第二章流体力学控制方程及其分类
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第二章 流体力学的基本方程(2)
1、物理意义：
由公式
p1 p2 z1 z2 g g
p z 代表单位重力流体的位置势能， g 代表单位重力 流体的压强势能，在平衡流体内部，位置势能和压强 势能可以相互转化，但是总能量保持恒定。
流体静压强基本方程式的意义就是平衡流体中的总能 量是一定的。这也是能量守衡与转化定律在平衡流体 中的体现。
如果容器内的液体是静 止的， 一根测压管测得 的测压管水头也就是容 器内液体中任何一点的 测压管水头 。如接上多 根测压 管， 则各测压管 中的液面都将位于同一 水平面上。
pA /
pB /
zA
O
zB
O
22
• 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
23
例题：
在大气中之敞口连通容器内, 盛了重度分别为 1和 2 的两种液体, 若 1 7840 N / m3 , 2 11760 N / m3 , 液面 高差h 0.3m, 求高度h1和h2 ?
根据这一特性，我们可以由已知质量力的方向去确 定等压面的形状，或者已知等压面的形状，去确定质量 力的方向。
7
③两种不相混合的静止流体的分界面必为等压面
图中S为两种液体的分界面，在界面上取相邻两点A和B， 两点压差为dp，势函数差值为dU，两点间压差公式为：
dp 1 f x dx f y dy f z dz 1dU
2、液柱高单位
测压计常以水或水银作为工作介质，压强常以水柱高 度（mH2O），或毫米汞柱（mmHg）表示。
3、大气压单位
以1标准大气压（1 atm）为单位表示。 1标准大气压=1.013×105Pa =10.33 mH2O = 760 mmHg
18
三 、静压强的测量
由公式
p1 p2 z1 z2 g g
p z 代表单位重力流体的位置势能， g 代表单位重力 流体的压强势能，在平衡流体内部，位置势能和压强 势能可以相互转化，但是总能量保持恒定。
流体静压强基本方程式的意义就是平衡流体中的总能 量是一定的。这也是能量守衡与转化定律在平衡流体 中的体现。
如果容器内的液体是静 止的， 一根测压管测得 的测压管水头也就是容 器内液体中任何一点的 测压管水头 。如接上多 根测压 管， 则各测压管 中的液面都将位于同一 水平面上。
pA /
pB /
zA
O
zB
O
22
• 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
23
例题：
在大气中之敞口连通容器内, 盛了重度分别为 1和 2 的两种液体, 若 1 7840 N / m3 , 2 11760 N / m3 , 液面 高差h 0.3m, 求高度h1和h2 ?
根据这一特性，我们可以由已知质量力的方向去确 定等压面的形状，或者已知等压面的形状，去确定质量 力的方向。
7
③两种不相混合的静止流体的分界面必为等压面
图中S为两种液体的分界面，在界面上取相邻两点A和B， 两点压差为dp，势函数差值为dU，两点间压差公式为：
dp 1 f x dx f y dy f z dz 1dU
2、液柱高单位
测压计常以水或水银作为工作介质，压强常以水柱高 度（mH2O），或毫米汞柱（mmHg）表示。
3、大气压单位
以1标准大气压（1 atm）为单位表示。 1标准大气压=1.013×105Pa =10.33 mH2O = 760 mmHg
18
三 、静压强的测量
汽车工程流体力学(02流体力学基本方程)
Q udA vA
A
v
/concepts
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的描述方法
2. 流体运动的基本概念
3. 连续性方程
4. 流体微团的运动分析
5. 欧拉运动微分方程
6. 流体静力学
7. 伯努利（Bernoulli）方程
u x dx x 2
3. 连续性方程（Continuity equation）
x方向dt时间内净流出质量
1 ( ux ) 1 ( ux ) M x M右 -M 左 = u x dx dydzdt u x dx dydzdt 2 x 2 x ( ux ) = dxdydzdt x
同理y方向dt时间内净流出质量
My ( uy ) y dxdydzdt
同理z方向dt时间内净流出质量
Mz ( uz ) dxdydzdt z
3. 连续性方程（Continuity equation）
根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量，必等于 控制体内由于密度变化而减少的质量
Q udA
A
u——微元断面的速度
有时，流量用单位时间内通过某一过流断面的流体质量来表示， 称为质量流量Qm，单位（kg/s）。
Qm Q
2. 流体运动的基本概念
八、流量和断面平均流速-2
2．断面平均流速（Mean velocity） 总流过流断面上各点的流速u一般是不相等的。为了便于 计算，设想过流断面上流速v 均匀分布，通过的流量与实 际流量相同。
dx dy dz dt u x uy uz
/blogger/post_show.asp?idWriter=0&Key=0&BlogID =1252939&PostID=21323050
《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
τ0
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
《流体力学》第二章流体静力学
z4
p z C g
pa 4 3 真空 1
p2 g
p=0
z1
z3
2
z=0
p 为压强水头 g
z 为位置水头
2.3 重力场中的平衡流体 重要结论
p p0 gh
(1) 在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性 规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 一部分是自由液面上的压强P0；另一部分是该点到自由 液面的单位面积上的液柱重量ρgh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静 压强相等，即任一水平面都是等压面。
2.2 流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
2 3
2
3
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
dA dA n
dF pdAn
F pdAn
A
流体静压力：作用在某一面积上的总压力； （矢量） 流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的 （标量） 没有方向性 压强。
