数字图像处理- 图像平滑与锐化

原始图像到复数数组的转化
傅里叶正变换 低通滤波
傅里叶逆变换
复数数组到结果图像的转化
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// 1）原始图像到复数数组的转化 CTArray< complex > array_of_complex = CImageProcessing::Image_to_complex( m_image.Get_gray_image(), new_height, new_width ); // 2）傅里叶正变换 complex* pointer_of_complex = new complex [ array_of_complex.GetDimension() ]; array_of_complex.ExportTo( pointer_of_complex ); CImageProcessing::forward_fft2d( pointer_of_complex, new_height, new_width ); array_of_complex.ImportFrom( pointer_of_complex );

将原始图像转化为复数数组进行傅里叶正变换，输 出得到原始变换域； 对原始变换域进行频域上的处理，如低通滤波，得 到滤波后的变换域； 将滤波后的变换域进行傅里叶逆变换，便得到最终 的复数数组，取复数的实部信息便可以得到低通滤 波后的图像结果。

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低通滤波，就是将高频信息剔除，只保留低频信息， 对于空域图像结果而言就是图像变得模糊（或者说 平滑）了，因为抑制了图像的边缘信息； 而对于频域中间结果图像而言，就是图像四周的信 息被抑制了，看起来就是中间低频信息所占区域变 小了。
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对于一般的频率信息的显示，则需要取复数的幅度 作为显示图像的像素值，并且考虑到灰度像素的值 域（0-255）问题，需要除以一个常量（如100）来 使得人眼能够看到频率的变化信息。
CTMatrix< BYTE > CImageProcessing::Display_frequency( const CTArray< complex >& complex_array, long image_height, long image_width ) { CTMatrix< BYTE > gray_image( image_height, image_width ); ASSERT( complex_array.GetDimension() == image_height * image_width ); for( int row = 0; row < image_height; row ++ ) for( int column = 0; column < image_width; column ++ ) gray_image[ row ][ column ] = BYTE( sqrt( complex_array[ row * image_width + column ].m_re * complex_array[ row * image_width + column ].m_re + complex_array[ row * image_width + column ].m_im * complex_array[ row * image_width + column ].m_im ) / 100.0 ); return gray_image; }
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对于最后的复数数组向空域图像转换的问题，
只要取复数的实部作为图像像素的灰度值就可 以了。
CTMatrix< BYTE > CImageProcessing::Complex_to_image( const CTArray< complex >& complex_array, long image_height, long image_width ) { CTMatrix< BYTE > gray_image( image_height, image_width ); ASSERT( complex_array.GetDimension() == image_height * image_width ); for( int row = 0; row < image_height; row ++ ) for( int column = 0; column < image_width; column ++ ) gray_image[ row ][ column ] = BYTE( complex_array[ row * image_width + column ].m_re ); return gray_image; }

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傅里叶变换是基于复数空间的，所以需要一个基本 的数据结构来表示复数，为

typedef struct {double m_re; double m_im;} complex;， 其中m_re为实部，m_im为虚部。
int CImageProcessing::forward_fft2d(complex *array, int rows, int cols) { return(fft2d(array, rows, cols, FFT_FORWARD)); } int CImageProcessing::inverse_fft2d(complex *array, int rows, int cols) { return(fft2d(array, rows, cols, FFT_INVERSE)); }
巴特沃斯滤波 器 切比雪夫滤波 器 椭圆滤波器
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切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅
度等波纹波动的滤波器。 切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器衰 减要快，但是频率响应的幅频特性不如巴特沃 斯滤波器平坦。

在通带波动的切比雪夫滤波器的数学表达为

在阻带波动的切比雪夫滤波器的数学表达为
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最直观的做法，就是将每一个像素的灰度值作
为每一个复数的实部，实际上这个做法是完全 正确的。 但是，如何设置复数的虚部呢？

