给出的Burger方程的通解是：
(x,t)
1
( x )2
F ( )e 4t d
4t
再代入(2)可得 u(x, t) 的解析解。
特别指出，粘性Burger方程的解是连续的。
★无粘Burger方程解的间断性：
u u u 0
t
x
u( x,0) f ( x)
第二章 流体力学控制方程 及其数学分类
§2.1 计算流体力学控制方程
（一）基本守恒律方程
1.连续方程：
(
V )
0
t
2.动量方程：
(V )
(VV )
F
t
(V )
(VV
pI)
F
*
t
p I *
* 为粘性应力张量
3.能量方程:
E
( EV )
F
V
q
( V )
t
( V ) ( pV ) ( *V )
2 y 2
把流动方向的二阶偏导数略去。
A U x
B U y
D
2U y 2
F
定常N-S方程经此处理后，变为抛物型方程
§2.3 偏微分方程定解条件的提法
适定性—— 保证所研究的偏微分方程（组）定解 问题的存在、唯一，并且连续依赖于定解条件。
对于普遍的一阶拟线性偏微分方程组而言，定解条 件的准确投放，仍是一个没有完全解决的问题。
（三） 流体力学控制方程数学分类的举例 1. 一维非定常Euler方程
双曲型
2. 二维定常Euler方程
u v ( u v ) 0
x
y
x y
u u v x
u y
1
p x
u v x
v
v y
1
p y
u p v p a 2 (u v ) 0
x
y
x
y
a2 p
写成向量形式：
解域中存在特征线，提纯初值问题可以，提边值问题要 结合特征线走向。
3. 抛物型偏微分方程
u t
a
2u x2
第一类边界条件
第二类边界条件
u g(t)
u n
g(t)
第三类边界条件
(k
u n
hu)
g(t)
§2.4 模型方程以及在计算流体力学中的应用
（1）模型方程的引入 ★简化对差分格式的性质的讨论及考核
2u x 2
u t
a
u x
2u x 2
Laplace 方程
2u x 2
2u y 2
0
非线性Burgers 方程
u t
u
u x
2u x 2
非线性单波方程
u u u 0
t
x
其中前4个方程为线性方程，可求出解析解，后两
个方程为非线性方程，也可以求出解析解。
▲ Burger方程的解析解：
u t
（一）不同数学类型偏微分方程定解条件的提法
1. 椭圆型偏微分方程
2u x2
2u y2
0
第一类边界条件：Dirichlet 问题
第二类边界条件：Neumann问题
第三类边界条件：Robin问题
u f (x, y)
u n
f (x, y)
(k
u n
hu)
f
(x,
y)
2. 双曲型偏微分方程
u a u 0 t x
M 1 四个实根，双曲型 M 1 两个实根，两个复根，
双曲－椭圆型
3. 二维非定常Euler方程
U A U B U 0 t x y
U C U D U 0 D A1 x y t
C A1B
求C的特征值，结论与定常相同： 得到在X-Y平面的方程性质；
求D的特征值,得:
( 1 )2( 1 )( 1 ) 0
若考虑粘性，则：
U (F F1 ) (E E1 ) (G G1 ) 0
t
x
y
z
0
xx
F1
xy
xz
u
xx
v
xy
w
xz
k
T x
0
xy
E1
yy yz
u
xy
v
yy
w
yz
k
T y
0
xz
G1
zy
zz
u
xz
v
zy
w
zz
k
T z
（四）控制方程的无量纲化
（三）直角坐标系下的守恒型方程
不计质量力（或质量力有势），理想流体、
U F E G 0 t x y z
u
U
v
w
Et
u u2
p
F
uv
uw
(
Et
p)u
v
vu
E
v2 p
vw
(
Et
p)v
w uw
G
vw
w2 p
(
E
t
p)w
2u x2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
u b1 x
u b2 y
cu
f
其中a11等系数均不是u及其导数的函数。
判别式
a a a
2 12
11
22
0 双曲型
0 抛物型
0 椭圆型
（二） 一阶拟线性微分方程组的分类
对于一阶拟线性微分方程组的向量形式：
U AU F t xi
u1
U
⑶n个特征值全部为零时，称方程在 (t , xi )平面 上为纯抛物型； ⑷ n个特征值部分为复数、部分为实数时，称方 程在(t , xi )平面上为双曲椭圆型；
（5） n个特征值部分为复数、部分为重根时，称 方程在(t , xi )平面上为抛物椭圆型，整体上属椭 圆型；
（6） n个特征值部分为相异实根、部分为重根时， 称方程在(t , xi )平面上为双曲抛物型，整体上属 抛物型；
ຫໍສະໝຸດ Baidu
u
u x
(1)
2u x 2
:粘性系数， 时为无粘0方程。
解： 时0,可令未知函数具有如下的形式：
u( x, t) 2 x(2)
其中 (x,是t)待定的二阶可微分函数，将其代入(1)
式,得：
u t
2
(
x
t
x 2
t
)
2
(t x
)
u u x
4 2
x
(
xx
x2 2
)
2u x 2
2
2[( xx
q (kT )
E
[(E
p)V ]
F V
(kT )
( *V )
t
E p V2 1 2
（二）守恒型控制方程
对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守 恒方程或非守恒方程，通常没有本质的差别， 但在离散的数值计算中，守恒型与非守恒型将 可能导致很大的差别，尤其是求解含激波等弱 解问题时。故方程的守恒性是计算流体力学中， 必须特别注意的问题。
设通解为： u(x,t) f (x ut)
讨论：
ux f '(1 uxt)
ux
f' 1 f 't
1 f 't 0, 即 1＋f '( x(s) ut(s) ) t(s) 0
t(s)表, x示（s在） t-x座标中的某一个特定的点，其
对应的u 为u(s),使上式为0。
ux ,
t(s) 0 f '( x(s) ut(s) ) 0
u
ua ua
1,2
1 u
,
3
u
1
a
4
u
1
a
为四个实根，即方程在 x-t平面为双曲型； 所以Euler 方程可以在时间座标方向推进， 而在定常问题中能否推进计算，必须根据 流动是否为超音速（M与1的关系）来定。
4. 定常不可压缩 Navier–Stokes 方程
u v 0 x y
u u x
v
§2.2 流体力学控制方程组的分类
△当微分方程转化为差分方程并用数值 方法求解时，不同类型的微分方程，其 数值处理方法各异，其中包括定解条件 提法的适定性、物理解的性质、差分格 式的适用性等。
△在一些特殊的问题中，甚至通过差分 格式的特技巧来改变方程的数学性质。
（一）二阶线性偏微分方程分类
a11