2.1 平衡流体上的作用力 证明：
z A
pn px
微元四面体受力分析
py
dx C x
dz O dy B y
y
p x p y p z pn
C x
pz
f
↑
z
表 面 力 质 量 力
1 d yd z 2 1 Py p y d zd x 2 1 P p d yd x z z 2 P n pn d A P x px
p z C g
pa 4 3 真空 1
p2 g
p=0
z1
z3
2
z=0
p 为压强水头 g
z 为位置水头
2.3 重力场中的平衡流体 重要结论
p p0 gh
(1) 在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性 规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 一部分是自由液面上的压强P0；另一部分是该点到自由 液面的单位面积上的液柱重量ρgh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静 压强相等，即任一水平面都是等压面。
2.2 流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
2 3
2
3
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
dA dA n
dF pdAn
F pdAn
A
流体静压力：作用在某一面积上的总压力； （矢量） 流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的 （标量） 没有方向性 压强。
2.1 平衡流体上的作用力 证明：
z A
pn px
微元四面体受力分析
py
dx C x
dz O dy B y
y
p x p y p z pn
C x
pz
f
↑
z
表 面 力 质 量 力
1 d yd z 2 1 Py p y d zd x 2 1 P p d yd x z z 2 P n pn d A P x px
equations 流体力学控制方程
流体力学控制方程一、引言流体力学是研究流体运动规律的科学，而流体力学控制方程是描述流体运动规律的基本方程。
在工程和科学研究中，控制方程的建立和应用对于解决流体力学问题具有重要意义。
本文将对流体力学控制方程进行系统的介绍和分析。
二、流体力学基本方程流体力学中最基本的控制方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
这些方程可以描述流体的运动、压力分布以及能量转化过程。
1. 质量守恒方程流体力学中的质量守恒方程可以描述流体的质量变化和流动过程。
质量守恒方程的一般形式可以表示为：$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$其中，$\rho$表示流体的密度，$\mathbf{v}$表示流体的速度矢量，$\nabla \cdot$表示散度算子。
质量守恒方程表明了质量在流体中的守恒性质。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的力学规律。
一般情况下，动量守恒方程可以表示为：$\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = - \nabla p + \nabla \cdot\mathbf{\sigma} + \rho \mathbf{f}$其中，$p$表示流体的压力，$\mathbf{\sigma}$表示应力张量，$\mathbf{f}$表示外力。
动量守恒方程表明了流体运动受到的各种力的作用以及其动量变化的规律。
3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体内能的转化和传递过程。
一般情况下，能量守恒方程可表示为：$\frac{\partial (\rho e)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} e) = \nabla \cdot (\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{v}) + \nabla \cdot (\mathbf{q}) + \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{f}$其中，$e$表示单位质量流体的内能，$\mathbf{q}$表示传热通量。
流体力学-第二章 基本方程
h
0
xy
z
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
流入质量=
h
0
uy
z
同时，经流体柱前侧流出的质量为：
z
流出质量=
h
0
uy
z
x
h
0
uy
z
x
O
x u u x
x
y
u
h y
x
Chen Haishan NIM NUIST
流出质量减去流入质量 ＝柱体内质量的减少。
柱体内的净流出量
（流入质量减去流出质量 ＝柱体内质量的增加）
pnx nx pxx ny pyx nz pzx
pny nx pxy ny pyy nz pzy
pnz
nx pxz
ny pyz
nz pzz
Chen Haishan
NIM NUIST
z
pzz
z
pzx
pz pzy
pxz
px
pxx
pxy
pyy
pyx
py
P Pnz n
Pny
y Pnx o
Chen Haishan NIM NUIST
通过体积分，作用于体积为 的流体块上的质量力：
Fd =作用于流体的质量力
Chen Haishan NIM NUIST
② 表面力
表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之 间的接触面上所受到的相互作用力。
如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面 上的摩擦力等。
x y
n n
cosn, cosn,
x y
nxn n y n
z n cosn, z nzn
Chen Haishan NIM NUIST
工程流体力学：第二章 流体力学基本方程
y x
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
2020年12月7日 20
三、流管与流束 1.流管——在流场中任取一个有流体
从中通过的封闭曲线，在曲线上的每一个 质点都可以引出一条流线，这些流线簇围 成的管状曲面称为流管。
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理 和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.