至此，读者应该能想到，设置为0。 这样，原始图像的总像素个数就是复数数组的维数， 每个复数的实部就对应像素的灰度，虚部设为0。
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CTArray< complex > CImageProcessing::Image_to_complex( const CTMatrix< BYTE >& gray_image, long& new_height, long& new_width ) { long image_height = gray_image.Get_height(); long image_width = gray_image.Get_width(); new_height = image_height; new_width = image_width; if( !( power_of_2( image_height ) ) ) new_height = long( pow( 2.0f, fastlog2( image_height ) ) ); if( !( power_of_2( image_width ) ) ) new_width = long( pow( 2.0f, fastlog2( image_width ) ) ); CTArray< complex > array_of_complex( new_height * new_width ); for( int row = 0; row < new_height; row ++ ) for( int column = 0; column < new_width; column ++ ) { array_of_complex[ row * new_width + column ].m_re = gray_image[ row ][ column ]; array_of_complex[ row * new_width + column ].m_im = 0; } return array_of_complex; }
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巴特沃斯滤波器
通带波动下的切比雪夫滤波器
阻带波动下的切比雪夫滤波器
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椭圆函数滤波器
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涉及4种图像初始、中间或最终结果，和三个主要 处理步骤。
图像结果包括原始图像、原始变换域、滤波后的变换域 和滤波后的图像； 处理步骤包括傅里叶正变换、低通滤波和傅里叶逆变换。
由于人类视觉系统的特性，锐化后的图像看起
Hale Waihona Puke Baidu
来更加清晰，但是实际上锐化操作并没有提高 真正的分辨率。
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低通滤波法
中值滤波法
高斯滤波法
均值滤波法
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低通滤波器，就是通过低频信号且抑制高频信
号的滤波器。 一个理想的低通滤波器，就是能够完全剔除高 于截止频率的所有信号，并且保留所有低于截 止频率的信号。 在实时应用中，实际滤波器可以通过将信号延 长一小段时间以得到未来的一小部分信号信息， 这样就可以近似的实现理想滤波器。
// 3）低通滤波
array_of_complex = CImageProcessing::Low_pass_filter( array_of_complex ); // 4）傅里叶逆变换 array_of_complex.ExportTo( pointer_of_complex ); CImageProcessing::inverse_fft2d( pointer_of_complex, new_height, new_width ); array_of_complex.ImportFrom( pointer_of_complex ); delete [] pointer_of_complex; // 5）复数数组到结果图像的转化 CTMatrix< BYTE > filter_image = CImageProcessing::Complex_to_image( array_of_complex, new_height, new_width );
配套课件 数字图像处理 — 编程框架、理论分析、实例应用和源码实现
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在统计学和图像处理领域中，对一个数据集
（如图像）进行平滑就是产生一个近似的函数， 目的是尝试获取数据的重要模式特征，并忽略 噪声或者其它的细微结构信息。 在图像处理和计算机视觉领域，平滑的概念通 常被用于尺度空间的表示中。
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CTArray< complex > CImageProcessing::Low_pass_filter( CTArray< complex > original_signal ) { long dimension = original_signal.GetDimension(); double threshold = 0; for( int index = 0; index < dimension; index ++ ) { double magnitude = sqrt( original_signal[ index ].m_re * original_signal[ index ].m_re + original_signal[ index ].m_im * original_signal[ index ].m_im ); if( magnitude > threshold ) threshold = magnitude; } threshold /= 100; for( int index = 0; index < dimension; index ++ ) { double magnitude = sqrt( original_signal[ index ].m_re * original_signal[ index ].m_re + original_signal[ index ].m_im * original_signal[ index ].m_im ); double eplon = 1.0 / sqrt( 1 + ( threshold / magnitude ) * ( threshold / magnitude ) ); original_signal[ index ].m_re *= eplon; original_signal[ index ].m_im *= eplon; } return original_signal; } 21 数字图像处理