合；
对于定常流动，流线与迹线重合。
❖ 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。
❖ 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。
❖ 迹线和流线的区别： ❖ 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange
观点对应； ❖ 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与
Euler观点对应。
的速度向量
相切v。x, y, z, t
❖ 流线微分方程：
v2 v1
v3
v4
dr v 0
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
2020年12月7日 16
迹线与流线的区别
❖ 流线的性质：
❖ 对于非定常流动，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重
u u u u
ax
t
u
x
v
y
高等流体力学Chapt2-控制方程.
上述方程针对层流推导出来的。实际中的流动多为湍流过程，需要对上述 方程加以修正推广，使其适用于湍流过程。
作业： 在直角坐标系中推导出动量方程，并解释其中每项的意思。（NavierStokes 和Euler方程）
一般形式的能量方程：
t
CV
(u
2
2
)dV
CS
n (u
2
2
)dA
CV
f
dV
CS
pn
t
（1）
v vv f
t
（2）
v2 2
t
e
v2 2
ev
T
v
v
f
（3）
（1）、（2）、（3）构成流体力学基本控制方程组，其形式相同，包
含代表时间变化率的非定常项，由流动引起的对流项，由分子运动引起
的扩散项，以及其它源项。如果用代表通用变量，控制方程可用统一形
式表示
dt t
A Ax i Ay j Az k x y z
A Ax Ay Az x y z
A
Az y
Ay z
i
Ax z
Az x
j
Ay x
Ax y
k
i jk A
x y z Ax Ay Az
2.2 流动的类型
从时间、空间角度分类
1. 定常流动、非定常流动（steady and unsteady flow)
t
V
t
d衡关系
t
S
v
ndS
t
V
t
dV
（1）
利用高斯定理 S ndS VdV
将面积分写为体积分 t v ndS t (v)dV
S
V
公式（1）变为
作业： 在直角坐标系中推导出动量方程，并解释其中每项的意思。（NavierStokes 和Euler方程）
一般形式的能量方程：
t
CV
(u
2
2
)dV
CS
n (u
2
2
)dA
CV
f
dV
CS
pn
t
（1）
v vv f
t
（2）
v2 2
t
e
v2 2
ev
T
v
v
f
（3）
（1）、（2）、（3）构成流体力学基本控制方程组，其形式相同，包
含代表时间变化率的非定常项，由流动引起的对流项，由分子运动引起
的扩散项，以及其它源项。如果用代表通用变量，控制方程可用统一形
式表示
dt t
A Ax i Ay j Az k x y z
A Ax Ay Az x y z
A
Az y
Ay z
i
Ax z
Az x
j
Ay x
Ax y
k
i jk A
x y z Ax Ay Az
2.2 流动的类型
从时间、空间角度分类
1. 定常流动、非定常流动（steady and unsteady flow)
t
V
t
d衡关系
t
S
v
ndS
t
V
t
dV
（1）
利用高斯定理 S ndS VdV
将面积分写为体积分 t v ndS t (v)dV
S
V
公式（1）变为
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
第二章 流体力学的基本方程
sij u 1 ui j 2 x j xi
矢量形式：
Du p u 2S f Dt
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
三、N-S方程
通常，粘性系数λ和μ是温度的函数， 若流场中温度变化很小，则可认为二者在流场中是均匀的。 故：
D uk 0 Dt t xk
但
例： 密度分层流动
均质不可压缩流体： const 在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
第二章 流体力学的基本方程
2 1
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
3.有源、汇的连续方程 uk Q t xk 4. 积分形式的连续方程
p x j x j
代入动量方 程 后 得 N-S 方程：
p Dt x j x j Du j
uk x k
x i
u u j i f j x j xi
系统的牛顿第二定理：
在流动过程中，流体系统的合外力等于系统质量乘于其加速度。 系统的动量定理： 系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
系统的动量定理： 系统的动量: 作用在系统上的质量力 : 作用在系统上的表面力 :
Dk F Dt
2u j x 2 f j i
uk x k
2 uj x 2 i
λ和μ在流场中 均匀时： 不可压缩流体：
p Dt x j x j Du j
2u j p 2 f j Dt x j xi
矢量形式：
Du p u 2S f Dt
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
三、N-S方程
通常，粘性系数λ和μ是温度的函数， 若流场中温度变化很小，则可认为二者在流场中是均匀的。 故：
D uk 0 Dt t xk
但
例： 密度分层流动
均质不可压缩流体： const 在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
第二章 流体力学的基本方程
2 1
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
3.有源、汇的连续方程 uk Q t xk 4. 积分形式的连续方程
p x j x j
代入动量方 程 后 得 N-S 方程：
p Dt x j x j Du j
uk x k
x i
u u j i f j x j xi
系统的牛顿第二定理：
在流动过程中，流体系统的合外力等于系统质量乘于其加速度。 系统的动量定理： 系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
系统的动量定理： 系统的动量: 作用在系统上的质量力 : 作用在系统上的表面力 :
Dk F Dt
2u j x 2 f j i
uk x k
2 uj x 2 i
λ和μ在流场中 均匀时： 不可压缩流体：
p Dt x j x j Du j
2u j p 2 f j Dt x j xi
流体力学 流体力学基本方程
21
江苏大学
Jiangsu University
单位时间内流出控制体的质量为：
u( x)bh(t )
单位时间内控制体内的质量变化（质量增量）：
dV [ xbh(t )] xb [h(t )] xbv t V t t
流入质量 - 流出质量 = 质量增量
江苏大学
Jiangsu University
用欧拉法求其它物理量N对时间的变化率时
dN N (v ) N dt t i j k x y z
四、系统与控制体
全导数=当地导数+迁移导数
：微分算子
6
江苏大学
Jiangsu University
v x dx dx ( )(v x )dydzu University
v x ( v x ) x方向流入和流出控制 ( dx v x dx)dydz dxdydz 体的流体质量差为： x x x
y方向流入和流出控制体的流体质量差为： z方向流入和流出控制体的流体质量差为：
( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t )
其中x、y、z、t为欧拉变量。
3
江苏大学
Jiangsu University
三、随体加速度 1. 拉格朗日的加速度 2. 欧拉法表示的流体加速度
2r a 2 t
流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率： v1 v0 v a lim lim t 0 t t 0 t
23
2 2 v B d B vC d C vD 2 dD
江苏大学
Jiangsu University
u 6 x
江苏大学
Jiangsu University
单位时间内流出控制体的质量为：
u( x)bh(t )
单位时间内控制体内的质量变化（质量增量）：
dV [ xbh(t )] xb [h(t )] xbv t V t t
流入质量 - 流出质量 = 质量增量
江苏大学
Jiangsu University
用欧拉法求其它物理量N对时间的变化率时
dN N (v ) N dt t i j k x y z
四、系统与控制体
全导数=当地导数+迁移导数
：微分算子
6
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v x dx dx ( )(v x )dydzu University
v x ( v x ) x方向流入和流出控制 ( dx v x dx)dydz dxdydz 体的流体质量差为： x x x
y方向流入和流出控制体的流体质量差为： z方向流入和流出控制体的流体质量差为：
( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t )
其中x、y、z、t为欧拉变量。
3
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三、随体加速度 1. 拉格朗日的加速度 2. 欧拉法表示的流体加速度
2r a 2 t
流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率： v1 v0 v a lim lim t 0 t t 0 t
23
2 2 v B d B vC d C vD 2 dD
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u 6 x
流体力学第02章流体静力学
于质量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或
一个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
二 气体压强的分布（不讲） （不讲就不考）
三 压强的度量--绝对压强与相对压强
1、 绝对压强
设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压 强，称为绝对压强。总是正的。
2、 相对压强
解：相对静水压强：
p pabs pa p0 gh pa
代入已知值后可算得
h ( p p0 pa ) (9.8 85 98) / 9.8 2.33m
g
例： 如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为
25kN/m2，试问水箱中 A、B两点的静水压强何处为大？
已知h1为5m，h2为2m。 解：A、B两点的绝对静水
因水箱和测压管内是互相连通的同种液体故和水箱自由表面同高程的测压管内n点应与自由表面位于同一等压面上其压强应等于自由表面上的大气压强即ghgh11测压管测压管若欲测容器中若欲测容器中aa点的液体压强点的液体压强可在容器上设置一开口细管可在容器上设置一开口细管
第二章 流体静力学
流体静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其
p
g
p0
g
得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：
p p0 gh
式中
h z0 z ：表示该点在自由面以下的淹没
深度。
p0 ：自由面上的气体压强。
静止液体内任意点的静水压强有两部分组
成：一部分是自由面上的气体压强P0，另一部分 相当于单位面积上高度为h的水柱重量。
(a)
(b)
(c)
淹没深度相同的各点静水压强相等，只适用
pA gLsin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改 用U形水银测压计。
流体力学第二章 基本方程
如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必 然等于流入的流体质量。
一、拉格朗日观点下的连续方程
d ( m) 0
dt
d ( )
dt
1 d 1 d ( ) 0 dt dt d V 0
dt
(2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)
V 称为速度散度，表示体膨涨速度。 V 0表示流体微团在运动过程中发生体积
沿变深度矩形截面河道水面上有波动运动，求 此波动应满足的连续方程
解：设x轴取在河道方向静止水面上
自静止水面起的深度为H(x)，自由表面离静 止 水面为(x,t) ,河截面水流速度为 u(x,t) ， 河宽b不变，水密度为常数 。
取一长为δx的控制体，体积为 (H )b x
单位时间流入质量：(H )bu
在 δt 时间内沿x方向净流出控制体（流出质量 减去流入质量）的质量为
(2.1.7)
按质量守恒定律，在 时间内沿三个方向净流 出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：
(2.1.8)
取极限后可得
即：
(V ) 0
t
(2.1.9) (2.1.10)
( 2.1.10)式为欧拉形式的连续性方程。
单位时间流出质量：
(H
)bu
x
( H
)bux
净流出质量为：
(H )bux
x
单位时间控制体质量减少为： (H )b x
由质量守恒：
t
b (H ) x b (H )u x
t
x
(H )u 0
t x
(2.1.16)
§2. 作用于流体的力、应力张量
一、质量力和表面力： 1. 质量力 质量力为穿越空间作用在所有流体元上的非 接触力，如重力、万有引力、电磁力等。
一、拉格朗日观点下的连续方程
d ( m) 0
dt
d ( )
dt
1 d 1 d ( ) 0 dt dt d V 0
dt
(2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)
V 称为速度散度，表示体膨涨速度。 V 0表示流体微团在运动过程中发生体积
沿变深度矩形截面河道水面上有波动运动，求 此波动应满足的连续方程
解：设x轴取在河道方向静止水面上
自静止水面起的深度为H(x)，自由表面离静 止 水面为(x,t) ,河截面水流速度为 u(x,t) ， 河宽b不变，水密度为常数 。
取一长为δx的控制体，体积为 (H )b x
单位时间流入质量：(H )bu
在 δt 时间内沿x方向净流出控制体（流出质量 减去流入质量）的质量为
(2.1.7)
按质量守恒定律，在 时间内沿三个方向净流 出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：
(2.1.8)
取极限后可得
即：
(V ) 0
t
(2.1.9) (2.1.10)
( 2.1.10)式为欧拉形式的连续性方程。
单位时间流出质量：
(H
)bu
x
( H
)bux
净流出质量为：
(H )bux
x
单位时间控制体质量减少为： (H )b x
由质量守恒：
t
b (H ) x b (H )u x
t
x
(H )u 0
t x
(2.1.16)
§2. 作用于流体的力、应力张量
一、质量力和表面力： 1. 质量力 质量力为穿越空间作用在所有流体元上的非 接触力，如重力、万有引力、电磁力等。
流动控制方程
流动控制方程
流动控制方程是描述流体在流动过程中的动量守恒、质量守恒和能量守恒的方程。
在流体力学中，流动控制方程通常包括连续性方程、动量方程和能量方程。
1. 连续性方程：描述了流体的质量守恒，即单位时间内通过某一截面的质量流量等于流过该截面的质量的减少率。
连续性方程可以用以下形式表示：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
其中，ρ为流体的密度，t为时间，v为速度矢量。
2. 动量方程：描述了流体的动量守恒，即单位时间内通过某一截面的动量流量等于流过该截面的动量的减少率。
动量方程可以用以下形式表示：
∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + μ∇^2v + ρg
其中，ρ为流体的密度，t为时间，v为速度矢量，p为压力，
μ为动力粘度，g为重力加速度。
3. 能量方程：描述了流体的能量守恒，即单位时间内通过某一截面的能量流量等于流过该截面的能量的减少率。
能量方程可以用以下形式表示：
∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + ρg·v
其中，E为单位质量的总能量，T为流体的温度，k为热导率，ρ为流体的密度，t为时间，v为速度矢量，p为压力，g为重
力加速度。
这些方程是流体力学的基本方程，用于研究流体在不同条件下
的运动和变化。
根据具体情况和问题，可能会对流动控制方程进行简化或添加适当的辅助方程。
第二章流体力学地基本方程12
8
欧拉法中用流体质点的空间坐标(x,y,z)和时间t来
表达流场中的流体运动规律。 (x,y,z,t）称为欧拉变数，欧拉变数不是各自独立
的，因为流体质点在流场中的空间位置(x,y,z)都与时 间t有关，不同时间，每个流体质点应该有不同的空间 坐标，故对任何一个流体质点来说，其位置变量(x,y,z) 应是时间t的函数：
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线： xy=1
29
举例
已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t； vy= -y+t； vz=0,试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解： 由迹线的微分方程：
d x d y d z dt
vx
vy
vz
dx xt dt
d y y t dt
求解
在直角坐标系中三个分量为： x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
a, b, c, t —— 拉格朗日变数 r —— 流体质点的矢径
4
流体质点的速度根据定义为：
v r(a,b,c,t) t
vx x(a,b,c,t) t
vy y(a,b,c,t) t
vz z(a,b,c,t) t
vx=x+t；vy=-y+t；vz=0
t = 0 时过 M(-1,-1)：
C1 = C2 = 0
x C1 et t 1 y C2 et t 1
x= -t-1
消去t，得迹线方程：
y= t-1
x+y = -2
30
y
迹线
o
M(-1,-1)
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
欧拉法中用流体质点的空间坐标(x,y,z)和时间t来
表达流场中的流体运动规律。 (x,y,z,t）称为欧拉变数，欧拉变数不是各自独立
的，因为流体质点在流场中的空间位置(x,y,z)都与时 间t有关，不同时间，每个流体质点应该有不同的空间 坐标，故对任何一个流体质点来说，其位置变量(x,y,z) 应是时间t的函数：
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线： xy=1
29
举例
已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t； vy= -y+t； vz=0,试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解： 由迹线的微分方程：
d x d y d z dt
vx
vy
vz
dx xt dt
d y y t dt
求解
在直角坐标系中三个分量为： x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
a, b, c, t —— 拉格朗日变数 r —— 流体质点的矢径
4
流体质点的速度根据定义为：
v r(a,b,c,t) t
vx x(a,b,c,t) t
vy y(a,b,c,t) t
vz z(a,b,c,t) t
vx=x+t；vy=-y+t；vz=0
t = 0 时过 M(-1,-1)：
C1 = C2 = 0
x C1 et t 1 y C2 et t 1
x= -t-1
消去t，得迹线方程：
y= t-1
x+y = -2
30
y
迹线
o
M(-1,-1)
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
流体力学控制方程
流体力学控制方程
流体力学的控制方程描述了流体质点的运动状态，主要包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程三大基本控制方程。
这些方程贯穿在流体运动求解的每个环节，系统地阐述了流体运动的各种规律，是我们理解和揭示流体物理机制的
重要工具。
首先，质量守恒方程，又称为连续性方程。
它是根据质量守恒定律导出的微分形式。
在无源无汇的情况下，流体的质量是不变的。
这就是说，流动的液体每一秒钟流过的质量应该是恒定的，简单表述就是流入的和流出的质量是相等的。
然后，动量守恒方程，也叫做动量方程或Navier-Stokes方程。
这个方程是根据牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度，推导出的。
在流体力学中，压力、重力、粘性力等都是作用在流体上的力，这些力导致流体的速度改变，即产生加速度。
最后，能量守恒方程，是根据热力学第一定律，也就是能量守恒定律，推导出来的控制方程。
能量守恒方程包括内能、动能和势能的转换和守恒。
在流体运动的过程中，能量在不同形式之间转换，但是总能量是保持不变的。
流体力学的控制方程的求解，使我们能够预测流体运动的行为，在航空、化工、天气预报、海洋学等领域中有广泛的应用。
这些控制方程虽然在形式上比较复杂，但是它们却揭示了流体运动最基本的规律，对我们理解和研究流体运动提供了强大的理论支持。
第二章 流体力学控制方程-2010
34
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连续性方程（ Continuity Equation）
3、空间位置固定的无穷小微团模型
Z方向净流出量
( w) ( w) w z dx dydz ( w)dydz z dxdydz
连续性方程（ Continuity Equation）
1、空间位置固定的有限控制体模型
c dV C t V c
V dS dV c t V c Sc
c
dV c V dSc 0 t Vc Sc
30
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t2 t1
lim
t2 t1
2 1
D Dt
t
代表流体微团密度在 固定点1的时间变化 率
D 代表流体微团通过1 Dt 点时，流体微团密度
的瞬时时间变化率
物理含义与数值均不同
16
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物质导数与速度散度
1 物质导数（Substantial Derivative）
z2 z1 (High-order terms) z 1 t2 t1 t 1
15
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物质导数与速度散度
1 物质导数（Substantial Derivative）（运动流体微 团的时间变化率）
c
28
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连续性方程（ Continuity Equation）
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M 1 四个实根，双曲型 M 1 两个实根，两个复根，
双曲－椭圆型
3. 二维非定常Euler方程
U A U B U 0 t x y
U C U D U 0 D A1 x y t
C A1B
求C的特征值，结论与定常相同： 得到在X-Y平面的方程性质；
求D的特征值,得:
( 1 )2( 1 )( 1 ) 0
u2
其中：U为n阶向量，
un
A 为n 阶矩阵
若：A的特征值为:
λi (i 1,2,...n), 即 A λI 0 的根
则有如下结论
⑴ n个特征值全部为复数时，称方程在 (t , xi ) 平面 上为纯椭圆型；
⑵n个特征值全部为互不相等的实数时，称方程在 (t , xi ), 平面上为纯双曲型；而当n个特征值全部为 实数，但有部分为相等的实数时，称方程(t , xi )在 平面上为双曲型；
第二章 流体力学控制方程 及其数学分类
§2.1 计算流体力学控制方程
（一）基本守恒律方程
1.连续方程：
(
V )
0
t
2.动量方程：
(V )
(VV )
F
t
(V )
(VV
pI)
F
*
t
p I *
* 为粘性应力张量
3.能量方程:
E
( EV )
F
V
q
( V )
t
( V ) ( pV ) ( *V )
2u x2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
u b1 x
u b2 y
cu
f
其中a11等系数均不是u及其导数的函数。
判别式
a a a
2 12
11
22
0 双曲型
0 抛物型
0 椭圆型
（二） 一阶拟线性微分方程组的分类
对于一阶拟线性微分方程组的向量形式：
U AU F t xi
u1
U
q (kT )
E
[(E
p)V ]
F V
(kT )
( *V )
t
E p V2 1 2
（二）守恒型控制方程
对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守 恒方程或非守恒方程，通常没有本质的差别， 但在离散的数值计算中，守恒型与非守恒型将 可能导致很大的差别，尤其是求解含激波等弱 解问题时。故方程的守恒性是计算流体力学中， 必须特别注意的问题。
)x
2 x xx 2
)
2
x3 3
代入(1)，则得:
[t xx ] 0
x
不妨设 为满足抛物方程的解 ，即：
t
xx
0
(3)
将 的解代入(2)式，即给出了Burger方程的解析
解的一般形式。
若 u(x,t) 的初始条件为: u(x,0) f (x) ，
则由(2)给出的对应于 (x,t) 的初始条件是：
（三） 流体力学控制方程数学分类的举例 1. 一维非定常Euler方程
双曲型
2. 二维定常Euler方程
u v ( u v ) 0
x
y
x y
u u v x
u y
1
p x
u v x
v
v y
1
p y
u p v p a 2 (u v ) 0
x
y
x
y
a2 p
写成向量形式：
⑶n个特征值全部为零时，称方程在 (t , xi )平面 上为纯抛物型； ⑷ n个特征值部分为复数、部分为实数时，称方 程在(t , xi )平面上为双曲椭圆型；
（5） n个特征值部分为复数、部分为重根时，称 方程在(t , xi )平面上为抛物椭圆型，整体上属椭 圆型；
（6） n个特征值部分为相异实根、部分为重根时， 称方程在(t , xi )平面上为双曲抛物型，整体上属 抛物型；
解域中存在特征线，提纯初值问题可以，提边值问题要 结合特征线走向。
3. 抛物型偏微分方程
u t
a
2u x2
第一类边界条件
第二类边界条件
u g(t)
u n
g(t)
第三类边界条件
(k
u n
hu)
g(t)
§2.4 模型方程以及在计算流体力学中的应用
（1）模型方程的引入 ★简化对差分格式的性质的讨论及考核
★必须反映物理问题的最基本的特征， 且方便于进行理论分析
例如动量方程：
V t
u V x
v V y
1
p
(
2V x 2
2V y 2
)
模型方程可以简化为：
u t
u
u x
2u x 2
Burgers方程。
（二）几个典型的模型方程
单波方程
u a u 0 t x
热传导方程 Burgers 方程
u t
u
ua ua
1,2
1 u
,
3
u
1
a
4
u
1
a
为四个实根，即方程在 x-t平面为双曲型； 所以Euler 方程可以在时间座标方向推进， 而在定常问题中能否推进计算，必须根据 流动是否为超音速（M与1的关系）来定。
4. 定常不可压缩 Navier–Stokes 方程
u v 0 x y
u u x
v
u
u x
(1)
2u x 2
:粘性系数， 时为无粘0方程。
解： 时0,可令未知函数具有如下的形式：
u( x, t) 2 x(2)
其中 (x,是t)待定的二阶可微分函数，将其代入(1)
式,得：
u t
2
(
x
t
x 2
t
)
2
(t x
)
u u x
4 2
x
(
xx
x2 2
)
2u x 2
2
2[( xx
v
u u u2 a2
v
u(u2 a2 )
v (u2
1
a2
)
u
uv
u2 a2
求矩阵C的特征值得：
( v )2 [uv (u2 a2 )]2 a2 (u2 v2 ) a4 0
u
1,2
v u
3,4
uv
a u2 v2 u2 a2
a2
如果：
1）u2 v 2 a2 0 2）u2 v 2 a2 0
2u x 2
u t
a
u x
2u x 2
Laplace 方程
2u x 2
2u y 2
0
非线性Burgers 方程
u t
u
u x
2u x 2
非线性单波方程
u u u 0
t
x
其中前4个方程为线性方程，可求出解析解，后两
个方程为非线性方程，也可以求出解析解。
▲ Burger方程的解析解：
u t
（三）直角坐标系下的守恒型方程
不计质量力（或质量力有势），理想流体、
U F E G 0 t x y z
u
U
v
w
Et
u u2
p
F
uv
uw
(
Et
p)u
v
vu
E
v2 p
vw
(
Et
p)v
w uw
G
vw
w2 p
(
E
t
p)w
A U B U 0 x y
U C U 0 x y
U
u v p
u 0 0
v 0 0
A
0
0
u 0
0 u
1
0
B
0 0
v 0
0 v
0
1
0 p 0 u
0 0 p v
v
u
C
A
1B
0
0
0
v u2 a
2
uv
u2 a2
0
va 2 u2 a
2
u u2 a2 a2 u2 a2
即 u( x, t) 必定在 ( x(s),t(s) ) 点发生解的间断，
间断的位置由(5)式确定.
u f x v h x
f h 0 x y
g f 0 x y
h x
1
p y
f y
(uh vf
)
p h g (uf vg )
x
y
y
u f x
v h x
令 U f , g, h, p,u,vT
U A U F t y
矩阵A的特征值为：
1,2 0
i 3,4
（一）不同数学类型偏微分方程定解条件的提法
1. 椭圆型偏微分方程
2u x2
2u y2
0
第一类边界条件：Dirichlet 问题
第二类边界条件：Neumann问题
第三类边界条件：Robin问题
u f (x, y)
u n
f (x, y)
(k
u n
hu)
f
(x,
y)
2. 双曲型偏微分方程
u a u 0 t x
i 5,6
其中 1,2 对应新变量f,h，因此
定常不可压N-S方程为椭圆型。
5. 二维定常可压NS方程
采用降阶法分析：
1,2,3 0,
4
v u
,
5,6 i,
7,8 i
定常可压NS方程是双曲椭圆型。
6. 抛物化N-S方程
利用边界层流动的概念，设x方向为主流方向，